GEOMETRIA DESCRITIVA PASSO A PASSO

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Universidade Federal de Campina GrandeUniversidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e TecnologiaCentro de Ciências e Tecnologia
Unidade Acadêmica de Eng. de ProduUnidade Acadêmica de Eng. de Produççãoão
Autor: Windsor Ramos da SilvaAutor: Windsor Ramos da Silva
Geometria Descritiva Geometria Descritiva 
PassoPasso--aa--PassoPasso
Índice Índice Geral
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Procedimentos para Navegação
Os Slides possuem links entre si: o primeiro 
refere-se a apresentação do trabalho (Slide 1) o 
segundo refere-se ao modo de navegar pelo 
trabalho (Slide 2), a partir deste slide o usuário 
pode voltar ao slide anterior, ou seja, o slide inicial 
(Slide 1) ou ir para os slides seguintes, como 
índice com os tópicos referentes a cada assunto 
(Slide 3 e 4). A partir daí, clicando no campo 
específico, o usuário poderá escolher o tópico o 
qual vai estudar, por exemplo, clicando no tópico 
Sistemas de Projeções vai para o slide referente a 
este assunto, daí, pode voltar para o índice geral 
ou ir para slide com outro assunto, por exemplo 
Distância Perpendicular entre duas Retas 
Reversas, dessa forma o usuário pode navegar sem 
problemas verificando todo assunto referente a 
Geometria Descritiva .
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Vai ao Slide seguinte
Volta ao Índice do TópicoÍndice
Volta ao Índice GeralÍndice Geral
Sistemas de Projeções
Estudo do Ponto
Estudo da Reta
Métodos Descritivos
Plano Auxiliar Primário e Projeção Pontual da Reta 
Direção de uma Reta
Inclinação de uma Reta
Pontos Colineares
Pontos Coplanares
Posição Relativa das Retas
ÍNDICE
Verdadeira Grandeza da Reta 
Tópico 02
Tópico 05
Tópico 04
Tópico 03
Tópico 01
Tópico 06
Tópico 07
Tópico 08
Tópico 09
Tópico 10
Tópico 11
Interseção entre Planos (Visibilidade)
Ângulo entre Planos (Ângulo Diedro)
Interseção entre Planos
ÍNDICE
Estudo do Plano
Verdadeira Grandeza de um Plano
Inclinação de um Plano
Distância Perpendicular entre Ponto e Plano
Interseção entre Reta e Plano
Ângulo entre Reta e Plano
Interseção entre Reta e Plano (Visibilidade)
Posições Relativas das Retas no Espaço 
Índice Geral
Tópico 13
Tópico 15
Tópico 16
Tópico 17
Tópico 14
Tópico 12
Tópico 22
Tópico 20
Tópico 18
Tópico 19
Tópico 21
Índice Geral
SISTEMAS DE PROJESISTEMAS DE PROJEÇÇÕESÕES
ββββ
/OBLÍQUA 
ββββ
ββββ
SISTEMAS DE PROJESISTEMAS DE PROJEÇÇÕESÕES
a1
a2
a3
a4 a7
a8
A B
C
B1A1
C1
A B
C
B1A1
C1
A B
C
A1 B1
C1
CENTRAL OU CÔNICA CILÍNDRICA: ORTOGONAL 
Oa6
a5
A
A projeção de um ponto sobre um plano
é a interseção de uma reta que passa
por um ponto (Reta Projetante) de 
um plano de projeção.
Índice Geral
ESTUDO DO PONTO
pppp Estudo do Ponto
pppp Estudo da Representação do Ponto
pppp Desenvolvimento dos Diedros
pppp Projeções Ortográficas nos Diedros
pppp Representação do Ponto
pppp Posicionamento de Elementos num Espaço
pppp Posições do Ponto em Relação aos Planos de Projeção
pppp Posições do Ponto
Índice Geral
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PONTOESTUDO DO PONTO
ESTUDO DO PONTOESTUDO DO PONTO
O ponto é o menor elemento da Geometria e dar 
origem aos demais elementos Geométricos.
Apesar da sua importância não existe problemas 
geométricos apenas com o ponto e sim quando 
este estiver em conjunto com outros elementos.
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PONTOESTUDO DO PONTO
O ponto em relação aos planos de projeções, pode 
está situado no 1o, 2o, 3o e 4o diedros, mas não é
interessante a representação no 2o e 4o diedros 
tendo em vista a superposição de imagens após o 
rebatimento dos planos de projeções sobre o plano 
vertical.
O sistema de representação no 1o diedro é utilizado 
nas normas DIN (DASS. INT. NORM) e o no 3o diedro 
pelas normas ASA (American Standard Association).
Índice Índice Geral
No Brasil as representações podem ser feitas pelos 
dois sistemas, com preferência para a projeção 
ortogonal no 1o diedro.
Os diedros estão formados pela interseção de dois 
planos, um vertical e outro horizontal, a reta 
interseção entre os dois planos é chamada de Linha 
de Terra e é comum aos quatro semi-planos:
���� PVS - Plano Vertical Superior
���� PVI - Plano Vertical Inferior
���� PHA Plano Horizontal Anterior 
���� PHP - Plano Horizontal Posterior
Índice Índice Geral
ββββ
ββββ
ESTUDO DA REPRESENTAESTUDO DA REPRESENTAÇÇÃO DO PONTOÃO DO PONTO
a'
b'
c'
ac b
a'
b'
c'
Índice Índice Geral
DESENVOLVIMENTO DOS DIEDROSDESENVOLVIMENTO DOS DIEDROS
(Gaspard Monge)(Gaspard Monge)
11oo DiedroDiedro22oo DiedroDiedro
33oo DiedroDiedro 44oo DiedroDiedro
T
L
a'
a
Plano Vertical Plano Vertical 
SuperiorSuperior
Plano Horizontal Plano Horizontal 
AnteriorAnterior
Plano Horizontal Posterior
Pl
an
o
 
Ve
rt
ic
al
 
In
fe
rio
r
A
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
PROJEPROJEÇÇÕES NOS DIEDROSÕES NOS DIEDROS
Z
Y
X
PH
PV
O
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 1o DIEDRO
PH
PV
Índice Índice Geral
Z
Y
X
PH
PV
O
No 2o Diedro acontece 
superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 2o DIEDRO
PV
PH
Índice Índice Geral
Z
Y
X
PH
PV
O
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 3o DIEDRO
PH
PV
Índice Índice Geral
PH
PV
Z
Y
X
PH
PV
O
No 4o Diedro acontece 
superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 4o DIEDRO
Índice Índice Geral
PH
PV
REPRESENTAREPRESENTAÇÇÃO DO PONTOÃO DO PONTO
PH
PV
L T
L
T
PH
a
a'
a
A a'
a
Índice Índice Geral
Para posicionar os elementos num espaço 
tridimensional determina-se um ponto “O” chamado 
ponto de referência que é o ponto comum aos três 
planos principais de projeção.
A partir do ponto “O” de origem para localizar os 
elementos usa-se o sistema de coordenadas 
cartesianas: Abscissa (X), Afastamento (Y) e Cota (Z).
