2016.2A.1 GEOM. ANALÍTICA

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GRADUAÇÃO EAD 
GABARITO 
AV2 - 2015.2B - 19/12/2015 
CURSO 
DISCIPLINA GEOMETRIA ANALÍTICA 
PROFESSOR(A) BRAULIO ANCHIETA 
TURMA DATA DA PROVA 
ALUNO(A) 
 
 
MATRÍCULA POLO 
 
 
GABARITO OBRIGATÓRIO 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A 
Questão 
Anulada. Ponto 
redistribuído. 
 B E C D D C D 
Questão 
Anulada. Ponto 
redistribuído. 
 
 
 
 
ATENÇÃO – LEIA ANTES DE COMEÇAR 
 
1. Preencha, obrigatoriamente, todos os itens do cabeçalho. 
2. Esta avaliação possui 10 questões. 
3. Todas as questões de múltipla escolha, apresentando uma só alternativa correta. 
4. Qualquer tipo de rasura no gabarito anula a resposta. 
5. Só valerão as questões que estiverem marcadas no gabarito presente na primeira 
página. 
6. O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve dirigir-se à secretaria para 
solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. 
7. Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. 
8. Anote o gabarito também na folha de “gabaritos do aluno” e leve-a para 
conferência posterior à realização da avaliação. 
9. O aluno só poderá devolver a prova 1 hora após o início da avaliação 
10. A avaliação deve ser respondida com caneta com tinta nas cores azul ou preta. 
 
 
 
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 GEOMETRIA ANALÍTICA Professor(a): Braulio Anchieta 
1. Quanto as operações com vetores podemos 
afirmar: (considere 
0

ba
) 
 
 
I. O oposto de 
 
 
II. 
 
 
III. 
 
a) Estão corretas I e II 
b) Estão corretas I e III 
c) Estão corretas II e III 
d) Todas estão corretas 
e) Todas estão erradas 
O oposto de 
)()(

 baéba
 
(V) (correto, os vetores têm sinais opostos) 







 cbacba )(
 
(V) (Propriedade associativa) 
(III) 
)(33

 baba
 
(O produto da constante 3 é apenas com o vetor 
a
). 
Resposta: Letra A 
2. Dado o vetor 
)1,1,1(

v
, podemos afirmar 
que: 
Questão Anulada. Erro de digitação na 
alternativa C: O vetor de 
v
 é o VETOR..., no 
lugar de: O vetor de 
v
 é o VERSOR ... 
a) O vetor 
v
tem um módulo 3 
b) O vetor 
v
 é um vetor unitário. 
c) O vetor de 
v
 é o vetor 








3
3
,
3
3
,
3
3
 
d) O vetor 
v
 representa a base canônica no IRn 
e) O vetor 
v
 tem módulo 
3
3 
 
Analisando as alternativas: 
 1,1,1

v
 
a) Módulo de 
3111 222 

v
(F) 
b) Vetor unitário é vetor de módulo igual a 1. 
Não é o caso (F) 
c) SIM. Versor de um vetor é vetor de mesma 
direção mesmo sentido e módulo igual a 1. 
SIM É O CASO.. (O módulo de 
v
calculado 
no item a) é 
3
). ( V ). 
d) NÃO.. A base canônica no R3 é (i, j, k), estes 
vetores são unitários. 
e) Não, já vimos. O módulo de 
v
 é 
3
( V ) 
Resposta: Letra C 
 
3. São dados os vetores 
   0,1,21,0,1 

bea
. 
 
Analise as afirmações: 
I. O produto vetorial 
bxa
 é igual a (1, -2, 1) 
II. O produto escalar 
ba .
 é igual a 2 
III. Se 
w
 = (0, 1, 2) temos 
 1,1,1. 




 
bxaw
 
a) Apenas (I) é verdadeira 
b) São verdadeiras apenas I e II 
c) São verdadeiras apenas I e III 
d) São verdadeiras apenas II e III 
e) Todas são falsas. 
 
