apostila - geometria descritiva

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Anotações
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Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Apresentação
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Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
AGeometria Descritiva, desenvolvida no século XVIII pelomatemático francêsGaspardMonge, é a ferramenta básica para o domínio do espaço tridimensional. Todo oDesenhoTécnico, no que se
inclui o Desenho Arquitetônico, o Desenho Mecânico,o Desenho Industrial e o Desenho Topográfico, como exemplos, têm como base os conceitos da geometria descritiva. Todo processo de
representação de uma edificação busca, nas projeções mongeanas, sua base conceitual. Se o arquiteto, no exercício de sua profissão, que tem como uma de suasmais importantes atribuições, a
de criar espaços, semodomínio das três dimensões, isto se torna extremamente difícil.
Mesmo que hoje, com os recursos da informática, através de diversos softwares, existam mais facilidades para o processo representação gráfica, os profissionais das áreas de arquitetura,
engenharia ematemática não podemprescindir do conhecimento e perfeito domínio do espaço tridimensional, o que, semos conceitos daGeometriaDescritiva, se torna superficial e insuficiente.
Esta versão de Notas de Aula de Geometria Descritiva, constitui parte do material desenvolvido em 1985 pelos professores Antonio Augusto Bitencourt de Oliveira, Geraldo Browne Ribeiro Filho,
Luiz Fernando Reis, Rogério Fuscaldi Lélis, do antigo Setor de Arquitetura e Urbanismo e Virgílio da Silva Andrade, do Setor de Estruturas do Departamento de Engenharia Civil. Foi atualizada e
modificada pelo professor Luiz FernandoReis.
Espera-se que, comestematerial, os acadêmicos das áreas acima citadas, tenhamoseu aprendizado facilitado.
Viçosa, MG, março de 2007
Luiz Fernando Reis
Emmanoel de Moraes Barreto
Anotações
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Bibliografia
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Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
1. CHAHLY, A. T. Descriptive geometry. Moscow: Higher School Publishing House, 1968.
2. FILHO, Oscar Guimarães. Geometria descritiva III: caderno de serviço. Juiz de Fora: UFJF/ICE, 1983.
3. GOLUBOV, Jayme Kerbel. Estudos de geometria descritiva. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1976.
4. GRANT, Hiram E. Geometría descriptiva pratica. Madrid: del Castillo, 1969.
5. HERRERO, Miguel Bermejo. Geometría descriptive aplicada. Sevilla, Universidad de Sevilla e Urmo Ediciones, 1978.
6. PINHEIRO, Virgílio Athayde. Noções de geometria descritiva, v I. Rio de janeiro: Ao Livro Técnico, 1978.
7. REIS, Luiz Fernando. Geometria descritiva. Governador Valadares: Universidade Santos Dumont, 1980.
8. RODRIGUES, Álvaro J. Geometria descritiva. Rio de Janeiro: Imprensa Nacional, 1941.
088
Anotações
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Sumário
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Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
Capítulo 1 - Projeções
Capítulo 2 - Estudo doPonto
Capítulo 3 - Estudo daReta
Capítulo 4 - Estudo doPlano
Capítulo 5 - Estudo dosPoliedros
Bibliografia
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�� �’s
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��’
���
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(u)
Capítulo 1 - Projeções
0013
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Anotações
21
Projetante
(A)
Ponto Objetivo
Superfície de Projeção
Projeção
Capítulo 1 - Projeções
A representa um Sistema de Projeções, onde:
. (A) é o Ponto Objetivo em posição original no espaço;
. a trajetória do ponto (A) até sua interseção com a Superfície de
Projeção ( ) é denominada de projetante de (A);
. a superfície de projeção ( ) é onde se determinam as projeções
dos Pontos Objetivos
. a interseção da Projetante com a Superfície de Projeção é
denominada de projeção de (A)
A representa o Sistema de Projeção Reta-Plano, onde a Projetante
é uma reta e Superfície de Projeção é um Plano.
A apresenta o Sistema de Projeções Cônicas. Esta denominação se
dá por estar o Centro de Projeções (também denominado de Pólo de
Projeções), de onde se originam as projetantes, a uma distância finita do
Plano de Projeções.
figura 1
figura 2
figura 3
�
�
Reta Projetante
Plano de Projeção
Projeção
Ponto Objetivo
(A)
(O)
(A)
(B)
( C )
Centro de Projeções
Plano de
Projeções
Ponto Objetivo
Projeção
002
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Anotações
21
(A)
(B)
( C )
( d )
(O)
(O Centro de Projeções
foi deslocado para o Infinito)
Direção das
Projetantes
(A)
(B)
( C )
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Anotações
21
Capítulo 1 - Projeções
A mostra o Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas, onde:
. O Centro de Projeções está a uma distância infinita do Plano de Projeções. Isto faz com que as projetantes tenham uma única direção (d), a
qual, neste caso específico, é oblíqua ao Plano ( ). O ângulo de incidência das projetantes, neste caso será qualquer um, diferente de 0 , 90 e 180 .
A mostra o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais, onde:
Assim como no caso anterior, o
figura 1
figura 2
�
o o o
Centro de Projeções está a uma distância infinita do Plano de Projeções. Isto faz com que as projetantes tenham uma única
direção (d), a qual, neste caso específico, é ortogonal ao Plano ( ). Dessa forma, o ângulo de incidência das projetantes será, neste caso de 90 .
O Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais é mais comumente conhecido com Sistema de Projeções Ortogonais, ou simplesmente Projeções
Ortogonais. Este Sistema será utilizado pela Geometria Descritiva, ou Sistema Mongeano de Projeções. Sua utilização também se faz presente no Desenho
Técnico (Desenho Mecânico, Desenho Topográfico e Desenho Arquitetônico).
�
o
003
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Capítulo 1 - Projeções
Exercícios
I - Complete:
01. PontoObjetivo é:_________________________________________________________________________________________________________
02. Projetante é: ____________________________________________________________________________________________________________
03. Superfície deProjeção é: ___________________________________________________________________________________________________
04. Projeção é: _____________________________________________________________________________________________________________
05.No sistemadeprojeção reta-plano, a projetante é uma_______________ e a superfície de projeção é um___________________.
06.OSistemadeProjeções utilizado pelaGeometriaDescritiva é o __________________________________________________________________
07.Centro deProjeções é: ______________________________________________________
08.NaProjeçãoCônica, oCentro deProjeções está a umadistância __________________ do ______________________________
09. Na Projeção Cilíndrica, o Centro de Projeções está a uma distância ________________ do ______________________________. Portanto, todas as
_________________________são paralelas.
10. Existe um tipo de Projeção Cilíndrica em que não é necessário indicar a direção das projetantes, posto que todas elas são perpendiculares ao Plano de
Projeções. Este tipo é denominado de _______________________________________________________________.
004
Anotações
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Capítulo 1 - Projeções
Exercícios
II - Responda
01. Utilizando-se o Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas, pode-se afirmar que a projeção de um segmento possa vir a ter maior comprimento que o
segmento objetivo? Explique.
02. Mesma pergunta, para o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais.
03. Quando a projeção cilíndrica ortogonal de uma reta é um ponto?
04. Mesma pergunda para o Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas.
05. Qual é o resultado da projeção cilíndrico ortogonal de um segmento de reta paralelo ao plano de projeção?
005
Anotações
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��’
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(u)
Capítulo 2 - Estudo do
Ponto
0063
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Plano Vertical de
Projeções
Plano Horizontal de
Projeções
Linha de Terra
2 Diedroo
1 Diedroo
3 Diedroo
4 Diedroo
Afastamento
Cota
Abscissa
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Generalidades
Figura 1
Figura 3
Abscissa
- O Sistema Mongeano de Projeções é composto por dois planos
ortogonais entre sí. Estes planos são denominados de Plano Horizontal de
Projeções e Plano Vertical de Projeções.