Sobre o eixo X marca-se a abscissa, 
Sobre o eixo Y marca-se o afastamento,
Sobre o eixo Z marca-se a cota.
Todos os valores deverão ser sempre positivos e 
escritos em milímetro.
POSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAPOSICIONAMENTO DE ELEMENTOS NUM ESPAÇÇO:O:
Índice Índice Geral
PH
PH
PV
PV
Z
PP
Y
PH
X
Y
O
POSIPOSIÇÇÃO DO PONTO EM RELAÃO DO PONTO EM RELAÇÇÃO AOS ÃO AOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
Abscissa
a
a''
Af
as
ta
m
en
to
Co
ta
s
a
a''
Abscissa
Cota
Afastamento
ÉÉPURAPURA
A(30, 15, 20)A(30, 15, 20)
Abscissa Afastamento
Cota
a'
a
PP
PP
a''
a
a'
a''
A
a'
PH
PV PPX
Z
Y
Y
O
Afastamento
Índice Índice Geral
1. Plano Vertical (A) (X e Z)
2. Plano Horizontal (B) (X e Y)
3. Plano de Perfil (C) (Y e Z)
4. Eixo X (D) (PH e PV)
5. Eixo Y (E) (PH e PP)
6. Eixo Z (F) (PV e PP)
7. Origem (G) (PV, PH e PP)
8. No espaço (H) (X, Y, Z - diferentes de zero)
O ponto em relação aos planos de projeções, pode 
ocupar 8 (oito) posições distintas:
Índice Índice Geral
Quando um ponto pertence a um dos planos de 
projeção, é representado em Épura através de suas 
duas projeções e do próprio ponto.
O ponto pertencente a um dos eixos é representado 
por este e por mais duas projeções, se coincidir com 
o ponto “O” de origem a representação em Épura é
o próprio ponto e suas projeções.
A representação de um ponto no espaço é feita 
através das três projeções, nos planos: vertical, 
horizontal e de perfil.
POSIPOSIÇÇÕES DO PONTOÕES DO PONTO
Índice Índice Geral
z
x
PV
y
PP
PH
POSIPOSIÇÇÕES DO PONTO EMRELAÕES DO PONTO EM RELAÇÇÃOÃO
AOS PLANOS DE PROJEAOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
d''
H,h,h',h'' 
b'
b
b''
f f''F
g'g''G
B
ee'E
2. Plano Vertical (B) (X e Z)
4. Plano de Perfil (D) (Z e Y)
5. Eixo X (E) (Interseção PV e PH)
6. Eixo Y (F) (Interseção PH e PP)
3. Plano Horizontal (C) (X e Y) 7. Eixo Z (G) (Interseção PV e PP)
8. Origem (H) (PH, PV, PP)
1. No Espaço (A) (X, Y, Z - diferente de zero)
d
d'
A
a"a'
a
c''
C
D
PH
PV PH
X
Z
Y
Y
h h''h'H
ÉÉPURAPURA
b''
b
b'B
c''ee'Ec'
cC
d''D
a''
a'
a
g'g''G
Ff
F f''
d
d'
c
c'
Índice Índice Geral
Pontos ColinearesPontos Colineares
a'
b'
O
PPPV
PH
Z
X
Y
Y
c'
a
b
c
a''
b''
c''
Três ou mais pontos 
são Colineares se e se 
somente se, por estes 
pontos passar uma reta 
imaginária.
Na representação em 
épura dos pontos em 
cada plano de projeção, 
também ficam numa 
mesma linha reta.
Índice Geral
Pontos CoplanaresPontos Coplanares
a'
b'
c'
a
b
c
a''
b''
c''
O
PPPV
PH
Z
X Y
Y
Pontos Coplanares são 
três ou mais pontos por 
onde se pode passar 
um plano imaginário. Se 
por dois pontos se pode 
passar infinitos planos, 
por um conjunto de 
pontos Coplanares 
composto de pelo 
menos três pontos 
pode-se passar apenas 
um e um único plano.
Índice Geral
ESTUDO DA RETA
pppp Estudo da Reta
pppp Posições Relativas das Retas
pppp Identificação das Retas
pppp Propriedades: Retas do Primeiro Grupo
pppp Propriedades: Retas do Segundo Grupo
pppp Propriedades: Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
A projeção de uma reta sobre um plano de projeção, 
é o lugar geométrico das projeções de todos os seus 
pontos sobre este plano. De um modo geral a 
posição de uma reta no espaço fica bem determinada 
quando são conhecidas as posições dessa reta, 
sobre dois ou mais planos ortogonais. (Planos de 
Projeção).
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS
Em relação aos planos de projeção as retas 
podem ocupar várias posições em relação aos 
planos de projeção, posições estas que 
determinam propriedades e identidades. As retas 
estão divididas em três grupos distintos, devido 
o posicionamento destas com os planos de 
projeção.
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
IDENTIFICAÇÃO DAS RETAS
Retas do 1o GRUPO
1. Ao PH - Reta Vertical
2. Ao PV - Reta de Topo
3. Ao PP - Reta Fronto-Horizontal
Retas do 2o GRUPO
1. Ao PH - Reta Horizontal
2. Ao PV - Reta Frontal
3. Ao PP - Reta Perfil
1. Ao PV, PH e PP - Reta QualquerRetas do 3o GRUPO
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 1o Grupo: São retas perpendiculares a um 
dos planos principais de projeção. Neste plano 
principal a projeção da reta se reduz a um PONTO, o 
qual chamamos de projeção pontual da reta. 
Sendo a reta perpendicular a um plano é paralela aos 
outros dois planos adjacentes, nestes planos as retas 
se apresentam em suas dimensões reais, que 
chamamos de VG, ou seja, Verdadeira Grandeza da 
reta.
Índice Índice Geral
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICALRETA VERTICAL
Z
YX
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''a'
b'
ba
VGVG
a''
b''
A
a
Bb'
a'
b
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'' d''d'
c
d
RETA DE TOPORETA DE TOPO
Z
Y
YX
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
c'
VG
VG
d''
c'd'
c''
C
d
D
c
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e' f'
e f
RETA FRONTORETA FRONTO--HORIZONTALHORIZONTAL
Z
YX
Y
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
f''e''
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJERETAS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
RETA VERTICALRETA VERTICAL RETA DE TOPORETA DE TOPO
RETA FRONTORETA FRONTO--
HORIZONTALHORIZONTAL
A
a’’
a
Bb'
a'
b
b''
VG
VG
c'd'
c'' d''
C
d
D
c
VG
VG
E
F
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f
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e
e'' f''
VG
VG
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''
ba
a'
b'
VG VG
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
c'' d''c'd'
o
c
d
VG
VG
e' f'
e f
e''f''
o
Z
YX
Y
PV
PH
PP
VG
VG
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 2o Grupo: São retas paralelas a um dos 
planos principais de projeção, neste plano principal 
de projeção a reta se apresenta em V.G. (Verdadeira 
Grandeza) e nos outros dois planos se apresentam
oblíquas, portanto, em projeção reduzidas.
