Apostila de álgebra linear Cap 1

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1 
CAPITULO 1 – MATRIZES 
 
 
1 - Noção de matriz 
 
O estudo das matrizes é bastante importante pelas inúmeras aplicações que aparecem nos 
mais diversos ramos da ciência e da tecnologia. 
Aplicaremos o estudo das matrizes, por exemplo, na resolução de sistemas de equações 
lineares. 
A idéia geral de matriz do tipo 
nm
 é a de um quadro retangular com 
nm.
 elementos, 
dispostos em m linhas e n colunas. Na grande maioria das vezes, esses elementos são 
números. As matrizes são freqüentemente utilizadas para organizar dados. 
 
Exemplos 1: A matriz 









250
431
M
 é de ordem 2x3. 
Suas linhas são: 
   250;431 
. 
Suas colunas são: 



















2
4
;
5
3
;
0
1
. 
 
 
Exemplo 2: Podemos organizar as notas obtidas por três alunos em provas de português, 
matemática, física e química na seguinte tabela: 
 
Aluno Português Matemática Física Química 
X 8 3 6 5 
Y 7 5 4 3 
Z 5 7 8 2 
 
Analisando esta tabela, chegamos às seguintes conclusões: 
 O aluno Y obteve 5 na prova de matemática. 
Observe que esta nota se encontra na segunda linha (linha do Y) e na segunda coluna 
(coluna de matemática) da tabela. 
 Só houve uma nota 2 
Como a posição do 2 é linha 3 e coluna 4, ele corresponde à nota do aluno Z em química. 
 
Excluindo os significados das linhas e colunas, temos a matriz 











2875
3457
5638
A
 que é de 
ordem 3x4. 
 
 
 
 
 2 
2 - Representação 
 
Representamos uma matriz A de m linhas e n colunas por 
 
nmij
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
A



















21
22221
11211
. 
 
O elemento 
ija
 da matriz 
nmA 
 é o elemento que se encontra na i-ésima linha e na j-ésima 
coluna desta matriz e é chamado de elemento ij-ésimo de A. 
 
Exemplo 1: Dada a matriz 









1247
825
32xA
 temos: 
1247
825
232221
131211


aaa
aaa
 
 
Exemplo 2: Construa a matriz 
 
22
 ijaA
 cujos elementos satisfazem a relação 
jiaij  2
. 
Digamos que 







2221
1211
aa
aa
A
 sendo 
jiaij  2
, assim: 
622.2512.2
421.2311.2
2221
1211


aa
aa 
Logo 







65
43
A
 
 
Definição 1: Se duas matrizes A e B forem de mesma ordem 
mxn
 diremos que um 
elemento de B é o correspondente de um elemento de A quando ele ocupar, na matriz B, a 
mesma posição que outro ocupa na matriz A. Isto é, se 
 
nmij
aA


 e 
 
nmij
bB


, o 
elemento 
ijb
 de B é o correspondente ao 
ija
 da matriz A. 
 
Exemplo: Dados 







43
21
A
 e 







57
10
B
 o elemento correspondente a 
721 b
 é 
321 a
. 
 
Definição 2: Duas matrizes 
 
nmij
aA


 e 
 
srij
bB


 são iguais, A = B, se elas têm o 
mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos 
correspondentes são iguais. (aij = bij), isto é 









jiba
sn
rm
BA
ijij ,
 
 3 
 
Exemplo 1 :




















 
4.22
12
50
2
162
14
2339
20
2
 
 
Exemplo 2: Determine x, y e z sabendo que: 
 
























3
2
1
3
7
2
xz
y
x
 








xzxz
yy
xx
3333
927
112
 
 
6
33
1.33



z
z
z
 
 
 
3 - Tipos Especiais de matrizes 
 
1 - Matriz quadrada: É aquela em que o número de linhas é igual ao de colunas (m = n) 
33
403
14128
751













A
 
22
10
01







B
 
  115 
 
 
Neste caso, dizemos que A é uma matriz de ordem m. 
 
2 - Matriz nula : É aquela em que 
jeiaij  0
 
2222 0
00
00
 





A
 
4343 0
0000
0000
0000
 










A
 
 
3 - Matriz coluna: É aquela que possui uma única coluna (n = 1) 
13
3
4
1












 
12






b
a
 
14
4
3
0
0













 
 
4 - Matriz linha: É aquela que possui uma única linha (m=1) 
 
 
21
72 
 
 
31
23230 cossen
 
 
41
4700 
 
 
5 - Matriz diagonal: É uma matriz quadrada ( de ordem m) onde 
jiaij  0
, isto é, os 
elementos que não estão na diagonal são nulos. 
 4 










900
050
001
 






120
02
 










 500
000
001
 
 
6 - Matriz identidade: É uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são 
iguais a 1. Isto é, 






.0
1
jia
a
ij
ij
 













1000
0100
0010
0001
4I 







10
01
2I
 
 
7 - Matriz triangular superior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo 
da diagonal são nulos. (m = n e 
jiaij  0
) 










800
730
025
 








150
79
 
 
8 - Matriz triangular inferior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da 
diagonal são nulos. (m = n e 
jiaij  0
) 










 5320
050
0012
 








157
09
 
 
9 - Matriz simétrica: É uma matriz quadrada onde 
jiij aa 
. 