Estes dois planos dividem o espaço em quartro regiões denominadas
diedros. Cada diedro é delimitado por um par de semi-planos, conforme
mostra o quadro a seguir:
- Por tratar-se de um sistema tridimensional, serão necessárias
três coordenadas para que um ponto seja individualizado. Desta
maneira,a distância do ponto objetivo a um plano lateral de projeções,
ortogonal aos dois planos de projeções, definirá a terceira coordenada
descritiva, denominada de .
1 Diedroo
2o Diedro
3 Diedroo
4 Diedroo
HA
HP
HP
HA
VS
VS
VI
VI
Figura 2 - A colocação de um ponto no
Sistema Mongeano fará com que este se
refira aos dois planos de projeções. Estas
referências serão as distâncias deste
ponto ao Plano Vertical, denominada de e ao Plano
Horizontal, denominada de , as quais constituem-se em coordenadas
de um ponto.
Afastamento
Cota
Conforme o ponto objetivo esteja à frente
ou atrás do Plano Vertical (PV) ou ( ’), ele
terá afastamento positivo ou negativo,
respectivamente.
Da mesma forma, conforme o ponto esteja
acima ou abaixo do Plano Horizontal (PH)
ou ( ), o ponto terá cota positiva ou
negativa, respectivamente.
Estando sobre o Plano Vertical, ou sobre o
Plano Horizontal, o Ponto terá,
respectivamente, afastamento ou cota
nulos.
O quadro a seguir resumirá o sinal das
coordenadas descritivas do ponto segundo
a sua localização.
Por convenção:
. a designação de um
se faz por letra latina, maiúscula,
entre parênteses;
. A designação da de
um ponto se faz por letra latina, maiúscula,
sem parênteses.
�
�
Observação:
Ponto
Objetivo
Projeção
Posição do Ponto
Cota
Afastamento
4o3o2o1o VIVSHPHA LT
007
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Anotações
21
A’
A
O
x
y
z
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Determinação da Épura e o Alfabeto do Ponto
Figura 1
Figura 2 Épura
A’ A Linha de Chamada
A’ A
- Ponto (A), colocado no 1 Diedro. Observe-se que a projeção vertical localiza-se sobre o ( ’s) e a projeção horizontal sobre o ( a), já que o
ponto possui, respectivamente afastamento e cota positivos.
- A transposição do sistema tridimensional para um sistema bidimensional, é denominada . Trata-se do rebatimento do plano horizontal ( ),
sobre o plano vertical ( ’), através de um giro de 90 , em torno da Linha de Terra , de forma que sejam fechados os segundo e
quarto diedros.
Após este rebatimento, o semi-plano horizontal posterior ( p) coincidirá com o semi-plano vertical superior ( ’s), acima da linha de terra, assim como o
semi-plano horizontal anterior ( a), coincidirá com o semi-plano vertical inferior ( ’i), abaixo da linha de terra.
Considerando-se que, por estar localizado no 1 diedro, o ponto tem projeção vertical sobre ( ’s) e horizontal sobre ( a) e, considerando, como já citado
acima, a localização de cada um destes semi-planos após o rebatimento, a épura do ponto (A) terá seu aspecto definitivo conforme mostrado ao lado da
perspectiva da figura 2.
Os segmentos de retas que unem as projeções vertical e horizontal à linha de terra, recebem o nome de . Considerando-se que,
na Geometria Descritiva utiliza-se o Sistema de Projeções Ortogonais, as linhas de chamada serão sempre perpendiculares à linha de terra.
A distância da projeção vertical , até a linha de terra representa a cota do ponto (A), assim como a distância da projeção horizontal até a linha de terra
representa o afastamento deste ponto. A abscissa do ponto (A), que corresponde no espaço, à distância do ponto objetivo até o plano lateral de projeções,
será, em épura, rerpesentada pela distância dos pés das linhas de chamada das projeções do ponto, até a interseção do plano lateral com a linha de terra,
ponto marcado arbitrariamente sobre a linha de terra.
o
o
o
� �
�
� � �
� �
� �
� �
(interseção de ( ) com ( ’))
As coordenadas descritivas de um ponto
objetivo serão sempre apresentadas
conforme a ordem abaixo
Abscissa = x;
Afastamento = y;
Cota. = z.
Assim, para o ponto (A) do exemplo ao
lado, ter-se-á a seguinte notação:
(A) (x; y; z)
0083
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21
A’
A
O x
y
z
A’
A
O x
y z
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Alfabeto do Ponto
Figura 1 2 diedro
Figura 2 3 diedro
Figura 3 4 diedro
- Ponto localizado no , ou seja, atrás do plano vertical e
acima do plano horizontal. Portanto, o ponto (A) possui afastamento negativo
e cota positiva. A considerar-se a posição dos semi-planos após o
rebatimento dos mesmos para a obtenção da épura, as projeções de (A)
apresentam-se como nesta figura, ou seja, ambas acima da linha de terra.
- Ponto localizado no , ou seja atrás do plano vertical e
abaixo do plano horizontal. Neste caso (A) possui cota e afastamento
negativos.
Em épura, a projeção vertical ficará abaixo da linha de terra e a horizontal
acima.
- Ponto localizado no , ou seja, abaixo do plano horizontal
a à frente do plano vertical. Aqui, (A) possui cota negativa e afastamento
positivo. Em épura, ambas as projeções estarão localizadas abaixo da linha
de terra.
o
o
o
0093 4
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A’
A
O x
y
A’
A
O x
y
A’
A
O x
Z
A’
A
O x
Z
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Alfabeto do Ponto
Figura 1
Figura 2
Além das localizações apresentadas nas
figuras anteriores, o ponto pode
, também, em cada um dos
semi-planos de projeção. Neste caso, ou o
afastamento ou a cotaserão nulos.
- Ponto localizado no semi-plano
horizontal anterior. A cota é nula. O
afastamento é positivo. Em épura, a
projeção vertical apresenta-se sobre a
linha de terra e a horizontal abaixo desta
linha.
- Ponto localizado no
estar
localizado
semi-plano
horizontal posterior. Aqui também a cota é
nula. O afastamento é negativo. Em épura,
a projeção vertical apresenta-se sobre a
linha de terra e a horizontal acima desta
linha.
- Ponto localizado no semi-plano
vertical superior. Aqui o afastamento é
nulo. A cota é positiva. Em épura, a
projeção horizontal apresenta-se sobre a
linha de terra e a vertical acima desta
linha.
Ponto localizado no semi-plano
vertical inferior. Aqui também afastamento
é nulo. A cota é negativa. Em épura, a
projeção horizontal apresenta-se sobre a
linha de terra e a vertical abaixo desta
linha.
Para um ponto localizado na linha de terra,
ambos, afastamento e cota, serão nulos.
Dessa maneira, em épura, projeções
vertical e horizontal localizar-seão sobre a
linha de terra.
Figura 3
Figura 3 -
0103
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Plano Bissetor
Ímpar
Plano Bissetor
Par
Bissetor Ímpar ( i)�
I’
I
O x
Z
Y
P’ P
O x
=
Y
=
z
Bissetor Par ( p)�
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Planos Bissetores
- Planos Bissetores são planos que contêm a linha de terra e
dividem os diedros em partes iguais. Estes planos formam ângulos de 45
com cada um dos planos de projeção.
