Lista3 Mod Prob Comp 2016 2

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

3a. Lista de Exerc´ıcios de Modelos Probabil´ısticos para Computac¸a˜o
1. Defina com suas pro´prias palavras:
I. Estimac¸a˜o Pontual
II. Estimac¸a˜o por Intervalo
III. Intervalo de Confianc¸a para Me´dia
IV. Intervalo de Confianc¸a para Proporc¸a˜o
V. Testes de Hipo´teses
VI. Testes de Hipo´teses para Me´dia
VII. Testes de Hipo´teses para Proporc¸a˜o
VIII. Diagrama de Dispersa˜o
IX. Correlac¸a˜o
X. Correlac¸a˜ Linear
XI. Correlac¸a˜ Na˜o Linear
XII. Correlac¸a˜o Linear de Pearson
XIII. Testes de Hipo´teses para Correlac¸a˜o Linear de Pearson
XIV. Regressa˜o Linear
XV. Variaˆncia Residual populacional
XVI. Coeficiente de Determinac¸a˜o
XVII. Coeficiente de Determinac¸a˜o ajustado
XVIII. Intervalos de Confianc¸a para os coeficientes do modelo da regressa˜o linear simples estimados
XIX. Testes de Hipo´teses para Regressa˜o Linear para os coeficientes do modelo da regressa˜o linear simples
estimados
XX. Intervalo de confianc¸a para a resposta me´dia do modelo da regressa˜o linear simples estimado
XXI. Gra´ficos para a Ana´lise de Res´ıduos da Regressa˜o Linear Simples
2. O tempo me´dio ate´ a primeira falha de uma amostra aleato´ria de 200 discos r´ıgidos fabricados acusou uma
me´dia de 2093 horas. A fa´brica anuncia que o desvio padra˜o do tempo ate´ a primeira falha dos seus discos
e´ de 107 horas. Determine o intervalo de 95% de confianc¸a para todos os discos r´ıgidos fabricados por essa
empresa.
3. O que mudaria no exerc´ıcio anterior se:
a) a empresa na˜o fornecesse o desvio padra˜o da sua produc¸a˜o? Justifique a sua resposta.
b) se ale´m do desvio fornecido pela empresa, o desvio padra˜o calculado a partir da amostra fornecesse o valor
de 115 horas? Justifique a sua resposta.
c) se so´ tive´ssemos o desvio padra˜o calculado a partir da amostra fornecesse o valor de 115 horas? Justifique
a sua resposta.
4. Uma empresa montadora de computadores fornece uma garantia para os seus produtos de 12 meses. Uma
amostra de 10 de seus computadores em testes acelerados de vida acusaram um tempo de vida me´dio equi-
valente a 11,125 meses e desvio padra˜o de 0,152 meˆs. Determine o intervalo de 99% de confianc¸a para todos
os computadores montados por essa empresa. Pede-se:
a) O que voceˆ pode concluir sobre o tempo de garantia dessa empresa?
b) Se a amostra fosse de 20 computadores e com os mesmos paraˆmetros, a sua conclusa˜o seria alterada? c) E
se a amostra fosse de 50 computadores?
1
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
5. Interessados na melhoria do funcionamento de uma rede de alta confiabilidade, realizou-se uma pesquisa na
qual se verificou o nu´mero de pacotes perdidos naquela rede em 70 dias de trabalho:
4 3 4 2 4 3 3 2 3 4
3 5 3 4 2 3 2 4 5 3
4 5 3 2 5 3 3 6 4 3
2 3 2 2 3 3 4 3 5 3
4 3 2 5 4 3 5 4 3 2
3 4 5 6 3 5 3 6 4 3
6 3 2 4 3 3 4 3 4 5
a) Calcule o nu´mero me´dio de pacotes perdidos e interprete os resultados.
b) Calcule a Variaˆncia e Desvio Padra˜o.
c) Determine o intervalo de 95% de confianc¸a para o nu´mero de pacotes perdidos.
d) Verifique a hipo´tese de que a me´dia de pacotes perdidos nessa rede e´ na realidade inferior a 4 por dia de
trabalho ao n´ıvel de 5% de significaˆncia.
