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Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Apresentação UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis AGeometria Descritiva, desenvolvida no século XVIII pelomatemático francêsGaspardMonge, é a ferramenta básica para o domínio do espaço tridimensional. Todo oDesenhoTécnico, no que se inclui o Desenho Arquitetônico, o Desenho Mecânico,o Desenho Industrial e o Desenho Topográfico, como exemplos, têm como base os conceitos da geometria descritiva. Todo processo de representação de uma edificação busca, nas projeções mongeanas, sua base conceitual. Se o arquiteto, no exercício de sua profissão, que tem como uma de suasmais importantes atribuições, a de criar espaços, semodomínio das três dimensões, isto se torna extremamente difícil. Mesmo que hoje, com os recursos da informática, através de diversos softwares, existam mais facilidades para o processo representação gráfica, os profissionais das áreas de arquitetura, engenharia ematemática não podemprescindir do conhecimento e perfeito domínio do espaço tridimensional, o que, semos conceitos daGeometriaDescritiva, se torna superficial e insuficiente. Esta versão de Notas de Aula de Geometria Descritiva, constitui parte do material desenvolvido em 1985 pelos professores Antonio Augusto Bitencourt de Oliveira, Geraldo Browne Ribeiro Filho, Luiz Fernando Reis, Rogério Fuscaldi Lélis, do antigo Setor de Arquitetura e Urbanismo e Virgílio da Silva Andrade, do Setor de Estruturas do Departamento de Engenharia Civil. Foi atualizada e modificada pelo professor Luiz FernandoReis. Espera-se que, comestematerial, os acadêmicos das áreas acima citadas, tenhamoseu aprendizado facilitado. Viçosa, MG, março de 2007 Luiz Fernando Reis Emmanoel de Moraes Barreto Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Bibliografia UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 1. CHAHLY, A. T. Descriptive geometry. Moscow: Higher School Publishing House, 1968. 2. FILHO, Oscar Guimarães. Geometria descritiva III: caderno de serviço. Juiz de Fora: UFJF/ICE, 1983. 3. GOLUBOV, Jayme Kerbel. Estudos de geometria descritiva. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1976. 4. GRANT, Hiram E. Geometría descriptiva pratica. Madrid: del Castillo, 1969. 5. HERRERO, Miguel Bermejo. Geometría descriptive aplicada. Sevilla, Universidad de Sevilla e Urmo Ediciones, 1978. 6. PINHEIRO, Virgílio Athayde. Noções de geometria descritiva, v I. Rio de janeiro: Ao Livro Técnico, 1978. 7. REIS, Luiz Fernando. Geometria descritiva. Governador Valadares: Universidade Santos Dumont, 1980. 8. RODRIGUES, Álvaro J. Geometria descritiva. Rio de Janeiro: Imprensa Nacional, 1941. 088 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Sumário UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis Capítulo 1 - Projeções Capítulo 2 - Estudo doPonto Capítulo 3 - Estudo daReta Capítulo 4 - Estudo doPlano Capítulo 5 - Estudo dosPoliedros Bibliografia UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia �� �’s ��’ ��’ ��� ��� (u) Capítulo 1 - Projeções 0013 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 Projetante (A) Ponto Objetivo Superfície de Projeção Projeção Capítulo 1 - Projeções A representa um Sistema de Projeções, onde: . (A) é o Ponto Objetivo em posição original no espaço; . a trajetória do ponto (A) até sua interseção com a Superfície de Projeção ( ) é denominada de projetante de (A); . a superfície de projeção ( ) é onde se determinam as projeções dos Pontos Objetivos . a interseção da Projetante com a Superfície de Projeção é denominada de projeção de (A) A representa o Sistema de Projeção Reta-Plano, onde a Projetante é uma reta e Superfície de Projeção é um Plano. A apresenta o Sistema de Projeções Cônicas. Esta denominação se dá por estar o Centro de Projeções (também denominado de Pólo de Projeções), de onde se originam as projetantes, a uma distância finita do Plano de Projeções. figura 1 figura 2 figura 3 � � Reta Projetante Plano de Projeção Projeção Ponto Objetivo (A) (O) (A) (B) ( C ) Centro de Projeções Plano de Projeções Ponto Objetivo Projeção 002 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 (A) (B) ( C ) ( d ) (O) (O Centro de Projeções foi deslocado para o Infinito) Direção das Projetantes (A) (B) ( C ) Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 Capítulo 1 - Projeções A mostra o Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas, onde: . O Centro de Projeções está a uma distância infinita do Plano de Projeções. Isto faz com que as projetantes tenham uma única direção (d), a qual, neste caso específico, é oblíqua ao Plano ( ). O ângulo de incidência das projetantes, neste caso será qualquer um, diferente de 0 , 90 e 180 . A mostra o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais, onde: Assim como no caso anterior, o figura 1 figura 2 � o o o Centro de Projeções está a uma distância infinita do Plano de Projeções. Isto faz com que as projetantes tenham uma única direção (d), a qual, neste caso específico, é ortogonal ao Plano ( ). Dessa forma, o ângulo de incidência das projetantes será, neste caso de 90 . O Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais é mais comumente conhecido com Sistema de Projeções Ortogonais, ou simplesmente Projeções Ortogonais. Este Sistema será utilizado pela Geometria Descritiva, ou Sistema Mongeano de Projeções. Sua utilização também se faz presente no Desenho Técnico (Desenho Mecânico, Desenho Topográfico e Desenho Arquitetônico). � o 003 Anotações Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 1 - Projeções Exercícios I - Complete: 01. PontoObjetivo é:_________________________________________________________________________________________________________ 02. Projetante é: ____________________________________________________________________________________________________________ 03. Superfície deProjeção é: ___________________________________________________________________________________________________ 04. Projeção é: _____________________________________________________________________________________________________________ 05.No sistemadeprojeção reta-plano, a projetante é uma_______________ e a superfície de projeção é um___________________. 06.OSistemadeProjeções utilizado pelaGeometriaDescritiva é o __________________________________________________________________ 07.Centro deProjeções é: ______________________________________________________ 08.NaProjeçãoCônica, oCentro deProjeções está a umadistância __________________ do ______________________________ 09. Na Projeção Cilíndrica, o Centro de Projeções está a uma distância ________________ do ______________________________. Portanto, todas as _________________________são paralelas. 10. Existe um tipo de Projeção Cilíndrica em que não é necessário indicar a direção das projetantes, posto que todas elas são perpendiculares ao Plano de Projeções. Este tipo é denominado de _______________________________________________________________. 004 Anotações Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 1 - Projeções Exercícios II - Responda 01. Utilizando-se o Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas, pode-se afirmar que a projeção de um segmento possa vir a ter maior comprimento que o segmento objetivo? Explique. 02. Mesma pergunta, para o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais. 03. Quando a projeção cilíndrica ortogonal de uma reta é um ponto? 04. Mesma pergunda para o Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas. 05. Qual é o resultado da projeção cilíndrico ortogonal de um segmento de reta paralelo ao plano de projeção? 