Os planos bissetores são em número de dois. Um atravessa o 1 e o 3
diedros e é denominado de Bissetor Ímpar, ou ( i); o outro atravessa o 2 e o
4 diedros e é denominado de Bissetor Par, ou ( p).
- Todo ponto pertencente ao bissetor ímpar tem cota e afastamento
iguais, em módulo e sinal. Em épura, suas projeções são simétricas em
relação à linha de terra.
- Todo ponto pertencente ao bissetor par tem cota e afastamento
iguais em módulo, porém os sinais são opostos. Em épura, suas projeções
são coincidentes.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
o
o o
o
�
�
o
0113
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21
(A)
(B)
( C )
(A)
(B)
(r)
A’
A=B
O
B’
A
A’=B’
O
B
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Simetria
Figura 1 Tipos de Simetria
Casos de Simetria
Figura 2 - Simetria em relação ao Plano Horizontal de Projeções
coincidentes
simétricas
Figura 3 - Simetria em relação ao Plano Vertical de Projeções
coincidentes
simétricas
-
. Se dois pontos ( simétricos em relação a um
terceiro ponto (B), este ponto é equidistante de (A) e de ( C);
. Se dois pontos simétricos em relação a uma reta
(r), então a reta é a mediatriz do segmento formado pelos dois pontos;
. Se dois pontos simétricos em relação a um plano
( ), o plano alfa é o mediador do segmento formado pelos dois pontos.
Se dois pontos são simétricos em relação ao plano horizontal de projeções,
em épura as suas projeções horizontais são e as projeções
verticais são em relação à linha de terra.
Se dois pontos são simétricos em relação ao plano vertical de projeções, em
épura as suas projeções verticais são e as projeções
horizontais são em relação à linha de terra.
A) e (C), são
(A) e (B), são
(A) e (B), são
�
0123
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O
A=B’
B=A’
�� �P
(A)
A’
(B)
A
B’
B
( ’s)�
( p)�
O
A
B
B’
A’
O
A
B
B’
A’
�� �i
(A)A’
(B)
A
B’
B
�� �i
(A)A’
(B)
A
B’
B
( ’s)�
( a)�
O
A
B
B’
A’
Capítulo 2 - Estudo do Ponto
Simetria
Figura 1 - Simetria em relação ao Bissetor Ímpar
Figura 2 - Simetria em relação ao Bissetor Par
Figura 3 - Simetria em relação à Linha de Terra
Se dois pontos são simétricos em relação ao bissetor ímpar, em épura as
suas projeções de nomes contrários são simétricas em relação à linha de
terra.
Se dois pontos são simétricos em relação ao bissetor par, em épura as suas
projeções de nomes contrários são coincidentes.
Se dois pontos são simétricos em relação à linha de terra, em épura as
suas projeções de mesmo nome são simétricas em relação à linha de terra.
013
Anotações
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Capítulo 2 -
Exercícios
I - Complete
1.Todo ponto situado acimadoplano horizontal de projeções, temcota __________ e os situados abaixo do referido plano, temcota ______.
2.Todo ponto situado à frente do plano vertical, temafastamento __________ e os situados atrás do referido plano, temafastamento ___________.
3.Baseado nas respostas anteriores, pode-se afirmar que todo ponto que esteja localizado em:
a) 1 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-);
b) 2 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-);
c) 3 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-);
d) 4 diedro, temcota (+) (-) e afastamento (+) (-).
4. Desenhar a épura dos pontos abaixo, dados por suas coordenadas:
(A) (0;0;0)
(B) (2;1;3)
( C) (3;2;-2)
(D) (4;-3;-1)
(E) (5;-1;2)
o
o
o
o
0
== D’D
014
Anotações
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K
K’
L’
L
M
M’
== N’N
==O’O
A
A’
B’
B
E’
E
J’
J
F’
F
G
G’
C’
C
T’
T
S
S’Q’
Q
Capítulo 2 -
Exercícios
II - Dadas as épuras dos pontos ao lado,
dê a localizaçãodecadaumdeles:
(A): ___________________
(B): ___________________
(C): ___________________
(D): ___________________
(E): ___________________
(F): ___________________
(G): ___________________
(J): ___________________
(K): ___________________
(L): ___________________
(M): ___________________
(N): ___________________
(O): ___________________
(P): ___________________
(Q): ___________________
(R): ___________________
(S): ___________________
(T): ___________________
015
Anotações
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Capítulo 2 -
Exercícios
III - Dar as coordenadas dos simétricos
dospontos abaixo em relaçãoa:
IIIa - Desenhar a épura de cada um dos
pontos e de seus simétricos no espaço ao
lado.
Observação:
(A) (0;0;0), simétrico de (F), em
relação a ( ’);
(B) (2;1;3), simétrico de (G), em
relação a ( );
(C ) (3;2;-2), simétrico de (J), em
relação ao ( i);
(D) (4;-3;-1), simétrico de (K), em
relaçao ao ( p);
(E) (5;-1;2), simétrico de (L), em
relação à Linha deTerra.
Utilizar uma única linha de
terra.
�
�
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�� �’s
��’
��’
���
���
(u)
Capítulo 2 - Estudo da
Reta
0163
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21
4
B’
B
A’
A
r’
r
B’
B
A’
A
r’
r
B’
A’
A=B=r
r’
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Definição de Reta
Figura 1
(r) (A) (B) r
r’
Figura 2 - Reta Vertical
- Descritivamente, uma reta fica bem definida quandosão
conhecidas as suas projeções vertical e horizontal. Neste caso específico, a
reta , definida pelos pontos e , fica determinada por suas projeções
e , definidas pelas projeções e .
As retas são classificadas segundo a sua posição em relação aos planos de
projeções, que lhe conferem características e propriedades específicas.
É a reta perpendicular ao plano horizontal de projeções e paralela ao plano
vertical de projeções.
Em épura:
. abscissas e afastamentos constantes;
. cotas variáveis;
. sua projeção vertical é perpendicular à linha de terra;
. projeção horizontal é um ponto;
. projeção vertical em verdadeira grandeza;
AB A’B’
Classificação das retas
Figura 3 - Reta Frontal
Observações:
É a reta paralela ao plano vertical de
projeções e oblíqua ao plano horizontal de
projeções.
Em épura:
. afastamento constante;
. abscissa e cotas variáveis;
. projeção horizontal paralela à
linha de terra;
. projeção vertical oblíqua à linha
de terra;
. projeção vertical em verdadeira
grandeza;
. ângulo que a projeção vertical
faz com a linha de terra, apresenta a
verdadeira grandeza do ângulo que a reta
faz com o plano horizontal de projeções.
a) . Uma reta é definida como o
deslocamento contínuo de um ponto, numa
única direção.
b) . Uma reta é determinada por
dois pontos distintos, ou por um ponto e
uma direção conhecida.
c) . Descritivamente uma
será denominada por uma letra
latina, minúscula, entre parênteses e suas
projeções por letras latinas, minúsculas,
sem perênteses.
Reta
Objetiva
Anotações
0173
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B’
B
A’
A
r’
r
B
A
r
B’A’ r’
B
A’=B=r’
r
A
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Classificação
Figura 1 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 2 - Reta Horizontal
É a reta paralela aos planos horizontal e vertical de projeções.
Em épura:
. cotas e afastamentos constantes;
. abscissas variáveis;
. projeções vertical e horizontal paralelas à linha de terra;
. projeções vertical e horizontal em verdadeira grandeza.
É a reta paralela ao plano horizontal de projeções e oblíqua ao plano
vertical de projeções.
