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n. 32 – Regras para achar a transformação linear correspondente Lembrete: matriz da transformação linear [𝑇]𝐵 𝐴 F(u1) = a v1 + b v2 F(u2) = c v1 + d v2 Dadas às bases e a matriz da transformação linear: T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) quando forem as bases canônicas: 𝛼 = x e 𝛽 = y quando não forem as bases canônicas: primeiro é preciso escrever os vetores (x, y) como combinação linear dos vetores da Base. T(x, y) = x F(u1) + y F(u2) [𝑇]𝐵 𝐴 = [ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 ] 2ª Coluna da matriz da transforma ção linear: c , d 1ª Coluna da matriz da transforma ção linear: a , b Exemplo : Seja [𝑇]𝐵 𝐴 = [ 3 4 2 3 ] e as bases: {(1, 0), (0, 1)}, encontre T (x, y). Resolução: (x, y) = 𝛼 (v1 ) + 𝛽 (v2 ) (x, y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) { 𝑥 = 𝛼 𝑦 = 𝛽 Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) T(x, y) = x . (3, 2) + y . (4, 3) T(x, y) = (3x + 4y, 2x +3 y) Dadas às bases e as transformações: T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) T(x, y) = x F(u1) + y F(u2) É o resultado da transforma ção linear. É o resultado da transforma ção linear. Exemplo : Seja T (1, 0) = (1, 2, 1) e T (0, 1) = ( -2, 1, 3), encontre T (x, y, z). Resolução: (x, y) = 𝛼 (v1 ) + 𝛽 (v2 ) (x, y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) { 𝑥 = 𝛼 𝑦 = 𝛽 F(u1) = (1, 2, 1) F(u2) = (-2, 1, 3) Assim, T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) T(x, y) = x . (1, 2, 1) + y . (-2, 1, 3) T(x, y) = (x – 2 y, 2 x + y, x +3 y) Exercícios: 1. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 0) = (1, 2, 1) e T (0, 1) = ( -2, 1, 3)? T (x, y) = (x – 2 y, 2 x + y, x + 3 y) 2. Seja T: R2 →R a transformação linear para a qual T (1, 1) = 3 e T (0, 1) = - 2. Encontre T (x, y). T (x, y) = 5 x – 2 y 3. Seja T o operador linear no R2 definido por T (3, 1) = (2, -4) e T (1, 1) = (0, 2). Encontre T (x, y). T (x, y) = (x – y, – 3 x + 5 y) 4. Sabendo que T: R2 → R3 é uma transformação linear e que T (1, -1) = (3, 2, -2) e T (-1, 2) = (1, -1, 3), determine T (x, y, z). T (x, y) = (7x + 4 y, 3 x + y, - x + y) 5. Qual a transformação linear T: R3 → R tal que T (1, -1, 3) = 0 , T (0, 1, -1) = 0 e T (0, 3, -2) = 1? T(x, y, z) = – 2 x + y + z 6. Seja F ∈ L (R2) o operador cuja matriz em relação à base B = { (1, 1), (1, 2)} é [ 1 0 1 2 ]. Determine F, ou seja, determine a transformação linear. T(x, y ) = (2x - y , y) 7. Seja F o operador linear do R2 cuja matriz em relação à base B = { (1, 1), (1, -1)} é [ 1 0 0 5 ]. Determine a transformação linear. 