Apostila - Vetores

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VETORES 
 
1.0 Sistema de Coordenadas 
 
Características: 
Ponto de referência fixo O, chamado de origem. 
Conjunto de eixos/direções especificados com uma escala apropriada e identificação 
nos eixos. 
Sistema cartesiano de coordenadas ou sistema de coordenadas regular: 
 
 
 
Sistema polar de coordenadas: os pontos no plano são representados por (r, θ), em que r é a 
distância da origem até o ponto e θ o ângulo formado entre r e o eixo x. 
 
 
 
2.0 Vetores e Escalares 
 
Vetores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, direção e que 
somam de acordo com a Lei do Paralelogramo. 
Quando é considerado variável, seu módulo pode se modificar com o tempo, ou sua a direção 
pode mudar com o tempo enquanto seu módulo permanece constante, ou os 2 podem variar 
com o tempo. Simplificando: um vetor é considerado variável sempre que este se modifique 
de qualquer maneira. 
Escalar: Grandeza física especificada por um número, positivo ou negativo, com unidades 
apropriadas. Não possui direção. 
Deslocamento: Em relação ao vetor, significa mudança na posição da partícula. Em relação ao 
módulo, é a menor distância entre os pontos finais. Independe da trajetória. 
Distância: em relação a um escalar, é o comprimento da trajetória. 
 
 
3.0 Propriedades dos Vetores 
 
Igualdade de 2 vetores: Dois vetores A e B são definidos como iguais se eles têm a mesma 
unidade, módulo e direção. 
 
 
 
Adição de vetores: o vetor resultante R é o vetor desenhado da cauda de A até a ponta de B. 
Os vetores A e B devem ter as mesmas unidades. 
 
 
 
Lei do Paralelogramo para Adição de Forças: Duas forças atuantes sobre um ponto material 
podem ser substituídas por uma única força, chamada resultante, obtida pela diagonal do 
paralelogramo cujos lados são iguais às forças dadas. 
 
 
Lei Comutativa da Adição: Quando dois vetores são somados, a soma independe da ordem da 
adição: 
 
A + B = B + A 
 
Lei da Associedade de Adição: Quando três ou mais vetores são somados, a soma independe 
da forma como os vetores são agrupados. 
 
A + (B + C) = (A + B) + C 
 
 
 
Negativo de um vetor: vetor que, quando adicionado a A, resulta em zero para o vetor soma. 
Os vetores A e –A tem o mesmo módulo, mas direções opostas. 
 
Subtração de vetores: o vetor resultante R é o vetor –B adicionado a A. 
 
 
 
Multiplicação de um vetor por um escalar: Se um vetor A é multiplicado por uma grandeza 
escalar positiva k, o produto kA tem a mesma direção de A e módulo k|A|. Se k é uma 
grandeza negativa o vetor resultante apontará para a direção oposta de A. 
 
Multiplicação de 2 vetores: 
 
Produto escalar ou interno: 
 
 
 
Produto vetorial ou externo: 
 
 
 
 
4.0 Componentes de um Vetor 
 
Considere um vetor A no plano xy fazendo um ângulo arbitrário θ com o eixo x positivo. A 
projeção de A ao longo do eixo x é chamado de componente Ax, e a projeção de A ao longo do 
eixo y é chamado de componente Ay. 
 
Módulos das componentes: 
 
 
 
 
 
 
Módulo do vetor A: 
 
 
 
 
 
Vetores unitários: são vetores sem dimensões com módulo s unitário e é usado para 
especificar uma direção: