Geometria Analítica - Vetores e Decomposição

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GEOMETRIA ANALÍTICA BÁRBARA BARBOZA 
 
AULA 2 – VETORES 
1. Vetor definido por dois pontos 
Algumas vezes o vetor é representado por um segmento de reta 
orientado que não parte da origem. Consideremos o vetor 
AB
 de origem 
em 
 AA yxA ,
 e extremidade em 
 BB yxB ,
. 
     ABABAABB yyxxyxyxABAB  ,,, 
 
2. Módulo de um Vetor 
Seja 
 zyxu ,,
, então 
222 zyxu 
. 
Exemplo: 
I. Seja 
 3,3,2 u
, calcule 
222 zyxu 
: 
    416394332 222 u 
 
 
3. Operações Algébricas com Vetores 
Considere 
 321 ,, aaau 
 e 
 321 ,, bbbv 
. 
3.1 Adição e Subtração de Vetores em função das suas 
coordenadas: soma ou subtrai as coordenadas correspondentes. 
 332211 ,, bababavu  
 332211 ,, bababavu  
3.2 Multiplicação de Vetores por um escalar em função das 
coordenadas: multiplica o escalar por cada coordenada do vetor. 
 321 ,, aaau  
 
 
 
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4. Decomposição de vetor no plano 
Quando um vetor 
v
 estiver representado por: 
2211 vavav 
. Dizemos 
que 
v
 é combinação linear de 
1v
 e 
2v
. O par de vetores 
1v
 e 
2v
, não 
colineares, é chamado base do plano. Aliás qualquer conjunto de vetores 
 21 ,vv
 não colineares constitui uma base no plano. 
Os números 
1a
 e 
2a
 são chamados coordenadas de 
v
 em relação a 
base
 21 ,vv
. Na prática, as bases mais utilizadas são as bases 
ortonormais. Uma base é dita ortonormal se os seus vetores forem 
ortogonais. Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano 
xOy
, porém uma delas é particularmente importante. 
Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos 
orientados com origem em O e extremidade nos pontos 
 0,1
 e 
 1,0
. 
Estes vetores são simbolizados com 
i
 e 
j
 e a base 
 ji ,
 é chamada 
canônica. 
Podemos escrever qualquer vetor do plano como combinação dos vetores 
da base canônica. Exemplo:  
 
 0,1010:
3,03:
1,1:



iIII
jII
jiI
 
 
5. Decomposição de vetor no espaço 
Analogamente a decomposição do vetor 
332211 vavavav 
 no espaço, 
podemos dizer que 
v
 é combinação linear dos vetores da base. 
No espaço qualquer conjunto 
 321 ,, vvv
 de três vetores não coplanares 
é uma base. 
A base canônica no 3R é representada por  kji ,, . A reta com a 
direção do vetor i é o eixo dos x ( das abscissas), a reta com a direção do 
 
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vetor 
j
 é o eixo dos y ( das ordenadas) e a reta com a direção do vetor 
k
 
é o eixo dos z ( das cotas). 
Podemos escrever qualquer vetor do espaço como combinação dos vetores 
da base canônica. Exemplo:  
 
 4,0,04:
1,2,02:
0,1,1:



kIII
kjII
jiI
 
 
6. Conceito Geométrico de Paralelismo entre vetor e reta e entre vetor e 
plano 
Dois vetores são paralelos quando suas retas suportes são paralelas ou 
colineares. 
Um vetor 
v
é paralelo a um plano se algum representante de 
v
 tiver 
como reta suporte uma das retas do plano. 
 
7. Conceito Algébrico de Paralelismo entre vetor e reta e entre vetor e 
plano 
Seja os vetores 
 321 ,, aaau 
, 
 321 ,, bbbv 
 e 
 321 ,, cccw 
. 
Dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais. 
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a

 
Três vetores são coplanares quando o determinante de suas 
coordenadas é igual a zero. 
0
321
321
321

ccc
bbb
aaa
 
 
 
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  
1. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor 
 5,2 v
, sabendo que sua origem é o ponto 
 3,1A
. 
 
2. Dados os pontos 
 1,3,2 A
 e 
 2,5,4 B
, determinar P tal que 
BPPA 
. 
 
3. Sendo 
 3,7,1 u
, 
 3,1,2v
 e 
 4,1,5 w
, ache as 
coordenadas de: 
a) 
uvw 
 b) 
wvu 23 
 
 
4. Calcule o vetor soma nos seguintes casos: 
a) 
     2,0,350,2,122,3,1 s 
b) 
       1,3,927,5,031,2,172,1,4 s 
 
5. Dados os vetores 
 4,2 u
, 
 1,5v
 e 
 6,12w
 determinar 
1k
 e 
2k
 tal que 
vkukw 21 
. 
 
6. Encontrar os números 
1a
 e 
2a
 tais que 
2211 vavaw 
, sendo 
 1,2,11 v
, 
 4,0,22 v
 e 
 14,4,4 w
. 
 
7. Verifique se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: 
a) 
BA
 e 
FE
 são paralelos 
b) 
BA
, 
EC
 e 
FC
 são coplanares 
c) 
GB
, 
FD
 e 
AC
 são coplanares 
A
B
C
D
E
F
GH
 
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8. Determine o valor de m e n para que os vetores 
 1,3,1 mu
 e 
 12,2,4  nv
 sejam paralelos. 
 
9. Determine m para que os vetores 
 2,2,1u
, 
 2,1,1  mmv
 e 
 2,1,1  mmw
 sejam coplanares.