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''b'a'
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''d'
c'
RETA FRONTALRETA FRONTAL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
RETA DE PERFILRETA DE PERFIL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
PV
e''
F
fe
f''
e'
f'
E VG VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJERETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL RETA FRONTALRETA FRONTAL RETA DE PERFILRETA DE PERFIL
a' A
a’’
a
Bb'
b''
b
VG
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
f''
f
E
F
e'
f'
e''
e
VG
e''
f''
e'
f'
e
f
X PP
Y
Y
Z
o
PV
PH
VG
X PP
Y
Y
Z
o
PV
PH
c
c''
d
d''d'
c'
VGb''
PV
PH
X PP
Y
Y
Z
o
a
b
a''b'a'
VG
Índice Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 3o Grupo: São retas oblíquas aos três 
planos principais de projeção. 
Não apresentam projeção em V. G. (Verdadeira 
Grandeza).
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV b'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLRETAS OBLÍÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
RETA QUALQUERRETA QUALQUER
b'
A
a''
a
B
a'
b''
b
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
Índice Índice Geral
POSIPOSIÇÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇÇOO
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS PARALELASRETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTESRETAS COINCIDENTES
d
d'
b
b'
a
a'
c
c'
o
Y
Z
PV
PH
X
b
a
b'
a'
d
c
d'
c'
Índice Geral
RETAS CONCORRENTES E REVERSASRETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as 
projeções do ponto de concorrênciaestiverem sobre 
uma mesma perpendicular
c
c'
a
a' d'
d
b'
b
p
p'
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS CONCORRENTESRETAS CONCORRENTES
RETAS REVERSASRETAS REVERSAS
o
Y
Z
PV
PH
X
c
d'
c'
da
a'
b'
b
POSIPOSIÇÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇÇOO
Índice Índice Geral
MÉTODOS DESCRITIVOS
pppp Métodos Descritivos
pppp Mudança de Plano de Projeção
pppp Método de Rotação
pppp Método de Rebatimento
Índice Geral
ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Para resolvermos problemas espaciais, 
recorremos aos métodos descritivos, que são:
1. Mudanças de Planos de Projeção
2. Rotação
3. Rebatimento
Índice Índice Geral
ESTUDO DA
 RETAESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Mudanças de Planos de Projeção: Consiste em 
considerar a figura fixa e determinar uma nova 
projeção sobre um plano auxiliar perpendicular a 
um plano de projeção. Este deve ser paralelo à
figura no espaço.
Índice Índice Geral
ESTUDO
 DA RETAESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Método de Rotação: Consiste em fazer girar a 
figura em torno de um eixo de rotação conveniente, 
até que ela venha ocupar uma posição desejada.
Índice Índice Geral
ESTUDO
 DA RETAESTUDO DA RETA
MÉTODOS DESCRITIVOS:
Método de Rebatimento: Este método conduz a 
traçados simples, é utilizado em muitos problemas, 
cujo tratamento descritivo exigirá a rigor, apenas 
uma mudança de plano e uma única rotação.
Índice Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
pppp Verdadeira Grandeza da Reta
pppp V. G. por Mudança de Plano de Projeção
pppp V. G. por Rotação
Índice Geral
ESTUDO
 DA RETAESTUDO DA RETA
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
Determinar a V.G. de uma reta qualquer consiste 
em colocar um plano auxiliar de projeção, 
perpendicular a um dos planos principais de 
projeção e paralelo a reta. 
Índice Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETAVERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
PP
PA1
PA1
PH
PV
PA1
a'
b'
a1
b''
b
a
a1
b1
b1
b1
a1
a''
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
V.G.
V.G.
V.G.
Mudança de Planos de Projeção
Índice Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETAVERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
POR ROTAPOR ROTAÇÇÃOÃO
Consiste em fazer girar a reta em torno de um 
eixo de rotação conveniente, até que ela venha 
ocupar uma posição desejada.
Quando se tratar da V.G. de uma reta qualquer 
sobre o PH deve-se transformar esta em uma 
reta Horizontal, sobre o PV em uma reta Frontal e 
sobre o PP em uma reta de Perfil.
Índice Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETAVERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
POR ROTAPOR ROTAÇÇÃOÃO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
b
a
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
b
a
a'
a
VG
a
VG
a'
Método de Rotação
Reta Frontal
Reta Horizontal
Índice Índice Geral
PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO 
E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
pppp Projeção Pontual da Reta nos Planos Principais
pppp Projeção Pontual das Retas: Vertical e Horizontal – no PA1
pppp Projeção Pontual da Reta Qualquer – no PA2
Índice Geral
PLANO AUXILIAR PRIMPLANO AUXILIAR PRIMÁÁRIO RIO 
E PROJEE PROJEÇÇÃO PONTUAL DE RETAÃO PONTUAL DE RETA
A projeção pontual de uma reta é determinada num 
plano de projeção perpendicular à reta no espaço. Por 
Exemplo: A reta de Topo tem projeção pontual no PV, 
a reta Vertical tem esta projeção no PH e a reta 
Fronto-Horizontal tem projeção pontual no PP. Para as 
retas Frontal, Horizontal e de Perfil fazemos uso de 
um Plano Auxiliar Primário (PA1) e que deve ser 
colocado perpendicularmente atrás ou à frente dessas 
retas. Em Épura isto significa colocar o eixo do plano 
auxiliar primário, perpendicular à projeção da reta em 
VG, e fazer a projeção neste plano auxiliar (PA1).
Índice Índice Geral
PLANO AUXILIAR PRIMPLANO AUXILIAR PRIMÁÁRIO RIO 
E PROJEE PROJEÇÇÃO PONTUAL DE RETAÃO PONTUAL DE RETA
o
Y
Z
PV
PH
X
a
b
b'a'
PH
PA1
a1b1
b’
PROJEPROJEÇÇÃO PONTUALÃO PONTUAL
DA RETA VERTICAL DA RETA VERTICAL -- PHPH
o
Y
Z
PV
PH
X
PROJEPROJEÇÇÃO PONTUALÃO PONTUAL
DA RETA HORIZONTAL DA RETA HORIZONTAL -- PA1PA1
a,
VG
VG
a’
b
Índice Índice Geral
o
Y
Z
PV
PH
X
a
b
a'
b'
PA1PA2
PH
PA1
PLANO AUXILIAR SEGUNDPLANO AUXILIAR SEGUNDÁÁRIO RIO 
E PROJEE PROJEÇÇÃO PONTUAL DE RETAÃO PONTUAL DE RETA
PROJEPROJEÇÇÃO PONTUAL DA RETA QUALQUER ÃO PONTUAL DA RETA QUALQUER –– PA2PA2
VG
a1 b1a2b2,
Índice Índice Geral
DIREÇÃO DE RETA
pppp Direção de Reta
pppp Direção da Reta Horizontal 
pppp Direção das Retas do Primeiro Grupo
pppp Direção das Retas do Segundo Grupo
pppp Direção das Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
DIREDIREÇÇÃO
 DE RETAÃO DE RETA
A direção de uma reta é o ângulo formado entre o 
NORTE (de frente para o P.V.) e a projeção Horizontal 
da reta, sua determinação é feita a partir do ponto 
que inicia a reta (Origem da Reta). A direção é
calculada através do AZIMUTE, e se faz no sentido 
dos ponteiros do relógio, a partir do Norte e expresso 
em graus. Esta conceituação é aplicável para os três 
Grupos de Retas. A Reta Vertical é a única que não 
possui direção, por se apresentar sobre o Plano 
Horizontal em projeção pontual. 
