Tabelas de Frequência e Gráficos

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Unidade II
ESTATÍSTICA
Prof. Fernando Rodrigues
Tabelas de frequência e gráficos
ƒ Uma vez definidos o tema de interesse 
de um estudo estatístico e as variáveis 
de interesse, passa-se à etapa de 
obtenção dos dados. 
ƒ A forma de obter dados dependerá do p
tipo de pesquisa a ser realizada.
ƒ Uma vez obtidos os dados, monta-se 
uma tabela em que, para cada elemento 
pesquisado, colocam-se os valores 
correspondentes de cada variável. 
Tabelas de frequência e gráficos
ƒ É comum chamar a essa etapa de 
tabulação dos dados. O resultado final 
será então a tabela de dados brutos, ou 
seja, dados que ainda não foram 
lapidados, analisados.
ƒ As tabelas de dados brutos, embora 
tragam todas as características do 
conjunto, não permitem que tenhamos 
um entendimento dele, pois os dados 
assim dispersos somente nos permitem 
f i f t dformar uma imagem fragmentada.
Tabelas de frequência e gráficos
ƒ Uma primeira maneira para verificar-se 
as informações escondidas em uma 
tabela de dados brutos é a construção 
das tabelas de frequência 
(ou distribuições de frequência) para 
d d iá icada uma das variáveis.
ƒ Estas tabelas agrupam os dados com 
valores iguais ou similares em uma 
mesma classe e nos dão as frequências 
com que cada valor ou intervalo de 
l j t t d dvalores aparece no conjunto estudado.
Tabelas de frequência e gráficos
ƒ Chamamos de distribuição de 
frequência, a forma tabular de um 
conjunto de valores, onde colocamos na 
primeira coluna os valores distintos da 
série de dados, em ordem crescente, e 
d l f ê i i lna segunda coluna a frequência simples 
destes dados.
ƒ Chama-se frequência simples o número 
de vezes que um determinado dado 
aparece na série.
ƒ Teremos uma forma específica de 
distribuição de frequência para 
representar variáveis discretas e 
variáveis contínuas.
Tabelas de frequência e gráficos
Distribuição de frequência - variável discreta
Supondo que a observação das notas de 20 
alunos de uma classe resultou nos seguintes 
valores:
ƒ X: 5; 5; 4; 6; 10; 10; 8; 5; 4; 8; 9; 4; 7; 7; 5;X: 5; 5; 4; 6; 10; 10; 8; 5; 4; 8; 9; 4; 7; 7; 5; 
10; 10; 9; 5; 10.
ƒ Chamamos de xi a coluna que mostra os 
valores distintos que aparecem na série, e 
fi a coluna que mostra a frequência destes 
valores na série.valores na série.
A distribuição de frequências para esta série 
X seria:
Tabelas de frequência e gráficos
xi fi
4 3
5 5
6 1
7 2
8 2
9 2
10 5
ƒ Note que conseguimos reduzir os 20 
valores da série para uma tabela com 7 
elementos distintos.
Tabelas de frequência e gráficos
xi fi
4 3
5 5
6 1
7 2
8 2
9 2
10 5
ƒ Se somarmos todos os valores da coluna 
das frequências, teremos o número total 
de elementos da série (n).
Tabelas de frequência e gráficos
ƒ Podemos acrescentar uma terceira 
coluna a esta tabela que indica a 
participação percentual de cada 
elemento na série. 
ƒ Chamamos esta informação de 
frequência relativa de um elemento (fr).
ƒ Para chegar a este valor, basta dividir a 
frequência simples de cada elemento 
pelo número total de elementos da série 
(n ). fiƒ Portanto: 
ƒ Multiplicando o valor obtido por 100, 
teremos o correspondente valor 
percentual. 
n
ff iri =
Tabelas de frequência e gráficos
xi fi fri
4 3 15%
5 5 25%
6 1 5%
7 2 10%
8 2 10%
9 2 10%
10 5 25%
ƒ Se somarmos os valores da coluna fri, 
obteremos 100%, que representa o 
volume total de dados da série.
Tabelas de frequência e gráficos
Distribuição de frequência - variável contínua
ƒ De forma semelhante, podemos construir 
a distribuição de frequência para uma 
série de dados que se apresentem como 
uma variável contínua.
ƒ Como vimos, denominamos variável 
contínua aquela que pode assumir 
infinitos valores, ou na prática, um 
número muito elevado de valores 
diferentes.
ƒ Neste caso agruparemos estes valores em 
classes, de modo a reduzirmos ainda mais 
a quantidade de elementos.
