Lista2 Mod Prob Comp 2016 2

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2a. Lista de Exerc´ıcios de Modelos Probabil´ısticos para Computac¸a˜o
1. Defina com suas pro´prias palavras:
I. Varia´vel Aleato´ria
II. Varia´vel Aleato´ria Discreta
III. Varia´vel Aleato´ria Cont´ınua
IV. Esperanc¸a de uma Varia´vel Aleato´ria
V. Variaˆncia de uma Varia´vel Aleato´ria
VI. Tabelas de Decisa˜o
VII. Distribuic¸o˜es de Probabilidade
VIII. Ensaio de Bernoulli
IX. Distribuic¸a˜o de Bernoulli
X. Distribuic¸a˜o Binomial
XI. Distribuic¸a˜o de Poisson
XII. Distribuic¸a˜o Uniforme
XIII. Distribuic¸a˜o Normal
XIV. Distribuic¸a˜o Normal Padra˜o
XV. Tabela Normal
XVI. Amostragem
XVII. Amostragem na˜o probabilista
XVIII. Amostragem probabilista
XIX. Amostragem devido a Inacessibilidade da populac¸a˜o
XX. Amostragem a esmo ou sem norma
XXI. Amostragem de populac¸a˜o cont´ınua
XXII. Amostragem intencional
XXIII. Amostragem Aleato´ria simples
XXIV. Amostragem Sistema´tica
XXV. Amostragem por Conglomerados
XXVI. Amostragem Estratificada
XXVII. Amostragem Mu´ltipla
XXVIII. Distribuic¸o˜es Amostrais
XXIX. Distribuic¸a˜o Amostral da Me´dia
XXX. Aproximac¸a˜o Normal para a Distribuic¸a˜o Amostral da Me´dia
XXXI. Distribuic¸a˜o Amostral da Proporc¸a˜o
2. Um sindicato de servidores pu´blicos criou dois times em uma repartic¸a˜o: A e B. No u´ltimo ano, os dois times
jogaram entre si 8 vezes: A ganhou 5, B ganhou 3 e em nenhuma delas ocorreu empate. Neste ano, esses dois
times se enfrentara˜o 6 vezes. Calcule as seguintes probabilidades:
a) O time A na˜o ganhar do time B
b) O time A ganhar apenas uma vez
c) O time A ganhar no mı´nimo uma vez
d) O time A ganhar no ma´ximo uma vez
e) O time A ganhar exatamente 6 partidas
f) O time A ganhar no ma´ximo 6 partidas
g) O time A ganhar no mı´nimo 6 partidas
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3. Uma empresa pu´blica compra um lote de 200 computadores. Na licitac¸a˜o, garante-se o recebimento de todos,
se em uma inspec¸a˜o aleato´ria de 20 deles, no ma´ximo um seja defeituoso. Na realidade, nesse lote existem 20
computadores defeituosos. Pergunta-se:
a) qual e´ a probabilidade desse lote ser aceito?
b) calcule a esperanc¸a a e variaˆncia.
4. Considere o sucesso (1) e o fracasso (0) no tempo em segundos gastos por 70 vacinadores em um programa de
vacinac¸a˜o do estado. Foi considerado sucesso se a vacina foi aplicada em um tempo menor do que 4 segundos.
0 1 0 1 0 1 1 1 1 0
1 0 1 0 1 1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 1 0 1 0 0
a) Calcule p que e´ a probabilidade de sucesso e interprete os resultados.
b) Se essa campanha de vacinac¸a˜o deve vacinar 2000 crianc¸as em uma localidade, calculando a Esperanc¸a, e´
poss´ıvel afirmar que essa meta sera´ atingida? Discuta a sua resposta.
c) Calcule a probabilidade de que em uma localidade com 300 crianc¸as, no mı´nimo 290 sejam vacinadas.
d) Calcule a probabilidade de que em uma localidade com 300 crianc¸as, entre 280 e 285 sejam vacinadas.
d) Refac¸a os ı´tens (c) e (d) usando a distribuic¸a˜o de Poisson. O que voceˆ observa?
5. Em uma licitac¸a˜o para compra de 20000 tubos de ensaio para laborato´rio de cieˆncias de escolas estaduais,
uma empresa oferece garantia de 5% de tubos defeituosos. Do lote 45 tubos que chega a uma escola, qual e´ a
probabilidade de que:
a) Na˜o mais do que dois tubos sejam defeituosos?
b) De uma amostra de 15 desses tubos, qual e´ a probabilidade de que 10 sejam aceita´veis?
c) De uma amostra de 30 desses tubos, qual e´ a probabilidade de que entre 15 e 20 sejam aceita´veis?