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
DIREDIREÇÇÃO DA RETA HORIZONTALÃO DA RETA HORIZONTAL
b' a''
a
a' b''
b
o
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
o
A
B
a'
b'
b
a'' b''
a
VG
VG
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
DIREDIREÇÇÃO DAS RETASÃO DAS RETAS
DO PRIMEIRO GRUPODO PRIMEIRO GRUPO
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICALRETA VERTICAL
Z
YX
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''a'
b'
ba
VGVG
a''
b''
A
a
Bb'
a'
b
VG
VG
θ = 0o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'' d''d'
c
d
RETA DE TOPORETA DE TOPO
Z
Y
YX
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
c'
VG
VG
θcd = 180o
θdc = 0o ou 360oθdc = 0o ou 
360o
θcd = 180o
d''
c'd'
c''
C
d
D
c
VG
VG
θdc = 0o ou 
360o
θcd = 180o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e' f'
e f
RETA FRONTORETA FRONTO--HORIZONTALHORIZONTAL
Z
YX
Y
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
f''e''
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
VG
VG
θef = 90o
θfe = 270o
θfe = 270o
θef = 90o
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
DIREDIREÇÇÃO DAS RETASÃO DAS RETAS
DO SEGUNDO GRUPODO SEGUNDO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''b'a'
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
VG
VG
θab = 125o
θba = 305o
θba = 305o
θab = 125o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''d'
c'
RETA FRONTALRETA FRONTAL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
VG
θcd = 90o
θdc = 270o
θdc = 270o
θcd = 90o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
RETA DE PERFILRETA DE PERFIL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO:PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
PV
e''
F
fe
f''
e'
f'
E VG VG
θef = 180o
θfe = 0o ou 360o
θef = 180o
θfe = 0o ou 
360o
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
DIREDIREÇÇÃO DAS RETASÃO DAS RETAS
DO TERCEIRO GRUPODO TERCEIRO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV b'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLRETAS OBLÍÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
RETA QUALQUERRETA QUALQUER
b'
A
a''
a
B
a'
b''
b
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
θba = 45o
θab = 225o
θab = 225oθba = 45o
Índice Índice Geral
INCLINAÇÃO DE RETA
pppp Inclinação de Reta
pppp Inclinação de uma Reta Frontal
pppp Inclinação das Retas do Primeiro Grupo
pppp Inclinação das Retas do Segundo Grupo
pppp Inclinação das Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
INCLINAINCLINAÇÇÃO
 DE RETAÃO DE RETA
A inclinação de uma reta é o ângulo formado entre a 
reta e o Plano Horizontal de Projeção.
A inclinação que a reta tem em relação ao Plano 
Horizontal de Projeção é determinada no plano de 
projeção onde a reta mostra a sua V.G. e este plano 
deve ser perpendicular ao plano horizontal. As retas 
do 1o Grupo tem inclinação máxima ou mínima. Já as 
retas do 2o Grupo têm a inclinação mostrada em um 
dos dois planos, P.V. ou P.P., por serem 
perpendiculares ao P.H.. Para as retas do 3o Grupo é
necessário colocar um plano auxiliar de projeção 
perpendicular ao P.H. e paralelo a reta no espaço. 
Portanto a inclinação será expressa em graus e 
medida com o transferidor.
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV a''
a
b'
a'
b''
b
o
INCLINAINCLINAÇÇÃO DE RETAÃO DE RETA
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o o
A b
a
a'
Bb'
a''
b''
VG
VG
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
INCLINAINCLINAÇÇÃO DAS RETAS ÃO DAS RETAS 
DO PRIMEIRO GRUPODO PRIMEIRO GRUPO
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICALRETA VERTICAL
Z
YX
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''a'
b'
ba
VGVG
a''
b''
A
a
Bb'
a'
b
VG
VG
φab = 90o
φab = 90o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'' d''d'
c
d
RETA DE TOPORETA DE TOPO
Z
Y
YX
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
c'
VG
VG
d''
c'd'
c''
C
d
D
c
VG
VG
φcd = 0o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e' f'
e f
RETA FRONTORETA FRONTO--HORIZONTALHORIZONTAL
Z
YX
Y
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
f''e''
E
F
e'
f
f'
e
e'' f''
VG
VG
VG
VG
φef = 0o
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
INCLINAINCLINAÇÇÃO DAS RETAS ÃO DAS RETAS 
DO SEGUNDO GRUPODO SEGUNDO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''b'a'
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
VG
VG φab = 0o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''d'
c'
RETA FRONTALRETA FRONTAL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C d
D
c
c'
VG
VG
φcd = 45o
φab = 45o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
RETA DE PERFILRETA DE PERFIL
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO: PARALELAS A UM GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEDOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
PV
e''
F
fe
f''
e'
f'
E VG VG
φef = 35o
φab = 35o
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
INCLINAINCLINAÇÇÃO DAS RETAS ÃO DAS RETAS 
DO TERCEIRO GRUPODO TERCEIRO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV b'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLRETAS OBLÍÍQUAS AOS TRÊS DE PLANOS PROJEQUAS AOS TRÊS DE PLANOS PROJEÇÇÃOÃO
RETA QUALQUERRETA QUALQUER
b'
A
a''
a
B
a'
b''
b
Y
YX
PV
PH
PP
Z
o
PH
PA1 b1
a1
φab = 28o
Índice Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
pppp Retas Paralelas
pppp Distâncias entre Retas Paralelas
pppp Retas Concorrentes e Reversas
pppp Retas Perpendiculares
pppp Pertinência Ponto-Reta
pppp Distância Perpendicular entre Ponto e Reta
pppp Distância Perpendicular entre Retas Reversas
pppp Retas Paralelas e Coincidentes
Índice Geral
pppp Plano Auxiliar Secundário
POSIPOSIÇÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇÇOO
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS PARALELASRETAS PARALELAS RETAS COINCIDENTESRETAS COINCIDENTES
d
d'
b
b'
a
a'
c
c'
o
Y
Z
PV
PH
X
b
a
b'
a'
d
c
d'
c'
Índice Índice Geral
RETAS CONCORRENTES E REVERSASRETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as 
projeções do ponto de concorrência estiverem sobre 
uma mesma perpendicular
c
c'
a
a' d'
d
b'
b
p
p'
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS CONCORRENTESRETAS CONCORRENTES
RETAS REVERSASRETAS REVERSAS
o
Y
Z
PV
PH
X
c
d'
c'
da
a'
b'
b
POSIPOSIÇÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇÇOO
Índice Índice Geral
RETAS PERPENDICULARESRETAS PERPENDICULARES
Duas retas concorrentes são perpendiculares 
quando num plano de projeção as duas retas 
aparecem perpendiculares entre si e pelo menos 
uma delas aparece em V.G., neste plano.
Para as retas do 1o e 2o Grupos esta 
perpendicularidade é vista em um dos planos 
principais. No caso de duas retas quaisquer, a 
perpendicularidade deverá ser determinada onde 
encontrarmos a V.G. de pelo menos uma das retas, 
isto poderá ser determinado no P.A.1.
