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CES-CL
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DE CONSELHEIRO LAFAIETE
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
CES- CL Conversão de Energia e Transformadores Prof. Geraldo Leão Lana
1ª Avaliação
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Circuito Elétrico Circuito Magnético 
I :Corrente Elétrica (A) φ : Fluxo Magnético (Wb) 
E :Força eletromotriz (V) NiF = :Força magnetomotriz (Aesp) 
σ :Condutividade (S/m) µ :Permeabilidade (H/m) 
S
IJ = : Densidade de 
Corrente Elétrica ( 2/A m ) 
S
B φ= : Densidade de Fluxo Magnético 
( 2/Wb m ) 
S
lR
σ
1
= : Resistência (Ω ) 
S
l
µ
1
=ℜ :Relutância ( /Aesp Wb ) 
1G
R
= :Condutância (S ) 
1Ρ =
ℜ
:Permeância 
( /Wb Aesp ) 
 
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Relação entre o campo e a corrente
ildB µ=⋅∫
rr
iNBl µ=
HB µ=iNHl µµ =
NiHl =
Relutância Magnética
A
l
⋅
=ℜ
µ
É definida como a oposição que um determinado trecho 
do circuito magnético oferece à circulação do fluxo 
magnético.
Permeabilidade magnética
• Define-se permeabilidade magnética (µ) de um dado 
material como a habilidade deste material ser 
magnetizado ou a habilidade de conduzir linhas 
magnéticas de força em comparação com o ar e o 
vácuo.
oR µµµ ⋅=
Permeabilidade magnética
7104 −⋅⋅= piµo
000.802000 ≤≤ Rµ
O Entreferro
Os sistemas de conversão 
de energia que utilizam 
partes móveis possuem um 
entreferro inserido em seu 
circuito magnético.
Quando o entreferro é muito menor que a área da 
seção transversal é possível considerar que a área 
para o entreferro é igual à área da seção transversal 
para o material magnético.
A densidade de fluxo no material 
magnético é dada por:
c
c A
B φ=
g
g A
B φ=
A
BB gc
φ
==
O Entreferro
A densidade de fluxo no entreferro 
é dada por:
Como as áreas são iguais, 
então:
O Entreferro
)()( gbgaAg +⋅+=
Quando o comprimento do 
entreferro é suficientemente 
grande que se torna 
necessário considerar o 
efeito do espraiamento, o faz-
se através da adição do 
comprimento do entreferro a 
cada dimensão relativa ao 
cálculo da área da seção 
transversal.
Circuito magnético com entreferro








⋅
+
⋅
⋅=⋅
goc
c
A
g
A
liN
µµ
φ
gHlHiN gcc ⋅+⋅=⋅
g
B
lBiN
o
g
c
c
⋅+⋅=⋅
µµ
ϕ = Bc ⋅Ac = Bg ⋅Ag
φ
µ
φ
µ
⋅
⋅
+⋅
⋅
=⋅
goc
c
A
g
A
liN
Equação para cálculo do fluxo 
magnético
c
c
c A
l
⋅
=ℜ
µ
go
g A
g
⋅
=ℜ
µ
)( gciN ℜ+ℜ⋅=⋅ φ
Definindo a relutância do 
material magnético.
Definindo a relutância do 
entreferro.
dt
di
.LvL =
dt
di
v
L
L
=
∫ ∫=
=
)t(
)0(
i
i
t
0
L dt.v.
L
1
di
dt.vL.
L
1
di
)0(idt.v
L
1
)t(i
t
0
L += ∫
dt.di
dt.d.N
L
dt
d
.N
dt
di
.LvL
φ
=
φ
==
)H(
di
d.N
L →
φ
=
)H(
A
tWb
i
.N
L =
−





→
φ
=
ℜ
==φ i.N
Magnética'relutância
fmm
Am.
lm
µ
=ℜ
ℜ
=
µ
=
22 N
lm
Am..N
L
Indutância
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Exercícios
1. Dada a peça abaixo, determinar a
densidade de fluxo B em Tesla.
Solução: 
TB
m
Wb
A
B
2
23
5
10.5
10.2,1
10.6
−
−
−
=
==
φ
2. Com base na figura do exercício anterior, se a
densidade de fluxo for 1,2 T e a área da seção
reta for 0,25 pol.2, determinar o fluxo magnético
no interior da peça.
Solução: 
Convertendo 0,25pol.2 em m2:
AB.=φ
Wb
mTx
mA
pol
m
pol
mpolA
4
24
24
2
10.936,1
10.613,12,1
10.613,1
.37,39
1
.
.37,39
1
.25,0
−
−
−
=
=
=