Vetores dados: 
   0,1,21,0,1 

bea
 
Analisando as afirmações: 
(I) 
121
101



kji
bxa
 
 
 
)(33

 baba







 cbacba )(
)()(

 baéba
 
 
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Como sabemos o produto vetorial pode ser encontrado 
resolvendo este determinante de 3ª ordem. Cuja 
solução é: i – 2j + k ou (1, -2, 1) (V) 
(II) O produto escalar 
 ba
 é igual a 2. 
(1, 0, -1) . (2, 1, 0) = (1.2 + 0 . 1 + (-1) . 0) 
(1, 0, 1) . (2, 1, 0) = 2 
 
(III) O produto misto é igual a zero. 
  
 0,0,0.
1,2,1.2,1,0.














bxaw
bxaw
 
Resposta: Letra B (são verdadeiras 
apenas (I) e (II). 
 
4. O vetor 
 1,1,2 

v
 forma um ângulo de 60º 
com o vetor AB definido pelos pontos A (3, 1, -
2) e B (4, 0, m). determine a coordenada m do 
vetor AB . 
 
a) -1 
b) 2 
c) -2 
d) 4 
e) -4 
Dados: 
     meAv ,0,42,1,3,60,1,1,2 0 
  
(1) Vamos inicialmente escrever o vetor AB na forma de 
componentes. 

AB = B – A = (4, 0, m) – (3, 1, -2) 

AB = ((4 – 3), (0 – 1), (m + 2)) = (1, - 1, m+2) 
 
 
 
(2) Ângulo entre vetores 
v
 e AB é: 
  
     
   
64.6
1
2
1
64.6
212
2
1
211.112
2,1,1.1,1,2
2
1
2
1
60coscos
.
.
cos
2
2
222222
0












mm
m
mm
m
m
m
e
ABv
ABv

 
(Elevando ao quadrado ambos os membros) 
 
 646
21
4
1
64.6
1
2
1
2
2
2
2
2



















mm
mm
mm
m
 
6 (m2 + 4m +6) = 4 (1 + 2m + m2) 
6 (m2 + 24m + 36 = 4 + 8m + 4m2 
2m2 + 16m + 32 = 0 ( 2) 
m2 + 8m + 16 = 0 (equação 2º grau) 
Raízes: - 4 e – 4 
 
Resposta: Letra E (m = - 4) 
 
5. Considere os vetores 
      ,8,22,5,2,,1,2   ceba
 
Determine o menor valor de  para que o vetor 

 ba
 seja ortogonal ao vetor 
 ac
 
 
a) 3 
b) - 3 
c) – 6 
d) – 9 
e) – 12 
 
 
 
 
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Esta questão pode ser resolvida da mesma forma que 
a questão nº 05 da P.2 ou Prova 1 (Avaliação 1). 
Apenas aqui se pede o menor valor de , no caso  = 
- 6. RESPOSTA : LETRA C 
 
6. Considere uma reta “r” de equações 
paramétricas: 
 








kz
ky
kx
2
21
2
 
Analise as afirmações: 
 
I. O ponto A (3, 3, - 1) pertence a reta “r”. 
II. O ponto B (6, 9, 2) pertence a reta “r”. 
III. O ponto C (3, 3, 1) não pertence a reta “r”. 
 
a) Apenas I e II são verdadeiras. 
b) Apenas I e III são verdadeiras. 
c) Apenas II e III são verdadeiras 
d) Todas são verdadeiras. 
e) Todas são falsas. 
Analisando as afirmativas: 
(I) Um ponto (3, 3, -1) pertence a reta “r” quando 
substituindo as coordenadas deste ponto nas 
respectivas equações o valor do parâmetro “k” é o 
mesmo. 
x = 2 + k  3 = 2 + k  k = 1 
y = 1 + 2 k  3 = 1 + 2k  k = 1 
z = -2 + k  - 1 = -2 + k  k = 1 
 
Note que k = 1 (sempre), então o ponto (3, 3, -1) 
 r. 
 
(II) Substituindo o ponto B (6, 9, 2) nas equações: 
6 = 2 + k  k = 4 
9 = 1 + 2 k  k = 4 
 
 
 
2 = - 2 + k  k = 4 
Novamente! K = 4 (sempre), então o ponto (6, 9, 2) 
 r. 
 