𝑇(𝑥, 𝑦) = [( 3𝑥 − 2𝑦), (−2𝑥 + 3𝑦)] 8. Determine F: R3 → R3, sabendo que F (1, 0, 0) = (1, 1, 0); F (0, 2, 0) = (2, 0 , 6) e F (0, 1, -1) = (2, - 2, 3) T(x, y, z) = (x + y – z, x +2 z, 3 y) 9. Seja [𝑇] = [ 3 −2 4 1 1 0 ], determine T (x, y). T (x, y) = (3x -2 y, 4x + y, x) 10. Seja [𝑇] = [ 1 0 0 −1 ], determine T (x, y). T (x, y) = (x, - y) 11. Seja [𝑇] = [4, −1, 0], determine T (x, y, z). T (x, y, z) = 4 x – y 12. Seja [𝑇] = [ 2 3 4 1 −2 0 ], determine T (x, y, z). T (x, y, z) = (2x + 3 y + 4z, x – 2 y) 13. Dadas as bases A = {(1, 1), (1, 0)} do R2 e B = {(1, 2, 0), (1, 0, -1), (1, -1, 3)} do R3 determine a transformação linear T: R2 → R3 cuja matriz é: [𝑇]𝐵 𝐴 = [ 2 0 1 −2 −1 3 ]. T (x, y) = (x + y, - 3x+ 8y, 11x – 15 y) 14. Dadas as bases A = {(1, 1), (0, 1)} do R2 e B = {(0, 3, 0), (-1, 0, 0), (0, 1, 1)} do R3 determine a transformação linear T: R2 → R3 cuja matriz é: [𝑇]𝐵 𝐴 = [ 0 2 −1 0 −1 3 ]. 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 , −10𝑥 + 9𝑦, −4𝑥 + 3𝑦) 15. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 0) = (2, -1, 0) e T (0, 1) = ( 0, 0, 1)? T (x, y) = (2x, - x , y) 16. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, -2) = ( 0, 1, 0)? T (x, y) = 17. Qual a transformação linear T: R3 → R2 tal que T (3, 2, 1) = (1, 1) , T (0, 1, 0) = ( 0, -2) e T (0, 0, 1) = ( 0, 0) ? T (x, y, z) = 18. Sejam F: R → R e G: R → R definidas por 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 3 𝑥 + 1 e 𝐺(𝑥) = 2𝑥 − 3. Encontre as fórmulas que definem as transformações compostas: (Lipschutz p. 179) a. 𝐹 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐺 𝑅: 𝐹(𝐺(𝑥)) = 4𝑥2 − 6𝑥 + 1 𝑅: 𝐹(𝐺(𝑥)) = 𝐹 (2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)2 + 3(2𝑥 − 3) + 1 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 + 6𝑥 − 9 + 1 = 4𝑥2 − 6𝑥 + 1 b. 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹 𝑅: 𝐺(𝐹(𝑥)) = 2𝑥2 + 6𝑥 − 1 c. 𝐹 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹 𝑅: 𝐹(𝐹(𝑥)) = 4𝑥4 + 6𝑥3 + 14𝑥2 + 15𝑥 + 5 d. 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐺 𝑅: 𝐺(𝐺(𝑥)) = 4𝑥 − 9 19. Sejam F: R3 → R2 e G: R2→ R2 definidas por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 , 𝑦 + 𝑧 ) e 𝐺 (𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥). Defina a fórmula da transformação de 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹. 𝑅: 𝐺(𝐹(𝑥)) = (𝑦 + 𝑧, 2𝑥) Exercícios resolvidos: 1. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 0) = (1, 2, 1) e T (0, 1) = ( -2, 1, 3)? (x , y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) x = 𝛼 y = 𝛽 Logo: T (x, y) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2) T (x, y) = 𝛼 (1, 2, 1) + 𝛽 (–2, 1, 3) T (x, y) = x (1, 2, 1) + y (–2, 1, 3) T (x, y) = (x – 2 y, 2 x + y, x + 3 y) 2. Seja T: R2 →R a transformação linear para a qual T (1, 1) = 3 e T (0, 1) = - 2. Encontre T (x, y). (x, y) = 𝛼 (1, 1) + 𝛽 (0, 1) x = 𝛼 y = 𝛼 + 𝛽 ∴ y = x + 𝛽 ∴ 𝛽 = y – x Logo: T (x, y) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2) T (x, y) = 𝛼 (3) + 𝛽 (–2) T (x, y) = x (3) + (y – x).