introducao a ajustamento questoes

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1 
 
GABARITO 1O TRABALHO DE AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES 
 
QUESTÃO 01 
Método das derivadas 
 
Segundo a base ABCD as medições ajustadas 1x , 2x e 3x em função das medições realizadas 
são: 
1 1x L 
2 2x L 
3 3x L 
 1 2 4x x L 
 2 3 5x x L 
 Os resíduos das medições são: 
1 1 1x L   
2 2 2x L   
3 3 3x L   
4 1 2 4( )x x L    
5 2 3 5( )x x L    
 A função Resíduo f que deve ser minimizada pelo MQM (Método dos Quadrados Mínimos) é: 
2
1
( )
n
i
i
f 

  
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )f         
 
2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 4 2 3 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x L x L x L x x L x x L            
 Por definição as derivadas parciais de f em relação às medições ajustadas são iguais a zero 
quando f é mínima: 
1 1 1 2 4
1
2.( ) 2.( ) 0
f
x L x x L
x

     

 
1 1 22.( 100,00) 2.( 200,04) 0x x x     
1 24. 2. 600,08 0x x   
2 2 1 2 4 2 3 5
2
2.( ) 2.( ) 2.( ) 0
f
x L x x L x x L
x

        

 
2 1 2 2 32.( 100,00) 2.( 200,04) 2.( 200,00) 0x x x x x        
1 2 32. 6. 2. 1000,08 0x x x    
2 
 
3 3 2 3 5
3
2.( ) 2.( ) 0
f
x L x x L
x

     

 
2 32. 4. 600,16 0x x   
 As três equações resultam em um sistema linear em que a solução é as medições ajustadas: 
1 2
1 2 3
2 3
4. 2. 600,08 0
2. 6. 2. 1000,08 0
2. 4. 600,16 0
x x
x x x
x x
  

   
   
` 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
4. 2. 0. 600,08
2. 6. 2. 1000,08
0. 2. 4. 600,16
x x x
x x x
x x x
  

  
   
 
 Portanto: 
1 100,025 mx  
2 99,990 mx  
3 100,045 mx  
 A distância ajustada entre os pontos A e D é: 
1 2 3ADx x x x   
100,025 99,990 100,045ADx    
300,060 mADx  
 
Método matricial 
Segundo a base ABCD as medições ajustadas 1x , 2x e 3x em função das medições realizadas 
são: 
1 1x L 
2 2x L 
3 3x L 
 1 2 4x x L 
 2 3 5x x L 
 O modelo matricial para as equações descritas acima é: 
.A x L 
 Onde: 
A : matriz dos coeficientes; 
x : vetor coluna com as medições ajustadas; 
L : vetor coluna com as medições experimentais. 
 
Portanto: 
3 
 
  
  
    
         
     
     
1
1 2
2 3
3 4
5
1 0 0
0 1 0
.0 0 1
1 1 0
0 1 1
L
x L
x L
x L
L
 
   
   
    
        
     
      
1
2
3
1 0 0 100,000
0 1 0 100,000
.0 0 1 100,080
1 1 0 200,040
0 1 1 200,000
x
x
x
 
 A solução para os valores ajustados pelo MQM (Método dos Quadrados Mínimos) é: 
 1( . ) . .T Tx A A A L 
 Onde: 
TA : matriz transposta de A (matriz dos coeficientes); 
 
   
  
1 0 0 1 0
0 1 0 1 1
0 0 1 0 1
TA 
 
 
   
       
    
  
1 0 0
1 0 0 1 0 0 1 0
. 0 1 0 1 1 . 0 0 1
0 0 1 0 1 1 1 0
0 1 1
TA A 
 
   
  
2 1 0
. 1 3 1
0 1 2
TA A 
 A matriz inversa de .TA A é calculada através da seguinte expressão: 
    
1 1( . ) . ( . )
det( . )
TT T
T
A A cof A A
A A
 
 Onde: 
det( . )TA A : Determinante da matriz .TA A ; 
  ( . )
TTcof A A : Matriz transposta dos cofatores dos elementos de .TA A . 
det( . ) 8TA A  
5 2 1
( . ) 2 4 2
1 2 5
T
Tcof A A
 
        
  
 
4 
 
1
5 2 1
1
( . ) . 2 4 2
8
1 2 5
TA A 
 
    
  