005 Anotações Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia �� �’s ��’ ��’ ��� ��� (u) Capítulo 2 - Estudo do Ponto 0063 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 Plano Vertical de Projeções Plano Horizontal de Projeções Linha de Terra 2 Diedroo 1 Diedroo 3 Diedroo 4 Diedroo Afastamento Cota Abscissa Capítulo 2 - Estudo do Ponto Generalidades Figura 1 Figura 3 Abscissa - O Sistema Mongeano de Projeções é composto por dois planos ortogonais entre sí. Estes planos são denominados de Plano Horizontal de Projeções e Plano Vertical de Projeções. Estes dois planos dividem o espaço em quartro regiões denominadas diedros. Cada diedro é delimitado por um par de semi-planos, conforme mostra o quadro a seguir: - Por tratar-se de um sistema tridimensional, serão necessárias três coordenadas para que um ponto seja individualizado. Desta maneira,a distância do ponto objetivo a um plano lateral de projeções, ortogonal aos dois planos de projeções, definirá a terceira coordenada descritiva, denominada de . 1 Diedroo 2o Diedro 3 Diedroo 4 Diedroo HA HP HP HA VS VS VI VI Figura 2 - A colocação de um ponto no Sistema Mongeano fará com que este se refira aos dois planos de projeções. Estas referências serão as distâncias deste ponto ao Plano Vertical, denominada de e ao Plano Horizontal, denominada de , as quais constituem-se em coordenadas de um ponto. Afastamento Cota Conforme o ponto objetivo esteja à frente ou atrás do Plano Vertical (PV) ou ( ’), ele terá afastamento positivo ou negativo, respectivamente. Da mesma forma, conforme o ponto esteja acima ou abaixo do Plano Horizontal (PH) ou ( ), o ponto terá cota positiva ou negativa, respectivamente. Estando sobre o Plano Vertical, ou sobre o Plano Horizontal, o Ponto terá, respectivamente, afastamento ou cota nulos. O quadro a seguir resumirá o sinal das coordenadas descritivas do ponto segundo a sua localização. Por convenção: . a designação de um se faz por letra latina, maiúscula, entre parênteses; . A designação da de um ponto se faz por letra latina, maiúscula, sem parênteses. � � Observação: Ponto Objetivo Projeção Posição do Ponto Cota Afastamento 4o3o2o1o VIVSHPHA LT 007 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 A’ A O x y z Capítulo 2 - Estudo do Ponto Determinação da Épura e o Alfabeto do Ponto Figura 1 Figura 2 Épura A’ A Linha de Chamada A’ A - Ponto (A), colocado no 1 Diedro. Observe-se que a projeção vertical localiza-se sobre o ( ’s) e a projeção horizontal sobre o ( a), já que o ponto possui, respectivamente afastamento e cota positivos. - A transposição do sistema tridimensional para um sistema bidimensional, é denominada . Trata-se do rebatimento do plano horizontal ( ), sobre o plano vertical ( ’), através de um giro de 90 , em torno da Linha de Terra , de forma que sejam fechados os segundo e quarto diedros. Após este rebatimento, o semi-plano horizontal posterior ( p) coincidirá com o semi-plano vertical superior ( ’s), acima da linha de terra, assim como o semi-plano horizontal anterior ( a), coincidirá com o semi-plano vertical inferior ( ’i), abaixo da linha de terra. Considerando-se que, por estar localizado no 1 diedro, o ponto tem projeção vertical sobre ( ’s) e horizontal sobre ( a) e, considerando, como já citado acima, a localização de cada um destes semi-planos após o rebatimento, a épura do ponto (A) terá seu aspecto definitivo conforme mostrado ao lado da perspectiva da figura 2. Os segmentos de retas que unem as projeções vertical e horizontal à linha de terra, recebem o nome de . Considerando-se que, na Geometria Descritiva utiliza-se o Sistema de Projeções Ortogonais, as linhas de chamada serão sempre perpendiculares à linha de terra. A distância da projeção vertical , até a linha de terra representa a cota do ponto (A), assim como a distância da projeção horizontal até a linha de terra representa o afastamento deste ponto. A abscissa do ponto (A), que corresponde no espaço, à distância do ponto objetivo até o plano lateral de projeções, será, em épura, rerpesentada pela distância dos pés das linhas de chamada das projeções do ponto, até a interseção do plano lateral com a linha de terra, ponto marcado arbitrariamente sobre a linha de terra. o o o � � � � � � � � � � � � (interseção de ( ) com ( ’)) As coordenadas descritivas de um ponto objetivo serão sempre apresentadas conforme a ordem abaixo Abscissa = x; Afastamento = y; Cota. = z. Assim, para o ponto (A) do exemplo ao lado, ter-se-á a seguinte notação: (A) (x; y; z) 0083 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 A’ A O x y z A’ A O x y z Capítulo 2 - Estudo do Ponto Alfabeto do Ponto Figura 1 2 diedro Figura 2 3 diedro Figura 3 4 diedro - Ponto localizado no , ou seja, atrás do plano vertical e acima do plano horizontal. Portanto, o ponto (A) possui afastamento negativo e cota positiva. A considerar-se a posição dos semi-planos após o rebatimento dos mesmos para a obtenção da épura, as projeções de (A) apresentam-se como nesta figura, ou seja, ambas acima da linha de terra. - Ponto localizado no , ou seja atrás do plano vertical e abaixo do plano horizontal. Neste caso (A) possui cota e afastamento negativos. Em épura, a projeção vertical ficará abaixo da linha de terra e a horizontal acima. - Ponto localizado no , ou seja, abaixo do plano horizontal a à frente do plano vertical. Aqui, (A) possui cota negativa e afastamento positivo. Em épura, ambas as projeções estarão localizadas abaixo da linha de terra. o o o 0093 4 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 A’ A O x y A’ A O x y A’ A O x Z A’ A O x Z Capítulo 2 - Estudo do Ponto Alfabeto do Ponto Figura 1 Figura 2 Além das localizações apresentadas nas figuras anteriores, o ponto pode , também, em cada um dos semi-planos de projeção. Neste caso, ou o afastamento ou a cotaserão nulos. - Ponto localizado no semi-plano horizontal anterior. A cota é nula. O afastamento é positivo. Em épura, a projeção vertical apresenta-se sobre a linha de terra e a horizontal abaixo desta linha. - Ponto localizado no estar localizado semi-plano horizontal posterior. Aqui também a cota é nula. O afastamento é negativo. Em épura, a projeção vertical apresenta-se sobre a linha de terra e a horizontal acima desta linha. - Ponto localizado no semi-plano vertical superior. Aqui o afastamento é nulo. A cota é positiva. Em épura, a projeção horizontal apresenta-se sobre a linha de terra e a vertical acima desta linha. Ponto localizado no semi-plano vertical inferior. Aqui também afastamento é nulo. A cota é negativa. Em épura, a projeção horizontal apresenta-se sobre a linha de terra e a vertical abaixo desta linha. Para um ponto localizado na linha de terra, ambos, afastamento e cota, serão nulos. Dessa maneira, em épura, projeções vertical e horizontal localizar-seão sobre a linha de terra. Figura 3 Figura 3 - 0103 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 Plano Bissetor Ímpar Plano Bissetor Par Bissetor Ímpar ( i)� I’ I O x Z Y P’ P O x = Y = z Bissetor Par ( p)� Capítulo 2 - Estudo do Ponto Planos Bissetores - Planos Bissetores são planos que contêm a linha de terra e dividem os diedros em partes iguais. Estes planos formam ângulos de 45 com cada um dos planos de projeção. Os planos bissetores são em número de dois. Um atravessa o 1 e o 3 diedros e é denominado de Bissetor Ímpar, ou ( i); o outro atravessa o 2 e o 4 diedros e é denominado de Bissetor Par, ou ( p). - Todo ponto pertencente ao bissetor ímpar tem cota e afastamento iguais, em módulo e sinal. Em épura, suas projeções são simétricas em relação à linha de terra. - Todo ponto pertencente ao bissetor par tem cota e afastamento iguais em módulo, porém os sinais são opostos. Em épura, suas projeções são coincidentes. Figura 1 Figura 2 Figura 3 o o o o � � o 0113 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 (A) (B) ( C ) (A) (B) (r) A’ A=B O B’ A A’=B’ O B Capítulo 2 - Estudo do Ponto Simetria Figura 1 Tipos