6. A chegada de e-mails em um servidor de uma universidade acontece a raza˜o de 3 por minuto. Supondo que
essa chegada siga uma distribuic¸a˜o de Poisson, determine a probabilidade de:
a) chegarem exatamente 8 e-mails?
b) chegarem no ma´ximo 4 e-mails?
c) chegarem no ma´ximo 6 e-mails?
d) chegarem exatamente 8 e-mails em 2 minutos?
e) chegarem exatamente 4 e-mails em 5 minutos?
f) chegarem entre 3 e 6 e-mails em 7 minutos.
7. Pelo histo´rico da secretaria de sau´de pu´blica de um determinado munic´ıpio, obteve-se a informac¸a˜o de que um
indiv´ıduo qualquer da sua populac¸a˜o contrair gripe em no per´ıodo de um ano e´ uma varia´vel aleato´ria com
distribuic¸a˜o de Poisson com com paraˆmetro λ = 5. Calcule a probabilidade de que um indiv´ıduo qualquer
nessa cidade contraia gripe:
a) No ma´ximo uma vez em um ano.
b) Exatamente 3 vezes em um ano.
c) Entre 3 e 5 vezes em um ano.
8. A ANATEL recebe reclamac¸o˜es sobre empresas de telefonia celular a uma taxa me´dia de 5 por hora. Calcule:
a) a probabilidade de receber mais de duas reclamac¸o˜es por hora?
b) a probabilidade de receber no ma´ximo treˆs reclamac¸o˜es em uma hora?
c) a probabilidade de receber no mı´nimo treˆs reclamac¸o˜es em uma hora?
d) Em um dia de trabalho de 8 horas, qual calcule a probabilidade de receber 50 reclamac¸o˜es?
9. Segundo dados de uma rede local, ocorreram 45 falhas de servic¸o no u´ltmo ano. Calcule:
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a) Recalcule o paraˆmetro λ para se conhecer o nu´mero me´dio de falhas por semana.
b) Em uma semana t´ıpica, qual e´ a probabilidade de na˜o haver nenhuma falha?
c) Em uma semana t´ıpica, qual e´ a probabilidade de haver entre 10 e 20 falhas?
d) Em uma semana t´ıpica, qual e´ a probabilidade de haver no ma´ximo 1 falha?
e) Em um dia t´ıpico, qual e´ a probabilidade de duas ou mais falhas?
10. Interessados na melhoria do funcionamento de uma rede de alta confiabilidade, realizou-se uma pesquisa na
qual se verificou o nu´mero de pacotes perdidos naquela rede em 70 dias de trabalho:
4 3 4 2 4 3 3 2 3 4
3 5 3 4 2 3 2 4 5 3
4 5 3 2 5 3 3 6 4 3
2 3 2 2 3 3 4 3 5 3
4 3 2 5 4 3 5 4 3 2
3 4 5 6 3 5 3 6 4 3
6 3 2 4 3 3 4 3 4 5
a) Calcule o nu´mero me´dio esperado de pacotes perdidos em 30 dias de trabalho e interprete os resultados.
b) Calcule a Variaˆncia e Desvio Padra˜o.
c) Calcule a probabilidade de que em um dia t´ıpico, no ma´ximo 4 pacotes sejam perdidos.
d) Calcule a probabilidade de que em um dia t´ıpico, no mı´nimo 5 pacotes sejam perdidos.
e) Calcule a probabilidade de que em um dia t´ıpico, no mı´nimo 3 e no ma´ximo 6 pacotes sejam perdidos.
f) Se voceˆ e´ um gestor dessa rede e precisa que a confiabilidade dela seja melhorada em Rede precisa ter um
desempenho melhorado em 40%. Qual seria a nova me´dia de perda de pacotes dia´rios?
11. A ocorreˆncia de panes em qualquer ponto de uma rede lo´gica de 7 km de uma universidade foi modelada por
uma distribuic¸a˜oUniforme no intervalo [0, 7]. Encontre:
a) Qual e´ a probabilidade de que uma pane venha a ocorrer nos primeiros 800 metros?
b) Qual a probabilidade de que ocorra nos 3 km centrais da rede?
12. Oˆnibus chegam a um determinado ponto de parada em intervalos de tempo de quinze minutos a partir de 7
horas da manha˜ (7h00, 7h15, 7h30, 7h45, etc). Se o hora´rio de chegada de um determinado passageiro ao
ponto segue uma distribuic¸a˜o uniforme entre 7h05 e 7h30, determine a probabilidade de que:
a) ele espere menos que 5 minutos ate´ a chegada de um oˆnibus.
b) ele espere mais de 10 minutos ate´ a chegada de um oˆnibus.
