Medidas de Dispersão

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Unidade III
ESTATÍSTICA
Prof. Fernando Rodrigues
Medidas de dispersão
ƒ Estudamos na unidade anterior as 
medidas de tendência central, que 
fornecem importantes informações sobre 
uma sequência numérica.
ƒ Entretanto, essas medidas sozinhas não 
são suficientes para caracterizar 
totalmente a série de dados.
ƒ Duas ou mais sequências numéricas 
podem, por exemplo ter um mesmo valor 
de média aritmética, e no entanto, serem 
bastante diferentes entre si.
Medidas de dispersão
Vejamos, por exemplo, as duas séries 
abaixo, que são diferentes entre si:
ƒ X: 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3
ƒ Y: 1; 1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5
Entretanto se calcularmos as médiasEntretanto, se calcularmos as médias 
aritméticas das duas séries teremos:
ƒ X = (3+3+3+3+3+3+3+3+3+3)/10 = 3
ƒ Y = (1+1+2+2+3+3+4+4+5+5)/10 = 3
Medidas de dispersão
ƒ Torna-se necessário, então, para 
caracterizar melhor a sequência 
numérica, a utilização de outras medidas.
ƒ Estas medidas mostrarão se os valores 
da série estão mais agrupados em torno 
da média ou mais dispersos em relação a 
essa média.
ƒ Estas medidas são chamadas de Medidas 
de Variação ou Medidas de Dispersão.
Medidas de dispersão
ƒ A primeira, e mais simples medida de 
variação é a Amplitude Total ou Intervalo.
ƒ O Intervalo é a distância entre o maior e o 
menor valor da série de dados.
ƒ Para calcular a Amplitude Total ou oPara calcular a Amplitude Total ou o 
tamanho do Intervalo de uma série de 
valores, basta subtrairmos o menor valor 
da série do maior.
Vejamos alguns exemplos:
Medidas de dispersão
Cálculo da Amplitude de uma sequência:
a) Se tivermos uma sequência de dados 
brutos, ou ordenados (rol), basta 
identificar o maior e o menor valor e 
calcular sua diferença.
Ex: A Amplitude da série: 
ƒ X: 2; 3; 3; 4; 7; 8; 10; 10; 12; 15; 15; 18
é igual a 18-2 = 16.
Medidas de dispersão
b) Se os dados estiverem apresentados sob 
a forma de uma distribuição de 
frequências – variável discreta, a 
Amplitude, ou o tamanho do Intervalo da 
série será a diferença entre o primeiro e o 
último elemento (Xi) da sérieúltimo elemento (Xi) da série.
Ex: A Amplitude da série abaixo é:
xi fi
2 12
3 10
4 14
ƒ At = 6 – 2 = 4
4 14
5 8
6 5
Medidas de dispersão
c) Se os dados estiverem apresentados sob 
a forma de uma distribuição de 
frequências – variável contínua, a 
Amplitude da série será calculada de uma 
forma aproximada, uma vez que não 
conhecemos o maior e o menor valor daconhecemos o maior e o menor valor da 
série.
ƒ Utiliza-se, neste caso, o ponto médio da 
primeira classe como sendo o menor 
valor da série.
ƒ Da mesma maneira, utiliza-se o ponto 
médio da última classe como sendo o 
maior valor da série.
Medidas de dispersão
Exemplo: Calcule a Amplitude total da 
seguinte série:
Classe Int. de Classe fi
1 2 I----------- 4 10
2 4 I----------- 6 15
ƒ O ponto médio da primeira classe é 3.
ƒ O ponto médio da última classe é 9.
ƒ A Amplitude total será: 9 3 = 6
3 6 I----------- 8 25
4 8 I----------- 10 12
ƒ A Amplitude total será: 9 – 3 = 6.
Medidas de dispersão
ƒ A Amplitude ou Intervalo de uma série é 
uma medida de dispersão muito simples 
e fácil de ser calculada.
ƒ Entretanto, ela depende apenas de dois 
valores da série (o maior e o menor).
ƒ Assim, é possível modificar 
completamente a dispersão dos valores 
sem alterar a Amplitude da série, o que 
torna esta medida pouco sensível a estas 
mudanças.
ƒ Em muitos casos, portanto, será 
necessário o uso de medidas de variação 
mais precisas.
