Exercícios gerais PROVA 1 L1 (João Lazzarin UFSM)

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1. Sejam m e n números reais tais que m 6= n e as matrizes A =
�
2 1
3 5
�
e B =
� �1 1
0 1
�
. Qual a relação necessária entre m
e n para que a matriz nA+mB NÃO seja inversível?
2. Encontre o(s) possíveis valor(es) de x na matriz A =
24 1 2 0�1 x x
2 1 x
35, sabendo que det(A�1) = 411 .
3. Considere B =
24 1 �1 1�3 3 �3
�4 4 �4
35 e C =
24 2 �1 1�3 4 �3
�5 5 �4
35 : Calcule
(a) BC =
24 0 0 00 0 0
0 0 0
35
(b) B3 =
24 0 0 00 0 0
0 0 0
35
(c) C2 e C199.
4. Determine o valor de a para que o sistema tenha solução única.
5. Discuta e resolva os seguintes sistemas
(a)
8>><>>:
3x+ y + z � 2t = 5
6x+ 2y � z � t = 0
9x+ 3y + 3z � 6t = 15
12x+ 4y + z + t = 0
(b)
8>><>>:
2x� 2y + 2z � 2t = 0
5x� 5z + 5y + 5t = 0
x� 3y + 3z � 3t = 0
x� y + z � t = 0
(c)
8>><>>:
x� 2y + 3z � t = a
x� 5z + t = b
x� 3y + 3z � t = c
x� y + z � t = d
onde a; b; c e d são números reais …xados.
6. As ligações entre as cidades A;B e C …guram num mapa rodoviário conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa
que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o
percurso será de 600km. Para se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. Determine quantos
quilômetros esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C.
Sugestão: Faça d(A;B) = x, d(B;C) = y e d(C;A) = z, assim, temos por exemplo, que a distância de A até B passando por C
será: z + y = 600. Veja os outros dados e monte o sistema que resolverá o problema.
7. Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12; 00 a unidade, as galinhas
a R$5; 00 e os marrecos a R$15; 00. Considere um comerciante que tenha gastado R$440; 00 na compra de aves desses três
tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. Qual o número de patos comprados pelo comerciante.
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8. Análise de redes. Uma rede é constituída por um número …nito de nós, em que ‡uem os ‡uxos, entrando e/ou saindo. E em
cada nó, o ‡uxo de entrada é igual ao de saída. Exemplo:
Com estas considerações, determine os possíveis ‡uxos da rede de encanamento de água mostrado na …gura a seguir, onde o
‡uxo é medido em litros por minuto.
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