72
21
 










849
4135
9512
 
 
4 - Operação com matrizes 
 
1 - Adição: 
Dadas duas matrizes de uma mesma ordem 
nmA 
e
nmB 
, a soma de A e B é uma matriz 
nm
, denotada por A + B, cujos elementos são as somas dos elementos correspondentes 
de A e B. 
 ijij baBA 
 
 5 
Exemplos 1: Se 












24
01
12
A
 e 











23
22
34
B
. Calcule A + B. 

























07
21
42
2234
2021
3142
BA
 
 
Exemplo 2 – Se 
23
24
01
12












A
 e 
22
23
50







C
 então não podemos calcular A + C, 
pois A e C têm ordens diferentes. 
 
Propriedades da soma: 
Sejam A, B e C matrizes de ordem 
nm
. Então: 
1. A+B = B +A (comutativa) 
2. A + (B + C) = (A + B) +C (associativa) 
3. A + 0 = A onde 0 é a matriz nula 
nm
 (elemento neutro) 
 
2 - Multiplicação por escalar. 
Dada uma matriz 
 
nmij
aA


 e 

 um número, a matriz 
A
, é a matriz que se obtém 
multiplicando todos os elementos de A por 

. Isto é 
 
nmij
aA

 
. 
Exemplo: Sejam












43
02
01
A
 e 








27
110
B
 temos: 























129
06
03
3
3.43.3
3.03.2
3.03.1
3 AA
 e 
  








27
110
1 B
 
 
Propriedades da multiplicação por escalar: 
Dadas A e B matrizes de ordem 
nm
 e 

 e 

 números, temos: 
1. 
  BABA  
 
2. 
AAA   )(
 
3. 
nmA  00
 
4. 
   AA  
 
 
Podemos escrever 
  BB  1
 
A matriz –B é chamada de matriz oposta de B. 
Com isso podemos definir a operação subtração de matrizes: 
 6 
 
Definição: A diferença A – B de duas matrizes 
nm
 é a matriz: 
 BABA 
. 
 
Exemplo 1: Dadas as matrizes 





 

40
17
A
, 







16
81
B
 e 









15
62
C
. Calcule: 
a) – C 
b) A – C 
c) A – B +2C 
d) A matriz X tal que X – A + B = 0 
 
a) 







15
62
C
 
 
b) 



















 

55
55
15
62
40
17
CA
 
 
c) 











































 

116
2110
210
124
36
96
15
62
2
16
81
40
17
2CBA
 
 
d) 









36
96
XBAX
 
 
3 - Multiplicação de matrizes 
 
Uma confecção fabrica roupas masculinas e femininas, uma roupa masculina utiliza 3m de 
brim, 5m de linha e 3 botões enquanto uma roupa feminina utiliza 2m de brim, 4m de linha 
e 6 botões. 
Colocando estes dados em uma matriz temos: 
botão
linha
brim
63
45
23










A
 
 M F 
Suponha que a costureira x monta 6 roupas masculinas e a costureira y, 5 roupas femininas 
por dia. 
A produção das duas juntas pode ser representada pela matriz coluna: 
 
feminina Roupa
masculina Roupa
5
6






 
 
 
 
 7 
 
Vamos construir a tabela que indica a quantidade total de material utilizado por essas duas 
costureiras: 
Brim 
5263 
 28 
Linha 
5465 
 50 
Botão 
5663 
 48 
 
Podemos encarar cada elemento desta matriz como o produto de uma matriz-linha por uma 
matriz - coluna: 
  285263
5
6
23 





 
  485663
5
6
63 





 
 
  505465
5
6
45 





 
 
Na qual, o produto de uma matriz-linha 
n1
 
 naaa 21
 por uma matriz-coluna 
1n
 












nb
b
b

2
1
 é o número 
nnbababac  2211
 
 
Exemplo 1: 
 
    61.51.10.32.1
1
1
0
2
5131 












 
 
Observe que o número de colunas da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª matriz. 
Inspirados na definição acima podemos encarar a matriz 










48
50
28
 como o produto das matrizes 











63
45
23
A
 e 







5
6
B
 isto é 


























48
50
28
5
6
63
45
23
 
 
Na qual o produto de uma matriz 
nmA 
por uma matriz-coluna 
1nC
é a matriz 
1m
 obtida 
multiplicando-se cada linha de A pela coluna C. 
 