de Simetria Casos de Simetria Figura 2 - Simetria em relação ao Plano Horizontal de Projeções coincidentes simétricas Figura 3 - Simetria em relação ao Plano Vertical de Projeções coincidentes simétricas - . Se dois pontos ( simétricos em relação a um terceiro ponto (B), este ponto é equidistante de (A) e de ( C); . Se dois pontos simétricos em relação a uma reta (r), então a reta é a mediatriz do segmento formado pelos dois pontos; . Se dois pontos simétricos em relação a um plano ( ), o plano alfa é o mediador do segmento formado pelos dois pontos. Se dois pontos são simétricos em relação ao plano horizontal de projeções, em épura as suas projeções horizontais são e as projeções verticais são em relação à linha de terra. Se dois pontos são simétricos em relação ao plano vertical de projeções, em épura as suas projeções verticais são e as projeções horizontais são em relação à linha de terra. A) e (C), são (A) e (B), são (A) e (B), são � 0123 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 O A=B’ B=A’ �� �P (A) A’ (B) A B’ B ( ’s)� ( p)� O A B B’ A’ O A B B’ A’ �� �i (A)A’ (B) A B’ B �� �i (A)A’ (B) A B’ B ( ’s)� ( a)� O A B B’ A’ Capítulo 2 - Estudo do Ponto Simetria Figura 1 - Simetria em relação ao Bissetor Ímpar Figura 2 - Simetria em relação ao Bissetor Par Figura 3 - Simetria em relação à Linha de Terra Se dois pontos são simétricos em relação ao bissetor ímpar, em épura as suas projeções de nomes contrários são simétricas em relação à linha de terra. Se dois pontos são simétricos em relação ao bissetor par, em épura as suas projeções de nomes contrários são coincidentes. Se dois pontos são simétricos em relação à linha de terra, em épura as suas projeções de mesmo nome são simétricas em relação à linha de terra. 013 Anotações Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 2 - Exercícios I - Complete 1.Todo ponto situado acimadoplano horizontal de projeções, temcota __________ e os situados abaixo do referido plano, temcota ______. 2.Todo ponto situado à frente do plano vertical, temafastamento __________ e os situados atrás do referido plano, temafastamento ___________. 3.Baseado nas respostas anteriores, pode-se afirmar que todo ponto que esteja localizado em: a) 1 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-); b) 2 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-); c) 3 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-); d) 4 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-). 4. Desenhar a épura dos pontos abaixo, dados por suas coordenadas: (A) (0;0;0) (B) (2;1;3) ( C) (3;2;-2) (D) (4;-3;-1) (E) (5;-1;2) o o o o 0 == D’D 014 Anotações Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia K K’ L’ L M M’ == N’N ==O’O A A’ B’ B E’ E J’ J F’ F G G’ C’ C T’ T S S’Q’ Q Capítulo 2 - Exercícios II - Dadas as épuras dos pontos ao lado, dê a localizaçãodecadaumdeles: (A): ___________________ (B): ___________________ (C): ___________________ (D): ___________________ (E): ___________________ (F): ___________________ (G): ___________________ (J): ___________________ (K): ___________________ (L): ___________________ (M): ___________________ (N): ___________________ (O): ___________________ (P): ___________________ (Q): ___________________ (R): ___________________ (S): ___________________ (T): ___________________ 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 2 - Exercícios III - Dar as coordenadas dos simétricos dospontos abaixo em relaçãoa: IIIa - Desenhar a épura de cada um dos pontos e de seus simétricos no espaço ao lado. Observação: (A) (0;0;0), simétrico de (F), em relação a ( ’); (B) (2;1;3), simétrico de (G), em relação a ( ); (C ) (3;2;-2), simétrico de (J), em relação ao ( i); (D) (4;-3;-1), simétrico de (K), em relaçao ao ( p); (E) (5;-1;2), simétrico de (L), em relação à Linha deTerra. Utilizar uma única linha de terra. � � � � Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia �� �’s ��’ ��’ ��� ��� (u) Capítulo 2 - Estudo da Reta 0163 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 21 4 B’ B A’ A r’ r B’ B A’ A r’ r B’ A’ A=B=r r’ Capítulo 3 - Estudo da Reta Definição de Reta Figura 1 (r) (A) (B) r r’ Figura 2 - Reta Vertical - Descritivamente, uma reta fica bem definida quandosão conhecidas as suas projeções vertical e horizontal. Neste caso específico, a reta , definida pelos pontos e , fica determinada por suas projeções e , definidas pelas projeções e . As retas são classificadas segundo a sua posição em relação aos planos de projeções, que lhe conferem características e propriedades específicas. É a reta perpendicular ao plano horizontal de projeções e paralela ao plano vertical de projeções. Em épura: . abscissas e afastamentos constantes; . cotas variáveis; . sua projeção vertical é perpendicular à linha de terra; . projeção horizontal é um ponto; . projeção vertical em verdadeira grandeza; AB A’B’ Classificação das retas Figura 3 - Reta Frontal Observações: É a reta paralela ao plano vertical de projeções e oblíqua ao plano horizontal de projeções. Em épura: . afastamento constante; . abscissa e cotas variáveis; . projeção horizontal paralela à linha de terra; . projeção vertical oblíqua à linha de terra; . projeção vertical em verdadeira grandeza; . ângulo que a projeção vertical faz com a linha de terra, apresenta a verdadeira grandeza do ângulo que a reta faz com o plano horizontal de projeções. a) . Uma reta é definida como o deslocamento contínuo de um ponto, numa única direção. b) . Uma reta é determinada por dois pontos distintos, ou por um ponto e uma direção conhecida. c) . Descritivamente uma será denominada por uma letra latina, minúscula, entre parênteses e suas projeções por letras latinas, minúsculas, sem perênteses. Reta Objetiva Anotações 0173 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 B’ B A’ A r’ r B A r B’A’ r’ B A’=B=r’ r A Capítulo 3 - Estudo da Reta Classificação Figura 1 - Reta Fronto-Horizontal Figura 2 - Reta Horizontal É a reta paralela aos planos horizontal e vertical de projeções. Em épura: . cotas e afastamentos constantes; . abscissas variáveis; . projeções vertical e horizontal paralelas à linha de terra; . projeções vertical e horizontal em verdadeira grandeza. É a reta paralela ao plano horizontal de projeções e oblíqua ao plano vertical de projeções. Em épura: . cotas constantes; . abscissas e afastamentos variáveis; . projeção vertical paralela à linha de terra; . projeção horizontal oblíqua à linha de terra; . projeção horizontal em verdadeira grandeza; . ângulo que a projeção horizontal faz com a linha de terra, apresenta a verdadeira grandeza do ângulo que a reta objetiva faz com o plano vertical de projeções. Figura 3 - Reta de Topo É a reta perpendicular ao plano vertical de projeções e paralela ao plano horizontal de projeções. Em épura: . abscissas e cotas constantes; . afastamentos variáveis; . projeção horizontal perpendicular à linha de terra; . projeção vertical é um ponto; . projeção horizontal em verdadeira grandeza. 018 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 A’ B r A B’ r’ B’ B A’ A r’ r Capítulo 3 - Estudo da Reta Figura 1 - Reta de Perfil Figura 2 - Reta Qualquer É a reta oblíqua aos planos de projeções e ortogonal à linha de terra. Em épura: . abscissa constantes; . afastamentos e cotas variáveis; . projeções horizontal e vertical perpendiculares à linha de terra. É a reta oblíqua aos dois planos de projeções. Em épura: . abscissas, afastamentos e cotas variáveis; . projeções horizontal e vertical oblíquas à linha de terra. 