Res Lista Extra Exercícios 3 Limites (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
Coordenação do Curso de Licenciatura em Física 
na Modalidade a Distância 
 
 
 
RESOLUÇÕES - LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS 3 (Limites) 
Disciplina: Cálculo I (MTM 9109) 
Professor: Rubens Starke 
Tutor UFSC: Marcos Martins 
Ano/Semestre: 2017.1 
Data: 
Aluno: Polo: 
 
1) Considere a função 
22 6 se 3
3
( )
0 se 3
3 se 3
x x
f x
x
x x

 
  

  
. 
 
(a) Faça um gráfico de 
f
. 
Resolução: 
 
 
(b) Calcule: 
     
33 3
lim , lim , e lim
xx x
f x f x f x
   
. 
Resolução: 
 
 Observando diretamente no gráfico (acima), vemos que: 
i) 
 
3
lim 0
x
f x


. De fato, 
 
   
22
3 3
2 2
lim lim 6 3 6 0.
3 3x x
f x x
  
 
     
 
 
ii) 
 
3
lim 0
x
f x


. De fato, 
 
   
3 3
lim lim 3 3 3 0
x x
f x x
  
    
 
 
iii) Como 
   
3 3
lim 0 lim
x x
f x f x
  
 
, ou seja, os limites são iguais, concluímos pelo teorema de 
existência do limite que 
 
3
lim 0
x
f x


. 
 
(c) Caso nós definíssemos 
f
 assim: 
22 6 se 3
3
( )
21 se 3
3 se 3
x x
f x
x
x x

 
  

  
 , qual seria agora o 
 
3
lim
x
f x

? 
Resolução: 
 
 Observe a alteração que houve no gráfico: 
 
 
 
 Note que apenas houve alteração do valor da função em 
3x 
, ou seja, na primeira situação 
tínhamos 
   
3
3 0 lim
x
f f x

 
 e na segunda, 
 3 21f 
. 
 Continuamos tendo 
   
3 3
lim 0 lim
x x
f x f x
  
 
, donde concluímos (pelo teorema da existência do 
limite) que 
 
3
lim 0
x
f x


. 
Observação: É importante perceber neste exercício que para 
22 6 se 3
3
( )
0 se 3
3 se 3
x x
f x
x
x x

 
  

  
temos: 
   
3
lim 0 3
x
f x f

 
; já em 
22 6 se 3
3
( )
21 se 3
3 se 3
x x
f x
x
x x

 
  

  
 temos: 
   
3
lim 0 21 3
x
f x f

  
, o que nos 
mostra que o valor do limite independe do valor da função no ponto considerado. 
2) Calcule 4 3 2
21
2 6 2
lim
4y
y y y y
y
   

. 
Resolução: 
        
 
4 3 24 3 2
221
2 1 1 1 6 1 22 6 2 2 1 1 6 2 0
lim 0
4 1 4 31 4y
y y y y
y
              
   
   
 
 
3) Calcule 2 11
3
4
ln
lim
7 2
x
x
e
x

 
. (A resposta é um número inteiro). 
Resolução: 
 
 
 
22 4 1111 16 11 27
3 333 3 33
4
Propriedade: ln log 1
log log
ln ln ln ln 27 ln 27 1
lim 27 3
7 2 7 2 4 7 8 1 1 1
e
x
a a
x
x
e e
y x y
e e e e e
x
 

 

 
        
     
 
4) Calcule 
3
1
limarccossec
1


 
 
 
 . 
Resolução: 
 Por definição, 
1
arccossec( ) arcsenx
x
 
  
 
. Então: 
 
3 3 3
1 1 -1 3-1
limarccossec limarcsen limarcsen arcsen
11 +1 3+1
1
2 1
arcsen arcsen
4 2 6
  
 
 


  
 
      
               
 
   
     
   
 
 
5) Considere a função:
   
2
1 2
4 sec , se 1
3
( ) ln 4 ln 3 , se 1
, se 1
x
x
x x
g x e x x x
a x


  
   
 

   




 
Escolha a alternativa correta (Justificando): 
(a) O 
1
lim ( )
x
g x

 existe, seja qual for o valor de “
a
”. 
(b) O 
1
lim ( )
x
g x

 existe se e somente se, 
2a 
. 
(c) O 
1
lim ( )
x
g x

não existe, seja qual for o valor de “
a
”. 
(d) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira. 
 
Resolução: 
 Temos que: 
 
   
 
22
1 1
. 1
i) lim lim 4 sec 4. 1 sec
3 3
1 1
4 sec 4 4 4 2 2.
13
cos
23
x x
x
g x x



  
   
             
 
         
  
 
 
 
 
 
             21 11 2
1 1
ii) lim lim ln 4 ln 3 ln 4. 1 .ln 1 3
ln 4
x
x x
g x e x x e
 

 
       
 2ln ln 4e  2ln 2. lne e 
1
2.


