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MATEMATICA APLICADA A NEGO´CIOS 4, 1–?? (2010) Ca´lculo
Ca´lculo Diferencial e Integral I
LIMITES FUNDAMENTAL
Jair Silve´rio dos Santos*
TEOREMA DO SANDUICHE
Teorema 0.1. Dadas f, g, h : A ⊂ R→ func¸o˜es e x0 ponto de acumulac¸a˜o de A.
(i) Suponha existe � > 0 tal que para cada x ∈ (x0 − �;x0 + �) tem-se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x).
(ii) Suponha que lim
x→x0
f(x) = L e lim
x→x0
g(x) = L, onde L e´ um nu´mero real.
Enta˜o lim
x→x0
h(x) = L.
Exemplo 0.1. Seja h : A ⊂ R→ R func¸a˜o dada por h(x) = x sen ( 1
x
), e x0 = 0. Calcule lim
x→0
h(x).
Note que, −x ≤ x sen ( 1
x
) ≤ x, enta˜ tome f(x) = −x e g(x) = x e teremos f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo
x ∈ R. Como limx→0−x = 0 = limx→0 x, o Teorema 0.1 nos garante que limx→0 sen ( 1
x
) = 0.
Primeiro Limite Fundamental Provemos que lim
x→0
senx
x
= 1.
Consideremos o arco de circunfereˆncia de raio um AOC na Figura abaixo. Considere tambe´m o setor
circular AOC e os triaˆngulos BOC e AOG cujas as a´reas sa˜o representasdas por ∇s, ∇B e ∇G respectiva-
mente.
O A
G
C
B
6
-
E´ fa´cil ver que ∇B ≤ ∇s ≤ ∇G. Vamos denotar a medida do arco AC por x, e observar que a medida dos
segmentos de reta OA, OB, BC, e AG sa˜o um, cosx, senx e
senx
cosx
respectivamente. Com estes valores em
mentevemos que estas a´reas satisfazem
1
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2 SANTOS, J. S.
1
2
(sen x cosx) ≤ x
2
≤ 1
2
senx
cosx
ou seja senx cosx ≤ x ≤ senx
cosx
.
Invertendo todas as frac¸o˜es teremos
1
senx cosx
≥ 1
x
≥ cosx
senx
.
Multiplicando todos os membros das inequac¸o˜es acima por senx (veja que senx > 0) teremos
1
cosx
≥ senx
x
≥ cosx.
Agora estamos em condic¸o˜es de nos valer do Teorema 0.1 com as func¸o˜es f(x) =
1
cosx
, g(x) = cosx e
h(x) =
senx
x
. Como lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
1
cosx
= 1 e lim
x→0+
g(x) = lim
x→0+
cosx = 1, o Teorema 0.1 nos asegura
que
lim
x→0+
h(x) = lim
x→0+
senx
x
= 1.
Note que todos os ca´lculos acima podem ser desenvolvidos para x pro´ximo de zero, mas pela esquerda de
zero, o que nos faz ver que
lim
x→0−
h(x) = lim
x→0−
senx
x
= 1.
Como os limites pela esquerda e pela direita de zero existem e sa˜o iguais, teremos
lim
x→0
senx
x
= 1.
Exemplo 0.2. Vamos calcular lim
x→0
1− cos
x
.
Veja que a frac¸a˜o dentro do limite pode ser escrita como
1− cos
x
=
1− cos
x
· 1 + cosx
1 + cosx
=
1− cos2 x
x[1 + cosx]
=
senx
x
· senx · 1
[1 + cosx]
.
Veja que lim
x→0
senx
x
= 1 (limite fundamental), lim
x→0
senx = 0 e lim
x→0
1
1 + cosx
= 1. Enta˜o temos
lim
x→0
1− cos
x
= lim
x→0
senx
x
· senx · 1
[1 + cosx]
= 1 · 0 · 1 = 0.
(i) Calcule (i) lim
x→0
sen 3x
x
; (ii) lim
x→0
senx
pix
; (iii) lim
x→0
sen 3x
sen 5x
; (iv) lim
x→0
sen 211x
5x
.
(ii) Tome f(x) = cosx e calcule lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
(iii) (i) Calcule lim
x→1
senpix
x− 1 . (ii) limx→0
sen 17x
senpix
;
OUTROS EXERCI´ CIOS
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PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL 3
(iv) a - Calcule lim
x→−∞
2x2 − x− 3
x3 − 2x2 − x+ 2.
b - Seja f : R → R dada por f(x) = x 15 . Se a for um nu´mero real fixo na˜o nulo, calcule f(x)− f(a)
x− a . Em
seguida calcule lim
x→a(ax)
− 15 f(x)− f(a)
x− a .
(v) Calcule os limites abaixo :
(i) lim
x→0
5
√
3 + x2
x3
; (ii) lim
x→−1
2x2 − x− 3
x3 − 2x2 − x+ 2; (use o item (i) exerc´ıcio 3).
(vi) Encontre em R o conjunto soluc¸a˜o para as inequac¸o˜es abaixo :
(a)
2x2 − x− 3
x3 − 2x2 − x+ 2 ≥ 0; (b)
3
9− x ≤
2
x+ 2
;
(c) Seja f : A ⊂ R→ R dada por f(x) = √|2x− 1| − |x+ 1|. Descreva o conjunto A.
(vii) a Calcule as ass´ıntotas horizontais e verticais de f(x) =
x2 − 4
x3 + 8
,
b Como sabemos da definic¸a˜o de limite que lim
x→2
x2 + 2x − 1 = 7 se dado � > 0 existir δ > 0 tal que,
se dist(x; 2) < δ, enta˜o dist(f(x), 7) < �. Dado � = 10−4, encontre algum δ > 0 adequado que satisfac¸a a
definic¸a˜o de limite.
Segundo Limite Fundamental
• Primeiramente vamos mostrar que se n for um nu´mero natural maior que dois enta˜o
[
1 +
1
n
]n
≥ 2 se n ≥ 2.
Usando o binoˆmio de Newton, vemos facilmente que[
1 +
1
n
]n
=
n∑
i=0
(
n
i
)
1n−i
( 1
n
)i
=
(
n
0
)
1n−0
( 1
n
)0
+
(
n
1
)
1n−1
( 1
n
)1
+
n∑
i=2
(
n
i
)
1n−i
( 1
n
)i
,
mas veja que 1n−0
( 1
n
)0
= 1 =
(
n
1
)
1n−1
( 1
n
)1
. Enta˜o 1n−0
( 1
n
)0
+
(
n
1
)
1n−1
( 1
n
)1
= 1 + 1 = 2, ainda note
que
n∑
i=2
(
n
i
)
1n−i
( 1
n
)i
> 0,
pois todas as suas parcelas sa˜o positivas. Portanto, se n ≥ 2 teremos
[
1 +
1
n
]n
≥ 2.
Proposic¸a˜o 0.1. Se e for o nu´mero irracional neperiano cujo valor aproximado e´ 2, 718281828459...,
enta˜o
lim
t→+∞
[
1 +
1
t
]t
= e = lim
t→−∞
[
1 +
1
t
]t
.
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4 SANTOS, J. S.
A prova da Proposic¸a˜o 0.1 envolve o conceito de Se´ries de nume´ricas e sera´ omitida, mas faremos alumas
observac¸o˜es sobre este assunto. Fac¸a t ∈ N, (t assumir apenas nu´meros Naturais). Neste caso e´ fa´cil ver que
Vamos provar que
lim
s→0
[
1 + s
]1
s = e. (0.1)
Fazendo t =
1
s
, teremos que s→ +∞ se t→ 0+, enta˜o
lim
s→0+
[
1 + s
]1
s = lim
t→∞
[
1 +
1
t
]t Prop 1
= e.
Ainda teremos que s→ −∞ se t→ 0−, enta˜o
lim
s→0−
[
1 + s
]1
s = lim
t→−∞
[
1 +
1
t
]t Prop
= e.
Como os limites laterais sa˜o iguais, teremos
lim
s→0
[
1 + s
]1
s = e.
PROBLEMA DE JURO SIMPLES
Suponha que voce investiu um quantidade P0 de capital a uma taxa de juros de 6% ao ano. Enta˜o uma
conta simples mostra que ao final do primeiro per´ıodo, o Principal P (valor atualizado), sera´ dado por:
P = P0(1 + 0.06) se o juro for composto anualmente ao capital inicial P0.
P = P0
(
1 +
0.06
2
)2
se o juro for composto semestralmente ao capital inicial P0.
P = P0
(
1 +
0.06
3
)3
se o juro for composto quadrimestralmente ao capital inicial P0.
P = P0
(
1 +
0.06
4
)4
se o juro for composto trimestralmente ao capital inicial P0.
...
...
...
...
...
...
P = P0
(
1 +
0.06
12
)12
se o juro for composto mensalmente ao capital inicial P0.
(0.2)
Pode-se ver facilmente que se a taxa anual de juros for um nu´mero real r, 0 < r < 1, e o Principal for
composto m vezes ao ano (m ∈ N), ao final de n anos (n ∈ N) sera´ dado por:
Pn(m) = P0
[(
1 +
r
m
)m]n
(0.3)
Enta˜o, Principal e´ uma func¸a˜o que relaciona o conjunto dos nu´meros naturais com o conjunto do nu´meros
reais sob a luz da igualdade (0.3). Observe que no sentido acima a acumulac¸a˜o de capital, em verdade, e´
uma maneira de dois conjuntos N e R trocarem informac¸o˜es de acordo com a expressa˜o (0.3).
Podemos ver facilmente que
[(
1 +
r
m
)m]n
=
[(
1 +
r
m
)rmr ]n
=
(
1 +
r
m
)m
r
]nr
(0.4)
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PRIMEIRO LIMITE FUNDAMENTAL 5
Enta˜o,
lim
m→∞Pn(m) = P0 limm→∞
[(
1 +
r
m
)m]n
= P0 lim
m→∞
[(
1 +
r
m
)rmr ]n
=
P0 lim
m→∞
[(
1 +
r
m
)m
r
]nr
= P0
[
lim
m→∞
(
1 +
r
m
)m
r
]nr
= P0ern
(0.5)
Apo´s n anos se o Principal for corrigido infinitas vezes a cada ano, teremos
P (n) = P0ern. Substituindo n por t teremos P (t) = P0ert. (0.6)
Portanto, ao findar um per´ıodo de tempo t a quantidade de capital P0, quando composta instantaneamente
ou continuamente a uma taxa de juros r por cento ao ano, sera´ dada por
P (t) = P0ert. (0.7)
Exemplo 0.3. Quanto tempo sera´ necessa´rio para queQ0 = 1, 00 unidades de moeda dobre o valor
nominal quando aplicado em uma carteira a` taxa de juros 4% ao nao?
Resoluc¸a˜o Segue de (0.7) que P (t) = P0e0,04t ou seja queremos saber para qual valor t0 teremos
P (t0) = 2P0. Isto e´ P0e0,04t0 = 2P0. O valor de t0 deve satisfazer e0,04t0 = 2. Calculando o logar´ıtmo m
neperiano em amos os membros teremos. 0, 04t0 = ln 2. Um ca´lculo relativamente simples nos mostra que
t0 = 17 anos e quatro meses, aproximadamente.
