Desenho Geometrico

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Prof. José do Carmo Toledo 
 
O DESENHO GEOMÉTRICO COM RÉGUA E 
COMPASSO 
 
 
Nas construções geométricas, aqui propostas, utilizaremos somente régua e 
compasso. Esse era o método usado pelos geômetras gregos na Antigüidade. 
 
A régua é usada apenas para traçar retas e não para medir segmentos. O 
compasso é utilizado para traçar arcos e circunferências e para transportar 
segmentos. 
 
De antemão, é preciso deixar claro que toda construção através de 
instrumentos nos leva a resultados aproximados. Isso ocorre por vários 
motivos. Entre eles, podemos citar: 
 
1. A representação de pontos é feita por pequenas bolinhas, apesar de o 
ponto geométrico não ter dimensão. 
2. A representação de retas é feita por linhas grossas, apesar de a reta 
geométrica não ter espessura. 
3. Os instrumentos, em geral, são imperfeitos. 
 
As imperfeições de uma construção podem ser minimizadas mantendo-se o 
lápis – ou lapiseira – sempre bem apontados e utilizando-se grafite de dureza 
média – F ou H. 
 
 
CONSTRUÇÕES BÁSICAS 
 
Seis construções são consideradas básicas para a resolução dos problemas 
de Desenho Geométrico. São elas: 
 
I. Traçar uma reta perpendicular a uma reta dada. 
II. Traçar a mediatriz de um segmento. 
III. Traçar uma reta paralela a uma reta dada. 
IV. Traçar o ângulo congruente a um ângulo dado. 
V. Construir a bissetriz de um ângulo. 
VI. Dividir um segmento em partes congruentes proporcionais. 
 
Já que existem vários procedimentos para cada uma dessas construções, 
vamos adotar o de fixação mais rápida. 
 
Reiteramos que todas essas construções serão realizadas apenas com régua 
e compasso. 
 
 2 
Neste Módulo, vamos estabelecer a primeira dessas construções. 
 
1 - Construção de reta perpendicular a uma reta dada, por um 
de seus pontos: 
 
 
DADOS: 
 
 
CONSTRUA: 
r s, tal que P r 
 
 
Solução. 
 
Siga os seguintes passos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: a reta r é a reta procurada. 
1. Com centro em P e raio 
qualquer, trace um arco 
de circunferência e 
obtenha A e B na reta s. 
 
2. Com raio maior que d(A,P), 
trace arcos de circunferência 
com centros em A e B, 
respectivamente, e obtenha o 
ponto M na sua interseção. 
3. Trace a reta MP e chame-a de r. 
 
 3 
Justificativa: 
 
 
 
 
2 - Construção de reta perpendicular a uma reta dada, por um 
ponto que não pertence à reta: 
 
 
DADOS: 
 
 
CONSTRUA: 
r s, tal que P r 
 
 
Solução. 
 
Siga os seguintes passos: 
 
 
 
 
P é o ponto médio de AB . 
O quadrilátero ADBM é um losango. 
Os segmentos AB e MD são as diagonais do 
losango ADBM . 
Como sabemos: 
 MD é perpendicular a AB . 
 MD e AB se cruzam em P. 
Assim, r é perpendicular a s e passa pelo ponto P. 
1. Com centro em P e raio 
m maior que d(P, s), trace 
um arco de circunferência 
que intercepte a reta s em 
A e B. 
 4 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: a reta r é a reta procurada. 
 
 
Justificativa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Com raio de medida m, 
trace dois arcos de 
circunferência com centros em 
A e B, respectivamente, e 
determine o ponto M, simétrico 
de P em relação a s. 
3. Trace a reta MP e chame-a de r. 
O quadrilátero AMBP é um losango. 
Os segmentos AB e MP são as diagonais do 
losango AMBP. 
Como sabemos: 
 AB é perpendicular a MP . 
 
Assim, r é perpendicular a s e passa pelo ponto P. 
 5 
Exercícios 
 
1. Construa pelo ponto P uma reta perpendicular à reta s da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Construa pelo ponto P uma reta perpendicular à reta s da figura abaixo. 
 
 
 
 
3. Construa pelo ponto A uma reta perpendicular à semi-reta AB da figura 
 abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
4. Desenhe a reta tangente à circunferência no ponto P. 
 
 
 
 
5. Construa um triângulo isósceles ABC que tenha, como base, o segmento 
 BC contido na reta r dada na figura abaixo. 
 
 
 
 
6. Construa uma circunferência de 3 cm de raio e que tenha P como ponto 
 de tangência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
7. Construa a altura AH do triângulo ABC abaixo. Em seguida, meça a base 
 BC e a altura AH e calcule um valor aproximado, em cm2, da área desse 
 triângulo. 
 