Índice Índice Geral
PA1
PH
d1
POSIPOSIÇÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇÇOO
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS PERPENDICULARESRETAS PERPENDICULARES
o
Y
Z
PV
PH
X
d
b'
b
d'
c
c'
a
a'
e'
e
b1
c1
a1
a
b'
b
c'
c d
a'
d'
e'
e
e1
VG
Índice Índice Geral
POSIPOSIÇÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇÇOO
Duas retas são paralelas quando suas projeções 
de mesmo nome sobre pelo menos dois planos 
são paralelas. Com exceção as retas de perfil, que 
necessita da projeção no plano de perfil.
RETAS PARALELASRETAS PARALELAS
Índice Índice Geral
A distância entre duas retas paralelas é determinada em um 
plano de projeção em que se encontram as projeções 
pontuais das retas. Para as retas do 1o Grupo, as projeções 
são encontradas em um dos Planos Principais, podemos 
dizer que a solução é imediata. Já para as retas do 2o Grupo 
as projeções pontuais são encontradas num Plano Auxiliar 
Primário colocado perpendicularmente as retas no espaço.
Em Épura, isto significa colocar o eixo perpendicular à
projeção que está em V.G. encontrando, portanto as 
projeções pontuais das retas. Para as retas quaisquer se 
faz necessário o uso de um Plano Auxiliar Secundário, 
colocado também, perpendicular à projeção que esteja em 
V.G. e encontrando as projeções pontuais, 
consequentemente a distância entre as retas.
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELASDISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
Índice Índice Geral
D
D
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE 
RETASDO 1RETAS DO 1OO GRUPOGRUPO
RETAS VERTICAISRETAS VERTICAIS RETAS DE TOPORETAS DE TOPO
o
Y
Z
PV
PH
X
o
Y
Z
PV
PH
X
a,b
a’
b’
VG
c’
c,d
d’
VG
b’a’
a
b
VG
d’c’
c
d
VG
Índice Índice Geral
a”b”
d’
d
a’
a
c’
c
b’
b
c”d’’
Distância
Perpendicular
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
RETAS DO 1RETAS DO 1OO GRUPO GRUPO 
RETAS FRONTORETAS FRONTO--HORIZONTAISHORIZONTAIS
VG
VG
VG
VG
o
Y
Z
PV
PH
X Y
PP
Índice Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO GRUPO 
d
d'
c
c'
a
a'
b
b'
o
Y
Z
PV
PH
X
Distância
Perpendicular
o
Y
Z
PV
PH
X
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
Distância
Perpendicular
PH
PA1
PV
PA1
RETAS HORIZONTAISRETAS HORIZONTAIS RETAS FRONTAISRETAS FRONTAIS
VG VG
VG
VG
b1a1 d1c1
a1b1c1d1
Índice Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
RETAS DO 2RETAS DO 2OO GRUPO GRUPO 
RETAS DE PERFILRETAS DE PERFIL
PP
Y
YX
PV
PH
Z
Distância
Perpendicular
c''
a''
c'
d'
c
d
a'
b'
a
b
b''
d''
c1d1
a1b1
PP
PA1
VG
VG
Índice Índice Geral
PLANO AUXILIAR SECUNDPLANO AUXILIAR SECUNDÁÁRIORIO
É qualquer plano de projeção perpendicular a um 
plano auxiliar primário.
Para determinar a distância perpendicular entre as 
retas paralelas do 3o Grupo, se faz necessário 
determinar as V.Gs., destas num PA1. Para isto 
coloca-se o eixo do PA2 perpendicular as V.Gs. 
como se faz para as retas do 2o Grupo.
Índice Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTREDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
RETAS DO 3RETAS DO 3OO GRUPO GRUPO 
RETAS QUAISQUERRETAS QUAISQUER
o
Y
Z
PV
PH
X
c
c'
d
d'
a
a'
b
b'
Distância
Perpendicular
PH
PA1
PA1PA2
a1
c1 d1
b1
b1a1
d1c1
VG
VG
Índice Índice Geral
Um ponto pertence a uma reta, quando as 
projeções desse ponto estão sobre as projeções de 
mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal 
do ponto sobre a projeção horizontal da reta, a 
projeção vertical do ponto sobre a projeção vertical 
da reta e a projeção de perfil do ponto sobre a 
projeção de perfil da reta.
PERTINÊNCIA PONTO E RETAPERTINÊNCIA PONTO E RETA
Índice Índice Geral
Y
o
Z
YX
PV
PH
PP
b''
a''a'
b'
c' c''
ba c
PERTINÊNCIA DE PONTO E RETAPERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
o
Z
YX
PV
PH
PP
b'
a' a''
b''
a
b
c
c''c'
Y
b''
o
Z
YX
PV
PH
PP
a
b
a''b'a'
c
c''c'
Y
Índice Índice Geral
A distância perpendicular entre um ponto e uma reta do 1o
Grupo, é vista em um dos planos principais de projeção. No 
caso da Reta de Topo a distância é vista no PV, da Reta 
Vertical no PH e da Reta Fronto-horizontal no PP. Daí conclui-
se que a distância é medida no plano de projeção onde se 
encontra a projeção pontual da reta e projeção do ponto.
Para medir a distância entre um ponto e uma reta do 2o Grupo 
sua projeção pontual está no PA1, assim como a projeção do 
ponto, feita a partir de mudança de planos. É neste plano que 
se faz a medição. 
Já as retas do 3o Grupo, encontra-se a VG da reta no PA1 bem 
como a projeção do ponto, em seguida coloca-se um plano de 
projeção PA2 de frente para a VG da reta, ou seja 
perpendicular, projetando assim a projeção pontual da reta e a 
projeção do ponto, portanto, a medição é feita como nos 
demais casos.
DISTÂNCIA PERPENDICULAR PONTO E RETADISTÂNCIA PERPENDICULAR PONTO E RETA
Índice Índice Geral
Y
PH
X
Z
PV
PP
A
a''
a
B
a'
b
b''
b'
p
Pp' p''
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETADISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA
RETA VERTICALRETA VERTICAL
b''
a''a'
b'
ab
p´ p´´
p
o
Z
Y
X
PV
PH
PP
Y
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTALRETA HORIZONTAL
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETADISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA
b''
a
b
a''b'a'
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PA1
PH
Distância
Perpendicular
a1b1
p
p' p''
p1a
a'
a''
Bb'
b''
b
A
p
Pp'
p''
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
b'
a' a''
b''
a
b
RETAS OBLRETAS OBLÍÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
Y
YX
PV
PH
PP
Z
RETA QUALQUERRETA QUALQUER
Distância
Perpendicular
PA1
PH
PA1PH2
p
p' p''
p1
a1
b1
a1b1
p2
b'
A
a''
a
B
a'
b''
b
p'
p''
p
P
VGq1
q
q' q''
Índice Índice Geral
A distância perpendicular entre retas reversas é
determinada em um plano de projeção que mostra 
uma das retas em projeção pontual, daí traça-se 
uma perpendicular, da projeção pontual à projeção 
da outra reta, lugar onde pode ser medida a 
distância entre as retas
Uma vez determinado o ponto, perpendicular a 
projeção, faz o alçamento deste ponto até a outra 
projeção da reta, daí traça-se uma perpendicular até
a projeção de mesmo nome da outra reta que se 
encontra em V.G. e continua determinando sobre as 
retas, as novas projeções.