13. A func¸a˜o densidade de probabilidade do tempo requerido para completar a operac¸a˜o de montagem de uma
CPU e´ dada por f(x) = 110 , se 30 ≤ x ≤ 40 segundos e zero caso contra´rio. Pede-se:
a) Determine a proporc¸a˜o de montagem que requerem mais de 35 segundos para serem completadas.
b) Determine qual e´ o valor de tempo que e´ excedido por 90% das montagens?
c) Determine a me´dia e a variaˆncia do tempo de montagem das CPUs.
14. Um pequeno provedor de acesso a` Web, tem dois servidores, cujo per´ıodo de manutenc¸a˜o seguem respectiva-
mente as seguintes distribuic¸o˜es: N1(42; 36) e N2(45; 9) em dias. Calcule a probabilidade de:
a) o servidor 1 na˜o precise de manutenc¸a˜o nos pro´ximos 45 dias?
b) O servidor 2 na˜o precise de manutenc¸a˜o nos pro´ximos 49 dias?
c) O servidor 1 precise da manutenc¸a˜o entre os pro´ximos 43 e 46 dias?
d) O servidor 2 precise da manutenc¸a˜o entre os pro´ximos 43 e 46 dias?
e) Baseado nas respostas dos itens (c) e (d) e´ poss´ıvel dizer que em algum momento, entre os pro´ximos 43 e
46 dias, o provedor na˜o estara´ no ar (sem servidores dispon´ıveis)?
15. O governo federal comprou em uma licitac¸a˜o ambulaˆncias para o Ministe´rio da Sau´de. A fa´brica de como
garantia que os motores de sua fabricac¸a˜o tem durac¸a˜o com distribuic¸a˜o normal com me´dia de 150.000 km
e desvio padra˜o de 5.000 km. Qual a probabilidade de que uma ambulaˆncia escolhida ao acaso, daquelas
fabricadas por essa empresa tenha um motor que dure:
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a) menos do que 130.000 km?
b) menos do que 150.000 km?
c) menos do que 170.000 km?
d) entre 140.000 km e 165.000 km?
e) entre 130.000 km e 170.000 km?
e) mais do que 200.000 km?
f) na˜o mais do que 165.000 km?
16. Em um estudo de planejamento pedago´gico de uma universidade sobre as disciplinas de Estat´ıstica, observou-
se que as notas me´dias finais dos alunos se distribuem segundo uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia de 6,4 e
desvio padra˜o de 0,8. Calcule:
a) a probabilidade de notas maiores do que 7,0, ou seja, dos alunos serem aprovados diretamente?
b) a probabilidade de notas entre maiores do que 4,0 e menores do que 7,0, ou seja, dos alunos irem para
Exame?
c) a probabilidade de notas entre menores do que 4,0, ou seja, dos alunos serem reprovados diretamente?
17. Na Universidade do problema anterior, em um semestre foram matriculados 2000 alunos. Calcule:
a) quantos alunos devera˜o ser aprovados diretamente?
b) quantos alunos devera˜o ir para Exame?
c) quantos alunos tera˜o nota menor do que 5,0?
d) quantos alunos tera˜o nota entre 5,0 e 7,5?
e) quantos alunos tera˜o nota maior que 7,5?
18. Uma empresa de produc¸a˜o de software para automac¸a˜o comercial, usa como argumento de vendas que os seus
produtos sa˜o muito competitivos, ainda que os seus prec¸os sejam um pouco caros. Eles definiram treˆs formas
de trabalhar no mercado, de acordo com a situac¸a˜o econoˆmica do pa´ıs: A1: pol´ıtica muito agressiva de prec¸os,
A2: pol´ıtica pouco agressiva de prec¸os e A3: pol´ıtica normal de prec¸os. Dada a Tabela de Decisa˜o abaixo, qual
e´ a melhor decisa˜o a ser tomada sobre a pol´ıtica de prec¸os dessa empresa de produc¸a˜o de software, quando se
usa:
19. O nu´mero de servic¸os de um provedor de acesso depende da demanda dos usua´rios por esses servic¸os. Os
eventos (E) denotam a demanda pelo nu´mero de servic¸os e T e´ o retorno financeiro esperado de acordo com
os tipos de servic¸os utilizados pelos usua´rios. Dada a Tabela de Decisa˜o abaixo, qual e´ a melhor decisa˜o a ser
tomada sobre os tipos de servic¸os, quando se usa:
a) so´ os custos
b) so´ as medidas de Probabilidade
c) o retorno financeiro me´dio esperado
Discuta o que se ganha e o que se perde usando cada uma dessas treˆs formas de tomada de decisa˜o.
a) so´ os custos
b) so´ as medidas de Probabilidade
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c) o retorno financeiro me´dio esperado
Discuta o que se ganha e o que se perde usando cada uma dessas treˆs formas de tomada de decisa˜o.
