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12/09/2017
1
Faculdade de Ciências Jurídicas e Gerenciais Alves Fortes – FACE ALFOR
RAZÃO e PROPORÇÃO,
FUNÇÕES
APLICAÇÃO NA ADMINISTRAÇÃO
Professora Magda Rocha Guedes Marinho
CURSO: ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESASCURSO: ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESASCURSO: ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESASCURSO: ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS
DISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA IDISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA IDISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA IDISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA I
MÓDULO 2
APRESENTAÇÃO
No Módulo 2 serão abordados os seguinte assuntos:
• 1. Grandezas: Razão e Proporção
2. Funções
















çãoAdministra em Aplicação
Grau 1 do Função da Inequação
Grau 1 do Função da Sinaldo Estudo
Grau 1 do Função da Gráfico do çãoGeneraliza
Reta da Linear e Angular esCoeficient
Grau 1 do Função daRaiz ou Zero
Grau 1 do Função da Gráfico
Definição -Grau 1 do Função
Função de Conceito do ãoFormalizaç
Cartesiano SistemaReais, Intervalos Real, Eixo Números, dos çãoClassifica
o
o
o
o
o
o
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
Professora Magda Rocha Guedes Marinho
2








 sociedadede Regra 1.5
mPorcentage 1.4
três de gra 
oporção 
Grandezas 
Re3.1
Pr2.1
1.1
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2
INTRODUÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
Professora Magda Rocha Guedes Marinho
3
Vamos iniciar este módulo com o tópico Grandezas: Razão e Proporção, fazendo
uma recordação de algumas aplicações das propriedades algébricas empregadas para resolver
situações-problema da área de Administração e que envolvam grandezas direta e inversamente
proporcionais.
Em seguida veremos Funções, cujo nossos objetivos são: 1. Desenvolver o conceito de
função associado a assuntos simples do cotidiano e a conceitos da economia; 2. Desenvolver a
prática do uso da notação de intervalos e função; 3. Analisar funções relacionando os parâmetros
com o significado gráfico; 4. Aplicar o conceito e as propriedades das funções para resolver
problemas simples de interesse da Economia e Administração.
Neste módulo, veremos até Funções do Primeiro Grau e suas aplicações na
Administração. Deixando para o Módulo 3 a finalização do estudo de outras Funções e suas
aplicações.
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Matemática Aplicada I
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4
1.1 GRANDEZAS
Uma grandeza é algo que podemos medir. Medir é comparar a quantidade de uma
grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade
padrão. Quando usamos uma régua para medir o comprimento de uma mesa estamos comparando
uma unidade de medida padrão (metro, centímetro...) com o tamanho da grandeza
comprimento. Nesse caso estamos interessados em saber quantos centímetros cabem no
comprimento da mesa. Assim, comprimentos, áreas e volumes são grandezas. O peso de uma
mercadoria, o comprimento de uma corda, o tempo de uma reunião, a massa corporal, a
velocidade de um carro, o custo de uma mercadoria, a produção, o trabalho, a matéria-prima, o
preço, etc., são exemplos de grandezas.
Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar, (lembre-se: o
dinheiro é uma grandeza especial: cada país tem suas próprias unidades).
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Matemática Aplicada I
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5
1.1.1. RAZÃO
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b ≠ 0, ao quociente entre
eles. Indica-se a razão de a para b por , a/b ou a: b, onde o primeiro termo chama-se
antecedente e o segundo chama-se consequente.
Exemplo 1.1.1: Estão matriculados na EaD da Unijuí 30 rapazes e 35 moças. Encontre
a razão entre o número de rapazes e o número de moças (lembre-se que razão é divisão).
Solução:
simplificando temos (dividimos por 5 os dois termos da razão)
indica que para cada 6 rapazes existem 7 moças (lê-se 6 está para 7)
Nessa razão, o 6 é o antecedente e o 7 o consequente.
35
30
7
6
7
6
b
a
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Matemática Aplicada I
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6
Se a e b são dois números naturais (com b ≠ 0), chamamos de fração as expressões do
tipo , onde o número colocado acima do traço chama-se numerador e indica quantas partes do
inteiro foram tomadas e o número abaixo do traço chama-se denominador e indica em quantas
partes iguais o inteiro foi dividido.
Fração : lê-se 6 sétimos e significa 6 partes do total de 7.
PROPRIEDADES DA S FRAÇÕES
F1 – Uma fração não se altera quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo
número diferente de zero ou mesmo fazendo a divisão desta fração pelo mesmo divisor comum.
Exemplo 1.1.2: Vamos testar a propriedade F1:
Você deve observar que obtemos 0,6 fazendo a divisão tanto em quanto
em .
b
a
7
6
30
18
6.5
6.3
5
3
== 5
3
30
18
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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7
3
2
3
2
5
3
6:30
6:18
30
18
==
3
2
3
8
3
4.2
=
O mesmo teste pode ser feito dividindo numerador e denominador pelo mesmo
número:
F2 – Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a
fração é multiplicada ou dividida por esse número.
Exemplo 1.1.3: Seja a fração . Multiplicando o numerador por 4, temos:
(multiplicada por 4). Ou seja, é quatro vezes maior que .
Dividindo o numerador por 2, temos:
(dividida por 2). Ou seja, é a metade de .
3
8
3
1
3
2:2
= 3
1
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Matemática Aplicada I
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8
F3 – Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a
fração é dividida ou multiplicada por esse número.
Exemplo 1.1.4: Seja a fração . Multiplicando o denominador por 2, temos:
(a fração ficou dividida por 2). Ou seja, é a metade de .
Dividindo o denominador por2, temos:
(a fração ficou multiplicada por 2). Ou seja, é o dobro de .
8
3
2.4
3
=
2
3
2:4
3
=
4
3
8
3
4
3
2
3
4
3
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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9
1
50
50
5
10
.
10
5
==
5
10
RAZÃO INVERSA
Duas razões são inversas quando:
1) o antecedente de uma razão for igual ao consequente da outra e vice-versa; ou
2) o produto de uma razão pela outra for igual a 1.