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE 
RETAS REVERSASRETAS REVERSAS
Índice Índice Geral
c'
d'
c
Distância
Perpendicular
b'
a
a'
b
PA1
PH
PA2PA1
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSASDISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSAS
c1
d1
b1
a1
•
c2d2b2
a2
q2
q1
r1
r
q
r'
q'
dX
PV
PH
Z
Y
o
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
pppp Estudo do Plano
pppp Elementos que definem um Plano
pppp Identificação dos Planos
pppp Propriedades: Planos do Primeiro Grupo
pppp Propriedades: Planos do Segundo Grupo
pppp Propriedades: Planos do Terceiro Grupo
Índice Geral
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
Plano, também chamado de superfície, é uma extensão 
expressa em duas dimensões: Comprimento e Largura.
A superfície plana (Plano) é uma superfície tal que toda 
reta que une dois quaisquer de seus pontos, está
inteiramente compreendida nesta superfície.
Sabemos que: um plano pode ser definido por três ou 
mais pontos não alinhados (Coplanares), por duas 
retas paralelas, por duas retas concorrentes ou ainda, 
por uma reta e um ponto não pertencente a esta.
���� O plano pode ser: Ilimitado e Limitado
���� O plano Ilimitado é imensurável
���� O limite do plano é a linha, assim podemos 
distinguir linhas retas e curvas.
Os planos limitados por linhas retas (lados), são
chamados de polígonos. Já os planos limitados por 
linhas curvas, tem denominação própria, como sejam, 
círculo, circunferência, elipse, etc...
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
Elementos que definem um plano:Elementos que definem um plano:
o
Y
Z
PV
PH
X
o
Y
Z
PV
PH
X
o
Y
Z
PV
PH
X
o
Y
Z
PV
PH
X
c
c'
a
a'
b
b'
d
d'
c
c'
b
b'
a
a'
c
c'
a
a' d'
d
b'
b
a'
a
b'
b
c
c'
Três Pontos Três Pontos 
não Alinhadosnão Alinhados
Duas RetasDuas Retas
ParalelasParalelas
Duas RetasDuas Retas
ConcorrentesConcorrentes
Uma Reta eUma Reta e
Um PontoUm Ponto
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
IDENTIFICAÇÃO DOS PLANOS
1. Ao PH - Plano Vertical
Planos do 2o GRUPO 2. Ao PV - Plano de Topo
3. Ao PP - Plano de Rampa
Planos do 1o GRUPO
1. Ao PH - Plano Horizontal
2. Ao PV - Plano Frontal
3. Ao PP - Plano de Perfil
1. Ao PV, PH e PP - Plano QualquerPlanosdo 3o GRUPO 
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 1o Grupo: São Planos paralelos a um dos 
planos principais de projeção, neste plano é
mostrada a sua V.G., as projeções nos outros 
planos são perpendiculares e são chamadas de 
projeções lineares.
• Plano Horizontal paralelo ao Plano Horizontal
• Plano Frontal paralelo ao Plano Vertical
• Plano de Perfil paralelo ao Plano de Perfil
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃO ÃO –– PARALELO AO PLANO HORIZONTALPARALELO AO PLANO HORIZONTAL
b''a'
a
b'
b
c'
c
c''a''
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO HORIZONTALPLANO HORIZONTAL
b''
c
Aa'
b'
c'
a''c''
b
B
C
a
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV f'
f
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO FRONTALPLANO FRONTAL
e''
d''f''d'
d
e'
e
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃO ÃO –– PARALELO AO PLANO VERTICALPARALELO AO PLANO VERTICAL
d''f''
e'
f'
d'
d
e
E
f
F
D
e'
VG
VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i''h'
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO DE PERFILPLANO DE PERFIL
h
g
i
g'
i'
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃO ÃO –– PARALELO AO PLANO DE PERFILPARALELO AO PLANO DE PERFIL
g''
h'' i''g'
h'i'
h g i
G
IH
VG VG
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Aa'
b'
c'
a''c'' b''
b
c
B
C
a
VG
PLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEPLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
PLANO HORIZONTALPLANO HORIZONTAL PLANO FRONTALPLANO FRONTAL PLANO DE PERFILPLANO DE PERFIL
Y
PH
PP
X
Z
PV
d''
e'
f'
d'
e
E
f
F
D
VG
f''
d
X PV PP
Y
Y
Z
PH o
a'b'c' c'' b''
a
b
c
a''
VG
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
g''
h'' i''
g'
h'i'
i
g
h
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i''g'
h'i'
h g i
G
IH
VG
f
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
e''
d''f''
e'
f'd'
d e
VG
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 2o Grupo: São Planos perpendiculares a 
um dos planos principais de projeção, neste plano é
mostrada a sua projeção linear, as projeções nos 
outros planos são oblíquas e são chamadas de 
projeções reduzidas.
• Plano Vertical perpendicular ao Plano Horizontal
• Plano de Topo perpendicular ao Plano Vertical
• Plano de Rampa perpendicular ao Plano de Perfil
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
c'
a'
a
c''
a''
b''
b
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO VERTICALPLANO VERTICAL
b'
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃO ÃO –– PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTALPERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL
c
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
a'
c'b'
a
c''
a''
b''
b
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO DE TOPOPLANO DE TOPO
c'
a'
b'
c''
A
bc
B
a''
b''
C a
c
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃO ÃO –– PERPENDICULAR AO PLANO VERTICALPERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV c'
a'
b'
c
a
b''c''
a''
b
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO DE RAMPAPLANO DE RAMPA
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃO ÃO –– PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFILPERPENDICULAR AO PLANO DE PERFIL
Índice Índice Geral
PLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEPLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
PLANO VERTICAL PLANO DE TOPO PLANO DE RAMPA
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
X PV PP
Y
Y
Z
PH o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
bc
B
a''
b''
C a
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
Índice Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
PROPRIEDADES:
Planos do 3o Grupo: São Planos oblíquos aos três 
planos principais de projeção, nestes planos não 
apresentam projeção em V.G. nem projeção linear e 
sim projeções reduzidas sobre os três planos. 
• Plano Qualquer, oblíquo aos três Planos Principais
de projeção
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
YX
PV
PH
PP
Z
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUERPLANO QUALQUER
c
PLANOS DO 3PLANOS DO 3OO GRUPO: OBLGRUPO: OBLÍÍQUOS AOS TRÊS QUOS AOS TRÊS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃO ÃO –– PH, PV e PPPH, PV e PP
a''
c'
a'
b
c
b''
a
b'
A
c''
B
C
c
Índice Índice Geral
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZAVERDADEIRA GRANDEZA
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
Os planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos planos 
principais de projeção e perpendiculares aos planos 
adjacentes. No plano em que estiver paralelo encontra-
se a V.G. do plano no espaço e nos outros encontram-se 
as projeções lineares deste plano.