Em épura:
. cotas constantes;
. abscissas e afastamentos variáveis;
. projeção vertical paralela à linha de terra;
. projeção horizontal oblíqua à linha de terra;
. projeção horizontal em verdadeira grandeza;
. ângulo que a projeção horizontal faz com a linha de terra,
apresenta a verdadeira grandeza do ângulo que a reta objetiva faz com o
plano vertical de projeções.
Figura 3 - Reta de Topo
É a reta perpendicular ao plano vertical de
projeções e paralela ao plano horizontal de
projeções.
Em épura:
. abscissas e cotas constantes;
. afastamentos variáveis;
. projeção horizontal
perpendicular à linha de terra;
. projeção vertical é um ponto;
. projeção horizontal em
verdadeira grandeza.
018
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
UFV - CCE - Departamento de Arquitetura e Urbanismo
Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
Anotações
21
A’
B
r
A
B’
r’
B’
B
A’
A
r’
r
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Figura 1 - Reta de Perfil
Figura 2 - Reta Qualquer
É a reta oblíqua aos planos de projeções e ortogonal à linha de terra.
Em épura:
. abscissa constantes;
. afastamentos e cotas variáveis;
. projeções horizontal e vertical perpendiculares à linha de terra.
É a reta oblíqua aos dois planos de projeções.
Em épura:
. abscissas, afastamentos e cotas variáveis;
. projeções horizontal e vertical oblíquas à linha de terra.
019
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
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Anotações
I
V’
I’
H’
V
H
P’
(V)
(H)
P
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Figura 1 - Pertinência entre Ponto e Reta
exceto para a reta de
perfil
Figura 2 - Os traços notáveis de uma
reta
Traço horizontal (H)
Traço vertical (V)
Traço com o Bissetor Ímpar (I)
Traço com o Bissetor Par (P)
Um ponto pertence a uma reta quando a
projeção horizontal do ponto pertence à
projeção horizontal da reta e a projeção
vertical do ponto pertence à projeção
vertical da reta,
, reciprocamente, se as projeções de
um ponto estão sobre as projeções de
mesmo nome da reta, o ponto pertence à
reta.
Uma reta pode possuir até quatro traços,
considerando-se os dois planos de
projeções e os dois planos bissetores.
- é a interseção da
reta com o plano horizontal de projeções,
portanto, um ponto comum à reta e ao
plano horizontal de projeções, ou seja, um
ponto da reta com cota nula.
- é a interseção da reta
com o plano vertical de projeções, portanto,
um ponto comum à reta e ao plano vertical
de projeções, ou seja,um ponto da reta
com afastamento nulo.
- é a
interseção da reta com o plano bissetor
ímpar, portanto, um ponto comum à reta e
a este plano, ou seja, um ponto da reta
com projeções simétricas em relação à
linha de terra.
- é a
interseção da reta com o plano bissetor
par, portanto, um ponto comum à reta e a
este plano, ou seja, um ponto da reta com
projeções coincidentes.
B’
B
A’
A
r’
r
1
2
Bissetor Ímpar
( i)�
0203
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Anotações
Capítulo 3 - Estudo da reta
Reta de Perfil
Figura 1
Figura 2
A posição que a reta de perfil ocupa, em relação aos planos de projeções,
confere-lhe características especiais. Por esse motivo, nem sempre verifica-
se a recíproca da relação de pertinência entre um ponto e uma reta, ou
seja, “
”, o que leva à conclusão de que
a simples verificação da épura de uma reta de perfil e de um ponto cujas
projeções estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, não é
suficiente para afirmar-se que este ponto pertença à referida reta.
Para solucionar este problema, utiliza-se a terceira projeção da reta de perfil,
ou projeção lateral, onde torna-se possível esta verificação, bem como a
determinação da verdadeira grandeza da reta e dos ângulos que esta faz
com os planos de projeções.
- Aqui é mostrada uma reta de perfil, definida pelos pontos (A) e (B)
e um ponto (C), que não lhe pertence. Observa-se que, em épura, as
projeções do ponto (C), estão sobre as projeções de mesmo nome da reta
de perfil, ainda que não exista pertinência entre aqueles dois elementos.
- A terceira projeção da reta, ou projeção lateral é obtida através da
passagem de um plano lateral de projeções, ortogonal aos dois planos de
projeção (também conhecido com plano de perfil), de forma que este
contenha a reta de perfil.
se as projeções de um ponto estão sobre as projeções de mesmo
nome da reta, então o ponto pertence à reta
A’
A
B
B’
C’
C
21
A’
A
B
B’
A’’
B’’
A’
A’’
C’
C’’
C
Este plano, denominado de ( ’’), sofrerá
um giro de 90 , no sentido anti-horário, em
torno de sua interseção com o plano
vertical de projeções, até que estes dois
planos se sobreponham. Após este giro,
tem-se, então a terceira projeção da reta.
Assim, observa-se que o ponto (C), ainda
que tenha as suas projeções sobre as
projeções de mesmo nome da reta, não lhe
pertence, já que a sua terceira projeção
não está sobre a terceira projeção da
referida reta.
A relação de pertinência para um ponto e
uma reta de perfil pode ser definida da
seguinte forma: “
- Nesta figura são mostradas as
operações descritas na figura anterior,
agora em épura.
A determinação da terceira projeção se faz
através do giro de 90º da projeção
horizontal de cada ponto,em torno do pé
da linha de chamada destes pontos, no
sentido anti-horário. A partir dali, traça-se
uma perpendicular, buscando-se
interceptar a paralela à linha de terra que
será traçada a partir da projeção vertical
deste ponto. A interseção destas duas
perpendiculares determinará a terceira
projeção do referido ponto.
:
A terceira projeção de um ponto será
sempre denominada por letra latina,
maiúscula, acompanhada do índice
�
o
se um ponto pertence a
uma reta de perfil, a terceira projeção do
ponto pertence à terceira projeção da
reta de perfil e reciprocamente.”
Figura 3
Observação
“.
0213
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Anotações
21
A’
A
A’’
A’
A
A’’
A’
A
A’’
Capítulo 3 - Estudo da Reta
As f , mostram pontos nos 2 , 3 e 4 diedros, além das
projeções laterais de cada um deles.
Se a épura for dividida como que em quadrantes, tomando-se como
elementos divisores a linha de chamada e a interseção do plano ( ’) com
o plano vertical, as projeções laterais de pontos, após a sua
determinação, teriam a sua localização, a partir do diedro de origem,
como no esquema abaixo:
iguras 1, 2 e 3
o o o
�’
1 diedro
o
2 diedro
o
4 diedro
o
3 diedro
o
� �’’ ’
0221
Notas de Aula de Geometria Descritiva
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Anotações
2
A’
A
B
B’
A’’
B’’
(V)
H’’
V’
(H) H
H’ V
V’’
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Figuras 1 e 2
Traços Notáveis da Reta de Perfil
Traços Horizontal e Vertical
V’’. V’
V’’, V
V
H
H’ V
H
Figura 2
Os traços da reta de perfil serão obtidos a partir da 3 projeção da reta.
A interseção da 3 projeção da reta com a interseção ’’ define a 3
projeção do traço vertical, A projeção vertical , estará coincidente com
enquanto que a projeção horizontal estará sobre a linha de terra, já
que como todo traço vertical, a cota de ( ) é nula.