Exemplo 1.1.5: As razões e são inversas, pois o antecedente da primeira é igual
ao consequente da segunda e vice-versa. Também podemos ver que são razões inversas por que
10
5
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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10
cm
cm
Km
cm
E
000.000.80
5,2
800
5,2
==
1.1.2. APLICAÇÕES DE RAZÕES
ESCALA
Os desenhos de casas e mapas são feitos usando escalas. A escala é uma razão entre a
medida no desenho e a medida do objeto real.
Exemplo 1.1.6: A distância entre as cidades A e B é de aproximadamente 800 km e o
mapa que mostra esta distância corresponde a 2,5 cm. Qual a escala utilizada? (lembre-se que na
escala as medidas devem estar na mesma unidade).
Usando a definição de escala anterior temos:
Aplicando a propriedade F1 das frações, dividimos antecedente e consequente por 2,5 e
obtemos:
real medida
desenho no medida
Escala =
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11
cm
cm
E
000.000.32
1
=
100
1
. Escrevendo na forma de razão, temos:
(lê-se 1 para 32.000.000)
Exemplo 1.1.7: Uma maquete deum edifício foi feita na escala de 1:100. A altura real
do edifício é de 10 m. Qual é a altura aproximada do edifício na maquete?
A razão das grandezas da escala ( ) é igual à razão entre as alturas do edifício na
maquete (D) e na construção real (10 m). Assim,
Empregando a propriedade F1, multiplicamos o numerador e o denominador da
segunda razão por 10 e obtemos duas razões com denominadores iguais.
000.000.32:1=E
m
D
10100
1
=
100
10
10.10
10.
100
1 DD
==
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Se os denominadores são iguais, então os numeradores também serão iguais. Portanto:
VELOCIDADE
A velocidade (V) de um objeto qualquer, se deslocando em uma trajetória, é a razão
entre a distância percorrida e o tempo.
(Observe que neste caso as unidades das grandezas são diferentes).
Exemplo 1.1.8:
150km/2h = 75km/h (as unidades km/h não podem ser simplificadas)
(h) tempo
(km) distância
V =
mD
D
10,0
110
=
=
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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TA XA
As taxas são razões entre duas grandezas. Estas taxas podem ser relacionadas a
conjuntos de 100, 1000,... unidades das grandezas envolvidas. Em outras palavras, multiplicadas
por 100, 1000,... Dois exemplos desse tipo de taxa são a taxa de crescimento populacional e a
taxa de juros.
Exemplo 1.1.9: A taxa de variação (crescimento ou decrescimento) da população de
uma cidade, em um certo período, é uma razão entre a variação do número de habitantes (∆P,
delta P), pelo número de habitantes que moravam na cidade no início do período considerado.
Uma cidade tinha 80.000 habitantes no fim de 2007 e 86.000 habitantes no fim de 2008. Qual é a
taxa de crescimento da população desta cidade, no período considerado?
A variação do número de habitantes é ∆P=86.000-80.000=6.000. A taxa de
crescimento é:
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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Isto significa que a população aumentou 0,075 habitante para cada habitante residente
em 2007. Esta taxa é mais útil quando associada à população de 100 habitantes. Multiplicando a
taxa por 100, temos:
t = 7,5 para cada 100 habitantes residentes em 2007.
TA XA DE JUROS
A taxa de juros de um capital aplicado, em um certo período, é uma razão entre a
variação do capital (∆C, delta C), pelo capital aplicado (C), multiplicada por 100. Ficou
interessado? Aguarde, pois estudaremos este tipo de taxa mais adiante. Agora ainda é preciso
apresentar você aos “Índices”!
075,0
80000
6000
==
∆
=
P
P
t
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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população
produto do total valor
capita per odução =Pr
1.1.3. ÍNDICES
São obtidos por meio da comparação entre duas grandezas independentes. Ou, em
outras palavras: índices são razões entre duas grandezas independentes. Veja alguns exemplos:
Além dessas aplicações, muito utilizadas quando se trata de censo, por exemplo,
também temos uma outra aplicação muito conhecida, que são os índices econômicos.
ÍNDICES ECONÔMICOS
Onde o “valor total do produto” é o PIB (Produto
Interno Bruto).
total erfície
total população
ademográfic Densidade
sup
=
nonacional/a população
nonacional/a renda
capita per nda =Re
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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total população
snascimento de n
natalidade de eCoeficient
o
=
Percebeu como é importante o estudo dos índices? Ainda precisamos, no entanto, citar
os coeficientes. Veja por que na sequencia.
COEFICIENTES
São razões entre o número de ocorrências e o número total.
população
país um de bens de total consumo
capita per onsumoC =
população
total eceitar
capita per eceitaR =
total população
óbitos de n
emortalidad de eCoeficient
o
=
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Exemplo 1.1.10 – Determine a razão que é igual a e cujo antecedente seja igual a 9.
Solução:
Das condições do problema podemos afirmar que . Observe que se multiplicarmos
o antecedente por 3, obtemos o antecedente 9. Usando a propriedade das frações F1,
multiplicamos também por 3 o consequente e obtemos x= 15. Então a nova razão é 9/15.
x
9
5
3
=
5
3
Lista 2
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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1.2. PROPORÇÃO
Uma proporção é a igualdade entre razões:
Os números que formam a proporção chamam-se, em geral, termos. O primeiro (a) e o
quarto (d) chamam-se de extremos, o segundo (b) e o terceiro (c), meios.
Exemplo: formam uma proporção.
Essa proporção também pode ser escrita da seguinte forma: 12:4::6:2, e lê-se 12 está
para 4, assim como 6 está para 2.
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Propriedade fundamental: em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
d
c
b
a
=
2
6
4
12
=
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19
2
26
2
6
4
12 ±
=
±±
=
±
=
4
412
ou 
6
26
12
412
 
Na proporção , multiplicando os extremos e os meios, obtemos a igualdade ad =
bc.
PP1) Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o
primeiro (ou para o segundo), assim como a soma ou diferença dos dois últimos está para o
terceiro (ou quarto).
No exemplo anterior:
d
c
b
a
=
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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20
4
12
2
6
4
12
==
+
+
=
2
6
24
612
 
