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Material de pre calculo do CEDERJ Aulas_1a10

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expressos em forma de frac¸a˜o, apresentam di-
ficuldades de uso na linguagem mais coloquial. Na pra´tica do come´rcio,
nas medidas de temperatura, em medidas cient´ıficas, muitas vezes aparecem
nu´meros como 12,48 ou 0,267 ou −3, 51, para representar as medidas de cer-
tas grandezas. Esta e´ a notac¸a˜o decimal para os nu´meros racionais. Qual e´
a convenc¸a˜o adotada? Ou melhor dizendo, que nu´mero estamos expressando
atrave´s da notac¸a˜o decimal?
Vamos explicar isso.
A convenc¸a˜o e´ a seguinte: o nu´mero antes da v´ırgula e´ um nu´mero
inteiro, o primeiro algarismo depois da v´ırgula expressa os de´cimos, o segundo
algarismo os cente´simos, o terceiro algarismo os mile´simos e assim por diante.
O nu´mero representado na notac¸a˜o decimal e´ a soma dessas quantidades.
Assim,
12, 48 = 12 +
4
10
+
8
100
=
1200 + 40 + 8
100
=
1248
100
=
312
25
.
Portanto, temos duas maneiras de expressar o mesmo nu´mero:
12, 48 =
312
25
.
Veja outros exemplos:
0, 267 = 0 +
2
10
+
6
100
+
7
1000
=
200 + 60 + 7
1000
.
Assim,
0, 267 =
267
1000
.
Tambe´m,
−3, 52 = −
(
3 +
5
10
+
2
100
)
= −300 + 50 + 2
100
= −352
100
= −88
25
.
Logo,
−3, 52 = −88
25
.
Enta˜o, 12,48 , 0,267 e−3, 52 sa˜o outras maneiras de escrever os nu´meros
racionais
312
25
,
267
1000
e − 88
25
, respectivamente.
CEDERJ 34
Nu´meros racionais
MO´DULO 1 - AULA 2
De modo geral, uma expressa˜o do tipo
m, n1 n2 n3 . . . np , (2.1)
onde m e´ um nu´mero inteiro e n1, . . . np sa˜o algarismos, e´ a representac¸a˜o
decimal do nu´mero racional obtido pela seguinte soma:
m, n1 n2 n3 . . . np = m +
n1
10
+
n2
100
+
n3
1000
+ . . . +
np
10p
, se m ≥ 0
e
m, n1 n2 n3 . . . np = −
(
−m + n1
10
+
n2
100
+
n3
1000
+ . . . +
np
10p
)
, se m < 0 .
Basta efetuar a soma das frac¸o˜es e as simplificac¸o˜es convenientes para encon-
trar, nas expresso˜es acima, a` direita, o nu´mero racional em forma de frac¸a˜o.
Neste momento e´ importante formular uma pergunta:
- Todo nu´mero racional pode ser expresso em notac¸a˜o decimal?
Ou perguntando de outro modo:
- Partindo de um nu´mero racional
m
n
podemos escreveˆ-lo na forma
m
n
= a0, a1 a2 . . . ap ?
Para encontrar uma resposta, voltemos aos treˆs exemplos trabalhados
312
25
= 12, 48 ,
267
1000
= 0, 267 e − 88
25
= −3, 52 .
Partindo das frac¸o˜es e usando o algoritmo de Euclides, encontramos
312 25 267 1000 88 25
- 25 12,48 - 2000 0, 267 - 75 3,52
62 6700 130
- 50 - 6000 - 125
120 7000 50
- 100 - 7000 - 50
200 0 0
- 200
0
As contas acima sa˜o auto-explicativas e mostram que partindo de frac¸o˜es,
o algoritmo euclidiano e´ a ferramenta para chegar a` representac¸a˜o decimal
de um nu´mero racional.
35
CEDERJ
Nu´meros racionais
Mas, calma la´, na˜o vivemos no melhor dos mundos! E os nu´meros
1
3
e
8
33
? Vamos efetuar a divisa˜o euclidiana para nos surpreender!
10 3 80 33
- 9 0,33 . . . - 66 0,2424 . . .
10 140
- 9 - 132
10 80
... - 66
140
- 132
80
...
Os resultados da divisa˜o mostram a necessidade de expressar
1
3
e
8
33
atrave´s de somas envolvendo infinitas parcelas
1
3
= 0, 333 . . . =
3
10
+
3
100
+ . . . +
3
10n
+ . . .
e
8
33
= 0, 2424 . . . =
2
10
+
4
100
+
2
1000
+
4
10000
+ . . . .
Veremos mais adiante, nos conteu´dos das disciplinas de Ca´lculo que
somas com infinitas parcelas, como as somas acima no segundo membro das
igualdades, representam os nu´meros escritos no primeiro membro. Enta˜o, e´
correto escrever,
1
3
= 0, 333 . . .
8
33
= 0, 2424 . . . .