6. Supondo que na rede do exerc´ıcio anterior, nos dias em que o nu´mero de pacotes perdidos for inferior ou igual
a 4, a rede alcanc¸ou a meta de alta confiabilidade e caso contra´rio na˜o. Pergunta-se:
a) Calcule a proporc¸a˜o de pacotes perdidos nessa amostra e interprete os resultados.
b) Determine o intervalo de 95% de confianc¸a para a proporc¸a˜o de dias em que a rede pode ser considerada
de alta confiabilidade.
d) Verifique a hipo´tese de que a proporc¸a˜o de dias nos quais a rede pode ser considerada de alta confiabilidade
e´ maior do que 90% ao n´ıvel de 5% de significaˆncia.
7. A partir dos dois exerc´ıcios anteriores, o que voceˆ pode concluir sobre essa rede?
8. Uma empresa pu´blica compra um lote de 200 computadores. Na licitac¸a˜o, a empresa garante que com 95%
de confianc¸a, a sua proporc¸a˜o de computadores defeituosos e´ entre 1, 3% e 4, 8%. Se voceˆ tivesse de receber
o lote comprado, qual seria o seu procedimento: o receberia ou na˜o, se:
a) recebidos os computadores, constatou-se que 7 estavam defeituosos? Justifique a sua resposta.
b) recebidos os computadores, constatou-se que 10 estavam defeituosos? Justifique a sua resposta.
c) recebidos os computadores, constatou-se que 14 estavam defeituosos? Justifique a sua resposta.
9. Uma amostra aleato´ria de 110 eleitores de um certo distrito eleitoral da´ 55% favora´vel a um determinado
candidato. Estime o intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o global de eleitores favora´vel a esse
candidato.
10. Um pequeno provedor de acesso a` Web, tem dois servidores. A partir das fichas das u´ltimas 12 manutenc¸o˜es,
o primeiro servidor demorou em me´dia 42 dias para entrar em manutenc¸a˜o, com desvio de 6 dias e o segundo
45 dias com desvio de 3 dias.
a) Estime o intervalo de confianc¸a de 95% para o tempo de manutenc¸a˜o do servidor 1.
b) Estime o intervalo de confianc¸a de 95% para o tempo de manutenc¸a˜o do servidor 2.
c) A partir dos resultados acima, ha´ risco de que em algum momento, o provedor na˜o estara´ no ar (sem
servidores dispon´ıveis)? Quando isso pode ocorrer?
11. A produc¸a˜o dia´ria de teclados em uma empresa de acesso´rios de informa´tica nos u´ltimos 10 dias foi contabil-
izada em milhares como:
7,8 8,1 7,9 7,9 8,0 8,2 8,0 7,8 7,7 8,2
a) Construa um intervalo de 95% de confianc¸a para a produc¸a˜o me´dia dia´ria;
b) O processo de produc¸a˜o esta´ programado para produzir 8.000 teclados por dia, mas seus gerentes teˆm a
impressa˜o que esse valor na˜o esta´ sendo atingido. Eles teˆm raza˜o? Use α = 0, 05.
12. Uma pequeno provedor de Internet trabalha com a ocupac¸a˜o da sua largura de banda de 10 Mbps, em faixas
de 2,0 Mbps, segundo a Tabela 1:
2
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Table 1: Ocupac¸a˜o da largura de banda de 10 Mbps de um provedor de Internet.
Nu´mero de casos fi
0 |– 2 670
2 |– 4 830
4 |– 6 920
6 |– 8 990
8 |–| 10 730
TOTAL 80
Fonte: Fict´ıcia.
Pergunta-se:
a) Construa um intervalo de 99% de confianc¸a para a ocupac¸a˜o me´dia dia´ria da largura de banda;
b) O dono da empresa calcula que seria necessa´rio ampliar a estrutura da empresa se a ocupac¸a˜o me´dia
dia´ria da largura de banda estiver acima dos 8 Mbps. Se voceˆ e´ o gerente desse provedor, e´ necessa´ria essa
ampliac¸a˜o? Use α = 0, 05.
13. Uma empresa deseja investir em jogos para celulares e decide que faria esse investimento se o potencial de
mercado fosse superior a 50% do pu´blico jovem. Para se certificar disso, o diretor da empresa decide fazer
uma pesquisa aleato´ria com 2000 jovens em todo o pa´ıs. A pesquisa mostrou que 1037 jovens mostraram-se
interessados em jogos para celulares e que comprariam jogos desse tipo. Pede-se:
a) Construa um intervalo de 99% de confianc¸a para a proporc¸a˜o de jovens interessados nesse tipo de jogo.
b) A empresa ira´ investir nesse tipo de jogo, considerando um n´ıvel de significaˆncia de 1%?