Já, a V.G. dos planos do 2o Grupo como estão 
perpendiculares a um dos planos, neste, se mostra em 
projeção lineares e nos outros em projeção reduzidas, 
levando portanto a determinar sua VG no PA1, quando 
este é colocado paralelo a projeção linear.
O plano do 3o Grupo, se caracteriza por ser obliquo a 
todos os planos de projeção. Sendo assim, para 
determinar a sua VG, se faz necessário duas mudanças 
de plano, ou seja, a VG é determinada no PA2. Sendo 
assim, para determinar a VG, deve-se seguir os 
seguintes passos: Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
Escolhe-se uma das projeções em que uma das 
arestas esteja em V.G., determina-se a projeção 
pontual desta aresta e projetando também os 
outros pontos, determinado assim, a projeção linear 
do plano no espaço, agora a resolução da V .G. se 
processará igual aos planos do 2o Grupo. Se não 
tivermos nenhuma das arestas do plano no espaço 
em V.G. teremos que criar uma reta que pertença ao 
plano e que mostra a sua V.G. em um dos planos 
principais.
Escolhe-se uma projeção do plano no espaço desde 
que a projeção da aresta esteja paralela ao plano, 
daí encontra-se no plano adjacente a V.G., com este 
elemento procederá segundo a descrição anterior.
Índice Geral
ESTUDO DO PLANOESTUDO DO PLANO
VERDADEIRA GRANDEZAVERDADEIRA GRANDEZA
Os planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos 
planos principais de projeção e perpendiculares 
aos planos adjacentes. No plano em que estiver 
paralelo encontra-se a V.G. do plano no espaço e 
nos outros encontram-se as projeções lineares 
deste plano.
Já a V.G. dos planos do 2o Grupo determina-se 
quando se coloca um plano auxiliar paralelo a 
projeção linear do plano no espaço. E é notável as 
características do 1o Grupo com este.
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANOVERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
b'
b
a'
a
VG
c'
c
PH
PA1
c1
a2
b2PLANO VERTICALPLANO VERTICAL
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANOVERDADEIRAGRANDEZA DO PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
c'
b'
b
a
c
a1b1
c1
c2
a2
b2
PH
PA1
PA1
PA2
VG
A V.G. do plano do 3o
Grupo é determinada 
como se segue: 
Escolhemos em um dos 
planos principais uma 
das projeções de uma 
aresta que esteja em V.G. 
determina-se a projeção 
pontual desta aresta (reta) 
projetando os outros 
pontos determinando 
assim a projeção linear do 
plano no espaço, agora a 
resolução da V .G. se 
processará igual aos 
planos do 2o Grupo.
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANOVERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
c'
b
a
c
c2
b2
a2
PH
PA1
PA1
PA2
c1a1
e'
e
VG
b1e1
Se não tivermos nenhuma 
das arestas do plano no 
espaço em V.G. teremos 
que criar uma reta que 
pertença ao plano e que 
mostra a sua V.G. em um 
dos planos principais. Em 
seguida determina-se a 
projeção pontual desta 
reta e a projeção dos 
outros pontos, obtendo 
assim a sua projeção 
linear, daí determina-se a 
sua V.G. segundo a 
descrição anterior.
Índice Geral
INCLINAÇÃO DO PLANO
pppp Inclinação de um Plano
pppp Inclinação dos Planos do Primeiro Grupo
pppp Inclinação dos Planos do Segundo Grupo
pppp Inclinação dos Planos do Terceiro Grupo
Índice Geral
INCLINAINCLINAÇÇÃO DE UM PLANOÃO DE UM PLANO
A inclinação de um plano é o ângulo formado entre 
um plano no espaço e o Plano Horizontal de Projeção 
e é determinada em um plano de projeção 
perpendicular ao P.H. e que o plano em questão esteja 
em projeção linear.
O plano, não tem direção, por não ser um elemento 
retilíneo que possa ser direcionado.
Índice Índice Geral
INCLINAINCLINAÇÇÃO DE UM PLANOÃO DE UM PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
c'
b
a
c
PH
PA1
c1a1
e'
e
o
Y
Z
PV
PH
X
O
a'
b'
c'
c
b
a
O
b1 e1
PLANO DE TOPOPLANO DE TOPO PLANO QUALQUERPLANO QUALQUER
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
INCLINAINCLINAÇÇÃO DOS PLANOS ÃO DOS PLANOS 
DO PRIMEIRO GRUPODO PRIMEIRO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
b''a'
a
b'
b
c'
c
c''a''
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO HORIZONTALPLANO HORIZONTAL
b''
c
Aa'
b'
c'
a''c''
b
B
C
a
VG
VG φabc = 0o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV f'
f
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO FRONTALPLANO FRONTAL
e''
d''f''
d'
d
e'
e
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
d''f''
e'
f'
d'
d
e
E
f
F
D
e'
VG
VG
φabc = 90o
φabc = 90o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h'' i''h'
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO DE PERFILPLANO DE PERFIL
h
g
i
g'
i'
PLANOS DO 1PLANOS DO 1OO GRUPO: PARALELO A UM DOS GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
g''
h'' i''g'
h'i'
h g i
G
IH
VG VG
φab = 90o
φab = 90o
Índice Índice Geral
Índice Índice Geral
INCLINAINCLINAÇÇÃO DOS PLANOS ÃO DOS PLANOS 
DO SEGUNDO GRUPODO SEGUNDO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
a
c''
a''
b''
b
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO VERTICALPLANO VERTICAL
b'
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
c
φabc = 90o
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
a'
c'b'
a
c''
a''
b''
b
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO DE TOPOPLANO DE TOPO
c'
a'
b'
c''
A
bc
B
a''
b''
C a
c
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
φabc = 48o
φabc = 48o
Índice Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV c'
a'
b'
c
a
b''c''
a''
b
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO DE RAMPAPLANO DE RAMPA
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C b
PLANOS DO 2PLANOS DO 2OO GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
φabc = 48o
φabc = 48o
Índice Índice Geral
Índice Geral
INCLINAINCLINAÇÇÃO DOS PLANOS ÃO DOS PLANOS 
DO TERCEIRO GRUPODO TERCEIRO GRUPO
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
YX
PV
PH
PP
Z
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUERPLANO QUALQUER
c
PLANOS DO 3PLANOS DO 3OO GRUPO: OBLGRUPO: OBLÍÍQUOS AOS TRÊS QUOS AOS TRÊS 
PLANOS DE PROJEPLANOS DE PROJEÇÇÃOÃO
a''
c'
a'
b
c
b''
a
b'
A
c''
B
C
c
φabc = 60o
φabc = 60o
b1c1
a1
PA1
PH
Índice Índice Geral
Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULARDISTÂNCIA PERPENDICULAR
ENTRE PONTO E PLANOENTRE PONTO E PLANO
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE 
PONTO E PLANOPONTO E PLANO
A distância entre um ponto e um plano é obtida da 
seguinte maneira:
1o Coloca-se o plano em projeção linear.
2o Baixa-se uma perpendicular do ponto até a 
projeção linear do plano.
3o Neste plano de projeção pode ser medida a 
distância, visto que esta projeção está em V.G.