(- 2) T (x, y) = 3 x – 2 y + 2 x T (x, y) = 5 x – 2 y 3. Seja T o operador linear no R2 definido por T (3, 1) = (2, -4) e T (1, 1) = (0, 2). Encontre T (x, y). (x, y) = 𝛼 (3, 1) + 𝛽 (1, 1) x = 3 𝛼 + 𝛽 ∴ 𝛽 = x – 3 𝛼 y = 𝛼 + 𝛽 ∴ y = 𝛼 + (x – 3 𝛼) ∴ y = x – 2 𝛼 ∴ 𝛼 = 𝑥−𝑦 2 Logo, 𝛽 = 𝑥 − 3 ( 𝑥−𝑦 2 ) ∴ 𝛽 = 2 𝑥 − 3 𝑥 + 3𝑦 2 ∴ 𝛽 = − 𝑥 + 3𝑦 2 Logo: T (x, y) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2) T (x, y) = 𝛼 (2, – 4) + 𝛽 (0, 2) T (x, y) = ( 𝑥−𝑦 2 ) (2, – 4) + ( − 𝑥 + 3𝑦 2 ).(0, 2) T (x, y) = (x – y, – 2x + 2 y) + (0, – x + 3 y) T (x, y) = (x – y, – 3 x + 5 y) 4. Sabendo que T: R2 → R3 é uma transformação linear e que T (1, -1) = (3, 2, -2) e T (-1, 2) = (1, -1, 3), determine T (x, y). (x, y) = 𝛼 (1, –1) + 𝛽 (–1, 2) x = 𝛼 − 𝛽 ∴ 𝛼 = x + 𝛽 y = – 𝛼 + 2 𝛽 ∴ y = - (x + 𝛽) + 2 𝛽 ∴ y = - x + 𝛽 ∴ 𝛽 = y + x Logo, 𝛼 = x + (y + x) ∴ 𝛼 = 2 x + y Logo: T (x, y) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2) T (x, y) = 𝛼 (3, 2, -2) + 𝛽 (1, –1, 3) T (x, y) = (2x+ y).(3, 2, -2) + (y + x). (1, –1, 3) T (x, y) = (6 x + 3y, 4 x + 2 y, - 4 x – 2y) + (x + y, - x – y, 3 x + 3y) T (x, y) = (7x + 4 y, 3 x + y, - x + y) 5. Qual a transformação linear T: R3 → R tal que T (1, -1, 3) = 0 , T (0, 1, -1) = 0 e T (0, 3, -2) = 1? (x,y, z) = 𝛼 (1, -1, 3) + 𝛽 ( 0, 1, -1) + 𝛿 (0, 3, -2) (x, y, z) = (𝛼, - 𝛼, 3 𝛼 ) + ( 0, 𝛽, - 𝛽) + (0, 3 𝛿, -2 𝛿) x = 𝛼 (1) y = - 𝛼 + 𝛽 + 3 𝛿 (2) z = 3 𝛼 – 𝛽 – 2 𝛿 (3) (1) em (2): y = – x + 𝛽 + 3 𝛿 ∴ 𝛽 = x + y – 3 𝛿 (4) (1) e (4) em (3): z = 3 x – (x + y – 3 𝛿 ) – 2 𝛿 z = 3 x – x – y + 3 𝛿 – 2 𝛿 z = 2 x – y + 𝛿 𝛿 = – 2 x + y + z (5) (5) em (4): 𝛽 = x + y – 3 (– 2 x + y + z) 𝛽 = x + y + 6 x – 3 y – 3 z 𝛽 = 7 x – 2 y – 3 z T(x, y, z) = 𝛼 T(v1) + 𝛽 T(v2 )+ 𝛿 T (v3) T(x, y, z) = x (0) + (7 x – 2 y – 3 z) . (0) + (– 2 x + y + z ) . (1) T(x, y, z) = – 2 x + y + z 6. Seja F ∈ L (R2) o operador cuja matriz em relação à base B = { (1, 1), (1, 2)} é [ 1 0 1 2 ]. Determine F, ou seja, determine a transformação linear. Como a matriz da transformação linear é [ 1 0 1 2 ], então: a = 1, b = 1, c = 0 e d= 2 F(u1) = F (1, 1) = a v1 + b v2 F(u2) = F (1, 2) = c v1 + d v2 F (1, 1) = 1 (1, 1) + 1 (1, 2) F (1, 1) = (2, 3) F (1, 2) = 0 (1, 1) + 2 (1, 2) F (1, 2) = (2, 4) Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: (x, y) = 𝛼 (1, 1) + 𝛽 (1, 2) { 𝑥 = 𝛼 + 𝛽 𝑦 = 𝛼 + 2 𝛽 Logo, { 𝛼 = 𝑥 − 𝛽 𝑦 = (𝑥 − 𝛽) + 2 𝛽 { 𝑦 = 𝑥 + 𝛽 𝛽 = 𝑦 − 𝑥 { 𝛼 = 𝑥 − (𝑦 − 𝑥) 𝛼 = 2𝑥 − 𝑦 Assim, T(x, y ) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) T(x, y ) = (2 x – y).(2, 3) + (y – x).