14. O processo de fabricac¸a˜o de monitores OLED para computadores preveˆ uma vida me´dia de no mı´nimo 2400
horas de uso desse equipamento. Foi retirada uma amostra aleato´ria de 100 monitores e testes acelerados de
vida mostraram um tempo de vida me´dio de 2425 horas de desvio padra˜o de 250 horas.
a) Construa um intervalo de 95% de confianc¸a para o tempo me´dio de vida dos monitores produzidos por esse
processo fabril;
b) Pode-se afirmar que a especificac¸a˜o do fabricante esta´ correta aos n´ıveis de 10%, 5% e 1% siginificaˆncia?
15. Um grupo de 9 empresas produtoras de jogos computacionais na Para´ıba acusaram os seguintes valores de
receita e despesa (em milhares de reais) no ano de 2016. Os dados sa˜o apresentados na Tabela 2:
Table 2: Despesas e Receitas de empresas produtoras de jogos computacionais na Para´ıba em 2016.
Empresa Despesa (X) Receita (Y)
01 28 40
02 34 51
03 39 52
04 41 55
05 46 53
06 49 60
07 53 65
08 58 67
09 61 78
TOTAL 409 521
Calcule e interprete:
a) Estime os paraˆmetros de uma Regressa˜o Linear Simples para esses dados.
b) Apresenta a equac¸a˜o formal desse modelo de regressa˜o e interprete.
3
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
c) a Variaˆncia Residual populacional para o modelo utilizado.
d) o Coeficiente de Determinac¸a˜o para aquele modelo de regressa˜o.
e) o Coeficiente de Determinac¸a˜o ajustado para o mesmo modelo.
f) Intervalos de Confianc¸a para os coeficientes do modelo da regressa˜o linear simples estimados.
g) Teste de Significaˆncia para os coeficientes do modelo da regressa˜o linear simples estimados.
h) Intervalo de confianc¸a para a resposta me´dia de todos os valores observados e estimados pelo modelo da
regressa˜o linear simples.
i) Fac¸a um gra´fico com o modelo da regressa˜o linear simples para todos os pontos observados e com os seus
respectivos intervalos de confianc¸a para a resposta me´dia.
j) Fac¸a todos os gra´ficos para a Ana´lise de Res´ıduos da Regressa˜o Linear Simples e discuta a validade do
modelo estimado como resposta a esse problema.
16. Dois algoritmos sa˜o capaz de resolver um mesmo problema, mas o primeiro (f1)o faz como uma func¸a˜o
quadra´tica do nu´mero de operac¸o˜es n e outro (f2) como uma func¸a˜o linear desse mesmo nu´mero. O com-
portamento do tempo computacional em segundos, de simulac¸o˜es do referido problema, realizadas em um
supercomputador em func¸a˜o do tamanho de n e´ apresentada na Tabela 3:
Table 3: Tempos computacionais e nu´mero de operac¸o˜es realizadas em uma simulac¸a˜o.
n f1 f2
100 9800 27983
200 43200 64736
300 98600 102300
400 150809 142260
500 237009 172700
600 357009 177900
700 460009 227427
800 618009 228914
900 819809 239230
1000 1087009 319290
Para cada um dos algoritmos, calcule e interprete:
a) Estime os paraˆmetros de uma Regressa˜o Linear Simples para esses dados.
b) Apresente a equac¸a˜o formal dos modelos de regressa˜o e interprete.
c) a Variaˆncia Residual populacional para os modelos utilizados.
d) o Coeficiente de Determinac¸a˜o para os modelos de regressa˜o.
e) o Coeficiente de Determinac¸a˜o ajustado para os mesmos modelos.
f) Intervalos de Confianc¸a para os coeficientes dos modelos da regressa˜o linear simples estimados.
g) Teste de Significaˆncia para os coeficientes dos modelos da regressa˜o linear simples estimados.
h) Intervalo de confianc¸a para a resposta me´dia de todos os valores observados e estimados pelos modelos da
regressa˜o linear simples.
i) Fac¸a gra´ficos com os modelos de regressa˜o linear simples para todos os pontos observados e com os seus
respectivos intervalos de confianc¸a para a resposta me´dia.
j) Fac¸a todos os gra´ficos para a Ana´lise de Res´ıduos da Regressa˜o Linear Simples e discuta a validade dos
modelos estimados como resposta a esse problema.
k) Se vc tiver um problema que efetuara´ 315 operac¸o˜es, qual algoritmo vc escoheria para proporcionar o menor
tempo computacional? Discuta usando os modelos que vc obteve.