019 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações I V’ I’ H’ V H P’ (V) (H) P Capítulo 3 - Estudo da Reta Figura 1 - Pertinência entre Ponto e Reta exceto para a reta de perfil Figura 2 - Os traços notáveis de uma reta Traço horizontal (H) Traço vertical (V) Traço com o Bissetor Ímpar (I) Traço com o Bissetor Par (P) Um ponto pertence a uma reta quando a projeção horizontal do ponto pertence à projeção horizontal da reta e a projeção vertical do ponto pertence à projeção vertical da reta, , reciprocamente, se as projeções de um ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, o ponto pertence à reta. Uma reta pode possuir até quatro traços, considerando-se os dois planos de projeções e os dois planos bissetores. - é a interseção da reta com o plano horizontal de projeções, portanto, um ponto comum à reta e ao plano horizontal de projeções, ou seja, um ponto da reta com cota nula. - é a interseção da reta com o plano vertical de projeções, portanto, um ponto comum à reta e ao plano vertical de projeções, ou seja,um ponto da reta com afastamento nulo. - é a interseção da reta com o plano bissetor ímpar, portanto, um ponto comum à reta e a este plano, ou seja, um ponto da reta com projeções simétricas em relação à linha de terra. - é a interseção da reta com o plano bissetor par, portanto, um ponto comum à reta e a este plano, ou seja, um ponto da reta com projeções coincidentes. B’ B A’ A r’ r 1 2 Bissetor Ímpar ( i)� 0203 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações Capítulo 3 - Estudo da reta Reta de Perfil Figura 1 Figura 2 A posição que a reta de perfil ocupa, em relação aos planos de projeções, confere-lhe características especiais. Por esse motivo, nem sempre verifica- se a recíproca da relação de pertinência entre um ponto e uma reta, ou seja, “ ”, o que leva à conclusão de que a simples verificação da épura de uma reta de perfil e de um ponto cujas projeções estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, não é suficiente para afirmar-se que este ponto pertença à referida reta. Para solucionar este problema, utiliza-se a terceira projeção da reta de perfil, ou projeção lateral, onde torna-se possível esta verificação, bem como a determinação da verdadeira grandeza da reta e dos ângulos que esta faz com os planos de projeções. - Aqui é mostrada uma reta de perfil, definida pelos pontos (A) e (B) e um ponto (C), que não lhe pertence. Observa-se que, em épura, as projeções do ponto (C), estão sobre as projeções de mesmo nome da reta de perfil, ainda que não exista pertinência entre aqueles dois elementos. - A terceira projeção da reta, ou projeção lateral é obtida através da passagem de um plano lateral de projeções, ortogonal aos dois planos de projeção (também conhecido com plano de perfil), de forma que este contenha a reta de perfil. se as projeções de um ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, então o ponto pertence à reta A’ A B B’ C’ C 21 A’ A B B’ A’’ B’’ A’ A’’ C’ C’’ C Este plano, denominado de ( ’’), sofrerá um giro de 90 , no sentido anti-horário, em torno de sua interseção com o plano vertical de projeções, até que estes dois planos se sobreponham. Após este giro, tem-se, então a terceira projeção da reta. Assim, observa-se que o ponto (C), ainda que tenha as suas projeções sobre as projeções de mesmo nome da reta, não lhe pertence, já que a sua terceira projeção não está sobre a terceira projeção da referida reta. A relação de pertinência para um ponto e uma reta de perfil pode ser definida da seguinte forma: “ - Nesta figura são mostradas as operações descritas na figura anterior, agora em épura. A determinação da terceira projeção se faz através do giro de 90º da projeção horizontal de cada ponto,em torno do pé da linha de chamada destes pontos, no sentido anti-horário. A partir dali, traça-se uma perpendicular, buscando-se interceptar a paralela à linha de terra que será traçada a partir da projeção vertical deste ponto. A interseção destas duas perpendiculares determinará a terceira projeção do referido ponto. : A terceira projeção de um ponto será sempre denominada por letra latina, maiúscula, acompanhada do índice � o se um ponto pertence a uma reta de perfil, a terceira projeção do ponto pertence à terceira projeção da reta de perfil e reciprocamente.” Figura 3 Observação “. 0213 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 A’ A A’’ A’ A A’’ A’ A A’’ Capítulo 3 - Estudo da Reta As f , mostram pontos nos 2 , 3 e 4 diedros, além das projeções laterais de cada um deles. Se a épura for dividida como que em quadrantes, tomando-se como elementos divisores a linha de chamada e a interseção do plano ( ’) com o plano vertical, as projeções laterais de pontos, após a sua determinação, teriam a sua localização, a partir do diedro de origem, como no esquema abaixo: iguras 1, 2 e 3 o o o �’ 1 diedro o 2 diedro o 4 diedro o 3 diedro o � �’’ ’ 0221 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 A’ A B B’ A’’ B’’ (V) H’’ V’ (H) H H’ V V’’ Capítulo 3 - Estudo da Reta Figuras 1 e 2 Traços Notáveis da Reta de Perfil Traços Horizontal e Vertical V’’. V’ V’’, V V H H’ V H Figura 2 Os traços da reta de perfil serão obtidos a partir da 3 projeção da reta. A interseção da 3 projeção da reta com a interseção ’’ define a 3 projeção do traço vertical, A projeção vertical , estará coincidente com enquanto que a projeção horizontal estará sobre a linha de terra, já que como todo traço vertical, a cota de ( ) é nula. A interseção da 3 projeção com a linha de terra, determina a 3 projeção do traço horizontal ( ), já que a cota deste traço é nula. Desta forma, a projeção vertical , concidirá com a projeção horizontal , na linha de terra, enquanto que a projeção horizontal , será determinada através do alçamento feito a partir da sua 3 projeção, com um giro de 90 , no sentido horário, conforme é mostrado na . a a a a a a � �’, o 023 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 Bissetor Ímpar ( i)� V’ V’’ H’ V A’ A’’ B’ H B A P’ P P’’ I’ I’’ I �i �p B’’ H’’ Capítulo 3 - Estudo da Reta Figura 1 Traços Notáveis da Reta de Perfil Traços com os Bissetores Traço com o Bissetor Ímpar I I’’ Traço com o Bissetor Par P P’’ Os traços da reta de perfil com os planos bissetores, à exemplo dos traços horizontal e vertical, são obtidos a partir da 3 projeção da reta. Neste caso, a interseção da 3 projeção da reta com a 3 projeção da interseção ( ’’ i) (plano lateral/bissetor ímpar), determinará a 3 projeção de ( ), .As projeções horizontal e vertical, simétricas em relação à linha de terra, serão determinadas através do alçamento das mesmas. À exemplo do caso anterior, a interseção da 3 projeção da reta com a 3 projeção da interseção ( ’’ p) plano lateral/bissetor par), determinará a 3 projeção de ( ), . As projeções horizontal e vertical, coincidentes, serão determinadas através do alçamento das mesmas. a a a a a a � � � � � a 0243 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 A’ A B B’ O’ O r r’ A’ A r’ r s’ s r’ r s’ s A’ A r’ r s’ s Capítulo 3 - Estudo da Reta Posição Relativa entre Retas Retas Concorrentes Figura 1 r s r’ s’ r s Figura 2 Figura 3 Figura 4 Duas retas são concorrentes quando possuem um ponto em comum. A mostra o caso de concorrência entre duas retas. Descritivamente, se duas retas ( ) e ( ) são concorrentes, em épura as projeções de mesmo nome e ; e , são concorrentes. A mostra um caso de concorrência em que as duas retas pertencem a um plano ortogonal a um dos planos de projeções. Neste caso, como o plano que as contêm é ortogonal ao plano horizontal, em épura as projeções horizontais das duas retas são coincidentes. As verticais são concorrentes. A presença de uma reta de perfil e outra que não o seja, conforme mostra a , obriga à verificação se o ponto de concurso é, de fato, um ponto comum às duas retas. Aplica-se, então, a relação de pertinência para a reta de perfil e para a outra reta. Para o caso de duas retas de perfil, a concorrência somente existirá se as duas retas tiverem a mesma abscissa. Ainda assim é necessário verificcar se as projeções laterais das duas retas são concorrentes, já que para duas retas de perfil com a mesma abscissa, poderá haver paralelismo entre as mesmas. A mostra dois casos onde não se verifica a concorrência entre as duas retas. Para estas duas épuras, aplica-se o caso de reversibilidade entre as retas. A’ A r’ r s’ s 4 0253 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 r’ s s’ r r’ r s’ s Capítulo 3 - Estudo da Reta Posição Relativa entre Retas Retas Paralelas Figura 1 Figuras 2 e 3 Duas retas paralelas, em geral têm as projeções de mesmo nome paralelas entre sí. A mostra duas retas paralelas, conforme descrita na definição acima. Se as duas retas paralelas pertencem a um plano ortogonal a um dos planos de projeções, uma das projeções do par de retas retas será coincidente. Conforme é mostrado nas , o plano que contem as paralelas (r) e (s) é ortogonal ao plano horizontal de projeções. Assim, em épura as projeções horizontais serão coincidentes, enquanto que as verticais apresentar-se-ão paralelas. 