=
φ
φ
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TB
T
m
Wb
A
B
2,0
10.2
10.2
10.4 1
23
4
=
===
−
−
−φ
Exercícios
3. Para o circuito magnético em série
visto na figura abaixo, pede-se:
a) Calcular o valor de I necessário para
gerar um fluxo magnético φ=4.10-4Wb.
b) Determinar µ e µr para o material
nessas condições.
Solução: 
a)
Do gráfico BxH, temos:
H(aço fundido) = 170A/m, logo: NI = Hl
I = Hl/N = (170A/m x 0,16m)/400
I = 68mA
b) µ = B/H = 0,2(T)/1.709 (A.esp./m)
µ = 1,176.10-3 (Wb/A.m)
Logo a permeabilidade relativa é:
µr = µ/µ0 = 1,176.10
-3/4.pi.10-7
µr=935,83
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Exercícios
4. O reator mostrado na Figura abaixo foi construído com um material magnético de
permeabilidade relativa . A bobina de excitação possui 200 espiras. Calculemos a
corrente na bobina de excitação necessária para estabelecer uma densidade de fluxo
magnético . É dada a permeabilidade do vácuo e as dimensões estão
em cm.
3000=Rµ
21,2 /Wb m )/(104 70 mH−= piµ
2
0
5
5
Solução:
A solução do problema se resume em montar o circuito elétrico
análogo do problema magnético.
Assim, para este caso temos:
( ) ( )2 2,5 20 2,5 2 20 2 2,5 80 ou0,8cm m= ⋅ + + + ⋅ − ⋅ =l
2 4 25 10 50 ou 50 10S cm m−= ⋅ = ×
Como conseqüência resulta: 
)/(10.44,42
10.50
8,0
.
104.3000
11 3
47 WbAespS
l
===ℜ
−−piµ
Sendo , 
obtém-se:
2/2,1 mWbB =
WbSB 44 10.6010.50.2,1. −− ===φ
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Exercícios
Dessa forma, o circuito elétrico análogo é dado por:
( )wsAespR /1044.42 3×=
wb41060 −×=φ
i200=ℑ
Da análise do circuito elétrico análogo, obtemos:
Substituindo pelos seus valores, obtém-se:
ou ainda:
φℜ=Ni
43 10.60.10.44,42200 −=i
Ai 27,1=
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Exercícios
5. A estrutura magnética da Figura abaixo é confeccionada de material magnético de permeabilidade relativa .
O número de espiras da bobina de excitação é 400 espiras. Determine a f.m.m. e a corrente da bobina para estabelecer
uma densidade de fluxo magnético no braço direito da estrutura. Obs.: todas as dimensões são expressas em
cm.
4000=Rµ
2/5,0 mWb
3φ
Solução:
O primeiro passo na resolução do problema, consiste em montar o circuito elétrico análogo, o qual possui a mesma
geometria que a estrutura magnética. Assim, para o problema em questão, o circuito elétrico análogo é dado ao
lado.
2R 3R
1φ 2
φ 3φ
i400
Em seguida calculamos as 
relutâncias de cada trecho. Para o 
problema em questão resultam: 
)/(10.6,71
10.5.5
10)].5,2.240()5205,2.(2[
.
104.4000
11 3
4
2
7
1
1
1 WbAespS
l
=
−+++
==ℜ
−
−
−piµ
)/(10.9,13
10.5.10
10)].5,2.240[(
.
104.4000
11 3
4
2
7
2
2
2 WbAespS
l
=
−
==ℜ
−
−
−piµ
)/(10.5,87
10.5.5
10)].5,2.240()5,2305.(2[
.
104.4000
11 3
4
2
7
3
3
3 WbAespS
l
=
−+++
==ℜ
−
−
−piµ
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No braço direito da estrutura é dado , de modo que:
Da malha direita do circuito obtemos:
De modo que:
Aplicando-se a lei de Kirchoff para as correntes obtém-se:
Aplicando-se agora a lei de Kirchoff das tensões para a malha da esquerda, podemos escrever:
Resultando:
e também:
2
3 /5,0 mWbB =
WbSB 44333 10.5,1210.25.5,0. −− ===φ
3322 φφ ℜ=ℜ
Wb43
43
2 10.7,7810.9,13
10.5,12.10.5,87
−
−
==φ
Wb4321 10.2,91 −=+= φφφ
2211 φφ ℜ+ℜ=Ni
AespNifmm 76210.7,78.10.9,1310.2,91.10.6,71 4343 =+== −−
A
N
fmmi 9,1
400
762
===
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Exercícios