Sabemos da teoria de limite que dadas f, g : [a, b]→ R tais que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em g(x0) ∈ [a, b]
e existe lim
x→x0
g(x) = L ∈ R, ena˜o lim
x→x0
f(g(x)) = f
(
lim
x→x0
g(x)
)
= f(L). Note que este resultado e´ u´til para
se calcular o limite abaixo:
lim
x→0
ln
[
1 + x
] 1
x = ln
[
lim
x→0
(
1 + x
) 1
x
]
= ln e = 1. (0.8)
Proposic¸a˜o 0.2. Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1, enta˜o
lim
x→0
ax − 1
x
= ln a.
Prova : Fazendo t = ax − 1, teremos ax = t+ 1. Calculando Logaritmo Nepariano em ambos os membros
teremos
ln ax = ln(t+ 1), enta˜o x ln a = ln(t+ 1), portanto x =
ln(t+ 1)
ln a
.
E´ fa´cil ver que se x→ 0 (x 6= 0) enta˜o t→ 0 (t 6= 0), Assim teremos
lim
x→0
ax − 1
x
= lim
x→0
t
ln(t+ 1)
ln a
= ln a lim
x→0
1
ln(t+ 1)
t
= ln a.
lim
x→0
1
lim
x→0
ln(t+ 1)
t
ver(0.8)
= ln a
Exerc´ıcios
Use a teoria acima e calcule os limites abaixo:
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6 SANTOS, J. S.
(a) lim
x→0
ax − bx
x
a, b ∈ R tal que 0 < a, b 6= 1, (b) lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n+5
.
(c) lim
x→∞
(
1 +
2
x
)x
, ( d) lim
x→∞
( x
x+ 1
)x
, (5) lim
n→∞
(2n+ 3
2n+ 1
)n
.
? Outros Exerc´ıcios.
Calcule
(a) lim
x→0
sin(9x)
x
, (b) lim
x→0
sin(10x)
sin(9x)
, (c) lim
x→0
1− cosx
x2
, (d) (1) lim
x→0
sin3 x2
x3
.
EXERCI´CIOS
(i) Quanto tempo sera´ necessa´rio ara que Q0 = 1, 00 unidades de moeda dobre o valor nominal quando
aplicada em uma carteira a uma taxa de juros 5% ao nao? Rep. 13, 86 anos.
(ii) Quanto tempo sera´ necessa´rio ara que Q0 unidades de moeda dobre o valor nominal quando aplicada
em uma carteira a` taxa de juros 3% ao nao?
(iii) Quanto tempo sera´ necessa´rio ara que Q0 unidades de moeda dobre o valor nominal quando aplicada
em uma carteira a` taxa de juros 7% ao nao?
(iv) Qual sera´ a taxa r de juros ao ano, para que Q0 unidades de moeda aplicada em uma carteira dobre
o seu valor nominal em 12 meses? Rep. r = 5.78%.
DERIVADA FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E LOGARI´TMICA
Agora, se a ∈ R, a > 0 e a 6= 1, podemos calcular facilmente a derivada das func¸o˜es que
f(x) = ax para todo x ∈ R e g(x) = log
a
x para todo x > 0 .
Denomine f ′(x) o seguinte Limite:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
a(x+h) − ax
h
= lim
h→0
ax
[ah − 1
h
]
= ax lim
h→0
[ah − 1
h
]
Veja que a Proposic¸a˜o 0.2 nos diz que lim
h→0
[ah − 1
h
]
= lna. Portanto,
f ′(x) = ax.lna.
Denomine g′(x) o seguinte Limite:
g′(x) = lim
h→0
g(x+ h)− g(x)
h
= lim
h→0
1
h
[
log
a
(x+ h)− log
a
x
]
=
lim
h→0
1
h
[
log
a
(x+ h)
x
]
= lim
h→0
log
a
[
1 +
h
x
] 1
h
= lim
h→0
log
a
[
1 +
h
x
] x
h · 1x
=
1
x
· lim
h→0
log
a
[
1 +
h
x
] x
h (fac¸a s=hx )=
1
x
· lim
s→0
log
a
[
1 + s
] 1
s (ver (0.1))
=
1
x
log
a
e
Portanto
g′(x) =
1
x · lna .
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