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Material de pre calculo do CEDERJ Aulas_1a10

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Precisamos
mostrar uma propriedade muito simples sobre os nu´meros naturais.
Proposic¸a˜o 3.1
Seja m um nu´mero natural. Se m2 e´ par enta˜o m e´ par.
A propriedade sobre nu´meros naturais garantida pela proposic¸a˜o pode
ser representada simbolicamente por
m2 e´ par ⇒ m e´ par ,
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Nu´meros irracionais - enfoque geome´trico
MO´DULO 1 - AULA 3
Para provar a proposic¸a˜o 3.1, vamos dar um passo e´ preparato´rio.
Passo preparato´rio: Vamos provar que se m e´ ı´mpar enta˜o m2 e´ ı´mpar.
Veja como e´ a prova. Se m e´ ı´mpar enta˜o m = 2p + 1, para algum
p ∈ N. Isto e´, m2 = (2p + 1)2 = 4p2 + 4p + 1 = 2(2p2 + 2p) + 1, evidenciando
que m2 e´ ı´mpar. Provamos enta˜o que
m ı´mpar ⇒ m2 ı´mpar .
Tendo estabelecido o resultado preparato´rio voltamos a` prova da pro-
posic¸a˜o. Queremos provar que se m2 e´ par enta˜o m e´ par. Em s´ımbolos
necessitamos provar a implicac¸a˜o
m2 par ⇒ m par . (3.1)
Mas, Cuidado!
Leia com atenc¸a˜o a afirmac¸a˜o 3.1 acima! Para qualquer afirmac¸a˜o que
se fac¸a, em particular para esta afirmac¸a˜o com a qual estamos trabalhando,
existem somente duas possibilidades: a afirmac¸a˜o e´ falsa ou e´ verdadeira.
Nosso trabalho e´ mostrar que e´ verdadeira (. . .) ou mostrar que ela na˜o e´
falsa. Isto em Matema´tica e´ incr´ıvel! E veja como provar que a afirmac¸a˜o
escrita em (3.1) na˜o e´ falsa.
Suponha que e´ falsa. Enta˜o encontraremos algum nu´mero natural m
tal que m2 e´ par e m e´ ı´mpar (m2 par ⇒ m ı´mpar). Uma situac¸a˜o destas
pode existir? E´ claro que na˜o. O passo intermedia´rio, mostrou que se m e´
ı´mpar enta˜o m2 e´ ı´mpar (m ı´mpar ⇒ m2 ı´mpar). Juntando os racioc´ınios
encontramos que
m2 par ⇒ m ı´mpar ⇒ m2 ı´mpar .
Temos uma contradic¸a˜o, evidenciando que a implicac¸a˜o (3.1) na˜o pode ser
falsa. Portanto, a afirmac¸a˜o (3.1) e´ verdadeira.
Isto finaliza a prova da Proposic¸a˜o 3.1. � O me´todo de prova, usado na
proposic¸a˜o 3.1, e´ chamado de
me´todo da contraposic¸a˜o. O
me´todo garante que para pro-
var que A ⇒ B e´ suficiente
mostrar que a suposic¸a˜o que A
e´ verdadeira e B e´ falsa induz
uma contradic¸a˜o.
Agora estamos prontos para provar que, na˜o existe um nu´mero racio-
nal que mec¸a a hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo cujos lados medem a
unidade. Isto e´, na˜o existe
m
n
∈ Q, tal que
(
m
n
)2
= 2 . (3.2)
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Nu´meros irracionais - enfoque geome´trico
Na igualdade anterior podemos supor que
m
n
e´ uma frac¸a˜o irredut´ıvel. Ou
seja, m e n na˜o possuem divisores comuns ale´m da unidade. Agora, se
existisse um nu´mero racional com as propriedades anteriores, enta˜o
m2 = 2n2 .
Vamos em frente! Veja a igualdade acima. Ela diz que m2 e´ par. Ora
se m2 e´ par enta˜o m e´ par (proposic¸a˜o 3.1). Isto e´, m = 2p, para algum
p ∈ N. Enta˜o voltando a` igualdade escrevemos
(2p)2 = 2n2 ⇒ 4p2 = 2n2 ⇒ 2p2 = n2 .
A u´ltima igualdade mostra que n2 e´ par. Mas enta˜o n tambe´m e´ par (usamos
aqui de novo a proposic¸a˜o 3.1). Mas da´ı, m e´ par e n e´ par. Uma contradic¸a˜o,
pois sendo a frac¸a˜o
m
n
irredut´ıvel na˜o pode ser simplificada por 2. Isto mostra
que a igualdade 3.2 na˜o pode acontecer.
Conclusa˜o: Existem medidas que na˜o podem ser expressas por um nu´mero
racional. Veja a Figura 3.4, que localiza sobre a reta orientada o nu´mero
a, tal que a2 = 2. Denotamos, simbolicamente, este nu´mero por a =
√
2 e o
denominamos a raiz quadrada de 2.
-2 -1 0
a
1
1
22
Figura 3.4: O nu´mero irracional
√
2.