 
 8 
Exemplo 2: Se 






 021
431
A
 e 











5
1
2
C
. Calcule A.C 
 
   































4
21
5.01.22.1
5.41.32.1
5
1
2
021
431
AC
 
 
Considere agora a seguinte tabela: 
 
 Costureira X Costureira Y 
Roupa 
Masculina 
6 7 
Roupa 
Feminina 
4 5 
 
A matriz dos materiais que cada uma delas gasta durante o dia é: 
 


























42
46
26
f
m
4
6
63
45
23
botão
linha
brim
 
 


























51
55
31
f
m
5
7
63
45
23
botão
linha
brim
 
 
Representando a produção das duas costureiras em uma mesma matriz temos: 
botões
linha
brim
5142
5546
3126










P
 
 
Definição: Sejam 
 
nmij
aA


 e 
 
pnij
bB


. O produto de A por B é uma matriz 
  



n
k
njinjijikjikijpmij
babababaccAB
1
2211 onde 
 
 
Observe que para definirmos este produto é preciso que o número de colunas da matriz A 
seja igual ao número de linhas da matriz B. 
Além disso, o número de linhas da matriz AB é igual ao número de linhas da matriz A e o 
número de colunas é igual ao número de colunas da matriz B. Isto é 
pmpnnm
ABBA

.
 
 
 9 
Exemplo 1: Se 








23
12
A
 e 







23
10
B
 calcule: 
a) AB 
    



























16
43
2.21.33.20.3
2.11.23.10.2
23
10
23
12
AB
 
b) BA 
 
  


























112
23
2.21.33.22.3
2.11.03.12.0
23
12
23
10
BA
 
 
Observe que AB ≠ BA 
 
Exemplo 2: Se 





 












421
302
23
10
41
BeA
 calcule: 
a) AB 
















 











148
421
1982
421
302
23
10
41
AB
 
b) BA 






















 

1411
211
23
10
41
421
302
BA
 
 
Exemplo 3: Dada a matriz 











100
012
021
A
 calcule a matriz 
AA 22 
 onde 
AAA .2 
 
Temos que: 
































100
054
045
100
012
021
100
012
021
2A
 
e 






















200
024
042
100
012
021
22A
 
Assim 
 10 

































300
078
087
200
024
042
100
054
045
22 AA
 
 
Exemplo 4: Se 







x
A
0
21
 e 







4
3
B
. Para que valores de x e y têm-se 







y
y
AB
2
? 



















xx
AB
4
11
4
3
0
21
 
Quero que 

















21122424
1111
24
11
xxyx
yy
y
y
x
 
 
Exemplo 5: Sejam 











35
24
12
A
 e




 

40
11
B
. Temos que 











75
44
22
AB
 
Mas não é possível calcular BA, pois o número de colunas de B (2) é diferente do número 
de linhas de A (3). 
 
 Exemplo 6: Seja 














222
111
111
M
 é fácil ver que 
02 M
. 
Isto mostra que é possível termos 
0AB
 sem que 
0A
 ou 
0B
, diferente do que 
acontece com os números reais. 
 
Comparações entre Números Reais e Matrizes 
 
 Números Reais Matrizes 
1) O produto sempre existe Depende da ordem das matrizes 
2) O produto é comutativo O produto não é comutativo 
3) 
0ou 00  baab
 
0ou 0 que implica não 0  BAAB
 
4) Todos têm inverso Nem toda matriz é inversível 
 
Propriedades da multiplicação de matrizes 
Sejam A, B e C matrizes. Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes 
propriedades são válidas: 
1 - (A.B).C = A.(B.C) 
2 - (A + B).C = A.C + B.C 
 A.(B + C) = A.B + A.C 
3 - A.I = I.A = A 
4 - 0.A = 0 e A.0 = 0 
 
 11 
Exercício: Suponha que 
0A
 e 
ACAB 
 onde A, B e C são matrizes tais que a 
multiplicação seja definida 
a) 
CB 
? 
b) Se existir uma matriz Y, tal que 
IYA 
, onde I é a matriz identidade, então 
CB 
? 
 
5 –Transposição de Matrizes 
Dada uma matriz A qualquer, digamos 
 
nmij
aA


, podemos obter uma matriz 
 
mnij
t bA


, cujas linhas são as colunas de A, isto é, 
jiij ab 
. 
tA
 é denominada transposta de A. 
 
Exemplo 1: Se 












41
30
11
A
 então 





 

431
101
tA
 
 
Exemplo 2: Se 
 21A
 então 







2
1
tA
 
 
Exemplo 3: Se 







23
31
A
 então 
AAt 






23
31
 
 
 
Propriedades da Transposição de Matrizes 
Sejam A e B matrizes. Então valem as seguintes propriedades: 
1- A é simétrica 
AAt 
 
2- 
  AA tt 
 
3- 
  ttt BABA 
 
4- 
  tt KAKA 
 
5- 
  ttt ABAB .