(III) Substituindo o ponto C (3, 3, 1) nas equações: 
3 = 2 + k  k = 1 
3 = 1 + 2 k  k = 1 
1 = - 2 + k  k = 3 
 
Note que obtivemos k = 1 e k = 3, não é sempre o 
mesmo! logo, este ponto C (3, 3, 1) não pertence a 
reta “r”. 
RESPOSTA: Letra D 
 
7. O plano definido pelos pontos A (1, 3, 2), B (- 
1, 0, 1) e C (3, - 2, 2) tem equação: 
 
a) 5 x – 2y + 16z + 21 = 0 
b) 5 x – 2y – 16z + 21 = 0 
c) 3 x – 5y –6z + 12 = 0 
d) 5 x + 2y – 16z + 21 = 0 
e) 3 x + 5y – 6z – 12 = 0 
Pontos dados: A (1, 3, 2), B (- 1, 0, 1) e C(3, - 2, 2) 
(1) Inicialmente determinamos um vetor normal ao 
plano. 
Este vetor pode ser encontrado pelo produto 
vetorial dos vetores formados a partir dos pontos 
dados. 
Façamos: 
   0,5,21,3,2 

ACeAB
 
 16,2,5
052
132 



kji
n
 
, 
 
 
 
 
 
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(2) Substituindo as coordenadas de um ponto dado 
na equação geral do plano encontramos a 
equação procurada. 
 
 
No caso vamos optar por substituir o ponto B. 
a (x – xo) + b (y – yo) + c (z – zo) = 0 
- 5 (x + 1) + (- 2) (y – 0) + 16 (z – 1) = 0 
5x + 2y – 16z + 21 = 0 
RESPOSTA: Letra D (2x + 2y – 16z + 21 = 0). 
 
 
8. O ponto P (1, 2, 3) dista do plano de equação 
x – y + 2z – 4 = 0 em aproximadamente: 
 
a) 
2
1
 unidades; 
b) 
3
1
unidades; 
 
c) 
6
1
 unidades; 
d) 
5
1
unidades; 
e) 1 unidade. 
A distância de um ponto (xo, yo, zo) 
a um plano é dada por 
222 cba
dczobyoaxo
D



 onde: 
 cbav ,,
 é o vetor diretor. 
d = – ax – by – cz é o termo independente da 
equação. 
 
f) Substituindo: 
P (1, 2,3) e x – y + 2z – 4 = 0, temos: 
 
 
  6
1
211
)4(3.22).1(1.1
222



D
 
Observe que d = - 4 
d = – ax – by – cz 
 
 
Resposta: Letra C (
6
1
 unidades) 
 
9. A equação 36y2 – 9x2 = 324 representa: 
 
a) Uma elipse com eixo maior em x igual a 6. 
b) Uma elipse com eixo maior em y e igual a 36 
c) Uma hipérbole com distância focal 3 
d) Uma hipérbole com distância focal 
56
 
e) Uma parábola com vértice na origem e eixo 
horizontal. 
Dados: 
324936 22  xy
 
(1) Vamos dividir toda equação pelo termo 
independente 324: 
1
369
22

xy
, obtemos a equação reduzida 
de uma hipérbole. 
 
(2) Comparando 
1
369
22

xy
 com a equação 
,1
2
2
2
2

b
x
a
y
temos: 
a = 3 e b = 6 
 
(3) Sendo 
53222  cbac
 
Logo, a distância focal é 
562 c
 
Resposta: Letra D (hipérbole com c = 
53
) 
 
 
 
 
 
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10. No estudo dos movimentos dos planetas do 
nosso sistema solar sabemos que o sol ocupa 
um dos focos. 
A distância do ponto da órbita mais afastado do 
sol é o afélio. 
A distância do ponto da órbita mais próximo do 
sol é o periélio. 
No movimento de translação da Terra a 
distância: 
 
Periélio – sol = 147.106 km 
Afélio – sol = 152.106 km 
 
Sabendo que a excentricidade da curva descrita 
pela Terra é 1/50, a distância focal da trajetória 
elíptica é aproximadamente: 
Questão Anulada. Não há resposta 
correspondente à resolução. 
 
a) 6106 km 
b) 3106 km 
c) 6108 km 
d) 3108 km 
e) 108 km 
A excentricidade é definida por: 
66
6
6
6
6
6
6
10.6210.3
50
10.150
10.15050
1
10.150
10.3002
10.15210.1472
50
1
:2
:2
















couc
c
c
a
a
a
a
c
elípsedamaioreixoa
focaldistânciac
a
c
e