026 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia r r’ r r’ r r’ r r’ r r’ r r’ r r’ r r’ r r’ r r’ r r’ r r’ Capítulo 3 - EstudodaReta Exercícios I - Dadas as retas por suas épuras, classifica-las, segundo a sua posição em relaçãoaosplanosdeprojeções 01 - ____________________________ 02 - ____________________________ 03 - ____________________________ 04 - ____________________________ 05 - ____________________________ 06 - ____________________________ 07 - ____________________________ 08 - ____________________________ 09 - ____________________________ 10 - ____________________________ 11 - ____________________________ 12 - ____________________________ 9 10 5 6 7 8 4 321 11 12 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 027 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 3 - EstudodaReta Exercícios I - Dadas as retas por suas épuras, classifica-las, segundo a sua posição em relaçãoaosplanosdeprojeções 13 - ____________________________ 14 - ____________________________ 15 - ____________________________ 16 - ____________________________ 17 - ____________________________ r 13 r r’ 14 r r’ 15 r r’16 r r’ 17 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis r’ 028 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 3 - Estudo da Reta Exercícios II - Complete: 1. De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são __________________________ as _______________________ sobre os ______________________________________. 2. A projeção de uma reta apresenta a verdadeira grandeza desta reta, quando tal reta for ____________ ao plano sobre o qual ela se projeta. 3. A Reta Horizontal é ________________ a ( ) e ___________________ a ( '). O ângulo que ela forma com ( '), apresenta a sua verdadeira grandeza no ângulo que a projeção __________________________ faz com a linha de terra. A Reta Horizontal possui _____________________ constante 4. A Reta Frontal é ________________ a ( ') e ______________ a ( ). A sua projeção _______________________apresenta a verdadeira grandeza da reta e o ângulo que a reta faz com o plano ( ) é representado pelo ângulo que a projeção ____________________ faz com a linha de Terra. A Reta Frontal possui ____________________ constante. 5. A Reta Fronto-Horizontal é ________________ a ( ) e ______________ a ( '). Possui ______________ e _______________ constantes. Em épura, sua projeção horizontal é _________________ à linha de terra, assim com a projeção vertical. 6. A Reta Vertical é ____________________ a ( ) e _________________ a ( '). Possui afastamento e abscissa _________________. Em épura sua projeção vertical é _________________________ à linha de terra e a sua projeção horizontal é um ___________________. 7. A Reta de Topo é ____________________ a ( ') e _________________ a ( ). Possui cota e abscissa _________________. Em épura sua projeção horizontal é _________________________ à linha de terra e a sua projeção vertical é um ___________________. 8. A Reta Qualquer é _______________________ a ( ) e ___________________ a ( '). Em épura suas projeções são _______________ em relação à linha de terra. � � � � � � � � � � � � � � 9. A reta de perfil é ________________________ a ( ), ______________________ a ') e ___________________ a ( ”). Por isso ela possui cota ________________, afastamento _______________________ a abscissa _______________________. Dessa forma, as projeções horizontal e vertical são __________________ à linha de terra). 10. Geralmente, para poder-se trabalhar com a reta de perfil é necessário recorrer-se à ________________ projeção, onde esta reta apresenta a sua ______________________. 11. Se um ponto pertence a uma reta de perfil, então a ______________________ do ponto, pertence à _______________________ da reta. 12. Os pontos em que uma reta atravessa os planos de projeção, ou os planos bissetores, são denominados de _______________________ da reta. 13. A cota do traço horizontal é igual ______________________. Por este motivo, a sua projeção vertical localiza-se na ____________________________. 14. O afastamento do traço vertical é ____________________. Por este motivo, a sua projeção horizontal localiza-se na ____________________________. � �� � Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 029 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 3 - Estudo da Reta Exercícios II - Complete: 15. O traço de uma reta no bissetor ímpar tem, em épura, projeções ____________________ em relação à linha de terra. 16. O traço de uma reta no bissetor par tem, em épura, projeções ____________________ em relação à linha de terra. 17. Toda a reta que pertence ao bissetor ímpar tem, em épura, projeções ________________ em relação à linha de terra, assim como, toda reta que pertence ao bissetor par tem, em épura, projeções _________________________. 18. Defina, com suas palavras as retas perpendiculares aos bissetores: Reta perpendicular ao bissetor ímpar _____________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________ Reta perpendicular ao bissetor par _____________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________ Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 030 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia III -Dadas as retas definidas por dois de seus pontos, desenhar a épura de cada uma delas. 1. (A) (2;3;5;) (B) (4;?;1) sendo (A)(B) frontal 2. ( C) (0;2;?) ( D) (3;4;3) sendo ( C)(D) horizontal 3. (E) (4;3;1;) (F) (8;?;?) sendo (E)(F) fronto-horizontal 4. (G) (4;4;4) (J) (?;1;?) Sendo (G)(J) de topo 5. (K) (3;1;4) (L) (?;?;1) Sendo (K)(L) vertical 6. (M) (2;5;3;) (N) (4;3;1) Sendo (M)(N) qualquer Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 031 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 1. Complete a projeção vertical da reta horizontal, determinada pelos pontos (A) e (B). A B A’ C C’ 2. Complete as projeções de um segmento de reta de topo (C) (D), que mede três cm. Sabe-se que o afastamento de (D) é maior que o de (C). D D’ 3. Conduza pelas projeções do ponto (D), as projeções de um reta frontal, que forma 30 com o plano ( ).o � I’ 4. Construa as projeções de um segmento de reta vertical (I)(J), sabendo que (I) pertence ao ( i). Sabe-se, também, que a cota de (J) é menor que a cota de (I). � Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 032 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 5. Determinar a projeção vertical de um segmento de reta frontal (A) (B), que mede quatro cm, cuja projeção horizontal AB foi dada. Sabe-se que a cota de (B) é menor que a cota de (A). A’ A B 6. Conduza pelo ponto (M), uma fronto-horizontal (s). M’ M 7. Complete as projeções do triângulo isósceles (A)(B)(C), tal que o lado (A)(B) seja frontal e o (A)(C) horizontal, formando 45 com ( ').o � A’ B B’ 8. Determinar as projeções dos pontos (A), (B), (C), (D), (E), (F), (G), sabendo-se que eles pertencem à reta de perfil definida pelos pontos (K) (-2;3;1)e (L) (?;-1;2). (A)(?;?;-3) (B)(?;2;?) (C)(?;1;?) (D)(?;-2;?) (E)(?;?;2) (F)(?;0;?) (G)(?;?;0) Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 033 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 9. Nas projeções da reta de perfil definida pelos pontos (M) e (N), localize os seguintes pontos: (A), de cota = 5 cm (D), de afastamento =3,5 cm (B), de cota = -1,5 cm (E), de afastamento = -2 cm (C), de cota = -2 cm (F), de afastamento = 0 cm M’ M N’ N Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 034 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 10. Sendo (A) (3;2;8) e (B) (?;8;6),dois vértices de um losango de perfil (A)(B)(C)(D) e sabendo-se que o seu centro (O) tem 6 cm de afastamento e cota menor que a de (B), obter as suas projeções. Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 11. Traçar a épura da reta de perfil (C) (D), sendo (C) (2;6;2), de modo que nenhum ponto da reta tenha razão da cota para o afastamento igual -5/2. Sabe-se que a cota de (D) = 4 cm. 035 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 036 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 12. Determinar os traços das retas a seguir, dadas por suas projeções e indicar a trajetória de cada uma delas. r’ r r’ r r’ r r’ r Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 037 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia r’ r r’ r A’ B B’ AA’ B B’ A 12a. Determinar os traços das retas a seguir, dadas por suas projeções e indicar a trajetória de cada uma delas. Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 038 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 13. Construir a épura da reta (M) (2;2;?) (N) (?;?;-1), conhecendo-se o traço (I) (5;?;-4), no bissetor ímpar e sabendo-se que ela não possui traço no bissetor par. 14. Desenhar as projeções do segmento (A) (2;3;?) (B) (4;1;?), sabendo-se que este pertence ao bissetor ímpar 16. Desenhar as projeções do segmento (M) (2;2;?) (N) (?;?;-1), conhecendo-se o seu traço (P) (5;?;-4), no bissetor par e sabendo-se que ele não tem traço no bissetor impar. 15. Desenhar as projeções do segmento (A) (2;1;?) (B) (5;3;?), sabendo-se que este pertence ao bissetor par Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis s’ s r r’ 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 039 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 17. Escreva nos lugares indicados o nome das posições relativas dos pares de retas de cada uma das épuras a seguir. 1. _________________________ 2. _________________________ 3. _________________________ 4. _________________________ 5. _________________________ 6. _________________________ 7. _________________________ 8. _________________________ 9. _________________________ 10. _________________________ 11. _________________________ 12. _________________________ s’ s r r’ O’ O s r O’ O s’r’== s’ sr r’ s’ sr r’ s’ s r r’ O’ O s’ s r r’ s r s’r’== A’ A B B’ C’ C D D’ A’ A B B’ C’ C D D’ A’ A B B’ C’ C D D’ A’ A B B’ C’ C D D’ 2 12 8 9 7 1110 65 431 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 040 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 18. Dão-se duas retas (r) e (s) e a projeção horizontal (A) (B) de uma terceira reta que nelas se apóia. Determinar a projeção vertical A'B'. s’ s r r’ A B 19. Construir pelo ponto (O), a frontal (s) que se apóia na reta (r). 20. Apoiar nas retas (r) e (s), um segmento (A) (B), de projeções simétricas em relação à linha de terra. 21. Traçar por (C) a paralela (s), à reta (r). r r’ A O O’ s’ s r r’ r r’ A C’ C Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 041 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 22. Nas horizontais (r) e (s), apoiar um segmento frontal (K) (L), de comprimento igual a 4 cm. 24. A reta (M) (0;?;0) (N) (4;-3;?), pertence ao ( p) e (A) (8;1;?) (K) (?;4;0) lhe é paralela. Construir as projeções de (A)(K) e estabelecer a partir daí a propriedade característica das paralelas ao ( p). � � 23. A reta (M) (0;?;0) (N) (4;3;?), pertence ao ( ) e (A) (9;6;3) (K) (?;?;0) lhe é paralela. Construir as projeções de (A)(K) e estabelecer a partir daí a propriedade característica das paralelas ao ( ). �� �� s’ s r r’ Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia �� �’s ��’ ��’ ��� ��� (u) Capítulo 4 - Estudo do Plano 042 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 1 2 B’ B A’ A C’ C A’ A r’ r Capítulo 4 - Estudo do Plano Definição de Plano Figura 1 Figura 2 Um plano pode ser definido: a) por três pontos não colineares, conforme mostra a ; b) por um ponto e uma reta que não contenha este ponto, conforme mostra a . 043 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 1 2 A’ A r’ r s’ s r’ s s’ r Capítulo 4 - Estudo do Plano Definição de Plano Figura 1 Figura 2 Ainda,um plano pode ser definido: c) por duas retas concorrentes, conforme mostra a ; d) por duas retas paralelas, conforme mostra a . 044 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Traços do Plano Figura 1 Figura 2 Figura 3 É a interseção do plano com os planos de projeções. ’ é a interseção de com ’; é a interseção de com . Um plano pode possuir um ou dois traços. Se possui dois traços ele podem ser oblíquos à linha de terra, conforme mostra a , onde ’e são oblíquos à linha de terra e se interceptam no ponto (T). A definição destes traços, por coordenadas, será feita a partir do ponto de concurso dos dois traços na linha de terra e o ângulo que cada destes traços faz com a referida linha, medidos segundo as convenções trigonométricas. Para um plano que possui dois traços se interceptando na linha de terra, um desses traços poderá ser perpendicular a esta linha, como será visto adiante. Os traços de um plano também poder ser paralelos à linha de terra conforme apresentado na . A definição dos traços, por coordenadas, será feita através do afastamento do traço horizontal e da cota do traço vertical. Os traços poderão, também, ser coincidentes com a linha de terra. A mostra uma terceira possibilidadeonde o plano apresenta apenas um traço. Isto ocorre quando o plano é ortogonal a um dos planos de projeções. Neste caso ele será, obrigatoriamente, paralelo ao outro plano. A definição do traço, neste caso, obedecerá o mesmo critério do caso anterior. �� � �� � �� �� � � 32 �� y �� ��’ z y �� T T’ ��’ 0453 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� �� y ��’ z Capítulo 4 - Estudo do Plano Classificação dos Planos Figura 1 - Plano Horizontal Figura 2 - Plano Frontal Figura 3 - Plano de Topo Os planos são classificados segundo a sua posição em relação aos planos de projeções e aos planos bissetores. É o plano paralelo ao plano horizontal de projeções. Em épura seu único traço (vertical), é paralelo à linha de terra É plano paralelo ao plano vertical de projeções. Em épura seu único traço (horizontal), é paralelo à linha de terra É o plano perpendicular ao plano vertical de projeções e oblíquo ao plano horizontal de projeções. Em épura, seu traço horizontal é perpendicular à linha de terra e o traço vertical é oblíquo a esta linha. 0463 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� ��’ �� M’ M’ ���� Capítulo 4 - Estudo do Plano Classificação dos Planos Figura 1 - Plano Vertical Figura 2 - Plano Paralelo à Linha de Terra Figura 3 - Plano que contem a Linha de Terra É o plano perpendicular ao plano horizontal de projeções e oblíquo ao plano vertical de projeções. Em épura seu traço vertical é perpendicular à linha de terra e o traço horizontal é oblíquo a esta linha. É o plano paralelo à linha de terra e oblíquo aos dois planos de projeções. Em épura seus dois traços são paralelos à linha de terra. Plano que contem a linha de terra é oblíquo aos dois planos de projeções. Para a definição dos traços (coincidentes com a linha de terra), é necessário a definição de um ponto do plano que não pertença à linha de terra. 