As expresso˜es a` direita das igualdades sa˜o chamadas representac¸o˜es ou
expanso˜es decimais infinitas e perio´dicas, ou simplesmente d´ızimas perio´dicas.
A palavra perio´dica refere-se a` repetic¸a˜o indeterminadamente do nu´mero 3 e
do nu´mero 24, respectivamente, na representac¸a˜o de
1
3
e
8
33
. Agora podemos
responder a pergunta:
- Todo nu´mero racional pode ser expresso na forma decimal?
Se entendessemos forma decimal, apenas expresso˜es do tipo (2.1), ex-
pressa˜o onde aparece apenas um nu´mero finito de algarismos apo´s a v´ırgula,
a resposta e´ na˜o.
CEDERJ 36
Nu´meros racionais
MO´DULO 1 - AULA 2
No entanto, ao considerarmos somas infinitas e expresso˜es decimais
com infinitos algarismos, provaremos na pro´xima aula, quando tratarmos da
representac¸a˜o de nu´meros racionais atrave´s de d´ızimas, o seguinte resultado:
“Todo nu´mero racional pode ser representado em forma de uma ex-
pressa˜o decimal (finita) ou sob forma de uma expansa˜o decimal infinita e
perio´dica.”
Mas lembra de como motivamos a notac¸a˜o decimal? Argumentamos
com as necessidades pra´ticas do come´rcio, da indu´stria, etc. Pois bem,
para estas necessidades sa˜o suficientes valores que aproximam o valor real.
A aproximac¸a˜o com maior ou menor erro, depende da natureza da operac¸a˜o
realizada.
Por exemplo,
1
3
pode ser aproximado por 0,333. Neste caso, usamos 3
algarismos apo´s a v´ırgula. O que significa esta escolha?
0, 333 =
3
10
+
3
100
+
3
1000
=
300 + 30 + 3
1000
=
333
1000
.
Note que
1
3
− 333
1000
=
1000− 999
3000
=
1
3000
<
1
1000
.
Isso mostra que
1
3
' 0, 333, com erro de um mile´simo.
O s´ımbolo ' leˆ-se “aproximadamente”. Enta˜o 1
3
e´ aproximadamente 0,333 e
o erro e´ inferior a um mile´simo.
Numa ma´quina de calcular, quando dividimos 1 por 3 aparece no visor o
nu´mero zero, seguido de um ponto (substituindo a v´ırgula) e uma quantidade
finita de algarismos 3. Quanto maior for a capacidade da ma´quina, maior
o nu´mero de d´ıgitos 3 apo´s o ponto (ou a v´ırgula) e tanto mais pro´ximo do
valor exato
1
3
e´ o valor fornecido pela ma´quina.
Atividade 2.4
a) Mostre que
1
3
< 0, 334.
b) Mostre que 0, 334− 1
3
<
1
1000
.
c) Conclua que
1
3
' 0, 334 com erro inferior a um mile´simo .
37
CEDERJ
Nu´meros racionais
Exemplo 2.7
Expressar o nu´mero
29
17
na forma decimal com erro inferior a um de´cimo de
mile´simo.
Soluc¸a˜o
Usando o algoritmo euclidiano
29 17
-17 1,7058
120
-119
100
-85
150
-136
14
Enta˜o,
29
17
∼ 1, 7058 com erro inferior a um de´cimo de mile´simo.
De fato, veja as contas que comprovam isto:
1, 7058 = 1 +
7
10
+
0
100
+
5
1000
+
8
10000
=
17058
10000
.
Enta˜o,
29
17
− 17058
10000
=
290000− 289986
170000
=
14
170000
<
17
170000
=
1
10000
=
1
104
.
Exerc´ıcios propostos
1. Determine os nu´meros naturais n que satisfazem a inequac¸a˜o
n
n + 2
<
4
5
2. Determine para que nu´meros racionais x, as expresso˜es abaixo na˜o esta˜o
bem definidas:
(a)
x
1− |x|
(b)
x
1− x2
(c)
2x
2− x2
CEDERJ 38
Nu´meros racionais
MO´DULO 1 - AULA 2
3. Assinale as afirmac¸o˜es corretas, onde q representa um nu´mero racional
arbitra´rio:
(a) q + 37/8 esta´ a` direita de q
(b) q − 12 esta´ a` esquerda de q
(c) 5 + q esta´ a` direita de 5
(d) −6− q esta´ a` esquerda de -6.
4. (a) Complete:
Transladando o ponto correspondente a -12/8+ q para a direita,
segundo o racional , obtemos o ponto correspondente
a q + 1.
(b) Determine os valores de r ∈ Q para os quais a expressa˜o |r−2|−2
e´ positiva.
5. (a) Escreva em ordem crescente os elementos do conjunto{
2, 1342; 2, 134201; −0, 3259; −31
7
;
21
10
}
.
(b) Efetue: −2
5
+ 24, 70034
6. Determine o menor inteiro positivo z, tal que os nu´meros
z
2