Lista de Exercícios - Matrizes

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TO´PICOS DE MATEMA´TICA - TM31M - 2017
Professor: Geovani Raulino
1ª LISTA DE EXERCI´CIOS - MATRIZES
1. Construir as seguintes matrizes:
A = (aij)3×3, tal que
{
1, se i = j
0, se i 6= j. e B = (bij)3×3, tal que
{
i + j, se i = j
i− j, se i 6= j.
2. Determine x, y, w e t de modo que se tenha:[
x2 2x y
4 5 t2
]
=
[
x x 3
z 5t t
]
3. Determine o valor de x, de tal forma que a matriz
 0 x
2 − 1 −3
x + 1 2 x2 + 4
−3 4x −1
 seja sime´trica.
4. Dadas as matrizes A =
[
1 5 7
3 9 11
]
, B =
[
2 4 6
8 10 12
]
e C =
[
0 −1 −5
1 4 7
]
. Calcular:
(a) A + B + C
(b) A−B + C
(c) A−B − C
(d) −A + B − C
5. Calcular a soma C = (cij)3×3 das matrizes A = (aij)3×3 e B = (bij)3×3 tais que aij = i2 + j2 e
bij = 2.i.j.
6. Seja C = (Cij)2×3 a soma das matrizes A =
[
0 1 2
3 4 5
]
e B =
[
6 7 8
9 10 11
]
. Calcule a soma
c21 + c22 + c23.
7. Determinar x e y de modo que se tenha:[
y3 3x
y2 4x
]
+
[
−y x2
2y x2
]
+
[
−1 1
2 2
]
=
[
5 1
10 −1
]
8. Dadas A =
[
1 2
2 3
]
, B =
[
0 5
7 6
]
e C =
[
−1 7
5 −2
]
, determine a matriz X tal que
X + A = B − C.
9. Obter a matriz X tal que
X +
 14
7
 =
 57
2
+
 1−1
−2

1
10. Prove que se A e B sa˜o matrizes sime´tricas, enta˜o A + B tambe´m e´ sime´trica.
11. Dadas as matrizes A =
[
1 1
5 7
]
e B =
[
0 6
9 3
]
. Calcular:
(a) 2A (b)
1
3
B (c)
1
2
(A + B)
12. Dadas as matrizes:
A =

1 −2
3 1
7 −4
5 9
, B =
[
1 3 −5 −7
6 2 −8 3
]
, C =
[
2 4
−3 5
]
e D =

1 7 3 −8
−3 −1 −1 −3
4 1 9 0
5 3 2 −3
 ,
calcule:
(a) A.B;
(b) A.C;
(c) A.(B.D);
(d) At e Bt;
(e) C.C;
(f) (B.A)t.
13. Se A e´ uma matriz triangular superior, o que podemos dizer sobre A2.
14. Se for verdadeiro deˆ uma breve justificativa, se for falso deˆ um contra-exemplo.
(a) (A + B)t = Bt + At.
(b) Se A e B sa˜o matrizes sime´tricas enta˜o AB = BA.
(c) Se A.B = 0m×n, enta˜o B.A = 0m×n.
(d) Se podemos efetuar o produto A.A, enta˜o A e´ uma matriz quadrada.
15. Sendo A =
[
1 1
0 1
]
, calcular A2, A3, A4 e An, com n ∈ N.
16. Calcule A.B.C, sendo A =
[
1 2
5 1
]
, B =
[
1 1 1
3 2 1
]
e C =
 3 11 0
2 −1

17. Sendo A =
[
1 −1
0 2
]
, qual das matrizes abaixo comuta com a matriz A?
B =
[
2
3
]
, C =
[
1 3 2
4 5 1
]
, D =
[
0 0
1 0
]
e E =
[
5 2
0 3
]
2
18. Determinar x e y de modo que as matrizes comutem:
A =
[
1 2
1 0
]
e B =
[
0 1
x y
]
19. Sendo A e B matrizes comuta´veis prove que:
(a) (A + B)(A−B) = A2 −B2
(b) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
(c) (AB)n = An.Bn (induc¸a˜o!!)
20. Dadas as matrizes A =
 2 −3 −5−1 4 5
1 −3 −4
, B =
 −1 3 51 −3 −5
−1 3 5
 e C =
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3

(a) Mostre que A.B = B.A = Om×n, A.C = A e C.A = C;
(b) Use os resultados de (a) para mostrar que A.C.B = C.B.A.
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Refereˆncias Bibliogra´ficas
[I] IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de Matema´tica Elementar: sequeˆncias, ma-
trizes, determinantes e sistemas. 2. ed. v.4. Sa˜o Paulo: Atual, 1985.
[B] BOLDRINI, J. L.; COSTA, S.I.R.; FIGUEIREDO, V.L. et al. A´lgebra Linear. 3. ed.
Sa˜o Paulo: Harbra Ltda, 1986.
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