17. Depois de um ajuste nas configurac¸o˜es de uma rede de alta confiabilidade, o seu gerente deseja modelar o
nu´mero de pacotes perdidos em func¸a˜o do nu´mero de usua´rios na rede. Para isso, verificou o nu´mero de
pacotes perdidos e o nu´mero de usua´rios em 16 dias de trabalho dessa rede. Os dados sa˜o apresentados na
Tabela 4:
Calcule e interprete:
4
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Table 4: Tra´fego de rede e nu´mero de pacotes perdidos em 16 dias de trabalho.
Nu´mero de Usua´rios (X) Pacotes Perdidos (Y)
63 22
79 12
78 18
56 25
82 11
63 22
71 22
68 18
72 18
73 17
52 30
77 10
53 35
65 23
59 29
76 16
a) Estime os paraˆmetros de uma Regressa˜o Linear Simples para esses dados.
b) Apresente a equac¸a˜o formal desse modelo de regressa˜o e interprete.
c) a Variaˆncia Residual populacional para o modelo utilizado.
d) o Coeficiente de Determinac¸a˜o para aquele modelo de regressa˜o.
e) o Coeficiente de Determinac¸a˜o ajustado para o mesmo modelo.
f) Intervalos de Confianc¸a para os coeficientes do modelo da regressa˜o linear simples estimados.
g) Teste de Significaˆncia para os coeficientes do modelo da regressa˜o linear simples estimados.
h) Intervalo de confianc¸a para a resposta me´dia de todos os valores observados e estimados pelo modelo da
regressa˜o linear simples.
i) Fac¸a um gra´fico com o modelo da regressa˜o linear simples para todos os pontos observados e com os seus
respectivos intervalos de confianc¸a para a resposta me´dia.
j) Fac¸a todos os gra´ficos para a Ana´lise de Res´ıduos da Regressa˜o Linear Simples e discuta a validade do
modelo estimado como resposta a esse problema.
18. Uma assisteˆncia te´cnica autorizada recebe computadores e percebe que o nu´mero de Megabytes armazenado
nos discos r´ıgidos de uma determinada marca parece ter relac¸a˜o com o nu´mero de falhas desse componentes.
Revendo o seu histo´rico, coletou os seguintes dados apresentados na Tabela 5:
Table 5: Tempos computacionais e nu´mero de operac¸o˜es realizadas em uma simulac¸a˜o.
Casos Megabytes Nu´mero de
armazenados Falhas
1 272 2
2 296 3
3 328 2
4 355 3
5 378 4
6 447 5
7 507 6
8 577 6
9 612 7
Calcule e interprete:
5
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce
a) Estime os paraˆmetros de uma Regressa˜o Linear Simples para esses dados.
b) Apresente a equac¸a˜o formal desse modelo de regressa˜o e interprete.
c) a Variaˆncia Residual populacional para o modelo
utilizado.
d) o Coeficiente de Determinac¸a˜o para aquele modelo de regressa˜o.
e) o Coeficiente de Determinac¸a˜o ajustado para o mesmo modelo.
f) Intervalos de Confianc¸a para os coeficientes do modelo da regressa˜o linear simples estimados.
g) Teste de Significaˆncia para os coeficientes do modelo da regressa˜o linear simples estimados.
h) Intervalo de confianc¸a para a resposta me´dia de todos os valores observados e estimados pelo modelo da
regressa˜o linear simples.
i) Fac¸a um gra´fico com o modelo da regressa˜o linear simples para todos os pontos observados e com os seus
respectivos intervalos de confianc¸a para a resposta me´dia.
j) Fac¸a todos os gra´ficos para a Ana´lise de Res´ıduos da Regressa˜o Linear Simples e discuta a validade do
modelo estimado como resposta a esse problema.
6
Fabia
Realce
Fabia
Realce
Fabia
Realce