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Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 25 Cap´ıtulo 3 Se´ries de Poteˆncias 3.1 Se´ries de Poteˆncias de x− a Uma se´rie de poteˆncias de x−a e´ uma se´rie da forma ∞∑ n=0 an (x− a) n = a0+a1 (x− a)+a2 (x− a) 2 +a3 (x− a) 3 +· · · , sendo an ∈ R, a ∈ R e x uma varia´vel real. Observac¸o˜es. (i) De forma gene´rica, em se´ries de poteˆncias iniciamos a se´rie com n = 0 e na˜o com n = 1, conforme fizemos ate´ aqui. Isto faz com que a representac¸a˜o da se´rie de poteˆncias se torne mais simples. Entretanto, como veremos abaixo, em va´rias se´ries de poteˆncias e´ conveniente comec¸ar com n = 1. Em termos de proposic¸o˜es e propriedades matema´ticas, e´ irrelevante comec¸ar com n = 0 ou n = 1. (ii) A poteˆncia (x− a) 0 esta´ sendo interpretada como sendo 1 para qualquer valor de x − a (mesmo quando x = a). E´ apenas uma notac¸a˜o com o objetivo de simplificar a notac¸a˜o da se´rie. Para cada valor de x uma se´rie de poteˆncias pode convergir ou divergir. A proposic¸a˜o abaixo fornece informac¸o˜es a respeito desse comportamento. Proposic¸a˜o 1. Seja ∞∑ n=0 an (x− a) n se´rie de poteˆncias de x − a. Enta˜o, os valores de x para os quais a se´rie de poteˆncias converge forma um intervalo I com centro em a, ou seja: I = [a− r, a+ r]; ou I = ]a− r, a+ r[; ou I = [a− r, a+ r[; ou I = ]a− r, a+ r]; ou I = ]−∞,∞[ = R; ou I = [a, a] = {a}, sendo r > 0. O intervalo I no qual a se´rie de poteˆncias ∞∑ n=0 an (x− a) n converge e´ chamado de intervalo de convergeˆncia e nu´mero r acima e´ chamado de raio de convergeˆncia da se´rie. No caso em que I = R dizemos que o raio de convergeˆncia e´ infinito e no caso em que I = {a} dizemos que o raio de convergeˆncia e´ nulo. Observac¸a˜o. Se definirmos a func¸a˜o f (x) = ∞∑ n=0 an (x− a) n , enta˜o seu domı´nio e´ o intervalo de convergeˆncia I da se´rie de poteˆncias, ou seja, f : I→ R. Proposic¸a˜o 2. Se ∞∑ n=0 an (x− a) n possui raio de convergeˆncia r > 0, enta˜o ∞∑ n=0 ∣∣an (x− a)n∣∣ converge em ]a− r, a+ r[ e diverge em ]−∞, a− r[ ∪ ]a+ r,+∞[. A proposic¸a˜o acima afirma que a se´rie de poteˆncias ∞∑ n=0 an (x− a) n e´ absolutamente convergente em seu intervalo de convergeˆncia. Ale´m disso, se o intervalo de convergeˆncia de ∞∑ n=0 an (x− a) n for I = R, enta˜o o mesmo ocorre com ∞∑ n=0 ∣∣an (x− a)n∣∣ (basta pensar na proposic¸a˜o acima fazendo r→ +∞). Observemos, tambe´m, que a proposic¸a˜o acima na˜o afirma a natureza da se´rie ∞∑ n=0 ∣∣an (x− a)n∣∣ para x = a− r ou x = a+ r. Para encontrar o raio de convergeˆncia r de uma se´rie de poteˆncias utilizamos testes de convergeˆncia de se´ries nume´ricas de termos com sinais quaisquer. Vejamos alguns exemplos. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 26 UFU Sequeˆncias e Se´ries Exemplos. Exemplo (1) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 xn n! . Resoluc¸a˜o. Neste caso, temos a = 0. Fazendo xn = xn n! e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos: lim n→∞ ∣∣∣∣xn+1xn ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣∣∣ xn+1 (n+1)! xn n! ∣∣∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣ xn+ 1 ∣∣∣∣ = |x| limn→∞ 1n+ 1 = |x| .0 = 0 < 1 para qualquer x ∈ R. Logo, I = ]−∞,+∞[ = R e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie e, portanto, seu raio de convergeˆncia e´ infinito. Exemplo (2) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 nxn. Resoluc¸a˜o. Neste caso, temos a = 0. Fazendo xn = nx n e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos: lim n→∞ ∣∣∣∣xn+1xn ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣ (n+ 1) xn+1nxn ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣(1+ 1n ) x ∣∣∣∣ = |x| limn→∞ ( 1+ 1 n ) = |x| .1 = |x| < 1⇐⇒ −1 < x < 1. Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncia e´ r = 1 e, portanto, a se´rie converge em ]−1, 1[ e diverge em ]−∞,−1[ ∪ ]1,+∞[. Quando x = −1 temos ∞∑ n=1 nxn = ∞∑ n=1 (−1) n n que diverge, pois @ lim n→∞ sn neste caso. Quando x = 1 temos ∞∑ n=1 nxn = ∞∑ n=1 n que diverge, pois lim n→∞ sn = +∞ neste caso. Conclusa˜o: I = ]−1, 1[ e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie. Exemplo (3) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 (nx) n . Resoluc¸a˜o. Neste caso, temos a = 0. Fazendo xn = (nx) n e utilizando o Teste da Raiz para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos: lim n→∞ √∣∣(nx)n∣∣ = lim n→∞ √ |nx| n = lim n→∞ |nx| = limn→∞n |x| = { +∞, se x 6= 0 0, se x = 0 . Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncia e´ r = 0 e, portanto, a se´rie converge apenas em x = 0. Conclusa˜o: I = [0, 0] = {0} e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie. Exemplo (4) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 (−1) n xn n . Resoluc¸a˜o. Neste caso, temos a = 0. Fazendo xn = (−1) n xn n e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos: lim n→∞ ∣∣∣∣xn+1xn ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣∣ (−1) n+1 xn+1 n+1 (−1) n xn n ∣∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣( nn+ 1 ) x ∣∣∣∣ = |x| limn→∞ nn+ 1 = |x| .1 = |x| < 1⇐⇒ −1 < x < 1. Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncia e´ r = 1 e, portanto, a se´rie converge em ]−1, 1[ e diverge em ]−∞,−1[ ∪ ]1,+∞[. Quando x = −1 temos ∞∑ n=1 (−1) n xn n = ∞∑ n=1 (−1)2n n = ∞∑ n=1 1 n que diverge (se´rie harmoˆnica de ordem 1). Quando x = 1 temos ∞∑ n=1 (−1) n xn n = ∞∑ n=1 (−1) n 1n n = ∞∑ n=1 (−1) n 1 n que converge (Teste de Leibniz ). Conclusa˜o: I = ]−1, 1] e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie. Exemplo (5) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 (x−2)n n! . La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 27 Resoluc¸a˜o. Neste caso, temos a = 2. Fazendo xn = (x−2)n n! e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos: lim n→∞ ∣∣∣∣xn+1xn ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣∣∣ (x−2)n+1 (n+1)! (x−2)n n! ∣∣∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣ x− 2n+ 1 ∣∣∣∣ = |x− 2| limn→∞ 1n+ 1 = |x− 2| .0 = 0 < 1 para qualquer x ∈ R. Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias e´ infinito e, portanto, a se´rie converge em I = R. Exemplo (6) Determine o domı´nio da func¸a˜o f dada por f (x) = x 3 + x 2 6 + x 3 11 + · · ·+ xn 2+n2 + · · · Resoluc¸a˜o. A func¸a˜o f e´ dada por uma se´rie de poteˆncias: f (x) = ∞∑ n=1 xn 2+n2 , e seu domı´no e´ o intervalo de convergeˆncia dessa se´rie. Neste caso, temos a = 0. Fazendo xn = xn 2+n2 e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos: lim n→∞ ∣∣∣∣xn+1xn ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣∣∣ xn+1 2+(n+1)2 xn 2+n2 ∣∣∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣∣ ( 2+ n2 ) x 2+ (n+ 1) 2 ∣∣∣∣∣ = |x| limn→∞ n2 + 2n2 + 2n+ 3 = |x| .1 = |x| < 1⇐⇒ −1 < x < 1. Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncia e´ r = 1 e, portanto, a se´rie converge em ]−1, 1[ e diverge em ]−∞,−1[ ∪ ]1,+∞[. Quando x = −1 temos ∞∑ n=1 (−1) n 1 2+n2 que converge (Teste de Leibniz ). Quando x = 1 temos ∞∑ n=1 1 2+n2 que tambe´m converge (Teste da Comparac¸a˜o com a se´rie harmoˆnica de ordem 2). Conclusa˜o: I = [−1, 1] e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie e, portanto, o domı´nio da func¸a˜o. Exemplo (7) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 (x−2)n n+ √ n . Resoluc¸a˜o. Neste caso, temos a = 2. Fazendo xn = (x−2)n n+ √ n e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos: lim n→∞ ∣∣∣∣xn+1xn ∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣∣∣ (x−2)n+1 (n+1)+ √ n+1 (x−2)n n+ √ n ∣∣∣∣∣∣ = limn→∞ ∣∣∣∣∣ ( n+ √ n ) (x− 2) n+ 1+ √ n+ 1 ∣∣∣∣∣ = |x− 2| limn→∞ n+ √ n n+ 1+ √ n+ 1 = |x− 2| lim n→∞ 1+ 1√ n 1+ 1 n + 1√ n √ 1+ 1 n = |x− 2| .1 = |x− 2| < 1⇐⇒ −1 < x− 2 <1⇐⇒ 1 < x < 3. Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncia e´ r = 1 e, portanto, a se´rie converge em ]1, 3[ e diverge em ]−∞, 1[ ∪ ]3,+∞[. Quando x = 1 temos ∞∑ n=1 (−1) n 1 n+ √ n que converge (Teste de Leibniz ). Quando x = 3 temos ∞∑ n=1 1 n+ √ n que diverge (Teste da Comparac¸a˜o), pois 1 n+ √ n ≥ 1 2n e ∞∑ n=1 1 2n diverge (para justificar que esta u´ltima integral diverge use o Teste da Integral). Conclusa˜o: I = [1, 3) e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie. Exerc´ıcios. Exerc´ıcio (1) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 n!xn. Exerc´ıcio (2) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 nxn 5n . lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 28 UFU Sequeˆncias e Se´ries Exerc´ıcio (3) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 n2xn 2n . Exerc´ıcio (4) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 xn (2n)! . Exerc´ıcio (5) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 (x+2)n (2n)! . Resposta: I = R (use o Teste da Raza˜o). Exerc´ıcio (6) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 (x+ 12 ) n (2n−1)! . Resposta: I = R (use o Teste da Raza˜o). Exerc´ıcio (7) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 n (x− 2) n . Resposta: I = ]1, 3[ (use o Teste da Raza˜o). Exerc´ıcio (8) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias ∞∑ n=1 (x−2)n n2+ √ n . Resposta: I = [1, 3] (use o Teste da Raza˜o). 