Tabelas de frequência e gráficos
Distribuição de frequência - variável contínua
Por exemplo, vamos supor que uma 
pesquisa salarial em uma determinada 
empresa verificou os seguintes valores para 
os 20 funcionários:
ƒ X: 1.000,00; 1.100,00; 1.200,00; 1.250,00; 
1.180,00; 1.230,00; 1.150,00; 1.250,00; 
1.200,00; 1.500,00; 1.550,00; 1.150,00; 
1.150,00; 1.600,00; 1.600,00; 1.550,00; 
1.700,00; 2.000,00; 1.950,00; 2.000,00 
Podemos reduzir estes dados, construindo a 
seguinte distribuição de frequências, 
variável contínua:
Tabelas de frequência e gráficos
Classe Intervalo de Classe fi fri
1 1000 I------- 1200 6 30%
2 1200I------- 1400 5 25%
3 1400I------- 1600 3 15%
4 1600I------- 1800 3 15%
ƒ Chamamos de intervalo de classe a 
subdivisão dos valores da série em 
classes.
4 1600I 1800 3 15%
5 1800I------- 2000 3 15%
classes.
ƒ No exemplo acima, a classe 1 
compreende os valores entre 1000 
(inclusive) e 1200.
Interatividade
Em uma série estatística com 50 dados, o 
elemento 16 aparece 5 vezes. Na 
construção da distribuição de frequências-
variável discreta, o valor da frequência
relativa deste elemento será:
a) 50%
b) 16%
c) 5%
d) 20%
e) 10%
Tabelas de frequência e gráficos
ƒ A representação gráfica das séries 
estatísticas tem por finalidade dar uma 
idéia imediata dos dados, permitindo 
chegar-se a conclusões sobre a 
evolução do fenômeno ou sobre como se 
l i l d é irelacionam os valores da série.
ƒ Existem diversas maneiras de se 
representar graficamente as séries 
estatísticas.
ƒ Cada tipo de gráfico facilita a 
visualização de uma determinada 
característica da sequência de dados.
Tabelas de frequência e gráficos
A fim de cumprir sua função, os gráficos 
devem sempre ser elaborados 
considerando-se alguns aspectos,
entre eles:
ƒ Simplicidadep
ƒ Clareza
ƒ Veracidade
Além disso, os gráficos devem ter 
elementos de identificação, como títulos, 
escalas legendas etcescalas, legendas, etc.
Tabelas de frequência e gráficos
Exemplo de gráfico e seus componentes
Tabelas de frequência e gráficos
ƒ Gráfico em colunas (histograma de 
frequências)
ƒ É a representação de uma série estatística 
por meio de retângulos, dispostos 
verticalmente (em colunas). Esses ( )
retângulos têm a mesma base, e as alturas 
são proporcionais aos respectivos dados.
Tabelas de frequência e gráficos
O mesmo tipo de gráfico pode também ser 
utilizado para representar uma série de 
dados de forma contínua. Como exemplo, 
podemos utilizar a distribuição de 
frequência abaixo, com as estaturas, em 
tí t d l d lcentímetros, dos alunos de uma escola:
Tabelas de frequência e gráficos
A série anterior poderia ser representada 
graficamente da seguinte forma:
Tabelas de frequência e gráficos
Uma variação do gráfico em colunas, é o 
gráfico em barras. Nele os retângulos são 
dispostos horizontalmente. Exemplo:
Tabelas de frequência e gráficos
ƒ Um outro tipo de gráfico amplamente 
utilizado é o gráfico em setores. Ele é 
muito empregado quando se pretende 
comparar cada valor da série com o valor 
total.
ƒ Para construir este tipo de gráfico, 
desenha-se um círculo, dividindo-o em 
setores.
ƒ Cada setor representa um elemento da 
série que queremos representar, e a área 
dos setores será proporcional ao valor 
percentual daquele elemento em relação 
ao valor total da série.
Tabelas de frequência e gráficos
ƒ Exemplo de gráfico em setores
Tabelas de frequência e gráficos
ƒ Gráfico em curva ou em linha
ƒ Permite representar séries longas ,e 
auxilia na detecção de tendências e 
flutuações.
Interatividade 
Qual das afirmações abaixo está incorreta, 
quando falamos sobre gráficos?
a) Clareza é um aspecto que deve ser 
considerado na construção de gráficos.b) O gráfico deve ser construído com ab) O gráfico deve ser construído com a 
maior complexidade possível.
c) O histograma representa uma série 
estatística por meio de retângulos.
d) O gráfico em setores utiliza um circulo 
dividido para representar proporçõesdividido para representar proporções.
e) O gráfico em linha permite detectar-se 
tendências em uma sequência de dados.