 
 
 
8. Construa um triângulo retângulo ABC, sabendo que o cateto BC mede 
 3 cm e a hipotenusa AC mede 6 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
3 - Construção de mediatriz de um segmento de reta: 
 
 
 
DADOS: 
 
 
CONSTRUA: 
m, mediatriz de AB . 
 
 
Solução. 
 
Antes de qualquer procedimento, é necessário ter em mente que a mediatriz 
de um segmento é uma reta perpendicular ao segmento, passando pelo seu 
ponto médio. 
 
Lembrando que o losango é um quadrilátero cujas diagonais são 
perpendiculares entre si e se encontram nos seus respectivos pontos médios, 
devemos construir um losango tal que o segmento AB seja uma de suas 
diagonais. Nesse caso, a reta-suporte da outra diagonal do losango 
construído é a mediatriz desejada. 
 
Siga, então, os passos que estão indicados na próxima ilustração: 
 
 
CONCLUSÃO: a reta-suporte que contém MN é a mediatriz de AB. 
 
 
 9 
OBSERVAÇÃO: 
 
É possível construir a mediatriz de um segmento de reta por outros dois 
processos, bastante úteis nos seguintes casos: 
 
 
Exercícios 
 
1. Obtenha o ponto médio do segmento AB abaixo, sem usar uma régua 
 graduada. 
 
 
 
 
 
 
2. Dados os segmentos de medidas a e b, obtenha graficamente um 
 segmento de medida 
2
ba b
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
3. Obtenha o ponto médio do segmento AB abaixo, sem usar uma régua 
 graduada. 
 
 
 
 
 
 
4. Sem usar uma régua graduada, divida o segmento AB, abaixo, em quatro 
 partes iguais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
5. O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das medianas desse 
 triângulo. 
 Obtenha o baricentro do seguinte triângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. O circuncentro de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes 
 desse triângulo. 
 Obtenha o circuncentro do seguinte triângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
7. Sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 8 cm são as medidas das diagonais de 
 um losango ABCD, construa-o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios COMPLEMENTARES 
 
1. Construa um quadrado cuja diagonal mede 6 cm. 
 
2. Inscreva um quadrado numa circunferência de 4 cm de raio. 
 
3. Construa uma circunferência e divida-a em 4 partes iguais. 
 
4. Considere os segmentos abaixo, de medidas a e b. 
 
 
 
 Faça o que se pede: sem usar uma régua graduada, construa um 
 segmento de medida igual a 
4
ba b
. 
 
5. Inscreva o triângulo ABC abaixo numa circunferência. 
 
 
 
 13 
4 - Construção de reta paralela a uma reta dada, por um 
ponto dado: 
 
 
DADOS: 
 
CONSTRUA: 
s //r , tal que P s. 
 
 
Solução. 
 
Siga os passos que estão indicados na ilustração a seguir.Justificativa: 
 
Vamos analisar a penúltima figura da construção anterior. 
 
 
 
Podemos afirmar que: 
ü o triângulo POQ é isósceles. Logo, b = 
2
180 cc
; 
ü o triângulo POA é congruente ao triângulo QOB. Logo, a = d; 
 
s 
 14 
ü como a + c + d = 180°, então a = 
2
180 cc
. 
Conclusão: a = b. 
 
Portanto, a reta-suporte do segmento PQ é paralela à reta r. 
 
 
 
5 - Construção de reta paralela a uma reta dada, com uma 
distância dada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
Exercícios 
 
1. Construa uma reta m, paralela à reta c dada, passando pelo ponto E dado: 
 
 
 
2. Construa uma reta r, paralela à reta s dada, distante 3 cm de s: 
 
 
 
3. Construa duas retas, p e q, paralelas à reta w dada, tais que a distância 
 de cada uma delas a w seja igual a d dado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
4. Construa duas retas, t e u, tais que: 
 t seja paralela à reta a, dada, passando por H; 
 u seja paralela à reta d, dada, passando por S. 
 
 
 
 
 
5. Construa um triângulo eqüilátero ABC, de 3 cm de lado, sabendo que o 
 lado AB é paralelo à reta s dada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
6 - Construção de um ângulo congruente a um ângulo dado: 
 
Dado: o ângulo A . Construa: o ângulo D congruente a A . 
 