3.2 Derivac¸a˜o e Integrac¸a˜o de Se´ries de Poteˆncias de x− a Proposic¸a˜o 3. Seja ∞∑ n=0 an (x− a) n se´rie de poteˆncias de x − a com raio de convergeˆncia r > 0. Enta˜o, f (x) = ∞∑ n=0 an (x− a) n e´ deriva´vel e integra´vel em ]a− r, a+ r[ e: f′ (x) = ∞∑ n=1 nan (x− a) n−1 e F (x) = ∫x a f (x)dx = ∞∑ n=0 an (x− a) n+1 n+ 1 . Observac¸a˜o. Embora o raio de convergeˆncia r de f, f′ e F seja o mesmo, os intervalos de convergeˆncia dessas func¸o˜es podem diferir nos extremos a−r ou a+r. Esses extremos devem ser estudados a` parte na func¸a˜o derivada e na func¸a˜o integral. Corola´rio. A se´rie de poteˆncias ∞∑ n=0 an (x− a) n e´ cont´ınua em ]a− r, a+ r[, sendo r > 0 seu raio de convergeˆncia. Exemplos. Exemplo (1) Derive e integre f (x) = ∞∑ n=1 xn 2+n2 no interior de seu intervalo de convergeˆncia. Resoluc¸a˜o. Ja´ vimos, em exemplo anterior, que o intervalo de convergeˆncia de f e´ I = [−1, 1]. Assim, f′ (x) = ( ∞∑ n=1 xn 2+ n2 )′ = ∞∑ n=1 nxn−1 2+ n2 e F (x) = ∫x 0 ∞∑ n=1 xn 2+ n2 dx = ∞∑ n=1 xn+1 (n+ 1) (2+ n2) para x ∈ ]−1, 1[. Exemplo (2) Encontre uma func¸a˜o, e deˆ o seu domı´nio, que possa ser escrita como a se´rie de poteˆncias 1− x+ x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − · · · . Resoluc¸a˜o. Notemos que a se´rie em questa˜o e´ a soma dos termos de uma PG infinita de raza˜o −x e primeiro termo 1, que sabemos ser convergente para |−x| < 1. Se s = 1− x+ x2 − x3 + · · · e (−x) s = −x+ x2 − x3 + · · · temos s− (−x) s = 1, ou seja, s = 1 1+x . La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 29 Desta forma, a func¸a˜o procurada e´ f : ]−1, 1[ → R, dada por, f (x) = 1 1+x = ∞∑ n=1 (−x) n−1 = ∞∑ n=1 (−1) n−1 xn−1 = ∞∑ n=0 (−1) n xn (para entender essa u´ltima igualdade, fac¸a n−1 = m na penu´ltima se´rie e, depois, a reescreva novamente com ı´ndice n). Exemplo (2) Escreva f (x) = 1 (1+x)2 , −1 < x < 1, como se´rie de poteˆncias. Resoluc¸a˜o. Do exemplo acima, 1 1+x = 1− x+ x 2 − x3 + x4 − · · · = ∞∑ n=1 (−x) n−1 para −1 < x < 1. Portanto, ( 1 1+ x )′ = −1+ 2x− 3x2 + 4x3 − · · · = ∞∑ n=2 (n− 1) (−x) n−2 (−1) = − ∞∑ m=1 (m) (−x) m−1 ; (fazendo n− 1 = m) = − ∞∑ n=1 (−1) n−1 nxn−1; (reescrevendo com ı´ndice n) para −1 < x < 1. Logo, −1 (1+ x) 2 = − ∞∑ n=1 (−1) n−1 nxn−1 ⇒ 1 (1+ x) 2 = ∞∑ n=1 (−1) n−1 nxn−1. Exemplo (3) Escreva f (x) = ln (1+ x), −1 < x < 1, como se´rie de poteˆncias. Resoluc¸a˜o. Observemos que f′ (x) = 1 1+x . Mas, do exemplo acima, 1 1+x = 1− x+ x 2 − x3 + x4 − · · · = ∞∑ n=1 (−x) n−1 para −1 < x < 1. Portanto, ∫x 0 f′ (x)dx = ∫x 0 1 1+ x dx = ∫x 0 ∞∑ n=1 (−x) n−1 dx = ∞∑ n=1 ∫x 0 (−x) n−1 dx = ∞∑ n=1 (−1) n−1 x n n para −1 < x < 1. Logo,∫x 0 f′ (x)dx = ∞∑ n=1 (−1) n−1 xn n ⇒ f (x) − f (0) = ∞∑ n=1 (−1) n−1 xn n ⇒ ln (1+ x) = ∞∑ n=1 (−1) n−1 n xn. Exemplo (4) Calcule ln (1, 1) utilizando se´ries de poteˆncias e com erro de aproximac¸a˜o inferior a 0, 001. Resoluc¸a˜o. Pelo exemplo anterior, ln (1+ x) = ∞∑ n=1 (−1) n−1 xn n . Logo, ln (1, 1) = ln (1+ 0, 1) = ∞∑ n=1 (−1) n−1 (0,1)n n = 0, 1 − (0,1)2 2 + (0,1) 3 3 − (0,1) 4 4 + · · · que e´ uma se´rie alternada. Vimos que se queremos um erro de aproximac¸a˜o inferior a 0, 001; enta˜o δn = |s− sn| < 0, 001, sendo s a soma da se´rie e sn soma parcial de ordem n. Entretanto, vimos tambe´m que δn < |xn+1| (proposic¸a˜o). Portanto, se acharmos