0473 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��� �’ ���� � � ��’ �� ��’ �� Capítulo 4 - Estudo do Plano Classificação dos Planos Figura 1 - Plano de Perfil Figura 2 - Plano Perpendicular ao Bissetor Ímpar simétricos Figura 3 - Plano Perpendicular ao Bissetor Par É o plano ortogonal aos dois planos de projeções . Em épura seus traços são perpendiculares à linha de terra e coincidentes É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra, porém perpendicular ao ( i). Tem como característica os traços oblíquos à linha de terra e à esta linha. É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra, porém perpendicular ao ( p Tem como característica os traços oblíquos à linha de terra e coincidentes. � � �� 0483 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� �� T T’ ��’ ��’ �� Capítulo 4 - Estudo do Plano Classificação dos Planos Figura 1 - Plano Paralelo ao Bissetor Par Figura 2 - Plano Paralelo ao Bissetor Ímpar Figura 3 - Plano Qualquer É um plano paralelo à linha de terra com esta característica específica . Em épura seus traços são paralelos e simétricos à linha de terra. É um plano paralelo à linha de terra com esta característica específica . Em épura seus traços são paralelos e coincidentes. É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra. Tem como característica os traços oblíquos à linha de terra. O plano Qualquer não possui nenhuma propriedade específica. 0492 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 1 �� T T’ ��’ V’ V H H’ �� T T’ ��’ V V’ r’ r Capítulo 4 - Estudo do Plano Pertinência entre reta e Plano Figuras 1 e 2- O plano é dado pelos traços Uma reta pertence a um plano quando os traços desta reta estão sobre os traços de mesmo nome do plano e, reciprocamente, se os traços de uma reta estão sobre os traços de mesmo nome de um plano, então esta reta pertence ao plano.. 050 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 Capítulo 4 - Estudo do Plano Pertinência entre reta e Plano Figuras 1 e 2- O plano é definido por duas retas, concorrentes ou paralelas Neste caso, uma reta pertence a um plano quando possuir pelo menos dois pontos distintos sobre duas retas deste plano. Is to significa que esta reta deve estar apoiada em duas retas distinstas do plano, em pontos distintos. Ainda, uma reta pertence a um plano quando apoiar-se em uma reta do plano e for paralela a outra reta que pertença a este plano. 1 A’ C’ B’ t’ s’ r’ B A C s t r A’ B’ s’ t’ r’ t s r B A 0513 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 s ��’s’ r ��’r’ t ��’t’ Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano Horizontal Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal Figura 3 - Reta de Topo Figura 4 - Reta Horizontal 4 0523 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 �� r r’ ��t t’ s’ ��s 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano Frontal Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal Figura 3 - Reta Frontal Figura 4 - Reta Vertical 0533 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� s s’ �� ��’r’ r t �� ��’t’ 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano de Topo Figura 2 - Reta de Topo Figura 3 - Reta Qualquer Figura 4 - Reta Frontal 0543 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� t t’ ��’ r’ ��r ��’ s’ ��s 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano Vertical Figura 2 - Reta Vertical Figura 3 - Reta Horizontal Figura 4 - Reta Qualquer 0553 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 s’ �� s ��’ ��’ �� r’ r ��’ �� t’ t 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano Paralelo à Linha de Terra Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal Figura 3 - Reta de Perfil Figura 4 - Reta Qualquer 0563 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 r’ r M’ M ����’ ����’ M’ M t’ t s’ s ����’ M’ M 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano que contem a Linha de Terra Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal Figura 3 -Reta de Perfil Figura 4 - Reta Qualquer 0573 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 ��’ �� r r’ ��’ �� t t’ ��’ �� r r’ 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano de Perfil Figura 2 - Reta de Topo Figura 3 - Reta de Perfil Figura 4 - Reta Vertical 0583 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 �� ��’ r r’ �� ��’ s s’ �� ��’ t t’ �� ��’ u’ u (r) (t) (s) (u) 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Retas do Plano Qualquer Figura 2 - Reta Qualquer Figura 3 - Reta Horizontal e Reta Frontal Figura 4 - Reta de Perfil 059 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 �� ��’ h h’ V V’ �� ��’ f f’ H’ H 31 Capítulo 4 - Estudo do Plano As Retas Principais de um Plano Horizontal de um Plano Figura 2 Frontal de um Plano Figura 3 São assim denominadas as frontais e as horizontais. Sua larga aplicação na resolução de problemas lhes confere tal importância. Define-se como , a reta deste plano que é paralela ao plano horizontal de projeções - . Define-se como , a reta do deste plano que é paralela ao plano vertical de projeções - . Assim definidas, pode-se concluir que a horizontal de um plano nem sempre é uma reta horizontal, assim como a frontal de um plano nem sempre é uma reta frontal. Como exemplo, ao considerar-se a definição acima, para um plano de topo, a sua horizontal será uma reta de topo, posto que, no caso deste plano, somente a esta reta aplica-se tal definição. 0603 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 �� ��’ d d’ V V’ H H’ ��’ �� i’ i i’ V’ VH’ 4 Capítulo 4 - Estudo do Plano Figuras 1 e 2 - Reta de Máximo Declive Reta de Máxima Inclinação É a reta do plano que faz o maior ângulo possível com o plano horizontal de projeções. Este ângulo será o maior quando a reta for perpendicular ao traço horizontal do plano a ela pertence. Figuras 3 e 4 - É a reta do plano que faz o maior ângulo possível com o plano vertical de projeções. Este ângulo será o maior quando a reta for perpendicular ao traço vertical do plano a ela pertence. 0613 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 t’ u u’ t O O’ Capítulo 4 - Estudo do Plano Paralelismo entre Reta e Plano Figura 1 Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano Figuras 2 e 3 Uma reta é paralela a um plano quando é paralela a uma reta deste plano - (r) é paralela a ( ), porque (r) é paralela a (s) e (s) pertence a ( ). - Se são conhecidos um ponto e duas retas reversas, para passar-se pelo ponto, um plano paralelo às referidas retas, este será definido por duas concorrentes que passam pelo ponto e são paralelas às duas retas conhecidas. � � 0623 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 Capítulo 4 - Estudo do Plano Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano Figuras 1 e 2 Se são conhecidas duas retas reversas, para passar-se um plano por cada uma delas paralelo à outra reta, a reta que concorre com uma delas é paralela à outra que define o plano procurado. Figuras 3 e 4 As distâncias de duas reversas a um plano serão iguais, se o plano for paralelo às retas e passar pelo ponto médio de qualquer segmento que una as duas retas. t’ u u’ t t’ u u’ t ��’ � O O’ �� �’ 063 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano Figuras 1 e 2 Toda reta paralela a dois planos secantes, é paralela à interseção dos referidos planos. 