A interseção da 3 projeção com a linha de terra, determina a 3 projeção do
traço horizontal ( ), já que a cota deste traço é nula. Desta forma, a
projeção vertical , concidirá com a projeção horizontal , na linha de terra,
enquanto que a projeção horizontal , será determinada através do
alçamento feito a partir da sua 3 projeção, com um giro de 90 , no sentido
horário, conforme é mostrado na .
a
a a
a a
a
� �’,
o
023
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Anotações
2
Bissetor
Ímpar
( i)�
V’ V’’
H’ V
A’
A’’
B’
H
B
A
P’ P
P’’
I’
I’’
I
�i
�p
B’’
H’’
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Figura 1
Traços Notáveis da Reta de Perfil
Traços com os Bissetores
Traço com o Bissetor Ímpar
I I’’
Traço com o Bissetor Par
P P’’
Os traços da reta de perfil com os planos
bissetores, à exemplo dos traços
horizontal e vertical, são obtidos a partir da
3 projeção da reta.
Neste caso, a interseção da 3 projeção da
reta com a 3 projeção da interseção ( ’’ i)
(plano lateral/bissetor ímpar), determinará
a 3 projeção de ( ), .As projeções
horizontal e vertical, simétricas em relação
à linha de terra, serão determinadas
através do alçamento das mesmas.
À exemplo do caso anterior, a interseção
da 3 projeção da reta com a 3 projeção
da interseção ( ’’ p) plano lateral/bissetor
par), determinará a 3 projeção de ( ), .
As projeções horizontal e vertical,
coincidentes, serão determinadas através
do alçamento das mesmas.
a
a
a
a a
a
� �
� � �
a
0243
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Anotações
21
A’
A
B
B’
O’
O
r
r’
A’
A
r’
r
s’
s
r’
r
s’
s
A’
A
r’
r
s’
s
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Posição Relativa entre Retas
Retas Concorrentes
Figura 1
r s
r’ s’ r s
Figura 2
Figura
3
Figura 4
Duas retas são concorrentes quando
possuem um ponto em comum.
A mostra o caso de concorrência
entre duas retas. Descritivamente, se duas
retas ( ) e ( ) são concorrentes, em épura
as projeções de mesmo nome e ; e ,
são concorrentes.
A mostra um caso de concorrência
em que as duas retas pertencem a um
plano ortogonal a um dos planos de
projeções. Neste caso, como o plano que as
contêm é ortogonal ao plano horizontal, em
épura as projeções horizontais das duas
retas são coincidentes. As verticais são
concorrentes.
A presença de uma reta de perfil e outra
que não o seja, conforme mostra a
, obriga à verificação se o ponto de
concurso é, de fato, um ponto comum às
duas retas. Aplica-se, então, a relação de
pertinência para a reta de perfil e para a
outra reta.
Para o caso de duas retas de perfil, a
concorrência somente existirá se as duas
retas tiverem a mesma abscissa. Ainda
assim é necessário verificcar se as
projeções laterais das duas retas são
concorrentes, já que para duas retas de
perfil com a mesma abscissa, poderá haver
paralelismo entre as mesmas.
A mostra dois casos onde não se
verifica a concorrência entre as duas retas.
Para estas duas épuras, aplica-se o caso de
reversibilidade entre as retas.
A’
A
r’
r
s’
s
4
0253
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Anotações
21
r’
s
s’
r
r’
r
s’
s
Capítulo 3 - Estudo da Reta
Posição Relativa entre Retas
Retas Paralelas
Figura 1
Figuras 2 e 3
Duas retas paralelas, em geral têm as projeções de mesmo nome paralelas
entre sí.
A mostra duas retas paralelas, conforme descrita na definição
acima.
Se as duas retas paralelas pertencem a um plano ortogonal a um dos planos
de projeções, uma das projeções do par de retas retas será coincidente.
Conforme é mostrado nas , o plano que contem as paralelas (r)
e (s) é ortogonal ao plano horizontal de projeções. Assim, em épura as
projeções horizontais serão coincidentes, enquanto que as verticais
apresentar-se-ão paralelas.
026
Anotações
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r
r’
r
r’
r
r’
r
r’
r
r’
r
r’
r
r’
r
r’
r
r’
r
r’
r r’
r
r’
Capítulo 3 - EstudodaReta
Exercícios
I - Dadas as retas por suas épuras,
classifica-las, segundo a sua posição em
relaçãoaosplanosdeprojeções
01 - ____________________________
02 - ____________________________
03 - ____________________________
04 - ____________________________
05 - ____________________________
06 - ____________________________
07 - ____________________________
08 - ____________________________
09 - ____________________________
10 - ____________________________
11 - ____________________________
12 - ____________________________
9
10
5 6
7 8
4
321
11 12
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027
Anotações
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Capítulo 3 - EstudodaReta
Exercícios
I - Dadas as retas por suas épuras,
classifica-las, segundo a sua posição em
relaçãoaosplanosdeprojeções
13 - ____________________________
14 - ____________________________
15 - ____________________________
16 - ____________________________
17 - ____________________________
r
13
r
r’
14
r
r’
15
r r’16
r
r’
17
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r’
028
Anotações
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Capítulo 3 - Estudo da Reta
Exercícios
II - Complete:
1. De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são __________________________ as
_______________________ sobre os ______________________________________.
2. A projeção de uma reta apresenta a verdadeira grandeza desta reta, quando tal reta for ____________ ao plano sobre o qual ela se
projeta.
3. A Reta Horizontal é ________________ a ( ) e ___________________ a ( '). O ângulo que ela forma com ( '), apresenta a sua
verdadeira grandeza no ângulo que a projeção __________________________ faz com a linha de terra. A Reta Horizontal possui
_____________________ constante
4. A Reta Frontal é ________________ a ( ') e ______________ a ( ). A sua projeção _______________________apresenta a verdadeira
grandeza da reta e o ângulo que a reta faz com o plano ( ) é representado pelo ângulo que a projeção ____________________ faz com a linha de
Terra. A Reta Frontal possui ____________________ constante.
5. A Reta Fronto-Horizontal é ________________ a ( ) e ______________ a ( '). Possui ______________ e _______________ constantes.
Em épura, sua projeção horizontal é _________________ à linha de terra, assim com a projeção vertical.
6. A Reta Vertical é ____________________ a ( ) e _________________ a ( '). Possui afastamento e abscissa _________________. Em
épura sua projeção vertical é _________________________ à linha de terra e a sua projeção horizontal é um ___________________.
7. A Reta de Topo é ____________________ a ( ') e _________________ a ( ). Possui cota e abscissa _________________. Em épura
sua projeção horizontal é _________________________ à linha de terra e a sua projeção vertical é um ___________________.
8. A Reta Qualquer é _______________________ a ( ) e ___________________ a ( '). Em épura suas projeções são _______________
em relação à linha de terra.
� � �
� �
�
� �
� �
� �
� �
9. A reta de perfil é ________________________ a ( ), ______________________ a ') e ___________________ a ( ”). Por isso ela
possui cota ________________, afastamento _______________________ a abscissa _______________________. Dessa forma, as projeções
horizontal e vertical são __________________ à linha de terra).
10. Geralmente, para poder-se trabalhar com a reta de perfil é necessário recorrer-se à ________________ projeção, onde esta reta
apresenta a sua ______________________.
11. Se um ponto pertence a uma reta de perfil, então a ______________________ do ponto, pertence à _______________________ da reta.
12. Os pontos em que uma reta atravessa os planos de projeção, ou os planos bissetores, são denominados de _______________________
da reta.
13. A cota do traço horizontal é igual ______________________. Por este motivo, a sua projeção vertical localiza-se na
____________________________.
14. O afastamento do traço vertical é ____________________. Por este motivo, a sua projeção horizontal localiza-se na
____________________________.
� �� �
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029
Anotações
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Capítulo 3 - Estudo da Reta
Exercícios
II - Complete:
15. O traço de uma reta no bissetor ímpar tem, em épura, projeções ____________________ em relação à linha de terra.
16. O traço de uma reta no bissetor par tem, em épura, projeções ____________________ em relação à linha de terra.
17. Toda a reta que pertence ao bissetor ímpar tem, em épura, projeções ________________ em relação à linha de terra, assim como, toda reta que
pertence ao bissetor par tem, em épura, projeções _________________________.
18. Defina, com suas palavras as retas perpendiculares aos bissetores:
Reta perpendicular ao bissetor ímpar
_____________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________
Reta perpendicular ao bissetor par
_____________________________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________
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030
Anotações
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III -Dadas as retas definidas por dois
de seus pontos, desenhar a épura de
cada uma delas.
1. (A) (2;3;5;)
(B) (4;?;1)
sendo (A)(B) frontal
2. ( C) (0;2;?)
( D) (3;4;3)
sendo ( C)(D) horizontal
3. (E) (4;3;1;)
(F) (8;?;?)
sendo (E)(F) fronto-horizontal
4. (G) (4;4;4)
(J) (?;1;?)
Sendo (G)(J) de topo
5. (K) (3;1;4)
(L) (?;?;1)
Sendo (K)(L) vertical
6. (M) (2;5;3;)
(N) (4;3;1)
Sendo (M)(N) qualquer
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031
Anotações
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1. Complete a projeção vertical da reta
horizontal, determinada pelos pontos (A) e (B).
A
B
A’
C
C’
2. Complete as projeções de um segmento de reta de topo (C) (D), que
mede três cm. Sabe-se que o afastamento de (D) é maior que o de (C).
D
D’
3. Conduza pelas projeções do ponto (D), as projeções de um reta frontal,
que forma 30 com o plano ( ).o �
I’
4. Construa as projeções de um segmento de reta vertical (I)(J), sabendo
que (I) pertence ao ( i). Sabe-se, também, que a cota de (J) é menor que a
cota de (I).
�
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015
Anotações
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032
Anotações
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5. Determinar a projeção vertical de um segmento de reta frontal (A) (B),
que mede quatro cm, cuja projeção horizontal AB foi dada. Sabe-se que a
cota de (B) é menor que a cota de (A).
A’
A B
6. Conduza pelo ponto (M), uma fronto-horizontal (s).
M’
M
7. Complete as projeções do triângulo isósceles (A)(B)(C), tal que o lado
(A)(B) seja frontal e o (A)(C) horizontal, formando 45 com ( ').o �
A’
B
B’
8. Determinar as projeções dos pontos (A), (B), (C), (D), (E), (F), (G),
sabendo-se que eles pertencem à reta de perfil definida pelos pontos
(K) (-2;3;1)e (L) (?;-1;2).
(A)(?;?;-3) (B)(?;2;?) (C)(?;1;?) (D)(?;-2;?)
(E)(?;?;2) (F)(?;0;?) (G)(?;?;0)
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015
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015
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033
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9. Nas projeções da reta de perfil definida pelos pontos (M) e (N), localize os seguintes pontos:
(A), de cota = 5 cm
(D), de afastamento =3,5 cm
(B), de cota = -1,5 cm
(E), de afastamento = -2 cm
(C), de cota = -2 cm
(F), de afastamento = 0 cm
M’
M
N’
N
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015
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034
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10. Sendo (A) (3;2;8) e (B) (?;8;6),dois vértices de um losango de perfil (A)(B)(C)(D) e sabendo-se que
o seu centro (O) tem 6 cm de afastamento e cota menor que a de (B), obter as suas projeções.
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015
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015
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11. Traçar a épura da reta de perfil (C) (D), sendo (C) (2;6;2), de modo que
nenhum ponto da reta tenha razão da cota para o afastamento igual -5/2.
Sabe-se que a cota de (D) = 4 cm.
035
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036
Anotações
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12. Determinar os traços das retas a
seguir, dadas por suas projeções e indicar
a trajetória de cada uma delas.
r’
r
r’
r
r’
r
r’
r
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037
Anotações
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r’
r
r’
r
A’
B
B’
AA’
B
B’
A
12a. Determinar os traços das retas a
seguir, dadas por suas projeções e indicar
a trajetória de cada uma delas.
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015
Anotações
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038
Anotações
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13. Construir a épura da reta (M) (2;2;?) (N) (?;?;-1), conhecendo-se o traço
(I) (5;?;-4), no bissetor ímpar e sabendo-se que ela não possui traço no
bissetor par.
14. Desenhar as projeções do segmento (A) (2;3;?) (B) (4;1;?), sabendo-se
que este pertence ao bissetor ímpar
16. Desenhar as projeções do segmento (M) (2;2;?) (N) (?;?;-1),
conhecendo-se o seu traço (P) (5;?;-4), no bissetor par e sabendo-se que
ele não tem traço no bissetor impar.
15. Desenhar as projeções do segmento (A) (2;1;?) (B) (5;3;?), sabendo-se
que este pertence ao bissetor par
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s’
s
r
r’
015
Anotações
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039
Anotações
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17. Escreva nos lugares indicados o nome
das posições relativas dos pares de retas
de cada uma das épuras a seguir.
1. _________________________
2. _________________________
3. _________________________
4. _________________________
5. _________________________
6. _________________________
7. _________________________
8. _________________________
9. _________________________
10. _________________________
11. _________________________
12. _________________________
s’
s
r
r’
O’
O
s
r
O’
O
s’r’==
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sr
r’
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s
r
r’
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O
s’
s
r
r’
s
r
s’r’==
A’
A
B
B’
C’
C
D
D’
A’
A
B
B’
C’
C
D
D’
A’
A
B
B’
C’
C
D
D’
A’
A
B
B’
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2
12
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7
1110
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431
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
015
Anotações
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040
Anotações
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18. Dão-se duas retas (r) e (s) e a projeção horizontal (A) (B) de uma
terceira reta que nelas se apóia. Determinar a projeção vertical A'B'.
s’
s
r
r’
A
B
19. Construir pelo ponto (O), a frontal (s) que se apóia na reta (r).
20. Apoiar nas retas (r) e (s), um segmento (A) (B), de projeções simétricas
em relação à linha de terra.
21. Traçar por (C) a paralela (s), à reta (r).
r
r’
A
O
O’
s’
s
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r’
r
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A
C’
C
Notas de Aula de Geometria Descritiva
Luiz Fernando Reis
015
Anotações
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Setor de Representação Gráfica e Tecnologia
041
Anotações
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22. Nas horizontais (r) e (s), apoiar um segmento frontal (K) (L), de
comprimento igual a 4 cm.
24. A reta (M) (0;?;0) (N) (4;-3;?), pertence ao ( p) e (A) (8;1;?) (K) (?;4;0) lhe
é paralela. Construir as projeções de (A)(K) e estabelecer a partir daí a
propriedade característica das paralelas ao ( p).
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23. A reta (M) (0;?;0) (N) (4;3;?), pertence ao ( ) e (A) (9;6;3) (K) (?;?;0) lhe é
paralela. Construir as projeções de (A)(K) e estabelecer a partir daí a
propriedade característica das paralelas ao ( ).
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Notas de Aula de Geometria Descritiva
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(u)
Capítulo 4 - Estudo do
Plano
042
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Anotações
1
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B’
B
A’
A
C’
C
A’
A
r’
r
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Definição de Plano
Figura 1
Figura 2
Um plano pode ser definido:
a) por três pontos não colineares,
conforme mostra a ;
b) por um ponto e uma reta que
não contenha este ponto, conforme mostra
a .