Interatividade 
Qual das afirmações abaixo está correta?
a) A média aritmética é uma medida suficiente 
para caracterizar uma sequência numérica.
b) As medidas de tendência central fornecem 
todas as informações relevantes sobre uma 
série de dados.
c) Duas sequências numéricas diferentes 
sempre terão médias aritméticas diferentes. 
d) As medidas de variação podem substituir 
as medidas de tendência central no estudo 
de uma série de dados.
e) As medidas de variação mostram se os 
valores estão agrupados ou dispersos em 
relação à média.
Medidas de dispersão
Variância e desvio padrão.
ƒ As medidas de variação ou dispersão 
mais utilizadas na prática são a variância 
e o desvio padrão.
ƒ A variância é simbolizada por S2 ou pela2A variância é simbolizada por S ou pela letra grega σ2.
Calcula-se a variância através da fórmula:
1n
)xx(s
2
2 i −Σ=
1n −
Medidas de dispersão
ƒ O desvio padrão, por sua vez, é 
simbolizado por S ou pela letra grega σ.
ƒ O desvio padrão é a raiz quadrada 
positiva da variância.
Portanto o desvio padrão será:Portanto, o desvio padrão será:
1n
)xx(s
2i
−
−Σ=
Medidas de dispersão
Cál l d iâ i d d i d ãCálculo da variância e do desvio padrão:
ƒ Exemplo 1: 
Calcule a variância e o desvio padrão da 
série X: 4; 5; 6; 5.
Inicialmente calculamos a média aritméticaInicialmente calculamos a média aritmética 
da série: 
5
4
20
4
5654x ==+++=
Medidas de dispersão
ƒ Calculamos, então, os quadrados das 
diferenças
(4 - 5)2 = 1
(5 – 5)2 = 0
(6 5)2 1
2i )xx( −
)xx(s
2
2 i −Σ=(6 – 5)2 = 1
(5 – 5)2 = 0
A variância será:
ƒ S2 = 1+0+1+0 = 2/3 = 0,667
3
1n
s −
3
ƒ O desvio padrão será = S = 0,816
Medidas de dispersão
ƒ Exemplo 2 - Tabela de frequências -
Variável discreta:
No caso de os dados estarem agrupados em 
uma distribuição de frequência – variável 
discreta, a fórmula de cálculo terá uma 
pequena modificação.
1n
f.)xx(s i
2
2 i
−
−Σ=
Medidas de dispersão
ƒ Exemplo 2.
Calcule a variância e o desvio padrão da 
série:
xi fi
2 3
ƒ Somando a coluna fi, temos o número de 
elementos (n), que é igual a 20.
3 5
4 8
5 4
( ), q g
Medidas de dispersão
Calculando a média aritmética pela fórmula:
n
fi.xix Σ=
xi fi xi . fii i i i
2 3 6
3 5 15
4 8 32
5 4 20
73
ƒ A média será = 73/20 = 3,65.
Medidas de dispersão
Desenvolvendo os cálculos teremos:
xi fi
2 3 8,17
3 5 2,11
4 8 0 98
ii f.)xx( 2−
ƒ A somatória de = 18,52 
4 8 0,98
5 4 7,29
ii f.)xx( 2−
Medidas de dispersão
O valor da variância, então será: 
2
1n
f.)xx(s i
2
2 i
−
−Σ=
ƒ S2 = 18,52 = 0,975
19
O valor do desvio padrão é:
ƒ S = 0,987
Medidas de dispersão
Variável contínua:
ƒ No caso de termos os dados agrupados
em uma distribuição de frequências na
forma de variável contínua, os cálculos
serão bastante parecidos.
ƒ A diferença entre este caso e o anterior é
que, como agora, não temos todos os
valores relacionados, mas classes de
valores, utiliza-se o ponto médio de cada
classe para efetuar os cálculos.
Interatividade
A variância da série X: 1; 2; 3 é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Probabilidades
Noções gerais de probabilidade:
ƒ Utilizamos o conceito intuitivo de 
probabilidade em diversas situações de 
nossas vidas, diariamente. 
ƒ Antes de sair de casa, analisamos, porAntes de sair de casa, analisamos, por 
exemplo, a probabilidade de chover para 
decidir se levamos ou não o guarda-
chuva.