 
1
5 2 1
8 8 8
2 4 2
( . )
8 8 8
1 2 5
8 8 8
TA A 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
1
5 1 1
8 4 8
1 1 1
( . )
4 2 4
1 1 5
8 4 8
TA A 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 Resolve-se a expressão .TA L : 
100,000
1 0 0 1 0 100,000
. 0 1 0 1 1 . 100,080
0 0 1 0 1 200,040
200,000
TA L
 
 
   
       
    
  
 
300,040
. 500,040
300,080
TA L
 
   
  
 
 O vetor coluna com as medições ajustadas é: 
1
5 1 1
8 4 8 300,040
1 1 1
( . ) . . . 500,040
4 2 4
300,080
1 1 5
8 4 8
T Tx A A A L
 
 
  
        
     
  
 
1
2
3
100,025
99,990
100,045
x
x x
x
   
       
      
 
 A distância ajustada entre os pontos A e D é: 
1 2 3ADx x x x   
100,025 99,990 100,045ADx    
300,060 mADx  
5 
 
QUESTÃO 02 
 
 O valor ajustado dos valores medidos é: 
 
.ˆ
.
T
T
e L
X
e e

 
 Onde: 
e : vetor coluna unitário com o número de observações; 
L : vetor coluna com as observações; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 1 1 1 1 1 1 1Te  
135 03'
134 59'
134 59'
135 04'
134 59'
135 03'
134 59'
135 02'
L
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
135 03'
134 59'
134 59'
135 04'
. 1 1 1 1 1 1 1 1 .
134 59'
135 03'
134 59'
135 02'
Te L
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
. 1076 248 ' 1080 08 'Te L     
1
1
1
1
1
1
1
1
e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
6 
 
 
1
1
1
1
. 1 1 1 1 1 1 1 1 .
1
1
1
1
Te e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
. 8Te e  
1080 08'ˆ
8
X


 
ˆ 135 01'X  
 
 O erro sistemático da medição é: 
1
n
sist i
i
E L S

  
 Onde: 
1
n
i
i
L

 : somatório das medições; 
S : valor esperado (somatório dos ângulos internos de um polígono de 8 lados). 
1
1080 08'
n
i
i
L

  
180 .(8 2) 1080S      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1080 08' 1080 8'sistE     
7 
 
QUESTÃO 03 
 Tabela com as medições em valores absolutos: 
Medição Ângulo 
OA OB 3,00° 
OA OC 2,00° 
OA OD 6,77° 
OB OC -1,50° 
OB OD 3,20° 
OC OD 4,50° 
 
 As equações do modelo são: 
3OB OA  
2OC OA  
6,77OD OA  
1,5OC OB   
3,2OD OB  
4,5OD OC  
 Onde: 
OA : valor do ângulo OA ; 
OB : valor ajustado do ângulo OB ; 
OC : valor ajustado do ângulo OC ; 
OD : valor ajustado do ângulo OD . 
 O valor de 0OA  e então simplificam-se as equações do modelo: 
3OB  
2OC  
6,77OD  
1,5OC OB   
3,2OD OB  
4,5OD OC  
 O modelo matricial para as equações descritas acima é: 
.A x L 
 Onde: 
A : matriz dos coeficientes; 
x : vetor coluna com as medições ajustadas; 
L : vetor coluna com as medições experimentais. 
 Portanto: 
8 
 
1
2
3
4
5
6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
1 1 0
1 0 1
0 1 1
L
L
OB
L
OC
L
OD
L
L
  
  
    
                   
  
     
 
1 0 0 3
0 1 0 2
0 0 1 6,77
.
1 1 0 1,5
1 0 1 3,2
0 1 1 4,5
OB
OC
OD
   
   
    
                  
   
   
 
 A solução para os valores ajustados pelo MQM (Método dos Quadrados Mínimos) é: 
 1( . ) . .T Tx A A A L 
 Onde: 
TA : matriz transposta de A (matriz dos coeficientes); 
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
TA
  
   
  
 
1 0 0
0 1 0
1 0 0 1 1 0
0 0 1
. 0 1 0 1 0 1 .
1 1 00 0 1 0 1 1
1 0 1
0 1 1
TA A
 
 
   
            
 
 
 
3 1 1
. 1 3 1
1 1 3
TA A
  
    
   