 
 
Conclusão: Por (i) e (ii), vemos que o limite de 
 g x
 existe (os limites laterais existem e são 
iguais), seja qual for o valor de "
a
" , pois nos interessa saber os valores de 
 g x
 nas proximidades 
de "
1x 
" e não para o próprio 
1x 
. Logo, a alternativa correta é o item "a". 
 
Observação 1: Somente faz sentido falar no 
 lim
x a
f x

 quando 
f
 está definida em algum intervalo da forma 
 ,a c
, onde 
c a
. Analogamente, só faz sentido falar no 
 lim
x a
f x

 quando 
f
 está definida 
em algum intervalo da forma 
 ,c a
, onde 
c a
. 
Por exemplo, 
0
lim 0
x
x


, porém não faz sentido o 
0
lim
x
x

. 
Se 
  3g x x 
, somente faz sentido o 
 
3
lim
x
g x

, que vale 0 (zero). 
 
 Com base na observação 1, resolva o exercício seguinte: 
 
 
6) Seja 
 2 2 24( ) 41 2 25h x x x x     
. 
 Calcule aquele limite lateral que faz sentido em cada um dos pontos abaixo: 
 
(a) 
5
 (b) 
41
 (c) 
41
 (d) 
5
 
 
(Sugestão: comece determinando o domínio de 
h
) 
 
Resolução: 
 
 Determinando o domínio de 
( )h x
: 
(i) Devemos ter: 
 
2 241 0 41 41 41 41x x x x        
 
 
(ii) Também devemos ter: 
 
2 225 0 25 5 5 ou 5x x x x x         
 
 
(iii) Fazendo a intersecção entre (i) e (ii), vem: 
 
(iv) Concluímos que o domínio da função 
h
 é: 
 
 
 ( ) / 41 5 ou 5 41D h x x x       
. 
 Vamos agora aos cálculos dos limites laterais (que façam sentido) solicitados na questão: 
 
(a) 
5
 
 Aqui somente faz sentido calcularmos o limite lateral à direita, visto que a função não está 
definida para valores de 
x
 à esquerda nas proximidades de 5. 
 Assim, vem: 
 
    
 
2 2 2 2 2 24 4
5 5
4
lim ( ) lim 41 2 25 41 5 5 2 5 25
41 25 25 2 25 25 16 23 0 4 0 4
x x
h x x x x
  
           
           
 
 
(b) 
41
 
 Aqui também somente faz sentido calcularmos o limite lateral à direita, visto que a função não 
está definida para valores à esquerda de 
41
. 
 Assim, vem: 
 
  
     
 
2 2 24
41 41
2 2 2
4
4
4
lim ( ) lim 41 2 25
41 41 41 2 41 25
41 41 41 2 41 25
0 39 16 0 39 2 78
x x
h x x x x
 
 
     
              
     
      
 
 
 
(c) 
41
 
 Aqui somente faz sentido calcularmos o limite lateral à esquerda, visto que a função não está 
definida para valores à direita de
41
. 
 Assim, vem: 
 
  
     
 
2 2 24
41 41
2 22
4
44
lim ( ) lim 41 2 25
41 41 41 2 41 25
41 41 41 2 41 25
0 39 16 0 39 2 78
x x
h x x x x
 
 
     
           
     
      
 
 
 
(d) 
5
 
 Aqui também somente faz sentido calcularmos o limite lateral à esquerda, visto que a função 
não está definida para valores de 
x
 à direita nas proximidades de 
5
. 
 Assim, vem: 
 
  
      
 
2 2 24
5 5
2 2 2
4
4
4
lim ( ) lim 41 2 25
41 5 5 2 5 25
41 25 25 2 25 25
16 23 0 4 23 0 4
x x
h x x x x
  
     
         
 
     
      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 2: Uma função limitada é aquela cujo conjunto imagem é um conjunto limitado, ou seja, está 
contido em algum intervalo limitado 
 ,a b
. Por exemplo, as funções seno e cosseno são 
limitadas. [Procure justificar para você mesmo o porquê]. 
 
Aplique esta propriedade para resolver o exercício seguinte: 
 
7) Calcule 
3
0
1
lim sen
x
x
x
 
 
 
. 
 Resolução: 
 
 Temos as seguintes funções: 
 
  3f x x
 e 
 
1
seng x
x
 
  
 
. 
 Onde: 
 
(i) 
      3
0 00 0
lim lim 0 lim lim 0
x xx x
f x f x f x x
    
    
. 
(ii) A função 
 
1
seng x
x
 
  
 
 é limitada, visto que seu conjunto imagem está definido pelo 
intervalo 
 1,1
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, pela propriedade (acima) concluímos que: 
 
3
0
1
lim sen 0
x
x
x
 
 
 
 
Uma propriedade importante que não se encontra no livro texto diz: 
 
Se 
 lim 0
x a
f x


 e se 
g
 é uma função limitada então 
   lim 0
x a
f x g x

 
. 
 
3
0
lim 0
x
x


 
Função limitada