UFA! Acabamos de subir uma pequena ladeira. Nesta posic¸a˜o um pouco
mais elevada, a vista e´ larga e abrangente. Vale a pena recordar nossa subida
e tirar algumas consequ¨eˆncias.
- Qual foi o procedimento?
Encontramos o primeiro nu´mero irracional ao medirmos a hipotenusa
de um triaˆngulo retaˆngulo cujos lados medem 1. Isto foi poss´ıvel porque
provamos que, se a e´ o nu´mero que representa a medida da hipotenusa deste
triaˆngulo enta˜o
a 6= m
n
, quaisquer que sejam m , n ∈ Z .
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Denotamos a =
√
2 e encontramos nosso primeiro nu´mero irracional. Vamos
a`s consequ¨eˆncias. Observe que se p ∈ Z e´ um inteiro qualquer na˜o nulo,
enta˜o p
√
2 e´ tambe´m irracional. Vamos provar isto. Suponha, por absurdo,
que p
√
2 e´ racional. Enta˜o, para algum m e n inteiros, com n 6= 0,
p
√
2 =
m
n
⇒
√
2 =
m
n · p .
Isto implicaria que
√
2 e´ racional. Isto e´ uma contradic¸a˜o. Logo p
√
2 e´
irracional.
Conclusa˜o: temos ja´ um nu´mero infinito de nu´meros irracionais
. . . − 3
√
2, −2
√
2, −
√
2,
√
2, 2
√
2, 3
√
2, 4
√
2, . . .
Afirmamos tambe´m que, para qualquer nu´mero natural n,
√
2
n
e´ um
nu´mero irracional.
De fato, suponha por absurdo que
√
2
n
=
p
q
, onde p, q ∈ Z, q 6= 0. Enta˜o
√
2 =
p · n
q
implicando que
√
2 seria racional. Esta contradic¸a˜o garante que
√
2
n
e´ irracional.
- Como representar na reta nume´rica
√
2
n
?
Tomamos o segmento de reta cujos extremos sa˜o os pontos 0 (zero) e√
2 e dividimos o segmento em n partes iguais. O ponto da divisa˜o mais
pro´ximo de zero, representa
√
2
n
. Veja na figura o ponto
√
2
3
.
0
3
2
2
2
Figura 3.5
O mesmo tipo de argumento desenvolvido acima, e´ suficiente para pro-
var que
p
q
√
2 e´ um nu´mero irracional, onde p, q ∈ Z, q 6= 0. Tambe´m e´ fa´cil
de encontrar o ponto que representa
p
q
√
2 na reta orientada. Veja como isto
e´ realizado.
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Nu´meros irracionais - enfoque geome´trico
Primeiro, note que
p
q
√
2 = p
(√
2
q
)
. Em seguida, dividimos o segmento
cujos extremos sa˜o os pontos representados pelo nu´mero zero e o nu´mero
√
2,
e localizamos o ponto que representa
√
2
q
. A partir da´ı, tomamos sucessi-
vamente p destes segmentos um apo´s o outro, para localizar o ponto que
representa o nu´mero p
(√
2
q
)
. Veja na figura os nu´meros irracionais
3
4
√
2 e
5
4
√
2.
0 1
4
2
2 2
4
3
2
2
4
5
Figura 3.6
Atividade 3.2
Usando o Teorema de Pita´goras, determine as medidas x, y, z e w dos
segmentos da Figura 3.7.
Figura 3.7
Encontramos o primeiro nu´mero irracional
√
2 como o nu´mero que for-
nece a medida de um segmento da reta. Esta e´ a u´nica maneira de obter
nu´meros irracionais.
Para nossos objetivos agora, podemos enunciar uma definic¸a˜o geome´trica:
Definic¸a˜o 3.1
Um nu´mero e´ irracional quando ele e´ o valor da medida de um segmento de
reta e que na˜o pode ser escrito na forma
m
n
, onde m e n sa˜o nu´meros inteiros.
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Nu´meros irracionais - enfoque geome´trico
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Nota: Na verdade, definimos acima os nu´meros irracionais positivos (uma
vez que a medida de um segmento e´ positivo). Para acrescentar os nu´meros
irracionais negativos, basta tomar os sime´tricos (negativos) dos nu´meros ir-
racionais positivos.
Se denotarmos por I o conjunto dos nu´meros irracionais, enta˜o R,
R = I ∪Q ,
e´ o conjunto dos nu´meros reais.
O nu´mero pi
Outra medida importante detectada na antigu¨idade e que na˜o pode ser
expressa por um nu´mero racional foi o nu´mero pi.
Para entender, tome um c´ırculo de diaˆmetro igual a 1 e force este c´ırculo
a rolar sem deslizamento ao longo de uma reta, como na Figura 3.8.
A
A
A
A
Figura 3.8: O per´ımetro do c´ırculo.
O segmento de reta, compreendido entre duas posic¸o˜es consecutivas em
que um ponto escolhido A toca a reta de rolagem, tem comprimento que
denominamos pi.
O nu´mero pi e´ portanto o comprimento ou per´ımetro de um c´ırculo cujo
diaˆmetro