 
1
1 1 1
2 4 4
1 1 1
( . )
4 2 4
1 1 1
4 4 2
TA A 
 
 
 
 
 
 
 
   
9 
 
1
1 1 1
2 4 4 1 0 0 1 1 0
1 1 1
( . ) . . 0 1 0 1 0 1
4 2 4
0 0 1 0 1 1
1 1 1
4 4 2
T TA A A
 
 
   
     
    
 
   
1
1 1 1 1 1
0
2 4 4 4 4
1 1 1 1 1
( . ) . 0
4 2 4 4 4
1 1 1 1 1
0
4 4 2 4 4
T TA A A
 
  
 
  
 
 
 
   
1
31 1 1 1 1
0 22 4 4 4 4
6,771 1 1 1 1
( . ) . . 0 .
4 2 4 4 4 1,5
1 1 1 1 1 3,20
4 4 2 4 4 4,5
T TA A A L
  
   
  
         
  
     
 
1
3,267
( . ) . . 1,942
6,558
T T
OB
x A A A L OC
OD

   
         
      
 3 16'1,2"
1 56'31,2"
6 33'28,8"
OB
OC
OD
   
       
      
 
OUTRA RESOLUÇÃO POSSÍVEL: 
Desenvolvimento de outro modelo matemático segundo as variáveis x , y , e z mostradas no esboço 
abaixo e segundo as medições realizadas: 
 
Medição Ângulo 
OA OB 3,00° 
OA OC 2,00° 
OA OD 6,77° 
OB OC -1,50° 
OB OD 3,20° 
OC OD 4,50° 
 
3x y  
10 
 
2x  
6,77x y z   
1,5y   
3,2z  
4,5y z  
 Na forma matricial: 
1 1 0 3
1 0 0 2
1 1 1 6,77
.
0 1 0 1,5
0 0 1 3,2
0 1 1 4,5
x
y
z
   
   
    
                  
   
   
 Portanto: 
1 1 0
1 0 0
1 1 1
0 1 0
0 0 1
0 1 1
A
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
x
x y
z
 
   
  
 
3
2
6,77
1,5
3,2
4,5
L
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 Pelo MQM a solução para as medições ajustadas é: 1
1,942
( . ) . . 1,325
3,293
T T
x
x A A A L y
z

   
         
       
 De acordo com o esboço: 
 
1,942 1,325 3,267OB x y       
 
1,942OC x  
 
1,942 1,325 3,291 6,558OD x y z           
 
 Finalmente: 
3 16'1,2"OB   
1 56'31,2"OC  
 6 33'28,8"OD   
 
 
 
11 
 
QUESTÃO 04 
 
A) Esboço do problema: 
 
  , x , y e z são as medidas ajustadas. 
 
B)
 
2
1
( )
n
i
i
f 

 
 
 Os resíduos das medições são: 
1 26,987   
2 32,458x   
3 47,126y   
4 29,487z   
5 ( ) 136,500x y z      
 
2 2 2 2 2
1 2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )f          
2 2 2 2 2( 26,987) ( 32,458) ( 47,126) ( 29,487) ( 136,500)f x y z x y z             
 
C) Pelo MQM (Método dos Quadrados Mínimos): 
 
 = minf
 
2.( 26,987) 2.( 136,5) 0
f
x y z 


       
 
4. 2. 2. 2. 326,974x y z    
 
2.( 32,458) 2.( 136,5) 0
f
x x y z
x


       
 
2. 4. 2. 2. 337,916x y z    
 
2.( 47,126) 2.( 136,5) 0
f
y x y z
y


       
 
2. 2. 4. 2. 367,252x y z    
 
12 
 
2.( 29,487) 2.( 136,5) 0
f
z x y z
z


       
 
2. 2. 2. 4. 331,947x y z    
 
 
 As equações acima formam um sistema linear que a solução são as medições ajustadas: 
4. 2. 2. 2. 326,974
2. 4. 2. 2. 337,916
2. 2. 4. 2. 367,252
2. 2. 2. 4. 331,947
x y z
x y z
x y z
x y z




   
    

   
    
 
 Portanto: 
27,079 m 
 
32,549 mx 
 
47,218 my 
 
29,566 mz 
 
 A distância total corrigida é: 
136,412 mADl x y z    