PP2) Em uma proporção, a soma do primeiro com o terceiro (a+c) está para a soma do
segundo com o quarto termo (b+d), assim como o terceiro está para o quarto.
Seja a proporção . Usando a PP2, temos:
Aplicando no mesmo exemplo:
PP3) Em uma proporção, a troca de posições entre o primeiro e o quarto termos não
altera a proporção. O mesmo ocorre para a troca entre o segundo e o terceiro.
Seja a proporção . Usando a PP3, temos:
d
c
b
a
=
b
a
d
c
db
ca
==
+
+
d
c
b
a
=
d
b
c
a
ou 
a
c
b
d
==
2
4
6
12
12
6
4
2
2
6
4
12
=== ou ou 
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Exemplo 1.2.1 – Taxa percentual
Chama-se taxa percentual ou porcentagem de um número “a” sobre o número “b”,
com b ≠ 0, à razão: tal que (indica-se por x%).
Você deve lembrar que o símbolo % lê-se “por cento” e significa centésimos.
Qual é a taxa percentual de 6 sobre 30?
Solução:
Sendo x % a taxa percentual, temos pela definição que:
. Usando a propriedade fundamental, temos:
. Então, a taxa percentual é 20%.
Além de princípio fundamental e dos outros três apresentados até aqui, também temos
o princípio de igualdade que, por sua vez, também se subdivide em outros dois princípios, o
aditivo e o multiplicativo.
100
x
b
ax
=
100 100
x
30
6
100
=
x
20
30
6.100
==x
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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PRINCÍPIOS DE EQUIVALÊNCIA DE IGUALDADE
Igualdade – é uma sentença matemáticaem que as expressões matemáticas estão
ligadas pelo sinal =.
A expressão situada à esquerda do sinal = é denominada 1º membro da igualdade.
A expressão situada à direita do sinal = é denominada 2º membro da igualdade.
Assim, vale lembrar que as equações são igualdades. A solução de uma equação
consiste em obter o valor da incógnita (neste caso nos referimos à incógnita da equação, que não
sabemos qual é) usando os “princípios da igualdade”, expostos a seguir.
Os princípios da igualdade são:
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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1) Princípio aditivo: em uma igualdade, podemos adicionar um mesmo número aos
dois membros e a igualdade permanece.
Exemplo 1.2.2 – resolver a equação:
x + 10 = – 5
Solução: Aplicando o princípio aditivo: adicionamos (-10) a ambos os membros da
equação, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
x + 10 + (-10) = -5 + (-10)
Simplificando a equação equivalente, obtemos
x = -15.
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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2) Princípio multiplicativo: em uma igualdade, podemos multiplicar ou dividir os
dois membros por um mesmo número não nulo, e a igualdade permanece.
Exemplo 1.2.3 – resolver as equações:
a) 5x = 25 b) -3x = 9
Solução:
a) Ainda usando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os lados da equação
dada por 1/5, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
b) Ainda usando o princípio multiplicativo, dividimos ambos os lados da equação dada
por (-3), com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
5.x 
5
5x
 x =∴=→=
5
25
5
1
.25
5
1
.5
-3.x 
3-
3x-
 =∴
−
=
3
9
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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25
336
bba
=
+
+
Exemplo 1.2.4 – determinar a e b na proporção sabendo-se que a sua soma é 21.
Solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos:
Usando a condição do problema: a + b = 21, temos:
Usando a primeira igualdade, temos:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções em cada uma das igualdades,
temos:
Na primeira igualdade: Na segunda igualdade:
,
b
6
a
 
3
=
3
ba
9
21
 ==
6
6
a
9
21
 =
14a a 
9a126 a21.6 
=∴=
=→=
9
126
.9
7a a 
9b63 b21.3 
=∴=
=→=
9
63
.9
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Exemplo 1.2.5 – Dadas as razões encontre o valor de x, y e z, sabendo-se que
x+y+z =150.
Solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos:
Usando a condição do problema, temos
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
8
zy
2
x
 ==
5
852852
zyxzyx
===
++
++
815
150
;
515
150
;
215
150 z
 
y
 
x
===
20x x
15
300
15x300
15.x150.2
=∴=
=
=
50y y
15
750
15y750
15.y150.5
=∴=
=
=
80z z
15
1200
15z1200
15.z150.8
=∴=
=
=
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Exemplo 1.2.6 – Dadas as razões calcule o valor de x, y e z sabendo-se que
5x+2y+3z=440.
Solução: Como precisamos de 5x, 2y e 3z para empregarmos o valor de sua soma, isto
é, 440, usando a propriedade F1 das frações, multiplicaremos os termos da primeira razão por 5,
os da segunda por 2 e os da terceira por 3. Teremos então:
Aplicando a propriedade PP2 das proporções:
Substituindo o numerador da 1ª igualdade, temos:
Usando a propriedade fundamental das proporções, nas três equações anteriores,
obtemos: x = 20 ; y = 50 e z = 80.
8
zy
2
x
 ==
5
24
3
10
2
10
5 zyx
==
24
3
10
2
10
5
241010
325 zy
 