ƒ Utilizamos neste exemplo o conceito 
intuitivo de probabilidade para tomar p p
nossa decisão.
Probabilidades
ƒ As probabilidades dizem respeito a 
situações em que existe aleatoriedade. 
Ou seja, em que o resultado a ser obtido 
depende de fatores imponderáveis do 
acaso.
ƒ Em estatística, quando falamos em um 
resultado, ele se expressa no valor de 
uma variável. Se o valor depende do 
acaso, a variável que expressa esse valor 
é chamada de variável aleatória.
Probabilidades
ƒ Podemos chamar de variável aleatória, 
por exemplo, o resultado de um jogo de 
par ou ímpar, sendo que a variável 
“resultado” poderia assumir os valores 
“par”ou “ímpar”.
ƒ Cada resultado de uma variável aleatória 
terá uma chance, maior ou menor, de ser 
observado.
ƒ Estabelecer a magnitude dessas chances 
é o que se busca no cálculo de 
probabilidades.
Probabilidades
ƒ Para determinar a probabilidade de que 
ocorra um determinado evento E como 
resultado de uma variável aleatória, 
precisamos analisar quantos são os 
resultados possíveis em geral e quantos 
ã l f á i t Esão aqueles favoráveis ao evento E.
ƒ A probabilidade de o evento E ocorrer, 
que será denotada por P(E), será a razão 
entre o número específico de eventos que 
são favoráveis a E, ao qual chamaremos 
l ú t t l d tnE, pelo número total de eventos 
possíveis, ao qual chamaremos ntot. 
Probabilidades
ƒ O conjunto de todos os eventos 
possíveis também é chamado de “espaço 
amostral”.
A fórmula para este cálculo será, então:
ƒ O valor da probabilidade P será sempre 
um número entre 0 e 1.
Vejamos porque:
Probabilidades
ƒ A maior probabilidade possível está 
relacionada ao maior número possível de 
eventos favoráveis a E. 
ƒ O número de eventos favoráveis a E será, 
no máximo, igual ao número total de 
eventos possíveis. 
ƒ Dessa forma, nE será igual a ntot e a 
divisão de um pelo outro será igual a 1.
Probabilidades
ƒ A menor probabilidade possível está 
relacionada ao menor número possível 
de eventos favoráveis a E. 
ƒ O número de eventos favoráveis a E será, 
no mínimo, zero, visto que uma contagem 
de eventos não pode ser negativa. 
ƒ Assim sendo, a menor probabilidade 
possível é zero.
Probabilidades
Ƀ É bastante comum falar de porcentagens 
utilizando a notação percentual. 
ƒ Por exemplo, uma probabilidade 0,6 seria 
descrita como uma probabilidade de 60%. 
ƒ Para chegarmos a este número,Para chegarmos a este número, 
simplesmente multiplicamos o valor 
encontrado no cálculo da probabilidade 
por 100. 
ƒ Trata-se simplesmente de duas maneiras 
de escrever o mesmo valor. 
Probabilidades
Vejamos então como se calcula a 
probabilidade de ocorrência de um 
determinado evento:
Exemplo:
Numa festa de escola são realizados algunsNuma festa de escola são realizados alguns 
sorteios de brindes entre os alunos, cujas 
idades estão apresentadas na tabela abaixo:
Probabilidades
ƒ Um aluno será sorteado para ganhar o 
primeiro brinde. Qual é a probabilidade de 
ser um aluno de 8 anos?
Resolução:
ƒ N 85ƒ Ntot= 85
ƒ Número de eventos favoráveis: n8 = 17
Teremos, então:
Probabilidades
Efetuando-se esta divisão, chegamos ao 
resultado de 0,2 ou seja:
ƒ P(8) = 0,2 ou 20%
ƒ A probabilidade de o sorteado ser um 
aluno de 8 anos neste exemplo é dealuno de 8 anos, neste exemplo, é de 
20%.
Interatividade
No lançamento de um dado, qual é a 
probabilidade de ser sorteada uma face de 
número par?
a) 10%
b) 20%b) 20%
c) 40%
d) 50%
e) 70%
Probabilidades
ƒ Alguns cuidados na interpretação de uma 
probabilidade.
ƒ O estudo das probabilidades é uma 
importante ferramenta matemática para 
tomarmos decisões em relação a eventos ç
futuros, tomando por base o 
conhecimento adquirido em experiências 
passadas. 
