Independência linear

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Independência Linear, Base e Dimensão 
 
1.0 Independência Linear 
 
Definição 1: 
Dizemos que um conjunto não-vazio S = {v1, v2, ..., v2} de vetores em R
n é linearmente 
independente (LI) se os únicos escalares que satisfazem a equação c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0 são 
c1 = c2 = ... = cn = 0. 
Se existem escalares não todos nulos que satisfazem esta equação, dizemos que o conjunto é 
linearmente dependente (LD). 
 
Teorema 1: 
Um conjunto S = {v1, v2, ..., v2} em R
n de 2 ou mais vetores é LD se, e somente se, pelo menos 
um dos vetores de S pode ser expresso como combinação linear dos outros vetores de S. 
 
PROVA 
Suponhamos que S é LD, ou seja, existem escalares c1, c2, ..., cn não todos nulos que 
 
Vamos supor que c1 ≠ 0, então: 
 
 
 
 
 
 
 
Esta equação expressa v1 como combinação linear dos outros vetores do conjunto. 
 
Independência linear de 2 vetores: 
Dois vetores em Rn são LD se, e somente se, pelo menos 1 dos 2 vetores é múltiplo escalar do 
outro. Geometricamente (o terceiro é LI): 
 
Independência linear de 3 vetores: 
Se um dos 3 vetores é uma combinação linear dos outros vetores, então dos 3 vetores devem 
estar no mesmo plano pela origem. Geometricamente (o segundo é LI): 
 
Teorema 2: 
Um conjunto com mais do que n vetores em Rn é LD. 
 
PROVA 
O sistema homogêneo cuja matriz de coeficientes tem esses vetores como colunas têm mais 
incógnitas do que equações e portanto, possui soluções não-triviais. 
 
2.0 Base e Dimensão 
 
Definição 2: 
Um conjunto de vetores de um subespaço V de Rn é denominado base de V se é linearmente 
independente e se gera V. 
 
Definição 3: 
Se V é um subespaço não-nulo de Rn, então a dimensão de V, denotada por dim(V), é definida 
como o número de vetores de uma base de V, além disso, dizemos que o espaço nulo tem 
dimensão zero. 
 
Teorema 3: 
Todas as bases de um subespaço não-nulo de Rn tem o mesmo número de vetores, ou seja, 
possuem a mesma dimensão. 
 
Definição 4: 
Se B = {v1, v2, ..., v2} é uma base ordenada de um subespaço W de R
n e se 
 
é a expressão de um vetor w em W como uma combinação linear dos vetores em B, então 
dizemos que c1, c2, ..., cn são as coordenas de w em relação a B e, especificamente, cj é a 
coordenada de vj de W. 
 
Exemplos de Dimensões: 
 dim(Rn) = n 
 dim (Mn(R)) = n² 
 dim(Pn(R)) = n + 1 
 dim(V) = n