Limites Definição e Propriedades

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Limite 
 
Definição: 
 
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto 
possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) 
quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos: 
 
Lxf
ax


)(lim
 
 
Se para todo 
0 , existe 0 , tal que  Lxf )( , 
sempre que 
 ax0
. 
 
Exemplo: 
Usando a definição, provar que 
2)24(lim
1


x
x
 
 
 2)24( x sempre que  10 x 
44x
 
 )1(4 x
 
4
 )1(x
 
4
1

x
 
Fazendo 
4

 
 temos que 
 10 x
. Como 
queríamos demonstrar (cqd). 
Unicidade do limite 
 
Se 
1)(lim Lxf
ax


 e 
2)(lim Lxf
ax


, então L1 = L2. 
 
Prova: 
Seja 
0 arbitrário. 
 
Como 
1)(lim Lxf
ax


, existe 
01 
 tal que, 
2
)( 1

 Lxf
, sempre que 
10  ax
. 
 
Como 
2)(lim Lxf
ax


, existe 
02 
 tal que, 
2
)( 2

 Lxf
, sempre que 
20  ax
. 
 
Seja  21 min  e . Então, 
2
)( 1

 Lxf
 e 
2
)( 2

 Lxf
 sempre que 
 ax0
. 
 
Seja x tal que 
 ax0
. Então, podemos escrever 
 
22
)()()()( 212121 LxfLxfLxfxfLLL
 
Como 

 é arbitrário, temos 
021  LL
 e portanto L1= L2. 
 
Propriedades dos limites 
 
1. Proposição: Se a, m e n são números reais, então: 
 
nmanmx
ax


)(lim
 
Desta proposição decorre que: 
a. Se c é um número real qualquer, então: 
cc
ax


lim
 
 
b. 
ax
ax


lim
 
 
2. Proposição: se 
)(lim xf
ax
 e 
)(lim xg
ax
 existem e c é 
um número real qualquer, então: 
a. 


)]()([lim xgxf
ax
)(lim xf
ax

)(lim xg
ax
 
 
b. 
)](.[lim xfc
ax
 = c. 
)(lim xf
ax
 
 
c. 


)]()([lim xgxf
ax
)(lim xf
ax
.
)(lim xg
ax
 
 
d. 
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax




, desde que 
)(lim xg
ax

0 
 
e. 
    n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim


 para n inteiro positivo. 
 
f. 
n
ax
xf )(lim

 = 
n
ax
xf )(lim

, se 
)(lim xf
ax
 > 0 e n inteiro 
positivo ou se 
)(lim xf
ax
 < 0 e n inteiro positivo 
ímpar. 
 
g. 
 )( ln lim xf
ax
 = 
 )(lim ln xf
ax
, se 
)(lim xf
ax
 > 0. 
 
 
h. 
 )( cos lim xf
ax
 = 
cos
[
)(lim xf
ax
] 
 
i. 
 )( lim xfsen
ax
 = 
sen
[
)(lim xf
ax
] 
 
j. )(lim)( lim xfxf
ax
axee 

 
 
 
 
3. Proposição: Se
)()()( xgxhxf 
 para todo x em um 
intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente em 
x = a, e se 
)(lim xf
ax
 = L = 
)(lim xg
ax
, então, 
Lxh
ax


)(lim
.