043
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Anotações
1
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A’
A
r’
r
s’
s
r’
s
s’
r
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Definição de Plano
Figura 1
Figura 2
Ainda,um plano pode ser definido:
c) por duas retas concorrentes,
conforme mostra a ;
d) por duas retas paralelas,
conforme mostra a .
044
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Anotações
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Traços do Plano
Figura 1
Figura 2
Figura 3
É a interseção do plano com os planos de
projeções.
’ é a interseção de com ’;
é a interseção de com .
Um plano pode possuir um ou dois traços.
Se possui dois traços ele podem ser
oblíquos à linha de terra, conforme mostra a
, onde ’e são oblíquos à linha
de terra e se interceptam no ponto (T). A
definição destes traços, por coordenadas,
será feita a partir do ponto de concurso dos
dois traços na linha de terra e o ângulo que
cada destes traços faz com a referida linha,
medidos segundo as convenções
trigonométricas.
Para um plano que possui dois traços se
interceptando na linha de terra, um desses
traços poderá ser perpendicular a esta
linha, como será visto adiante.
Os traços de um plano também poder ser
paralelos à linha de terra conforme
apresentado na . A definição dos
traços, por coordenadas, será feita através
do afastamento do traço horizontal e da
cota do traço vertical. Os traços poderão,
também, ser coincidentes com a linha de
terra.
A mostra uma terceira
possibilidadeonde o plano apresenta
apenas um traço. Isto ocorre quando o
plano é ortogonal a um dos planos de
projeções. Neste caso ele será,
obrigatoriamente, paralelo ao outro plano.
A definição do traço, neste caso, obedecerá
o mesmo critério do caso anterior.
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32
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0453
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano Horizontal
Figura 2 - Plano Frontal
Figura 3 - Plano de Topo
Os planos são classificados segundo a sua posição em relação aos planos de
projeções e aos planos bissetores.
É o plano paralelo ao plano horizontal de projeções. Em épura seu único traço
(vertical), é paralelo à linha de terra
É plano paralelo ao plano vertical de projeções. Em épura seu único traço
(horizontal), é paralelo à linha de terra
É o plano perpendicular ao plano vertical de projeções e oblíquo ao plano
horizontal de projeções. Em épura, seu traço horizontal é perpendicular à linha
de terra e o traço vertical é oblíquo a esta linha.
0463
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano Vertical
Figura 2 - Plano Paralelo à Linha de Terra
Figura 3 - Plano que contem a Linha de Terra
É o plano perpendicular ao plano horizontal de projeções e oblíquo ao plano
vertical de projeções. Em épura seu traço vertical é perpendicular à linha de
terra e o traço horizontal é oblíquo a esta linha.
É o plano paralelo à linha de terra e oblíquo aos dois planos de projeções.
Em épura seus dois traços são paralelos à linha de terra.
Plano que contem a linha de terra é oblíquo aos dois planos de projeções.
Para a definição dos traços (coincidentes com a linha de terra), é necessário
a definição de um ponto do plano que não pertença à linha de terra.
0473
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano de Perfil
Figura 2 - Plano Perpendicular ao Bissetor Ímpar
simétricos
Figura 3 - Plano Perpendicular ao Bissetor Par
É o plano ortogonal aos dois planos de projeções . Em épura seus traços são
perpendiculares à linha de terra e coincidentes
É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra, porém
perpendicular ao ( i). Tem como característica os traços oblíquos à linha de
terra e à esta linha.
É um plano oblíquo aos dois planos de projeções e à linha de terra, porém
perpendicular ao ( p Tem como característica os traços oblíquos à linha de
terra e coincidentes.
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0483
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Anotações
21
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��’ �� Capítulo 4 - Estudo do Plano
Classificação dos Planos
Figura 1 - Plano Paralelo ao Bissetor Par
Figura 2 - Plano Paralelo ao Bissetor
Ímpar
Figura 3 - Plano Qualquer
É um plano paralelo à linha de terra com
esta característica específica . Em épura
seus traços são paralelos e simétricos à
linha de terra.
É um plano paralelo à linha de terra com
esta característica específica . Em épura
seus traços são paralelos e coincidentes.
É um plano oblíquo aos dois planos de
projeções e à linha de terra. Tem como
característica os traços oblíquos à linha de
terra.
O plano Qualquer não possui nenhuma
propriedade específica.
0492
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Anotações
1
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Pertinência entre reta e Plano
Figuras 1 e 2- O plano é dado pelos
traços
Uma reta pertence a um plano quando os
traços desta reta estão sobre os traços de
mesmo nome do plano e, reciprocamente,
se os traços de uma reta estão sobre os
traços de mesmo nome de um plano, então
esta reta pertence ao plano..
050
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Anotações
2
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Pertinência entre reta e Plano
Figuras 1 e 2- O plano é definido por
duas retas, concorrentes ou paralelas
Neste caso, uma reta pertence a um plano
quando possuir pelo menos dois pontos
distintos sobre duas retas deste plano. Is to
significa que esta reta deve estar apoiada
em duas retas distinstas do plano, em
pontos distintos.
Ainda, uma reta pertence a um plano
quando apoiar-se em uma reta do plano e
for paralela a outra reta que pertença a
este plano.
1
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B
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A’
B’
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B
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0513
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Horizontal
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta de Topo
Figura 4 - Reta Horizontal
4
0523
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Frontal
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta Frontal
Figura 4 - Reta Vertical
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Anotações
21
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4
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano de Topo
Figura 2 - Reta de Topo
Figura 3 - Reta Qualquer
Figura 4 - Reta Frontal
0543
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Anotações
21
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4
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Vertical
Figura 2 - Reta Vertical
Figura 3 - Reta Horizontal
Figura 4 - Reta Qualquer
0553
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Paralelo à Linha de Terra
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 - Reta de Perfil
Figura 4 - Reta Qualquer
0563
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21
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M’
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4
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano que contem a Linha de
Terra
Figura 2 - Reta Fronto-Horizontal
Figura 3 -Reta de Perfil
Figura 4 - Reta Qualquer
0573
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano de Perfil
Figura 2 - Reta de Topo
Figura 3 - Reta de Perfil
Figura 4 - Reta Vertical
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21
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(u)
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Retas do Plano Qualquer
Figura 2 - Reta Qualquer
Figura 3 - Reta Horizontal e Reta Frontal
Figura 4 - Reta de Perfil
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2
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31
Capítulo 4 - Estudo do Plano
As Retas Principais de um Plano
Horizontal de um Plano
Figura 2
Frontal de um Plano
Figura 3
São assim denominadas as frontais e as
horizontais. Sua larga aplicação na
resolução de problemas lhes confere tal
importância.
Define-se como , a
reta deste plano que é paralela ao plano
horizontal de projeções - .
Define-se como , a
reta do deste plano que é paralela ao plano
vertical de projeções - .
Assim definidas, pode-se concluir que a
horizontal de um plano nem sempre é uma
reta horizontal, assim como a frontal de um
plano nem sempre é uma reta frontal.
Como exemplo, ao considerar-se a
definição acima, para um plano de topo, a
sua horizontal será uma reta de topo, posto
que, no caso deste plano, somente a esta
reta aplica-se tal definição.
0603
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Anotações
21
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Figuras 1 e 2 - Reta de Máximo Declive
Reta de Máxima
Inclinação
É a reta do plano que faz o maior ângulo
possível com o plano horizontal de
projeções. Este ângulo será o maior
quando a reta for perpendicular ao traço
horizontal do plano a ela pertence.
Figuras 3 e 4 -
É a reta do plano que faz o maior ângulo
possível com o plano vertical de projeções.
Este ângulo será o maior quando a reta for
perpendicular ao traço vertical do plano a
ela pertence.