ƒ Existem, entretanto, alguns cuidados que 
precisam ser tomados na interpretação p p ç
de resultados de probabilidade para não 
se chegar a conclusões equivocadas.
Probabilidades
ƒ Lembrar que a portabilidade dos 
resultados para as probabilidades 
calculadas a partir de certo conjunto de 
dados só vale se a situação descrita for 
similar àquela em questão.
ƒ É comum que se utilizem estudos 
gerados em um país para analisar a 
economia de outro, ou produtos com 
diferentes especificações etc. 
ƒ Há vezes em que a utilização é válida, q ç
mas em outras não. Assim, busque ter 
um olhar crítico.
Probabilidades
ƒ Quando a probabilidade de um evento é 
zero, isso não quer dizer 
obrigatoriamente que ele não ocorrerá. 
Quer dizer somente que entre os dados 
disponíveis não havia nenhum que 
d t tãcorrespondesse ao evento em questão.
ƒ Temos, como exemplos de casos assim, 
todos os eventos historicamente novos 
ou aqueles que são extremamente raros.
ƒ No entanto, tudo aquilo que é impossível q q p
terá, necessariamente, probabilidade 
nula.
Probabilidades
ƒ Do mesmo modo que a probabilidade 
nula (zero) não quer dizer que algo seja 
totalmente impossível, também a 
probabilidade de valor 1 (ou 100%) não 
significa certeza absoluta de que algo 
t áacontecerá.
ƒ Entram nessa categoria os eventos cuja 
não ocorrência é extremamente rara ou 
são aqueles que acabam não ocorrendo 
por causa de um evento imponderável e 
i i í limprevisível.
ƒ Do mesmo modo, algo que seja certeza 
terá probabilidade igual a um.
Probabilidades
Origem dos dados:
ƒ Quando estudamos probabilidades, 
podemos analisar situações em que os 
valores conhecidos das variáveis são 
empíricos ou analíticos. Na sequência p q
definiremos cada um deles.
ƒ Os dados analíticos e os empíricos são 
tratados de maneira diferente. 
ƒ Vamos verificar essa distinção, 
mostrando como utilizar os dados demostrando como utilizar os dados de 
ambos os tipos.
Probabilidades
Dados empíricos:
ƒ São aqueles cujos valores são 
observados na prática. 
ƒ Fazem parte dessa classificação todos os 
dados oriundos de pesquisas de campodados oriundos de pesquisas de campo, 
como a idade das pessoas de certo 
grupo, os valores de preços de mercado 
etc.
ƒ Para efeitos didáticos, os dados do tipo 
empírico utilizados não foram retiradosempírico utilizados não foram retirados 
da realidade, mas simulam valores que 
poderiam ter sido encontrados dessa 
maneira.
Probabilidades
Dados analíticos:
ƒ Os dados analíticos têm um caráter 
diferente, eles não precisam ser medidos 
diretamente, visto que a análise das 
características do sistema estudado já j
nos dá os valores possíveis da variável 
aleatória, bem como a proporção em que 
eles se encontram.
ƒ Como exemplo dessa classe de dados 
temos os jogos de azar, como o jogo de j g j g
uma moeda, o jogo de dados ou o sorteio 
de cartas, por exemplo.
Probabilidades
Dados analíticos:
ƒ Por exemplo, quando jogamos uma 
moeda, sabemos que haverá somente 
dois resultados possíveis: face cara ou 
face coroa. 
ƒ Em princípio, podemos assumir que a 
moeda é equilibrada e que a ocorrência 
de uma ou outra face dependerá somente 
do acaso e com igual proporção.
Probabilidades
Dados analíticos:
Assim, a própria análise do lançamento de 
uma moeda já nos dá a informação 
necessária para calcularmos as 
probabilidades de ocorrência de um evento p
relacionado:
ƒ P (cara) = 1/2 = 0,5 = 50%
ƒ P (coroa) =1/2 = 0,5 = 50%
Interatividade
No lançamento simultâneo de 2 moedas, 
qual é a probabilidade de obtermos 2 caras?
a) 1/4
b) 2/4
) 3/4c) 3/4
d) 4/4
e) 0
ATÉ A PRÓXIMA!