xzyx
===
++
++
844
440
544
440
244
440 z
 
y
 
x
===
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra
também aumenta na mesma proporção, ou diminuindo uma delas, a outra também diminui na
mesma proporção.
Se duas grandezas a e b são diretamente proporcionais, então os números que
expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é
, onde k é um número chamado constante de proporcionalidade.
Exemplo 1.2.7 – Os números 3, 4 e 6, respectivamente, são diretamente proporcionais
a 12,16, 24. Qual é a constante de proporcionalidade ?
Solução:
Se os números dados são diretamente proporcionais, significa que a razão entre eles é a
mesma.
k
b
a
 =
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Usando a propriedade F1 das frações é fácil mostrar que podemos reduzir todas essas
razões a ¼.
Assim, é a constante de proporcionalidade.
Exemplo 1.2.8 – A soma das idades de Carlos e Jair é 36 anos. Sabe-se que elas estão
na razão de 2 para 10. Qual a idade de cada um?
Solução: O dado do problema indica que C+J = 36. Fazendo a proporção sugerida no problema,
temos
Observe que pode ser escrito aplicando a propriedade PP3 das proporções.
Usando a propriedade PP2, temos:
24
6
16
4
12
3
==
4
1
=k 
10
2
=
J
C
10
2
=
J
C
102
JC
=
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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30
Usando a propriedade fundamental das proporções, na segunda igualdade, obtemos:
C=6.
Usando a propriedade fundamental das proporções, na proporção entre a segunda e a
terceira razão, obtemos:
J=30.
Carlos tem 6 anos e Jair 30 anos.
Observe que 6 • 10 = 30 • 2.
10212
36
102
JCJC
===
+
+
10
2
30
6
=
12/09/2017
16
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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31
Exemplo 1.2.9 – Dividir o número 55 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 6.
Solução: Do problema, podemos concluir que:
Usando a propriedade PP2 e a equação do problema, temos:
Da segunda proporção, temos:
e usando a propriedade fundamental, temos; a = 10.
Da igualdade da 2ª e 4ª razão, temos:
e usando a propriedade fundamental, temos; b = 15.
Da igualdade da 2ª e 5ª razão, temos:
e usando a propriedade fundamental, temos; c = 30.
Verificação: (todos os quocientes são igual a 5 )
632
55
cba
 e cba ===++
63211
55
632
cbacba
====
++
++
211
55 a
=
311
55 b
=
611
55 c
=
6
30
3
15
2
10
==
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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32
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a
outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma
proporção.
Se duas grandezas a e b são inversamente proporcionais, os números que expressam
essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante k, tal que
a · b = k.
Exemplo 1.2.10 – Os números 2, 4, 5 são inversamente proporcionais a 20, 10 e 8.
Qual é a constante de proporcionalidade k?
Solução: Se os números dados são inversamente proporcionais, então as razões entre
eles são iguais.
81
5
101
4
201
2
==
12/09/2017
17
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACEALFOR
Matemática Aplicada I
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33
A constante de proporcionalidade é 40. Observe que:
2 • 20 = 40, 4 • 10 = 40 e 5 • 8 = 40.
Exemplo 1.2.11 – Dividir o número 174 em partes inversamente proporcionais aos
números 3, 5 e 9.
Solução: Sejam x, y e z essas partes, então x+y+z = 174 e
Usando a PP2 e a equação do problema, temos:
A última razão pode ser escrita da seguinte forma:
915131
zyx
==
4529
174
915131915131
=
++
++
===
zyxzyx
270
29
7830
29
45.174
== 
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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34
Construindo proporções com a 1ª , 2ª , 3ª e 5ª razão e resolvendo-as para x, y e z,
obtemos: x= 90 ; y= 54 e z=30.
Exemplo 1.2.12 – Dividir entre três alunos 31 livros em partes inversamente
proporcionais aos erros que tiveram na prova de Matemática Financeira. O aluno A teve 2 erros, o
aluno B , 3 erros e o aluno C, 5 erros.
Solução: Os valores 2, 3 e 5 precisam ser representados em forma inversa aos seus
valores, ou seja :
O inverso de 2 é ½, de 3 é 1/3 e de 5 é 1/5.
Considerando a, b e c o número de livros recebidos por cada aluno, temos:
a + b + c = 31 e
Usando a PP2, temos:
513121
cba
==
12/09/2017
18
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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35
5131211
30
3031
31
513121
cbacba
=====
++
++
Aplicando a propriedade fundamental das proporções formadas pelas razões 3ª e 4ª, 3ª
e 5ª e 3ª e 6ª, obtemos, respectivamente:
a = 15; b = 10 e c = 6.
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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36
1.3. REGRA-DE-TRÊS
Quando se pretende calcular uma quantidade desconhecida, direta ou inversamente
proporcional às demais quantidades conhecidas, tem-se um problema de regra-de-três.
REGRA-DE-TRÊS SIMPLES
A regra-de-três simples é direta ou inversa. É direta quando, crescendo os termos
principais, seus relativos também crescem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus
relativos também diminuem.
Exemplo 1.3.1 – Um operário levou 18 dias para construir um muro de 126 metros.
Quantos dias levará para fazer outro muro igual com 252 metros?
Solução: As quantidades 126 e 252 metros são as principais, 18 é o número de dias que
pretendemos calcular, são os relativos.
12/09/2017
19
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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37
Se um operário levou 18 dias para fazer 126 metros de um muro, levará mais dias para
fazer outro de 252 metros.
Trata-se de uma regra-de-três simples e direta.
Metros Dias
126 18
252 x
Escrevendo em forma de proporção:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
126 ⋅ x = 252 ⋅ 18
x = 36 dias.
x
 
18
252
126
=
126
252.18
=x 
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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38
85
15 x
 =
A regra-de-três é inversa quando, crescendo os termos principais, os seus relativos
diminuem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos crescem.
Exemplo 1.3.2 – 15 operários levam 8 dias para realizar um determinado trabalho.
Quantos dias levarão 5 operários para a conclusão do mesmo serviço?
Solução: Colocando na forma da regra-de-três, temos:
Operários Dias
15 8
5 x
O número de operários, porém, é inversamente proporcional ao número de dias:
diminuindo o número de operários, aumenta o número de dias. Para usar a propriedade
fundamental das proporções, precisamos inverter a segunda razão:
12/09/2017
20
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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39
Usando a propriedade fundamental, temos
5x = 8 · 15
x = 24 dias.
REGRA -DE-TRÊS COMPOSTA
É aquela que para resolução de seus problemas envolve três ou mais grandezas, sendo
estas diretas ou inversamente proporcionais.
Para resolvê-los:
a) Escreve-se numa mesma coluna a grandeza de mesma espécie.
5
15.8
=x 
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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40
b) Identifica-se as grandezas direta ou inversamente proporcionais.
c) Escreve-se a proporção correspondente e resolve-se.
Exemplo 1.3.3 – Se 30 pedreiros fazem 528 m de parede em 40 dias, quantos metros de
parede farão 50 pedreiros em 45 dias?
Solução:
Disposição dos dados:
30 pedreiros em 40 dias fazem 528 metros.
50 pedreiros em 45 dias fazem x metros.
Observe que quanto mais pedreiros, mais metros de parede serão feitos. Da mesma
forma, quanto mais tempo, mais metros de parede serão feitos. Assim sendo, as duas primeiras
grandezas são diretamente proporcionais à terceira.
Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos:
12/09/2017
21
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
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Matemática Aplicada I
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41
x
 