(2,4) T(x, y ) = (4x – 2 y, 6x – 3 y) + (2 y – 2 x, 4y – 4 x) T(x, y ) = (2x, 2x + y) 7. Seja F o operador linear do R2 cuja matriz em relação à base B = { (1, 1), (1, -1)} é [ 1 0 0 5 ]. Determine a transformação linear. Como a matriz da transformação linear é [ 1 0 0 5 ], então: a = 1, b = 0, c = 0 e d= 5 F(u1) = F (1, 1) = a v1 + b v2 F(u2) = F (1, -1) = c v1 + d v2 F (1, 1) = 1 (1, 1) + 0 (1, -1) F (1, 1) = (1, 1) F (1, -1) = 0 (1, 1) + 5 (1, -1) F (1, -1) = (5, -5) Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: (𝑥, 𝑦) = 𝛼 (1, 1) + 𝛽(1, −1) { 𝑥 = 𝛼 + 𝛽 𝑦 = 𝛼 − 𝛽 Logo, { 𝛼 = 𝑥 − 𝛽 𝑦 = (𝑥 − 𝛽) − 𝛽 { 𝑦 = 𝑥 − 2𝛽 𝛽 = 𝑥−𝑦 2 { 𝛼 = 𝑥 − ( 𝑥−𝑦 2 ) 𝛼 = 𝑥+𝑦 2 Assim, 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 𝑇(𝑥, 𝑦) = ( 𝑥 + 𝑦 2 ) (1, 1) + ( 𝑥 − 𝑦 2 ) (5, −5) 𝑇(𝑥, 𝑦) = [( 𝑥 + 𝑦 2 ) , ( 𝑥 + 𝑦 2 )] + [( 5𝑥 − 5𝑦 2 ) , ( −5𝑥 + 5𝑦 2 )] 𝑇(𝑥, 𝑦) = [( 𝑥 + 𝑦 2 + 5𝑥 − 5𝑦 2 ) , ( 𝑥 + 𝑦 2 + −5𝑥 + 5𝑦 2 )] 𝑇(𝑥, 𝑦) = [( 6𝑥 − 4𝑦 2 ) , ( −4𝑥 + 6𝑦 2 )] 𝑇(𝑥, 𝑦) = [( 3𝑥 − 2𝑦), (−2𝑥 + 3𝑦)] 8. Determine F: R3 → R3, sabendo que F (1, 0, 0) = (1, 1, 0); F (0, 2, 0) = (2, 0 , 6) e F (0, 1, -1) = (2, - 2, 3) O conjunto de vetores {( 1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 1, -1)} é uma base do R3, então qualquer vetor u = (x, y, z) ∈ R3 é combinação linear dos vetores da base. (x, y, z) = 𝛼 (1, 0, 0) + 𝛽 (0, 2, 0) + 𝛿 (0,1, -1) x = 𝛼 y = 2 𝛽 + 𝛿 ∴ 𝛿 = y – 2 𝛽 z = - 𝛿 ∴ 𝛿 = - z Assim: - z = y – 2 𝛽 ∴ 𝛽 = 𝑦 + 𝑧 2 T(x, y, z) = 𝛼 T(v1) + 𝛽 T(v2 )+ 𝛿 T (v3) T(x, y, z) = x (1, 1, 0) + ( 𝑦 + 𝑧 2 ) (2, 0, 6) + (- z) (2, -2, 3) T(x, y, z) = (x, x, 0) + (y + z, 0 , 3 y + 3 z) + (- 2 z, 2 z, -3z) T(x, y, z) = (x + y + z – 2 z, x + 2 z, 3 y + 3 z -3z) T(x, y, z) = (x + y – z, x +2 z, 3 y) 9. Seja [𝑇] = [ 3 −2 4 1 1 0 ], determine T (x, y). Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: (𝑥, 𝑦) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽(0, 1) { 𝑥 = 𝛼 𝑦 = 𝛽 Assim, 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 (3, 4, 1) + 𝑦 (−2, 1, 0) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 2𝑦, 4𝑥 + 𝑦 , 𝑥) 10. Seja [𝑇] = [ 1 0 0 −1 ], determine T (x, y). Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: (𝑥, 𝑦) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽(0, 1) { 𝑥 = 𝛼 𝑦 = 𝛽 Assim, 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 (1, 0) + 𝑦 (0, −1) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑦) 11. Seja [𝑇] = [4, −1, 0], determine T (x, y, z). Escrevendo os vetores (x, y, z) como combinação linear da Base B temos: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 (1, 0, 0) + 𝛽(0, 1, 0) + 𝛾 (0, 0, 1) { 𝑥 = 𝛼 𝑦 = 𝛽 𝑧 = 𝛾 Assim, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 + 𝛾 𝐹(𝑢)3 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 (4) + 𝑦(−1) + 𝑧(0) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥 − 𝑦 12. Seja [𝑇] = [ 2 3 4 1 −2 0 ], determine T (x, y, z). Escrevendo os vetores (x, y, z) como combinação linear da Base B temos: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 (1, 0,0) + 𝛽(0, 1,0) + 𝛾 (0, 0, 1) { 𝑥 = 𝛼 𝑦 = 𝛽 𝑧 = 𝛾 Assim, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 + 𝛾 𝐹(𝑢)3 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 (2, 1) + 𝑦 (3, −2) + 𝑧 (4, 0) 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 , 𝑥 − 2𝑦) 13. Dadas as bases A = {(1, 1), (1, 0)} do R2 e B = {(1, 2, 0), (1, 0, -1), (1, -1, 3)} do R3 determine a transformação linear T: R2 → R3 cuja matriz é: [𝑇]𝐵 𝐴 = [ 2 0 1 −2 −1 3 ]. Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: 𝑇( 1, 1) = 2 (1, 2, 0) + 1(1, 0, −1) − 1 (1, −1, 3) = (2, 5, −4) 𝑇( 0, 1) = 0 (1, 2, 0) − 2 (1, 0, −1) + 3 (1, −1, 3) = (1, −3, 11) Para determinar 𝑇( 𝑥, 𝑦) temos que escrever ( 𝑥, 𝑦) como combinação linear dos vetores de A, isto é: (𝑥, 𝑦) = 𝛼 (1, 1) + 𝛽(1,0) { 𝑥 = 𝛼 + 𝛽 𝑦 = 𝛼 → { 𝑥 = 𝑦 + 𝛽 𝑦 = 𝛼 → { 𝛽 = 𝑥 − 𝑦 𝛼 = 𝑦 Assim, 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑦 (2, 5, −4) + (𝑥 − 𝑦)(1, −3, 11) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑦, 5𝑦, −4𝑦) + (𝑥 − 𝑦, −3𝑥 + 3𝑦, 11𝑥 − 11𝑦) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑦 + 𝑥 − 𝑦, 5𝑦 − 3𝑥 + 3𝑦, −4𝑦 + 11𝑥 − 11𝑦) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 , −3𝑥 + 8𝑦, 11𝑥 − 15𝑦) 14. Dadas as bases A = {(1, 1), (0, 1)} do R2 e B = {(0, 3, 0), (-1, 0, 0), (0, 1, 1)} do R3 determine a transformação linear T: R2 → R3 cuja matriz é: [𝑇]𝐵 𝐴 = [ 0 2 −1 0 −1 3 ]. Escrevendo os vetores (x, y) como combinação linear da Base B temos: 𝑇( 1, 1) = 0 (0, 3 , 0) − 1(−1, 0, 0) − 1 (0, 1,1) = (1, −1, −1) 𝑇( 0, 1) = 2 (0, 3, 0) + 0 (−1, 0, 0) + 3 (0, 1, 1) = (0, 9, 3) Para determinar 𝑇( 𝑥, 𝑦) temos que escrever ( 𝑥, 𝑦) como combinação linear dos vetores de A, isto é: (𝑥, 𝑦) = 𝛼 (1, 1) + 𝛽(0, 1) { 𝑥 = 𝛼 𝑦 = 𝛼 + 𝛽 → { 𝑥 = 𝛼 𝑦 = 𝑥 + 𝛽 → { 𝛼 = 𝑥 𝛽 = 𝑦 − 𝑥 Assim, 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹(𝑢)1 + 𝛽 𝐹(𝑢)2 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 (1, −1, −1 ) + (𝑦 − 𝑥)(0, 9, 3) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑥 + 9𝑦 − 9𝑥, −𝑥 + 3𝑦 − 3𝑥) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 , −10𝑥 + 9𝑦, −4𝑥 + 3𝑦) 15. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 0) = (2, -1, 0) e T (0, 1) = ( 0, 0, 1)? 𝑣1 = (1,0) 𝑒 𝑣2 = (0,1) 𝐹𝑣1 = 𝐹(1,0) = (2, −1,0) 𝑒 𝐹𝑣2 = 𝐹(0,1) = (0, 0, 1) 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑛ô𝑛𝑖𝑐𝑎: 𝑥 = 𝛼 𝑒 𝑦 = 𝛽 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹𝑣1 + 𝛽 𝐹𝑣2 𝑇(𝑥, 𝑦) =𝑥 𝐹𝑣1 + 𝑦 𝐹𝑣2 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥(2, −1, 0) + 𝑦(0, 0, 1) T (x, y) = (2x, - x , y) 16. Qual a transformação linear T: R2 → R3 tal que T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, -2) = ( 0, 1, 0)? T (x, y) = 17. Qual a transformação linear T: R3 → R2 tal que T (3, 2, 1) = (1, 1) , T (0, 1, 0) = ( 0, -2) e T (0, 0, 1) = ( 0, 0) ? T (x, y, z) = 18. Sejam F: R → R e G: R → R definidas por 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 3 𝑥 + 1 e 𝐺(𝑥) = 2𝑥 − 3. Encontre as fórmulas que definem as transformações compostas: (Lipschutz p. 179) a. 