Medidas de Posição
ƒ No primeiro passo para transformar 
dados em informação, construímos as 
tabelas de frequência. 
ƒ Para irmos adiante em nossas análises, é 
preciso encontrar características que p q
representem estes dados de forma ainda 
mais resumida.
ƒ São úteis nesta tarefa as medidas de 
posição, também chamadas de medidas 
de tendência central.
ƒ
Medidas de Posição
ƒ As medidas de posição são valores 
calculados para um conjunto de dados e 
cujo resultado representa a tendência 
para o centro dos dados.
ƒ Uma medida de tendência central 
corresponde a um valor intermediário da 
série de dados.
ƒ Corresponde também a um valor em 
torno do qual os dados da série estão 
distribuídos.
ƒ As principais medidas de tendência 
central são a média, a mediana, e a 
moda.
Medidas de Posição
S tó i N t ã i (Σ)Somatório – Notação sigma (Σ)
ƒ No cálculo das medidas de tendência 
central utilizaremos somas de grandes 
quantidades de números.
ƒ Para facilitar a representação destasPara facilitar a representação destas 
somas, utilizamos a chamada notação 
sigma, representada pela letra grega Σ.
Quando queremos representar a soma de 
diversos valores do tipo:
x x x xx1, x2, x3, ...., xn
Podemos utilizar a seguinte expressão:
Medidas de Posição
Σx1+x2+x3+....+xn = Σ xi
Onde:
- representa a soma das parcelas
Xi – representa uma parcela genéricai p p g
Medidas de Posição
Exemplo:
Se tomarmos a seguinte série de dados:
X: 3, 5, 7, 10
Chamamos de:
x1 o primeiro elemento da serie;
x2 o segundo elemento da serie; etc
Portanto, a somatória dos valores da série
será:Σx = x +x +x +x = 3+5+7+10 = 25Σxi = x1+x2+x3+x4 = 3+5+7+10 = 25
Medidas de Posição
Moda
ƒ A palavra moda é utilizada 
cotidianamente com um significado 
parecido com a definição em estatística. 
ƒ No dia a dia dizemos que algo está naNo dia a dia, dizemos que algo está na 
moda se muita gente o está usando ou o 
está fazendo. 
ƒ Em estatística, moda é o valor que mais 
aparece no conjunto, aquele que é a 
característica da maioria.característica da maioria. 
ƒ Quando há um valor que se sobressai 
em frequência, com relação aos demais 
valores, dizemos que o conjunto tem 
uma moda, é modal.
Medidas de Posição
ƒ A Moda (mo) é, portanto, o valor de maior
frequência em um conjunto de dados, ou
seja é o valor que aparece mais vezes
neste conjunto.
Exemplo 1:p
ƒ Na série X: 2; 8; 3; 5; 4; 5; 3; 5; 5; 1
ƒ o valor de maior frequência é o 5.
Portanto mo = 5.
Medidas de Posição
Mediana(md)
ƒ A mediana é uma medida de tendência
central que considera não os valores
intrínsecos dos dados, mas a posição
que eles ocupam no conjunto de dadosq p j
ordenados.
ƒ A mediana de um conjunto de dados
será o valor que o divide em dois
subconjuntos,um contendo os 50%
menores valores e o outro contendo os
50% maiores valores.
ƒ É, dessa forma, considerada uma medida
de posição.
Medidas de Posição
Mediana
Exemplo:
Considere a seguinte sequência de dados:
X: 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8
A mediana desta séries será:
Medidas de Posição
Determinação da Mediana
Como a mediana é o elemento que divide a 
série de dados em duas partes iguais, ela 
será é determinada da seguinte forma:
ƒ se a quantidade de dados for ímpar ase a quantidade de dados for ímpar, a 
mediana será o valor que ocupar a 
posição (n+1)/2;
ƒ se a quantidade de dados for par, a 
mediana será a média dos dados que 
ocupam as posições n/2 e (n+2)/2.ocupam as posições n/2 e (n+2)/2.
Medidas de Posição
Exemplo 1: Determinar a mediana da série:
ƒ X: 2; 20; 12; 23; 20; 8; 12
Ordenando estes dados, teremos o rol:
ƒ X: 2; 8; 12; 12; 20; 20; 23
ƒ O número de elementos é ímpar: n= 7.
A mediana será o elemento de posição = 
(7+1)/2 = 4o elemento da série. Portanto:
ƒ Md = 12
Medidas de Posição
Exemplo 2: Determinar a mediana da série:
ƒ X: 7; 21; 13; 15; 10; 8; 9; 13
Ordenando estes dados, teremos o rol:
ƒ X: 7; 8; 9; 10; 13; 13; 15; 21
ƒ O número de elementos é par: n= 8.