528
2250
120
45.50
40.30
==
Aplicando a propriedade fundamental na regra-de-três simples, temos:
x = 990 m.
Exemplo 1.3.4 – Se 12 pedreiros fizeram certa obra em 26 dias, trabalhando 12 horas
por dia, quer-se saber em quantos dias 8 pedreiros farão a mesma obra, trabalhando 13 horas por
dia.
Solução:
Disposição dos dados:
12 pedreiros a 12 horas gastam 26 dias.
8 pedreiros a 13 horas gastam x dias.
Observe que quanto MAIS pedreiros, MENOS
dias serão necessários. Da mesma forma,
quanto MAIS horas por dia trabalharem,
MENOS dias serão necessários. Então, as duas
primeiras grandezas são inversamente
proporcionais à terceira.
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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42
Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos:
Invertendo a posição da última razão, temos
Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:
x
 
26
104
144
13.8
12.12
==
26104
144 x
 =
dias. x 36
104
26.144
==
Lista 3
12/09/2017
22
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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43
b
a
100
x
 =
1.4. PORCENTAGEM
Definição : Chama-se percentagem ou taxa percentual de um número a razão de a
sobre um número b, desde que b ≠ 0 , tal que
Em outras palavras, a porcentagem é uma razão cujo consequente é igual a 100.
Quando nos referimos a 20% de certo valor, queremos dizer que de cada 100 partes,
estamos nos referindo a 20 partes deste valor.
Um modo prático de calcular porcentagens é usar a multiplicação pelas razões
percentuais. Veja o exemplo.
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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44
Exemplo 1.4.1 – Calcule 10% de 800.
Solução: Multiplicamos o inteiro (800) pela razão porcentual .
TAXA PERCENTUAL
Temos uma taxa percentual ou taxa centesimal quando o consequente 100 for
substituído pelo símbolo %.
Exemplo:
80
100
10
.800 =
100
10
%10=
100
10
 