0643 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 Capítulo 4 - Estudo do Plano Paralelismo entre Planos Casos Fundamentais de paralelismo entre Planos Figuras 3 - Figuras 4 - Figuras 1 e 2 Dois planos paralelos têm, pelo menos, dois pares de retas paralelos entre sí. Em épura, os traços de mesmo nome de dois planos paralelos, serão paralelos. Conduzir, pelo ponto (O), um plano paralelo ao plano definido por (r) e (s). Construir os traços do plano ( ), paralelo ao plano ( ) e que passa por (P). � �� ��’P’ P 4 r s’ P’ P S r’ O’ O 0653 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 21 Capítulo 4 - Estudo do Plano Paralelismo entre Planos Casos Fundamentais de paralelismo entre Planos Figuras 3 e 4 - Figuras 1 e 2 - Dados dois pontos (A) e (B) e uma reta (r), distinta destes pontos, para conduzir-se pelos pontos, planos paralelos e equidistantes da reta, basta-se determinar o plano que contem o ponto médio do segmento resultante da união dos dois pontos (A) e (B), dados e a reta (r) dada, para, em seguida passar-se por estes pontos planos paralelos àquele. Dados três pontos não colineares (A), (B) e (C) e uma reta (s), a condução pelos pontos, de três planos eqüidistantes entre sí e paralelos à reta conhecida, será feita definindo-se um deles pelo ponto intermediário (B) e por uma reta paralela à reta dada e que contem o ponto médio do segmento limitado pelos pontos (A) e (C). Os demais planos serão paralelos a este e conterão os extremos (A) e (C). r A’ A r’ B’ B s A’ A s’ B’ B C’ C 4 066 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano Figuras 1 e 2 Por quatro pontos (A), (B), ( C) e (D) não coplanares, a condução, por estes pontos, de quatro planos eqüidistantes, será determinada definindo- se a divisão do segmento resultante da união dos pontos exteriores (A) e (D) em três partes iguais, unindo-se os 2 pontos divisores aos pontos internos (B) e ( C) dados, definindo-se, em seguida, os planos interiores e, posteriormente, passando-se pelos pontos exteriores, dois planos paralelos aos planos já definidos. A’ A C’ C D’ D B’ B �� �’s ��� �’ �� ��’ r r’ O O’ s s’ B’ B A A’ 067 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Figuras 1 e 2 Dois planos secantes determinam entre sí uma reta comum a eles. As projeções da reta determinada pela interseção de dois planos, é imediata, se um dos planos secantes for definidopor duas retas e o outro for um plano projetante a um ou aos dois planos de projeções, tais como os planos: . Horizontal; . Frontal; . Vertical; . Topo; . Perfil. 068 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Casos Gerais Figuras 1 e 2 A determinação da reta interseção de dois planos secantes fica mais ou menos trabalhoso, em função dos elementos fornecidos pelo problema. Em todos os casos, determina-se dois pontos da referida reta, ou apenas um ponto se a direção desta reta for conhecida. Cada ponto da interseção é determinado utilizando-se planos auxiliares, que, dependendo-se dos elementos conhecidos, podem ser: . Planos de projeções; . Planos paralelos aos planos de projeções; . Planos perpendiculares a um ou aos dois planos de projeções. Quando dois planos secantes são dados por seus traços e estes concorrem em pontos distintos, dentro dos limites da épura, utilizam-se os planos de projeções ( ) e ( ’), como planos auxiliares para a determinação da reta interseção dos dois planos. � � �� �’s �’��’ (V) ��� �� ��’ V V’ � �’ H H’ 069 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Casos Gerais Figuras 1 e 2 Quando dois dos traços de mesmo nome dos dois planos, forem concorrentes dentro dos limitres da épura e os outros dois forem paralelos, utiliza-se apenas um dos planos de projeções como plano auxiliar, já que a reta interseção será paralela ao par de traços paralelos. �� �’s �’ ��’ ��� � � (u) �� ��’ � �’ H H’ u’ u 070 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 �� ��’ V1 V1’ � �’ H H’ K’ K V V’��’ h’ h1’ h1 h ��’ ��’ �’ �� �’s �� ��’ � �’ �� ��’ M �’ �’ M’ Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Casos Gerais Figuras 1 e 2 Figura 3 Se dois dos traços homônimos concorrem dentro dos limites da épura e dois deles concorrem fora deste limite, utiliza-se um plano de projeções e outro que lhe seja paralelo, como planos auxiliares. Este mesmo artifício se aplica quando os pares de traços concorrem no mesmo ponto da linha de terra, ou quando um dos planos contem a linha de terra. 3 071 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 �� �’s �’ ��’ (u) (r) (s) �� ��’ � �’ H H’ u’ u H1 H1’ V V1 V1’ V’ K’ K Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Casos Gerais Figuras 1 e 2 Se os dois planos secantes são paralelos à linha de terra, utiliza-se um plano perpendicular a um ou aos dois planos de projeções, como plano auxiliar. Neste caso, sabe-se que a reta interseção de dois planos paralelos à linha de terra é uma fronto-horizontal, portanto necessita-se de apenas um ponto para a sua determinação, já que a sua direção é conhecida. 072 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 �� �’s ��’ �’ �� K’ V’ � �’ K V2 ��’ h’ h1’ ���’ h2’ h3’ V1’ V2’ V3’ V V3V1 ��’ L’ L Capítulo 4 - Estudo do Plano Planos Secantes Casos Gerais Figuras 1 e 2 Se os traços homônimos concorrem fora dos limites da épura, utilizam-se dois planos paralelos a um dos planos de projeções (plano vertical ou plano horizontal), como planos auxiliares. Este mesmo procedimento será aplicado para os casos em que um dos planos secantes é definido por um par de concorrentes, ou um par de paralelas, ou, ainda, quando os dois planos secantes, o forem assim definidos. A escolha de planos auxiliares paralelos ao plano vertical de projeções, ou ao plano horizontal de projeções, será determinada em função das características do problema, levando-se em consideração as facilidades que a escolha de um ou de outros possibilitem. Estas facilidades estão relacionadas à posição dos traços, ou das retas que compõem o problema. 073 Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações 2 1 Capítulo 4 - Estudo do Plano Interseção de Reta e Plano Figuras 1 e 2 A interseção de uma reta com um plano que não seja projetante, se faz através da passagem, por esta reta, de um plano auxiliar que seja projetante a um dos planos de projeções. Em seguida, determina-se a interseção deste plano com o plano dado. A reta resultante da interseção entre os dois planos terá um ponto em comum com a reta dada. Este ponto será o ponto de interseção procurado. Se o plano dado for projetante, a determinação da interseção será feita de forma direta. r’ �� ��’ V V’ A A’ H H’ s’ �� r s ��’ 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios I - Dados os planos por seus traços, classifica-los. 01 - ____________________________ 02 - ____________________________ 03 - ____________________________ 04 - ____________________________ 05 - ____________________________ 06 - ____________________________ 07 - ____________________________ 08 - ____________________________ 09 - ____________________________ 10 - ____________________________ 11 - ____________________________ 12 - ____________________________ �� ��’ 074 M’ M �� ��’== 9 10 5 6 7 8 4 321 11 12 �� ��’ �� ��’ �� ��’ �� ��’ �� �� �p’ ��’ �� ��’ �� ��’ Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 075 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia =s’= r’ r s r A’ s’ r’ s A r A’ s’ r’ s A A’ s’ r’ A r s’r’ s s rs== r r’s’== Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios II - Dados os planos definidos por duas retas (r) e (s) , determinaros seu traços. Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 076 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia �� ��’r’ ��’ r’ �� ��’ r’ �� ��’ r’ Capítulo 4 - EstudodoPlano Exercícios III - Dados os planos por seus traços, determinar a outra projeção da reta (r), que lhepertence. Notas de Aula de Geometria Descritiva Luiz Fernando Reis 015 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e Tecnologia 077 Anotações UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo Setor de Representação Gráfica e
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