n tal que |xn+1| < 0, 001 resolvemos nosso problema. Deste modo, |xn+1| < 0, 001⇒ ∣∣∣∣∣(−1)(n−1)+1 (0, 1)n+1n+ 1 ∣∣∣∣∣ < 0, 001⇒ ( 10−1 )n+1 n+ 1 < 10−3 ⇒ 1 (n+ 1) 10n+1 < 1 103 ⇒ (n+ 1) 10n+1 > 103 e percebemos facilmente que para n = 2 ja´ cumprimos essa condic¸a˜o. Logo, ln (1, 1) ∼= 2∑ k=1 (−1) k−1 (0,1)k k = 0, 1− 0,01 2 = 0, 095 e´ uma aproximac¸a˜o de ln (1, 1) com erro de aproximac¸a˜o inferior a 0, 001. Como curiosidade, ln (1, 1) = 0, 09531017980432 . . . e o erro de aproximac¸a˜o e´ 0, 00031017980432 . . ., bem inferior a 0, 001. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 30 UFU Sequeˆncias e Se´ries Ainda aproveitando a teoria, vimos que quando δn < (0, 1) 10 −m significa que a aproximac¸a˜o de s por sn possui m casas decimais exatas. Neste caso, (0, 1) 10−m = 0, 001 fornece m = 2, o que significa que podemos garantir pelo menos duas casas decimais exatas na aproximac¸a˜o (como pudemos ver, a aproximac¸a˜o forneceu treˆs casas decimais exatas). Exemplo (5) Utilizando os treˆs primeiros termos da se´rie que representa ln (1, 1) nos exemplos acima, podemos atingir quantas casas decimais de precisa˜o para uma aproximac¸a˜o de ln (1, 1)? Resoluc¸a˜o. Utilizando treˆs termos da se´rie ln (1, 1) = ∞∑ n=1 (−1) n−1 (0,1)n n temos um erro de aproximac¸a˜o δ3 = |s− s3| para o valor exato de ln (1, 1). Mas, vimos por meio de proposic¸a˜o que δn < |xn+1|, ou seja, δ3 < |x4| = ∣∣∣∣∣(−1)3 (0, 1)44 ∣∣∣∣∣ = 0, 00014 = 0, 000025 < 0, 0001 = (0, 1) 10−3, o que garante pelo menos treˆs casas decimais de precisa˜o (m = 3). Observac¸a˜o: se calcularmos a soma dos treˆs primeiros termos da se´rie e compararmos com o valor exato de ln (1, 1) teremos, na verdade, quatro casas decimais de precisa˜o. 3.3 Se´ries de Taylor Vimos na sec¸a˜o anterior alguns exemplos onde pudemos escrever certas func¸o˜es espec´ıficas como se´ries de poteˆncias. Nesta sec¸a˜o, nosso objetivo e´ criar um me´todo que permita escrever tais se´ries para uma famı´lia maior de func¸o˜es. Mais especificamente, temos o seguinte problema: Problema: Dada uma func¸a˜o f, e´ poss´ıvel obter uma se´rie de poteˆncias ∞∑ n=0 an (x− a) n tal que f (x) = ∞∑ n=0 an (x− a) n ? Se f puder ser escrita como f (x) = ∞∑ n=0 an (x− a) n , enta˜o: f (x) = ∞∑ n=0 an (x− a) n ⇒ f (a) = a0; f′ (x) = ∞∑ n=1 nan (x− a) n−1 ⇒ f′ (a) = 1.a1; f′′ (x) = ∞∑ n=2 n (n− 1)an (x− a) n−2 ⇒ f′′ (a) = 2.1.a2; f′′′ (x) = ∞∑ n=3 n (n− 1) (n− 2)an (x− a) n−3 ⇒ f′′′ (a) = 3.2.1.a3; ... f(m) (x) = ∞∑ n=m n (n− 1) (n− 2) . . .(n−m+ 1)an (x− a) n−m ⇒ f(m) (a) = m. (m− 1) . . . 3.2.1.am; ... ou seja, an = f(n)(a) n! . Seja f uma func¸a˜o de classe C∞ (isto e´, deriva´vel infinitas vezes e, portanto, com todas as derivadas cont´ınuas) em um intervalo aberto com centro a ∈ R. Definimos a se´rie de Taylor de f em a como sendo ∞∑ n=0 f(n)(a) n! (x− a) n = f (a) + f′ (a) (x− a) + f ′′(a) 2! (x− a) 2 + f ′′′(a) 3! (x− a) 3 + · · · . Observac¸o˜es. (i) Lembremos que 0! = 1. (ii) Lembremos tambe´m que f(n) representa a derivada de ordem n de f, sendo que f(0) = f, o que faz com que o primeiro termo de uma se´rie de Taylor seja