6. A Figura abaixo mostra uma estrutura magnética confeccionada com material magnético de 
permeabilidade relativa , na qual foi introduzido um entreferro de comprimento 1 mm. Todas as demais 
dimensões estão em cm. Vamos calcular a corrente na bobina de excitação, a qual possui 500 espiras, necessária para 
estabelecer um fluxo magnético no entreferro de .
2000=Rµ
Wb410.5 −
Solução:
No circuito elétrico análogo desta
estrutura, além da fonte de f.m.m. que produz o
campo magnético devemos inserir duas
relutâncias em série; uma relativa à porção do
núcleo magnético e outra devido ao entreferro,
como mostra a Figura ao lado.
φ
A partir da análise de malhas obtém-se:
φ)( 21 ℜ+ℜ=Ni
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Exercícios
Na qual:
é a relutância do núcleo e:
é a relutância do entreferro.
Observe que apesar do entreferro ter apenas 1 mm, sua relutância, neste caso, é algo em torno de 5
vezes maior que a relutância do núcleo.
Sendo obtemos:
Resultando:
.
WbAesp
S
l /10.8,35
10.2.2
10)].1.212(2)161(2[
.
10.4.2000
1
.
1 4
4
2
7
1
1
1 =
−+++
==ℜ
−
−
−piµ
WbAesp
S
l /10.180
10).1,02)(1,02(
10.1
.
10.4
1
.
1 4
4
3
7
2
2
0
2 =
++
==ℜ
−
−
−piµ
Wb410.5 −=φ 44 10.5.10)1808,35(500 −+=i
Ai 16,2=
Exercício: O solenóide mostrado na figura abaixo possui 250 espiras. Como o comprimento é muito 
maior que o diâmetro, o campo magnético no interior do solenóide pode ser considerado 
uniforme. Determine a intensidade de campo magnético e a densidade de fluxo no interior 
do solenóide, assim como a indutância deste solenóide. Despreze o campo magnético no 
exterior do solenóide. A corrente é igual a 10A.
NiHl =
102505,0 ⋅=⋅H
mAH /5000=HB µ= 5000104 7−⋅= piB
mTB 28,6=
i
NBA
i
NL == ϕ
HL µpi 308
10
)105,2(1028,6250 223
=
⋅⋅⋅⋅⋅
=
−−
Exercício: A profundidade do núcleo mostrado na figura abaixo é igual a 10cm. A permeabilidade 
relativa do material é igual a 2500, o número de espiras igual a 300 e a corrente que 
alimenta o circuito igual a 1 ampère. Determine o fluxo magnético no núcleo e a densidade 
de fluxo magnético nas partes do núcleo.
015,01042500
35,0
71
⋅⋅⋅
==ℜ
−piµA
l
WbkA /43,71 =ℜ
01,01042500
4,0
72
⋅⋅⋅
==ℜ
−piµA
l
WbkA /7,122 =ℜ
WbkA /34,4022 21 =ℜ+ℜ=ℜ
Exercício: A profundidade do núcleo mostrado na figura abaixo é igual a 10cm. A permeabilidade 
relativa do material é igual a 2500, o número de espiras igual a 300 e a corrente que 
alimenta o circuito igual a 1 ampère. Determine o fluxo magnético no núcleo e a densidade 
de fluxo magnético nas partes do núcleo.
ℜ=φNi
mWb
k
44,7
34,40
300
==φ
Tm
A
B 495,0
015,0
44,7
1
1 ===
φ
TmB 74,0
01,0
44,7
2 ==
Exercício: No circuito magnético abaixo o núcleo é fabricado com chapas de aço silício e possui seção 
quadrada. As correntes nos enrolamentos são i1=0,33A e i2= 0,6A. Determine a densidade 
de fluxo no raio médio do núcleo. Considerando essa densidade de fluxo, determine o fluxo 
no núcleo. 
Exercício: No circuito magnético abaixo o núcleo é fabricado com chapas de aço silício e possui seção 
quadrada.As correntes nos enrolamentos são i1=0,33A e i2= 0,6A. Determine a densidade 
de fluxo no raio médio do núcleo. Considerando essa densidade de fluxo, determine o fluxo 
no núcleo. 
NiHl =
22112 iNiNRH +=⋅ pi
6,030033,06002,02 ⋅+⋅=⋅ piH
mAH /300= TB 1,1=
BA=φ 41041,1 −⋅⋅=φ
Wb4104,4 −⋅=φ

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