As posições dos elementos centrais serão:
ƒ n/2 = 4º elemento = 10 e 
ƒ (n+2)/2 = 5º elemento = 13
ƒ A mediana será = (10+13)/2 = 11,5
Interatividade
Qual é o valor da Moda da série de dados 
abaixo?
X: 2,3,3,5,2,7,5,2,8,9,2,10,11,2,3
a) 3
b) 2b) 2
c) 7
d) 2,5
e) 9
Medidas de Posição
Média aritmética
ƒ A média aritmética representa a 
redistribuição equitativa de todos os 
valores de um conjunto de dados.
ƒ Por exemplo suponha que um alunoPor exemplo, suponha que um aluno 
obteve a nota 4,0 na primeira prova, 7,5 na 
segunda prova , e 6,5 na terceira prova.
ƒ O total de pontos obtidos foi igual a 18.
ƒ Se redistribuirmos esse valor total pelas 
três notas considerando o mesmo valortrês notas, considerando o mesmo valor 
para cada uma delas, esse valor seria 6.
ƒ 6 seria, portanto a média aritmética das 
três notas.
Medidas de Posição
Para uma sequência de dados do tipo
X: x1, x2, x3,...xn, a média aritmética 
simples, simbolizada por , será:X
n
xX iΣ=
Exemplo: Se X: 2, 5, 10, 3, então:
n
5
4
31052X =+++=
Medidas de Posição
ƒ Quando temos os dados agrupados na 
forma de uma distribuição de 
frequências – variável discreta, podemos 
calcular a média aritmética ponderada. 
Neste caso calculamos a média aritmética 
através da fórmula:
i
i.i
f
fxX Σ
Σ=
Medidas de Posição
Exemplo:
ƒ Suponha que a empresa em que você 
trabalha registrou o número de vezes que 
ligou o servidor por dia, durante o mês 
passado. Os dados são os seguintes:p g
ƒ Então, podemos calcular o número médio 
de vezes que o servidor foi ligado por diade vezes que o servidor foi ligado por dia, 
pela fórmula:
i
i.i
f
fxX Σ
Σ=
Medidas de Posição
=(1x1)+(2x6)+(3x5)+(4x4)+(5x4)+(6x5)+(7x3)+(8x2)X
i
i.i
f
fxX Σ
Σ=
=(1x1)+(2x6)+(3x5)+(4x4)+(5x4)+(6x5)+(7x3)+(8x2)
30
= 131 = 4,367
30
ƒ Portanto podemos dizer que o servidor da
f i li d édi 4 367
X
X
empresa foi ligado em média 4,367 vezes
por dia.
Medidas de tendência central
Propriedades da média
Propriedade da soma:
Somar uma constante qualquer a cada valor 
de um conjunto de dados irá resultar em 
uma nova média cujo valor é igual à médiauma nova média, cujo valor é igual à média 
anterior acrescida da mesma constante, ou 
seja:
ƒ yi = xi + c ֜ Y = X + c
Onde:
ƒ • xi = valores do conjunto de dados X;
ƒ • yi = valores do conjunto de dados Y;
ƒ • c = constante אR.
Medidas de tendência central
Propriedade da soma
Exemplo: 
ƒ A série X: 2,3,4,5,6 tem média X = 4.
Se somarmos a cada elemento desta série a 
t t 2 t é iconstante c= 2, teremos a nova série:
ƒ Y: 4, 5, 6, 7, 8, cuja média Y = 6
ƒ Vemos, portanto, que Y= X+2
Medidas de tendência central
Propriedade do produto
O produto de uma constante qualquer por 
cada valor de um conjunto de dados irá 
resultar em uma nova média, cujo valor é 
igual ao produto da média anterior pela g p p
mesma constante, ou seja:
ƒ yi = c xi ֜ Y = c X
onde:
ƒ xi = valores do conjunto de dados X;
ƒ yi = valores do conjunto de dados Y;
ƒ c = constante א R.
Medidas de tendência central
Propriedade do produto
Exemplo:
ƒ A série X: 2,3,4,5,6 tem média X = 4.
Se multiplicarmos cada elemento desta 
é i l t t 2 tsérie pela constante c= 2, teremos a nova 
série:
ƒ Y: 4, 6, 8, 10, 12, cuja médiaY = 8
ƒ Vemos, portanto, que Y= X . 2
Interatividade 
A média aritmética da seguinte série de 
dados X: 2, 2, 3, 8, 6, 10, 12, 13, 5, 9, é igual a:
a) 70
b) 8
) 12c) 12
d) 7
e) 10
ATÉ A PRÓXIMA!