12/09/2017
23
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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45
PORCENTAGEM
Seja uma razão , chamamos de porcentagem o valor n a todo valor m, desde que este
estabeleça uma proporção com uma razão centesimal.
Como podemos resolver?
1º. Multiplica-se a razão centesimal por n:
2º. Por regra-de-três:
%
100
x
r
n
m
==
n
m
100
r
n.m =
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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46
PORCENTAGEM SOBRE O CUSTO
Quandoa porcentagem é calculada sobre o preço de custo da mercadoria, com lucro, o
custo é 100% e a venda representa o custo mais o lucro.
V = C + L
Exemplo 1.4.2 – Comprei certa mercadoria por R$ 5.000,00 e quero vender com um
lucro de 50%. Qual é o valor da venda?
Solução: Usando a equação anterior, temos:
V= 100% + 50%
Construindo uma regra-de-três
5.000,00 → 100%
V → 150%
00,500.7$
100
150.00,5000
RVenda ==
12/09/2017
24
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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47
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de custo da mercadoria, com prejuízo,
o custo é 100% e a venda representa o custo menos o prejuízo.
V = C – P
Exemplo 1.4.3 – Comprei certa mercadoria por R$ 2.000,00 e depois a vendi com um
prejuízo de 10%. Qual é o valor da venda?
Solução: Usando a equação anterior, temos:
V = 100% – 10% .
Construindo uma regra-de-três:
2.000,00 → 100%
V → 90% Venda = R$ 1.800,00
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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48
P ORCENTAGEM SOBRE O PREÇO DE VENDA
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de venda da mercadoria, com lucro, a
venda é 100% e o custo representa a venda menos o lucro.
(Como o valor da venda é maior, então a venda representa 100% e o custo menos que
100%)
C = V – L
Exemplo 1.4.4 – Comprei certa mercadoria por R$ 3.000,00 e quero vendê-la com um
lucro de 20% sobre preço de venda. Qual o valor da venda?
Solução: Usando a equação anterior, temos:
C = 100 – 20 = 80%
3.000,00 → 80%
V → 100% Venda = R$ 3.750,00
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25
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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49
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de venda da mercadoria, com
prejuízo, a venda é 100% e o custo representa a venda mais o prejuízo.
(Como o valor da venda é menor por ser vendida com prejuízo, então: a venda
representa 100% e o custo mais que 100%)
C = V + P
Exemplo 1.4.5 – Comprei certa mercadoria por R$ 4.000,00 e ela foi vendida com um
prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Qual o valor da venda?
Solução: Usando a equação anterior, temos:
C = 100 + 20 = 120%
4.000,00 → 120%
V → 100% Venda = R$ 3.333,33
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
Matemática Aplicada I
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50
Lista 4
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26
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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51
1.5 REGRA DA SOCIEDADE
Os problemas de divisão proporcional, numa empresa, que envolvem a divisão dos
lucros, prejuízos, gratificações, participações de lucros e bonificações, em geral recebem o nome
de regra de sociedade.
Regra de sociedade, portanto, é uma aplicação da divisão em partes diretamente
proporcionais.
Podemos destacar três casos:
1º) Tempos iguais e capitais diferentes: divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade
proporcionalmente aos capitais dos sócios.
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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52
Exemplo 1.5.1 – Três pessoas constituem uma sociedade com os capitais de R$
25.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 35.000,00 respectivamente. No fim de certo tempo a sociedade
apresentou um lucro de R$ 220.000,00. Quanto coube a cada sócio?
Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá. Sabemos que
A+B+C= 220.000,00 e
Aplicando a propriedade PP2 das proporções:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas igualdades construídas com a
1ª e 6ª , 2ª e 6ª e 3ª e 6ª razão, respectivamente, obtemos:
A = 25.000 . 2 = 50.000
B = 50.000 . 2 = 100.000
C = 35.000 . 2 = 70.000
000.35000.50000.25
CBA
==
2
000.110
000.220
000.35000.50000.25000.35000.50000.25
==
++
++
===
CBACBA
Cada sócio recebeu, respectivamente, R$ 50.000,00;
R$ 100.000,00; R$ 70.000,00.
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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53
2º) Capitais iguais e tempos diferentes: divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade
proporcionalmente aos tempos de permanência dos sócios.
Exemplo 1.5.2 – Três pessoas formam uma sociedade, permanecendo o primeiro sócio
durante 6 meses, o segundo 10 meses e o terceiro 12 meses. Quanto ganhou cada um, se a
sociedade teve um lucro de R$ 8.400,00?
Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá. Sabemos que
A + B + C = 8.400 e, além disso,
Aplicando a propriedade PP2 das proporções
Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas proporções construídas com a
1ª e 6ª , 2ª e 6ª e 3ª e 6ª razão, respectivamente, obtemos:
A = 6.300 = 1.800 B = 10.300 = 3.000 C = 12.300 = 3.600
12106
CBA
==
300
28
8400
1210612106
==
++
++
===
CBACBA
1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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54
3º) Tempos diferentes e capitais diferentes: divide-se o lucro ou prejuízo da sociedade
proporcionalmente aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada sócio.
Exemplo 1.5.3 – Constituiu-se uma sociedade formada por três sócios, 1º, 2º e 3º: o 1º
entrou com um capital de R$ 60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses, o 2º entrou com um
capital de R$ 70.000,00 e nela permaneceu por 40 meses e o 3º entrou com um capital de R$
50.000,00 e nela permaneceu por 35 meses. Se o resultado (que pode se um lucro ou um prejuízo)
da empresa, após certo período posterior, foi de R$ 50.000,00, quanto deverá receber (ou pagar)
cada sócio?
Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá, correspondentes ao 1º , 2º e
3º sócios, respectivamente. O produto capital por tempo de cada sócio é:
1º = 60.000 ⋅ 30 = 1.800.000 2º = 70.000 ⋅ 40 = 2.800.000 3º = 50.000 ⋅ 35 = 1.750.000
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1. GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
FACE ALFOR
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55
Sabemos que
A + B + C = 50.000 e que
Aplicando a propriedade PP2 das proporções:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas proporções construídas com a
1ª e 7ª , 2ª e 7ª e 3ª e 7ª razão, respectivamente, obtemos as partes A, B e C.
000.750.1000.800.2000.800.1
CBA
==
127
1
635
5
000.350.6
000.50
000.350.6000.750.100.800.2000.800.1
===
++
===
CBACBA
228.173.14)000.800.1(
127
1
==A
244.047.22)000.800.2(
127
1
==B
527.779.13)000.750.1(
127
1
==C
2. FUNÇÕES
FACE ALFOR
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2.1 INTERVALOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
As variáveis utilizadas em aplicações da Matemática na Administração podem ser
discretas ou contínuas. O número de funcionários de uma empresa, de carros, de pizzas, de
sapatos, de casas, etc, produzidos ou vendidos, são variáveis inteiras, que chamamos discretas.
Não trabalhamos com meio funcionário, ou meio carro. O tempo, os valores monetários, o
número de toneladas (massa) de arroz, soja, feijão, etc, são variáveis fracionadas que chamamos
contínuas. Trabalhamos com meia hora, com meio dólar, etc. Para entendermos as expressões
matemáticas dessas variáveis com clareza e precisão, precisamos relembrar os símbolos usados e
as definições dos conjuntos numéricos.
56
12/09/2017
29
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2.1.1 CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS
• N (conjunto dos números naturais): 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}
N* (conjunto dos números naturais exceto o zero):
N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, ...}
• Z (conjunto dos números inteiros):
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Z* (conjunto dos números inteirosnão-nulos):
Z* = Z – {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}, 
ou ainda, Z* = {x ∈ Z / x ≠ 0}
(conjunto dos números inteiros positivos):
= {1, 2, 3, 4, ...}, ou ainda, = {x ∈ Z / x > 0}
(conjunto dos números inteiros não-negativos):
= {0, 1, 2, 3, ...}, ou ainda, = {x ∈ Z / x ≥ 0}
Nota: de forma análoga podemos fazer para o negativo.
*
+Z
*
+Z
*
+Z
57
+Z
+Z +Z
2. FUNÇÕES
FACE ALFOR
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• Q (conjunto de todos os números da forma ): 
Na seguinte condição:
Exemplos: 0,25; 1,2
Q* (conjunto dos números racionais não-nulos):
Q* = {x ∈ Q / x ≠ 0 }
(conjunto dos números racionais positivos):
= {x ∈ Q / x > 0}
(conjunto dos números racionais não-negativos):
= {x ∈ Q / x ≥ 0}
Nota: de forma análoga podemos fazer para o negativo.
*
+Q
58
+Q
b
a