𝐹 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐺 𝐹(𝐺(𝑥)) = 𝐹 (2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)2 + 3(2𝑥 − 3) + 1 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 + 6𝑥 − 9 + 1 𝑅: 𝐹(𝐺(𝑥)) = 4𝑥2 − 6𝑥 + 1 b. 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹 𝐺(𝐹(𝑥)) = 𝐺(𝑥2 + 3𝑥 + 1) = 2(𝑥2 + 3𝑥 + 1) − 3 = 𝑅: 𝐺(𝐹(𝑥)) = 2𝑥2 + 6𝑥 − 1 c. 𝐹 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹 𝐹(𝐹(𝑥)) = 𝐹(𝑥2 + 3𝑥 + 1) = (𝑥2 + 3𝑥 + 1)2 + 3(𝑥2 + 3𝑥 + 1) + 1 = (𝑥2 + 3𝑥 + 1). (𝑥2 + 3𝑥 + 1) + 3𝑥2 + 9𝑥 + 3 + 1 𝑅: 𝐹(𝐹(𝑥)) = 4𝑥4 + 6𝑥3 + 14𝑥2 + 15𝑥 + 5 d. 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐺 𝐺(𝐺(𝑥)) = 𝐺(2𝑥 − 3) = 2(2𝑥 − 3) − 3 = 4𝑥 − 6 − 3 𝑅: 𝐺(𝐺(𝑥)) = 4𝑥 − 9 19. Sejam F: R3 → R2 e G: R2→ R2 definidas por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 , 𝑦 + 𝑧 ) e 𝐺 (𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥). Defina a fórmula da transformação de 𝐺 ⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘⃘𝐹. 𝐺(𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)) = 𝐺 (2𝑥 , 𝑦 + 𝑧) = (𝑦 + 𝑧, 2𝑥) 𝑅: 𝐺(𝐹(𝑥)) = (𝑦 + 𝑧, 2𝑥) Referências Bibliográficas BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980. BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990. ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008. KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998. LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972. NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba. 1949. REVISÃO TRANSFORMAÇÕES LINEARES Definição: Sejam V e W espaços vetoriais, uma transformação linear T: V ⟶ W é uma função de V em W se: I) ⩝ u, v ∈ V, T (u + v) = T (u) + T (v) II) ⩝ α ∈ ℝ, T (α u) = α T (u) MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão n e m, respectivamente, sobre R. Consideremos uma transformação linear F: U → V. Dadas as bases A = { u1 , u2 , ..., un } de U e B = { v1 , v2 , ..., vm } de V, então cada um dos vetores F(u1), F(u2), ..., F(un), está em V e consequentemente é combinação linear da base B: Matriz da transformação linear [𝑇]𝐵 𝐴 F(u1) = a v1 + b v2 F(u2) = c v1 + d v2 Regras para achar a transformação linear correspondente Dadas às bases e a matriz da transformação linear: Primeiro achar a combinação linear de vetores genéricos do espaço em que estamos (x, y, z, ...) em função das coordenadas dos vetores (𝛼 , 𝛽 , 𝜸, ...) da outra base (v1, v2, ...) Na sequência, achar a transformação linear fazendo: T(x, y) = 𝛼 F(u1) + 𝛽 F(u2) T(x, y) = x F(u1) + y F(u2) [𝑇]𝐵 𝐴 = [ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 ] 2ª Coluna da matriz da transforma ção linear: c , d 1ª Coluna da matriz da transforma ção linear: a , b
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