As etapas dessa construção são as seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Justificativa: 
Os triângulos COB e FDE são 
congruentes (caso LLL). 
 18 
7 - Construção de um ângulo cuja medida é igual à soma 
 das medidas de dois ângulos dados: 
 
 
 
Os seguintes passos permitem obter essa construção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
8 - Construção de um ângulo cuja medida é igual à diferença 
entre as medidas de dois ângulos dados: 
 
 
 
Os seguintes passos permitem obter essa construção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
Exercícios 
 
1. Na figura abaixo, são dados o ângulo AOB e a reta r. 
 Transporte o ângulo AOB , de modo que o vértice O esteja em r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, é . 
 Construa um triângulo retângulo ABC, sabendo que o cateto AC mede 
 6 cm e o ângulo BCA mede . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
3. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, é . 
 Construa um triângulo ABC, sabendo que o lado AB mede 4 cm, o lado 
 BC mede 5 cm e o ângulo CBA mede . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Na figura abaixo, são dados dois ângulos cujas medidas, em graus, são 
 e , respectivamente. 
 Construa um triângulo ABC, sabendo que o lado AB mede 5 cm, o ângulo 
 CAB mede e o ângulo CBA mede . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
5. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, é . 
 Construa um triângulo isósceles ABC cuja base BC mede 6 cm e cujo 
 ângulo da base mede . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Dois triângulos são semelhantes se os ângulos de um são respectivamente 
 congruentes aos ângulos do outro. 
 Construa um triângulo DEF, semelhante ao triângulo ABC dado abaixo, 
 sabendo que DE = 
2
3
. AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
7. Na figura abaixo, são dados dois ângulos cujas medidas, em graus, são 
 iguais a e a , respectivamente. 
 
 
 
 Faça o que se pede: 
 
(a) Construa um ângulo cuja medida, em graus, é igual a + . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Construa um ângulo cuja medida, em graus, é igual a – . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Construa um ângulo cuja medida, em graus, é igual a 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
8. Obtenha, graficamente, o complemento do ângulo dado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Na figura abaixo, é dado um ângulo cuja medida, em graus, igual a . 
 Construa um triângulo ABC cuja base, BC, mede 5 cm, cuja altura, AH, 
 mede 4 cm e cujo ângulo ABC tem medida igual a . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
9 - Construção de bissetriz de um ângulo ou divisão de um 
ângulo pelo número 2: 
 
 
 
Para efetuar essa construção, acompanhe as seguintes etapas: 
 
Justificativa: 
 
Observando os triângulos AOQ e BOQ, é possível afirmar que: 
 
 m( AO) = m(BO ); 
 o lado OQ é comum aos dois triângulos; 
 m( AQ) = m(BQ ). 
 
Conclusão: pelo caso LLL, os triângulos AOQ e BOQ são congruentes. 
Portanto, ângulos que se correspondem nos dois triângulos são 
respectivamente congruentes. 
 
Isso garante, portanto, como se deseja, que m( AOQ) = m(BOQ). 
Dado: 
MON 
Construa: 
MOQ tal que m(MOQ) = 
2
MON)m(
; 
ou seja, construa a bissetriz do 
ângulo MON . 
 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Construa a bissetriz do ângulo POQ abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Responda: 
 
Se, na construção que acabamos de fazer, tomarmos s = R, 
pode-se afirmar, ainda, que a semi-reta OQ é a bissetriz do 
ângulo MON ? 
 
 27 
2. O incentro de um triângulo é o ponto de encontro das bissetrizes internas 
 dos ângulos do triângulo. Determine o incentro I do triângulo LUA abaixo: 
 
 
 
 
 
3. Ainda no exercício anterior, faça o seguinte: 
– trace a reta t, perpendicular ao lado LU do triângulo dado, que passa 
pelo incentro I; 
– chame de B o ponto de interseção da reta t com o lado LU ; 
– trace a circunferência de centro em I e raio IB . 
 
 Responda: qual é a posição da circunferência traçada em relação ao 
 triângulo LUA ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
4. Construa duas retas perpendiculares entre si. A seguir, construa um 
 ângulo de 45°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Faça o que se pede: 
(a) Construa um triângulo ABC, sabendo que o ângulo CAB mede 45°, 
que m( AB) = 4 cm e que m( AC) = 5 cm. 
 (b) Responda: que designação recebe esse triângulo ABC ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Construa um triângulo retângulo isósceles de 5 cm de hipotenusa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
7. Construa um ângulo de 22°30’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Faça o que se pede: 
 
(a) Construa um triângulo retângulo com um ângulo agudo medindo 
 22°30’ e 10 cm de hipotenusa. 
(b) Calcule um valor aproximado de sen 22°30’ e cos 22°30’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Depois de construir um triângulo eqüilátero qualquer, construa um 
 ângulo de 30°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
10. Construa um ângulo de 120°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Divida a circunferência de centro O abaixo em oito partes iguais. 
 
 
 
12. Divida a circunferência de centro O abaixo em seis partes iguais. 
 
 
 
 
 31 
13. Divida a circunferência de centro O abaixo em três partes iguais. 
 
 
 
 
14. Construa um triângulo retângulo com um ângulo de 15° e um cateto 
 medindo 10 cm. A seguir, calcule um valor aproximado de tg 15°.