20. Uma rede de computadores trabalha com a ocupac¸a˜o da sua largura de banda de 10 Mbps, em faixas de 1,0
Mbps, segundo a seguinte func¸a˜o de probabilidade:
X = xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p(xi)
1
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2
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3
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4
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5
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5
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6
50
7
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7
50
6
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9
100
a) Qual e´ o valor mais prova´vel de ocupac¸a˜o da largura de banda desse provedor?
b) Calcule o valor me´dio esperado de ocupac¸a˜o da largura de banda desse provedor.
c) Suponha que hoje sera´ preciso fazer uma v´ıdeo confereˆncia em alta resoluc¸a˜o, que devera´ necessitar de 4,0
Mbps sustentado de banda. E´ poss´ıvel fazeˆ-la e atender aos usua´rios simultaneamente, sem a necessidade de
reconfigurac¸o˜es?
21. Uma populac¸a˜o de 5 elementos pertencem ao conjunto A = {2; 3; 6; 8; 11}. Considere todas as amostras
poss´ıveis que dela possam ser retiradas com 2 elementos e com reposic¸a˜o. Determine:
a) a me´dia e a variaˆncia da populac¸a˜o.
b) a distribuic¸a˜o amostral da me´dia, em forma tabular.
c) Calcule sua me´dia e sua variaˆncia a partir da distribuic¸a˜o obtida em (b).
22. Uma populac¸a˜o de 5 elementos pertencem ao conjunto A = {2; 3; 6; 8; 11}. Considere todas as amostras
poss´ıveis que dela possam ser retiradas com 2 elementos e sem reposic¸a˜o. Determine:
a) a me´dia e a variaˆncia da populac¸a˜o.
b) a distribuic¸a˜o amostral da me´dia, em forma tabular.
c) Calcule sua me´dia e sua variaˆncia a partir da distribuic¸a˜o obtida em (b).
23. A alturados estudantes de uma universidade tem distribuic¸a˜o normal com me´dia 175 cm e desvio padra˜o 8
cm. Pede-se:
a) Considerando uma amostra de 25 estudantes, qual a probabilidade de que a me´dia amostral seja maior do
que 173 cm?
b) Considerando uma amostra de 25 estudantes, qual a probabilidade de que a me´dia amostral esteja entre
170 e 176 cm?
c) Considerando uma amostra de 15 estudantes, qual a probabilidade de que a me´dia amostral esteja entre
172 e 178 cm?
d) Considerando uma amostra de 35 estudantes, qual a probabilidade de que a me´dia amostral seja menor do
que 173 cm?
e) Qual deve ser a altura me´dia dos estudantes, de modo que em 90% das vezes a me´dia amostral seja inferior
a este valor?
f) Qual deve ser a altura me´dia dos estudantes, de modo que em 75% das vezes a me´dia amostral seja superior
a este valor?
24. Uma companhia ae´rea que faz voˆos internacionais estima que 10% dos seus clientes na˜o comparec¸am ao
embarque para o voˆo internacional comprado. Para evitar voar com lugares vagos, essa companhia decide
fazer o chamado “overbooking”, que consiste em aceitar mais reservas para voˆos do que a aeronave comporta.
Pergunta-se: Qual e´ a probabilidade de que essa companhia na˜o tenha assentos suficientes em um desses voˆos
se ela decidir:
a) aceitar 300 reservas para voˆos nos quais a aeronave comporta 250 passageiros?
b) aceitar 320 reservas para voˆos nos quais a aeronave comporta 250 passageiros?
c) aceitar 350 reservas para voˆos nos quais a aeronave comporta 250 passageiros?
d) aceitar 320 reservas para voˆos nos quais a aeronave comporta 300 passageiros?
e) aceitar 350 reservas para voˆos nos quais a aeronave comporta 300 passageiros?
f) aceitar 380 reservas para voˆos nos quais a aeronave comporta 300 passageiros?
g) Dadas as probabilidades obtidas nos itens anteriores, qual e´ a sua sugesta˜o para essa companhia ae´rea?
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