Transformações lineares

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Transformações Lineares 
 
1.0 Definições e Teoremas 
 
Definição 1: 
Uma função cujas entradas e Saídas são vetores é dita uma transformação e é usual denotar as 
transformações por letras maiúsculas. Se T é uma transformação que leva o vetor x no vetor 
w, então a relação w = T(x) pode ser escrita como 
 
 . 
Se , dizemos que a transformação T é um operador de Rn. 
 
Definição 2: 
Uma função é dita transformação linear (TL) de Rn em Rm se as duas propriedades 
seguintes valem para quaisquer vetores v e w de Rn e qualquer escalar c: 
T(cv) = cT(v) [ HOMOGENEIDADE] 
T(v + w) = T(v) + T(w) [ADITIVIDADE] 
No caso especial em que n = m, a TL é chamada de operador linear (OL) de Rn. 
 
Princípio da superposição: 
 
 
 
Teorema 1: 
Se é uma TL, então: 
 T(0) = 0 [A TL DO VETOR NULO DO DOMÍNIO É O VETOR NULO DA IMAGEM] 
 T(-v) = -T(v) 
 T(v – w) = T(v) – T(w) 
 
PROVA 
 
 
 
Definição 3: 
Se é uma TL, então o conjunto de vetores em Rn que leva em 0 é denominado 
núcleo de T e denominado por nuc(T). 
 
Teorema 2: 
Se é uma TL então o núcleo de T é um subespaço de Rn. 
 
PROVA 
 
 [FECHADO PARA MULTIPLICAÇÃO] 
 [FECHADO PARA SOMA] 
 
Teorema 3: 
Se é uma TL, então T leva subespaços de Rn em supespaços de Rm. 
 
Definição 4: 
Se é uma TL, então a imagem de T, denotada por img(T) é o conjunto de todos os 
vetores em Rm que são imagem de pelo menos 1 vetor em Rn. 
 
Teorema 4: 
Se é uma TL, então img(T) é um subespaço de Rm. 
 
Definição 5: 
Uma transformação é dita: 
Sobrejetora, se sua imagem é todo o contradomínio Rm, ou seja, se cada vetor em Rm é 
imagem de pelo menos 1 vetor em Rn. 
Injetora, se T leva vetores distintos de Rn em vetores distintos em Rm. 
 
 
 
Teorema 5: 
Se é TL, então: 
T é injetora se o nuc(T) = {0} ou Ax = 0 aceita somente a solução trivial. 
T é sobrejetora se Ax = b é consistente para cada vetor b em Rn. 
 
PROVA 
 
Seja T injetora. Como T é linear, T(0) = 0. O fato de ser injetora implica que x = 0 é o único 
vetor tal que T(x) = 0, de modo que nuc(T) = {0}. 
 
Seja nuc(T) = {0}. Para provar que T é injetora vamos provar que se x1 ≠ x2, então T(x1) ≠ T(x2). 
Se x1 ≠ x2, então x1 – x2 ≠ 0, ou seja, x1 – x2 não estará em nuc(T). Segue que: 
T(x1 – x2) = T(x1) – T(x2) ≠ 0, ou seja, T(x1) ≠ T(x2). 
 
Teorema 6: 
Se é um OL de Rn, então T é injetora se, e somente se, T é sobrejetora. 
 
Teorema do Núcleo e da Imagem: 
 
 
 
Teorema 7: 
Se e dim(V) = dim(W), T é injetora se, e somente se, T é sobrejetora. 
 
 
 
 
 
 
2.0 Autovalores e Autovetores 
 
Definição 6: 
Se A é uma matriz nxn, então um escalar λ é denominado um autovalor de A se existe um 
vetor não-nulo tal que Ax = λv. 
Se λ é um auto valor de A, então cada vetor não-nulo x tal que Ax = λx é denominado um 
autovetor de A associado em λ. 
Reescrevendo Ax = λx: 
 
 
 
 
 
O det(λ-A) = 0 é denominado equação característica de A. 
Oe espaço-solução não-nulo de (λI-A)x=0 é denominado auto-espaço de A associado a λ.