Índice Geral
PHY
PH
PP
X
Z
PV
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO HORIZONTALPONTO E UM PLANO HORIZONTAL
b''a'
a
b'
b
c'
c
c''a''
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO HORIZONTALPLANO HORIZONTAL
p''p'
p
b''
c
Aa'
b'
c'
a''c''
b
B
C
a
p''
p'
p
P
PH
Distância
Perpendicular
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
a
c''
a''
b''
cb
Y
YX
PV
PH
PP
Z
PLANO VERTICALPLANO VERTICAL
b'
p
p' p''
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO VERTICALPONTO E UM PLANO VERTICAL
Distância
Perpendicular
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
Pp'
p''
p
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
YX
PV
PH
PP
Z
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUERPLANO QUALQUER
c
p''p'
p1
p
PH PA1
a1b1c1
x'
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO QUALQUERPONTO E UM PLANO QUALQUER
c'
a'
b
c
a''
b''
a
b'
A
c''
B
C
cP
p'
p''
p
Distância
Perpendicular
q1
q
q' q''
x
Índice Geral
Índice Geral
INTERSEINTERSEÇÇÃO ENTRE ÃO ENTRE 
RETA E PLANORETA E PLANO
INTERSEINTERSEÇÇÃO ENTRE RETA E PLANOÃO ENTRE RETA E PLANO
A interseção de uma reta com um plano é determinada 
em um plano de projeção que mostra a projeção linear 
do plano e a projeção da reta. O ponto comum entre a 
projeção linear do plano e a projeção da reta, é o 
ponto de interseção. Para determinar esse ponto de 
interseção, nos outros planos de projeção faz-se o 
alçamento, sabendo-se que o ponto de interseção é
um ponto comum da reta e do plano.
Determinada a interseção, faz-se a visibilidade entre a 
reta e o plano, observando o que é visível antes e 
após o plano.
Índice Geral
INTERSEINTERSEÇÇÃO ENTRE RETA E PLANOÃO ENTRE RETA E PLANO
a'
c'
b'
a1
c
a
b
b1
c1
d'
e'
d
e
d1
e1
PA1PH
p'
p
p1
o
Y
Z
PV
PHX
f'
f
Índice Geral
Índice Geral
INTERSEINTERSEÇÇÃO ENTRE RETA ÃO ENTRE RETA 
E PLANO (VISIBILIDADE)E PLANO (VISIBILIDADE)
INTERSEINTERSEÇÇÃO ENTRE RETA E PLANO (VISIBILIDADE)ÃO ENTRE RETA E PLANO (VISIBILIDADE)
a'
c'
b'
a1
c
a
b
b1
c1
d'
e'
de
d1
e1
PA1PH
p
p1
o
Y
Z
PV
PHX
f'
f
p'
Índice Geral
Índice Geral
ÂNGULO ENTRE ÂNGULO ENTRE 
RETA E PLANORETA E PLANO
ÂNGULO ENTRE RETA E PLANOÂNGULO ENTRE RETA E PLANO
O ângulo entre uma reta e um plano é determinado 
num plano de projeção que mostra o plano em 
projeção linear e a reta em V.G. Para medir o ângulo 
formado entre uma reta e um plano é necessário 
determinar a projeção linear do plano. Não estando 
em V.G. esta reta, coloca-se um plano de projeção 
auxiliar paralelo a projeção da reta, obviamente 
obtém-se a reta em V.G. e o plano em projeção linear.
Índice Geral
o
Y
Z
PV
PHX
ÂNGULO ENTRE RETA E PLANOÂNGULO ENTRE RETA E PLANO
PA1PH
PA2PA1
PA2
PA3
a1
e1
a'
a
b'
b
b1
d1
e'
e
d'
d
a2
b2
c2
a3
b3
c3
e2
d2
e3
d3
p'
p
p2
p3
VG
VG
c'
c
f'
f
c1
p1
Índice Geral
Índice Geral
INTERSEINTERSEÇÇÃO ÃO 
ENTRE PLANOSENTRE PLANOS
INTERSEINTERSEÇÇÃO ENTRE PLANOSÃO ENTRE PLANOS
A interseção entre dois planos é determinada em um 
plano de projeção onde um dos planos é mostrado em 
projeção linear. Para determinar a interseção entre os 
planos é necessário que se verifique as aresta do 
plano, que fazem interseção com a reta interseção do 
plano, ou seja, o plano que se encontra em projeção 
linear, intercepta o outro plano, definido por dois 
pontos, que identificamos como reta interseção entre 
os planos.
Índice Geral
INTERSEINTERSEÇÇÃO ENTRE PLANOSÃO ENTRE PLANOS
f1
o
Y
Z
PV
PH
X
f'
f
e'
e
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
d1
b1
e1
a1
c1
z
x
z'
x'
PHPA1
g'
g
x1
z2
Índice Geral
Índice Geral
INTERSEINTERSEÇÇÃO ENTRE ÃO ENTRE 
PLANOS (VISIBILIDADE)PLANOS (VISIBILIDADE)
INTERSEINTERSEÇÇÃO ENTRE PLANOSÃO ENTRE PLANOS
VISIBILIDADEVISIBILIDADE
Índice Geral
A interseção entre dois planos é determinada em 
um plano de projeção onde um dos planos é
mostrado em projeção linear. Para determinar a 
interseção entre os planos é necessário que se 
verifique as aresta do plano, que fazem interseção 
com a reta interseção do plano, ou seja, o plano 
que se encontra em projeção linear, intercepta o 
outro plano, definido por dois pontos, que 
identificamos como reta interseção entre os planos.
Determinada a interseção, faz-se a visibilidade 
entre os planos, observando o que é visível antes e 
após o plano que está em projeção linear.
f'
f
g'
g
f1
o
Y
Z
PV
PH
X
d'
d
c'
c
a'
a
d1
b1
e1
a1
c1
z
x
PHPA1
x1
z2
INTERSEINTERSEÇÇÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)ÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)
x'
e'
e
b'
b
z'
Índice Geral
Índice Geral
ÂNGULO ENTRE PLANOSÂNGULO ENTRE PLANOS
(ÂNGULO DIEDRO)(ÂNGULO DIEDRO)
O ângulo entre dois planos (Ângulo Diedro) é
determinado em um plano de projeção que mostra a 
projeção pontual da reta interseção entre estes 
planos, com isso, é determinado as duas projeções 
lineares dos planos, onde poderá ser medido o 
ângulo.
ÂNGULO ENTRE PLANOS (ÂNGULO DIEDRO)ÂNGULO ENTRE PLANOS (ÂNGULO DIEDRO)
Índice Geral
a2
d2
e2
f2
b2
c2
a2
d2c2
b2
f2
x2
z2
z3x3
PA1PA2
PA2
PA3
f1
o
Y
Z
PV
PH
X
f'
f
e'
e
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
d1
b1
e1
a1
c1
z
x
z'
x'
PHPA1
g'
g
x1
z2e2
δδδδ
ÂNGULO ENTRE PLANOS ÂNGULO ENTRE PLANOS 
(ÂNGULO DIEDRO)(ÂNGULO DIEDRO)
Índice Geral