0613
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Anotações
21
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u
u’
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O
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Paralelismo entre Reta e Plano
Figura 1
Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano
Figuras 2 e 3
Uma reta é paralela a um plano quando é paralela a uma reta deste
plano
- (r) é paralela a ( ), porque (r) é paralela a (s) e (s) pertence a
( ).
- Se são conhecidos um ponto e duas retas reversas,
para passar-se pelo ponto, um plano paralelo às referidas retas, este
será definido por duas concorrentes que passam pelo ponto e são
paralelas às duas retas conhecidas.
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0623
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Anotações
21
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Casos Fundamentais de paralelismo
entre Reta e Plano
Figuras 1 e 2
Se são conhecidas duas retas reversas,
para passar-se um plano por cada uma
delas paralelo à outra reta, a reta que
concorre com uma delas é paralela à outra
que define o plano procurado.
Figuras 3 e 4
As distâncias de duas reversas a um plano
serão iguais, se o plano for paralelo às
retas e passar pelo ponto médio de
qualquer segmento que una as duas retas.
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Anotações
2
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano
Figuras 1 e 2
Toda reta paralela a dois planos secantes, é paralela à interseção dos
referidos planos.
0643
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Anotações
21
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Paralelismo entre Planos
Casos Fundamentais de paralelismo
entre Planos
Figuras 3 -
Figuras 4 -
Figuras 1 e 2
Dois planos paralelos têm, pelo menos,
dois pares de retas paralelos entre sí.
Em épura, os traços de mesmo nome de
dois planos paralelos, serão paralelos.
Conduzir, pelo ponto (O), um
plano paralelo ao plano definido por (r) e
(s).
Construir os traços do plano
( ), paralelo ao plano ( ) e que passa por
(P).
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0653
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Anotações
21
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Paralelismo entre Planos
Casos Fundamentais de paralelismo
entre Planos
Figuras 3 e 4 -
Figuras 1 e 2 - Dados dois pontos (A) e
(B) e uma reta (r), distinta destes pontos,
para conduzir-se pelos pontos, planos
paralelos e equidistantes da reta, basta-se
determinar o plano que contem o ponto
médio do segmento resultante da união
dos dois pontos (A) e (B), dados e a reta
(r) dada, para, em seguida passar-se por
estes pontos planos paralelos àquele.
Dados três pontos não
colineares (A), (B) e (C) e uma reta (s), a
condução pelos pontos, de três planos
eqüidistantes entre sí e paralelos à reta
conhecida, será feita definindo-se um
deles pelo ponto intermediário (B) e por
uma reta paralela à reta dada e que
contem o ponto médio do segmento
limitado pelos pontos (A) e (C). Os demais
planos serão paralelos a este e conterão
os extremos (A) e (C).
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A
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066
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Anotações
2
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Casos Fundamentais de paralelismo entre Reta e Plano
Figuras 1 e 2
Por quatro pontos (A), (B), ( C) e (D) não coplanares, a condução, por
estes pontos, de quatro planos eqüidistantes, será determinada definindo-
se a divisão do segmento resultante da união dos pontos exteriores (A) e
(D) em três partes iguais, unindo-se os 2 pontos divisores aos pontos
internos (B) e ( C) dados, definindo-se, em seguida, os planos interiores e,
posteriormente, passando-se pelos pontos exteriores, dois planos
paralelos aos planos já definidos.
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067
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Anotações
2
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Figuras 1 e 2
Dois planos secantes determinam entre sí uma reta comum a eles.
As projeções da reta determinada pela interseção de dois planos, é
imediata, se um dos planos secantes for definidopor duas retas e o outro
for um plano projetante a um ou aos dois planos de projeções, tais como
os planos:
. Horizontal;
. Frontal;
. Vertical;
. Topo;
. Perfil.
068
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Anotações
2
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
A determinação da reta interseção de dois planos secantes fica mais ou
menos trabalhoso, em função dos elementos fornecidos pelo problema.
Em todos os casos, determina-se dois pontos da referida reta, ou apenas
um ponto se a direção desta reta for conhecida.
Cada ponto da interseção é determinado utilizando-se planos auxiliares,
que, dependendo-se dos elementos conhecidos, podem ser:
. Planos de projeções;
. Planos paralelos aos planos de projeções;
. Planos perpendiculares a um ou aos dois planos de projeções.
Quando dois planos secantes são dados por seus traços e estes
concorrem em pontos distintos, dentro dos limites da épura, utilizam-se os
planos de projeções ( ) e ( ’), como planos auxiliares para a determinação
da reta interseção dos dois planos.
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069
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Anotações
2
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
Quando dois dos traços de mesmo nome dos dois planos, forem
concorrentes dentro dos limitres da épura e os outros dois forem paralelos,
utiliza-se apenas um dos planos de projeções como plano auxiliar, já que a
reta interseção será paralela ao par de traços paralelos.
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070
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
Figura 3
Se dois dos traços homônimos concorrem
dentro dos limites da épura e dois deles
concorrem fora deste limite, utiliza-se um
plano de projeções e outro que lhe seja
paralelo, como planos auxiliares.
Este mesmo artifício se aplica quando os
pares de traços concorrem no mesmo
ponto da linha de terra, ou quando um
dos planos contem a linha de terra.
3
071
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
Se os dois planos secantes são paralelos à linha de terra, utiliza-se um plano
perpendicular a um ou aos dois planos de projeções, como plano auxiliar.
Neste caso, sabe-se que a reta interseção de dois planos paralelos à linha de
terra é uma fronto-horizontal, portanto necessita-se de apenas um ponto para
a sua determinação, já que a sua direção é conhecida.
072
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Anotações
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Capítulo 4 - Estudo do Plano
Planos Secantes
Casos Gerais
Figuras 1 e 2
Se os traços homônimos concorrem fora dos limites da épura, utilizam-se
dois planos paralelos a um dos planos de projeções (plano vertical ou plano
horizontal), como planos auxiliares.
Este mesmo procedimento será aplicado para os casos em que um dos
planos secantes é definido por um par de concorrentes, ou um par de
paralelas, ou, ainda, quando os dois planos secantes, o forem assim
definidos.
A escolha de planos auxiliares paralelos ao plano vertical de projeções, ou
ao plano horizontal de projeções, será determinada em função das
características do problema, levando-se em consideração as facilidades que
a escolha de um ou de outros possibilitem.
Estas facilidades estão relacionadas à posição dos traços, ou das retas que
compõem o problema.
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Luiz Fernando Reis
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Anotações
2
1
Capítulo 4 - Estudo do Plano
Interseção de Reta e Plano
Figuras 1 e 2
A interseção de uma reta com um plano que não seja projetante, se faz
através da passagem, por esta reta, de um plano auxiliar que seja projetante
a um dos planos de projeções. Em seguida, determina-se a interseção deste
plano com o plano dado. A reta resultante da interseção entre os dois planos
terá um ponto em comum com a reta dada. Este ponto será o ponto de
interseção procurado.
Se o plano dado for projetante, a determinação da interseção será feita de
forma direta.
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
I - Dados os planos por seus traços,
classifica-los.
01 - ____________________________
02 - ____________________________
03 - ____________________________
04 - ____________________________
05 - ____________________________
06 - ____________________________
07 - ____________________________
08 - ____________________________
09 - ____________________________
10 - ____________________________
11 - ____________________________
12 - ____________________________
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
II - Dados os planos definidos por duas
retas (r) e (s) , determinaros seu traços.
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Capítulo 4 - EstudodoPlano
Exercícios
III - Dados os planos por seus traços,
determinar a outra projeção da reta (r),
que lhepertence.
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