 ∈∈= *ZZ e ba
b
a
Q /
*
+Q
+Q
2. FUNÇÕES
12/09/2017
30
FACE ALFOR
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• Q’ (conjunto de todos os números de dízima não-períodica): 
Podemos representar da seguinte maneira:
Q’ = {x / x é dízima não periódica}
Exemplos: π = 3,14159265...,
• ℜℜℜℜ (conjunto dos números reais):
, ou ainda, 
Desta forma, podemos representar os conjuntos numéricos no seguinte diagrama:
59
...41421356,12 =
}irracional éou x racional /{ éxx=ℜ 'QQ∪=ℜ
2. FUNÇÕES
FACE ALFOR
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60
2.1.2 EIXO REAL
O sistema representado abaixo é denominado eixo real, cujo sentido é o que concorda
com o crescimento dos valores dos números.
Infinitos números pertencentes ao eixo real, desta forma, é necessário conhecer o
conceito de Intervalos Reais.
2. FUNÇÕES
12/09/2017
31
FACE ALFOR
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61
INTERVALOS REAIS
Sejam a e b números reais tais que a < b. Chamam-se intervalos reais os subconjuntos
de ℜ mostrados na tabela a seguir:
Nota:
A palavra “incomensurável” significa “que não
se pode medir”.
Convenções:
I. A bolinha cheia ( ) no extremo de um
intervalo indica que o número associado a
esse extremo pertence ao intervalo.
II. A bolinha vazia ( ) no extremo de um
intervalo indica que o número associado a
esse extremo não pertence ao intervalo.
III. Usaremos sempre a denominação “aberto”
no +∞ e no -∞.
2. FUNÇÕES
FACE ALFOR
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62
2.2 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
É um sistema constituído por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si. O eixo x é
denominado eixo das abscissas e o eixo y é o eixo das ordenadas.
Esses eixos dividem o plano em quatro regiões
chamadas quadrantes.
Esse sistema é utilizado para localizar um ponto no plano; assim, o ponto P(a, b) indicado na
figura tem abscissa a e ordenada b. (a, b) é denominado par ordenado e representam as coordenadas do ponto
P.
2. FUNÇÕES
12/09/2017
32
FACE ALFOR
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63
2.3 FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO
Sejam A e B conjuntos diferentes do vazio. Uma relação f de A em B é função se,
somente se, todo elemento de A estiver associado, através de f, a um único elemento de B.
Usaremos a notação f: A → B para indicar que f é função de A em B.
Definida a função, podemos representá-la simplesmente através da lei de associação y
= f(x). Sendo os números (x, y) pares ordenados de uma função, podemos ainda, fazer a seguinte
representação (x, f(x)).
Nota: Muitos problemas da área de Administração requerem a expressão matemática
das variáveis e parâmetros envolvidos na forma de funções. Em outras palavras, se podemos
dizer que o valor de y depende do valor de x, verificamos que, por exemplo, a área de um
quadrado é função do comprimento do seu lado; o salário é função das horas trabalhadas; o
número de unidades de certo produto demandadas pelos consumidores depende de seu preço; etc.
2. FUNÇÕES
2.4 FUNÇÃO DO 1° GRAU - DEFINIÇÃO
Chama-se função do 1° grau toda função definida de ℜ→ℜ por f(x) = ax + b com a, b
∈ ℜ e a ≠ 0.
Exemplos:
f(x) = 5x – 3, onde a = 5 e b = – 3 (função afim)
f(x) = 6x, onde a = 6 e b = 0 (função linear)
f(x) = x, onde a = 1 e b = 0 (função identidade)
f(x) = 9, onde a = 0 e b = 9 (função constante)
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2.5 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1° GRAU
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não-paralela nem ao eixo x nem ao eixo
y. Seu domínio é D(f) = ℜ e sua imagem é Im(f) = ℜ.
Exemplo 2.5.1: Construir o gráfico da função y = 2x – 1. (a = 2 > 0)
Solução:
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y = f(x) = f(-2) = 2 (-2) – 1 = -5 (-2; -5) 
f(-1) = 2 (-1) – 1 = -3 (-1; -3)
f(0) = 2 (0) -1 = -1 (0; -1)
f(1) = 2 (1) – 1 = 1 (1; 1)
f(2) = 2 (2) – 1 = 3 (2; 3)
f(3) = 2 (3) – 1 = 5 (3; 5)
2. FUNÇÕES
2.6 ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau f(x) = ax + b o valor de x para o qual f(x) =
0, logo:
ax + b = 0 ⇒ ax = -b ⇒ x =
a
b
−
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a) Coeficiente angular (a) – determina o
crescimento e decrescimento.
a > 0 → função crescente 
a < 0 → função decrescente 
b) Coeficiente Linear (b) – determina
aonde o gráfico tocará no eixo oy.
Determinação:
1º Caso: quando é dados os pontos (x1, y1) e (x2,
y2) pertencentes ao gráfico de f(x) = a x + b,
temos:
2º Caso: quando é dado o ângulo do gráfico com
o eixo ox. a = Tg(α)
1x2x
1y2y
x
y
a
−
−
=
∆
∆
=
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2.7 COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR DA RETA
2. FUNÇÕES
2
2
4
13
31
1x2x
1y2y
x
y
a −=
−
=
−
−−
=
−
−
=
∆
∆
=
Exemplo 2.7.1 : Para que os pontos (1,3) e (3,-1) pertençam ao gráfico da função dada
por f(x) = ax + b , o valor de b – a deve ser:
a) 7 b) -7 c) 3 d) -3 e) 5 
Solução:
1°°°° Modo: 2°°°° Modo:
Resolvendo o sistema: a = -2 e b = 5. f(x) = -2x + b
Fazendo b – a = 5 – (-2) = 7. Resp.: letra a Substituindo o ponto (1,3) na função:
3 = -2.1 + b ⇒ b = 5. 
Fazendo b – a = 7. Resp.: letra a



+=−
+=
ba31
ba3
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3
3
)30(Tga o ==
Exemplo 2.7.2: Sendo o gráfico de f(x) = ax + b, como mostrado abaixo. O valor de a-b
é de:
a) b) c) d) e) 
Solução:
e b = 2.
Fazendo: 
Resp.: letra c
3
2
2 −
2
3
6 −
3
63 −
32 + 32 −
3
63
2
3
3
ba
−
=−=−
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2.8 GENERALIZAÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1° GRAU
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7171
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Lista 5
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2.9 ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1° GRAU
Estudar o sinal da função do 1º grau y = ax + b significa determinar para quais valores
de x a função é positiva, nula ou negativa, ou seja:
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Vejamos detalhadamente cada caso:
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Exemplo 2.9.1: Estudar o sinal das funções:
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2.10 INEQUAÇÃO DA FUNÇÃO DO 1° GRAU
Uma inequação do 1º grau pode ser definida como uma função do 1º grau que
apresenta um sinal de desigualdade. Assim:
ax+ b > 0 ax+ b < 0 ax+ b ≤ 0 ax+ b ≥ 0 ax+ b ≠ 0
São inequações do tipo:
PRODUTO
f(x).g(x) > 0 f(x).g(x) < 0 f(x).g(x) ≥ 0 f(x).g(x) ≤ 0 f(x).g(x) ≠ 0
QUOCIENTE
f(x)/g(x)> 0 f(x)/g(x)< 0 f(x)/g(x)≥ 0 f(x)/g(x)≤ 0 f(x)/g(x) ≠ 0
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Exemplo 2.10.1: Resolva em ℜ a seguinte inequação 6 –2x ≥ 0.
Solução:
6 –2x ≥ 0 ⇒ -2x ≥ -6 ⇒ 2x ≤ 6 ⇒ x ≤ 3
Resp.: S = ] -∞; 3]
Ps.: Multiplicando-se ou dividido-se os dois membros da inequação por um número
negativo, devemos inverter o sinal da inequação.
Exemplo 2.10.2: Resolva em ℜ a seguinte inequação 3x + 2 < –x + 3 ≤ x + 4 .
Solução:
3x + 2 < -x +3 e -x + 3 ≤ x + 4
4x < 1 -2x ≤ 1
x < x ≥ 
4
1
2
1
−
Resp.: S = [ –½ ; ¼ [ 
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Exemplo 2.10.3: Resolva em ℜ a inequação (x –3).(–2x + 4) > 0
Solução:
1º) Devemos determinar as raízes das funções:
x – 3 = 0 ⇒ x = 3 e -2x + 4 = 0 ⇒ x = 2
2º) Devemos estudar o sinal das funções:
3º) Verificamos a interseção:
Resp.: S = ] 2 ; 3 [
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Lista 6
2.11 APLICAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO
Exemplo 2.11.1: Aos domingos, a família da Dona Maria costuma fazer um churrasco.
Dona Maria fez um levantamento dos preços da picanha em quatro mercados da cidade e colocou
os dados em um gráfico cartesiano. Chamando de P o preço de 1 kg de picanha, q a massa
comprada (kg) e CF o custo fixo gasto com o transporte até os mercados, podemos adaptar a
equação f(x) = ax + b e escrever a lei da função Custo da Picanha C(q):
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( ) CFq.PqC +=
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Observe que, independente do custo fixo, as inclinações de cada reta são diferentes e
dependem exclusivamente do parâmetro P (preço da picanha). Este parâmetro é o coeficiente
angular e determina a inclinação das retas.
Quanto maior o coeficiente angular, mais próxima da vertical está a reta.
Quanto menor o coeficiente angular, mais próxima da horizontal está a reta.
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Exemplo 2.11.2: Uma empresa investe R$ 1800,00 em equipamentos. O contador da
empresa usa o método da linha reta para a depreciação em 10 anos, que é a estimativa de vida do
equipamento, isto é, o valor contábil do equipamento decresce a uma taxa constante, de tal forma
que ao fim dos 10 anos aquele valor contábil será zero. Suponhamos que o valor contábil do
equipamento seja y ao fim de x anos. Assim quando x = 0, y = 1800, e quando x = 10, y = 0.
Determine a equação da reta que dá a relação entre x e y.
Solução:
180
010
18000
1x2x
1y2y
x
y
a −=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
=
Sabendo que os pontos (0, 1800) e (10, 0)
pertencem a reta, temos:
Utilizando o ponto (10, 0):
f(x) = -180 x + b ⇒ 0 = -180 . 0 + b ⇒ b = 180
Assim, a equação da reta é: f(x) = -180 x +180.
Observe que a inclinação da reta é -180, e este
número dá a quantia segundo a qual o valor
contábil muda a cada ano; decresce R$ 180 por
ano.
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Exemplo 2.11.3: O montante de um empréstimo de curto prazo é calculado com taxa
fixa, a juros simples. Consideremos o financiamento de R$ 30.000,00 feitos por uma empresa em
certo banco, com taxa 0,03% ao dia. Determine a equação que relaciona o montante com a taxa
de juros.
Solução:
Vamos fazer algumas considerações iniciais:
Juros simples: O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir
apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.
Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de
somarmos os juros.
Sendo:
i = (taxa de juros)/100 n = número de períodos J = juros
P = principal (capital) M = montante
Assim, temos:
2. FUNÇÕES
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Observando a tabela acima é possível deduzir uma equação particular para a função
Montante deste exemplo:
M(n) = 30.000 + n . i . 30.000
ou
M(n) = 30.000 (1 + n . i)
Generalizando, temos:
J(n) = n . i . P
M(n) = P + J (n) = P (1 + n . i)
2. FUNÇÕES
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Com a equação da função montante determinada, vamos construir o gráfico desta
função:
29995
30000
30005
30010
30015
30020
30025
30030
30035
30040
0 1 2 3 4 5
M
on
ta
nt
e 
(R
$)
Período (dias)
Gráfico da Função Montante
Vamos analisar agora ora o aumento do empréstimo ora o aumento dos juros, fazendo:
• Caso 1: P = 45.000 e i = 0,0003;
• Caso 2: P = 30.000 e i = 0,0006 .
2. FUNÇÕES
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M(n) = P (1 + n . i)
Dias 
(n)
Caso 1 Caso 2
0 45.000 (1 + 0 . 0,0003) = 
45.000,00
30.000 (1 + 0 . 0,0006) = 
30.000,00
1 45.000 (1 + 1 . 0,0003) = 
45.013,50
30.000 (1 + 1 . 0,0006) = 
30.018,00
2 45.000 (1 + 2 . 0,0003) = 
45.027,00
30.000 (1 + 2 . 0,0006) = 
30.036,00
3 45.000 (1 + 3 . 0,0003) = 
45.040,50
30.000 (1 + 3 . 0,0006) = 
30.054,00
4 45.000 (1 + 4 . 0,0003) = 
45.054,00
30000 (1 + 4 . 0,0006) = 
30.072,00
... ... ...
2. FUNÇÕES
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Comparando os resultados graficamente temos:
44990
45000
45010
45020
45030
45040
45050
45060
29990
30000
30010
30020
30030
30040
30050
30060
30070
30080
0 1 2 3 4 5
M
o
n
ta
n
te
 (R
$
)
Período (dias)
Caso 0
Caso 2
Caso 1
2. FUNÇÕES
FIM DA APRESENTAÇÃO
FACE ALFOR
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Lista 7