sempre f (a). La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 31 (iii) O desenvolvimento que fizemos acima, nos diz que se uma func¸a˜o f puder ser desenvolvida como se´rie de poteˆncias de x− a, enta˜o essa se´rie e´ a se´rie de Taylor de f em a. Proposic¸a˜o 4. Seja f : X ⊂ R → R func¸a˜o de classe C∞, sendo X intervalo aberto com centro em a, e seja x ∈ X. Enta˜o, existe θ = θ (x) ∈ [0, 1] (θ depende de x) tal que f (x) = n−1∑ k=0 f(k)(a) k! (x− a) k + f(n) (a+ θ (x− a)) n! (x− a) n . Observemos que na proposic¸a˜o acima, se a < x, enta˜o c = a + θ (x− a) esta´ entre a e x. Se x < a, enta˜o c = a+ θ (x− a) esta´ entre x e a. A proposic¸a˜o acima possui um importante corola´rio: Corola´rio. Seja f : X ⊂ R → R func¸a˜o de classe C∞, sendo X intervalo aberto com centro em a, e seja x ∈ X. Se lim n→∞ f (n)(a+θ(x−a)) n! (x− a) n = 0, sendo θ = θ (x) ∈ [0, 1], dado pelo Proposic¸a˜o 4, enta˜o f (x) = ∞∑ n=0 f(n)(a) n! (x− a) n , ou seja, f (x) pode ser escrita como se´rie de Taylor de f em a. E´ natural considerar o domı´nio X de uma func¸a˜o f, representada por sua se´rie de Taylor, como sendo o pro´prio intervalo I de convergeˆncia da se´rie, ou seja, X = I. Ale´m disso, quando a = 0, a se´rie de Taylor de f em a recebe o nome de se´rie de MacLaurin. Neste caso, f (x) = ∞∑ n=0 f(n)(0) n! x n. Existem exemplos de func¸o˜es, mesmo de classe C∞, que na˜o podem ser representadas por sua se´rie de Taylor em seu intervalo de convergeˆncia (o que significa que o limite da hipo´tese do corola´rio na˜o e´ zero para x 6= a). Um exemplo cla´ssico e´ a func¸a˜o f (x) = e −1 |x| para x 6= 0 e f (0) = 0 para x = 0. A se´rie de MacLaurin de f e´ a se´rie identicamente nula, portanto, convergente em R. Entretanto, f na˜o e´ a func¸a˜o identicamente nula. Felizmente, a grande maioria das func¸o˜es com as quais trabalhamos nas disciplinas de Ca´lculo Diferencial e Integral podem ser representadas por sua se´rie de Taylor em seu intervalo de convergeˆncia. Tais func¸o˜es sa˜o chamadas, em estudos mais avanc¸ados de Matema´tica, de func¸o˜es anal´ıticas. Exemplos. Exemplo (1) Desenvolva f (x) = ex como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio. Resoluc¸a˜o. Temos a = 0. De f (x) = ex temos f(n) (x) = ex e, portanto, f(n) (θx) = eθx. Em particular, para θ ∈ [0, 1], temos lim n→∞ f (n)(θx) n! x n = eθx. lim n→∞ xnn! = eθx.0 = 0. (lembre-se que a varia´vel do limite e´ n e na˜o x) Pelo corola´rio acima, existe a se´rie de MacLaurin de f e, sendo f(n) (0) = e0 = 1, temos f (x) = ∞∑ n=0 f(n) (0) n! xn ⇒ ex = ∞∑ n=0 xn n! = 1+ x+ x2 2! + x3 3! + · · · Quanto ao domı´nio, vimos que o intervalo de convergeˆncia dessa se´rie e´ I = R. Portanto, o domı´nio de f e´ X = R. Exemplo (2) Desenvolva f (x) = cos (x) como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio. Resoluc¸a˜o. Temos a = 0. De f (x) = cos (x) temos, para k = N ∪ {0}, f(n) (x) = cos (x) , para n = 4k f(n) (x) = − sen (x) , para n = 4k+ 1 f(n) (x) = − cos (x) , para n = 4k+ 2 f(n) (x) = sen (x) , para n = 4k+ 3 lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 32 UFU Sequeˆncias e Se´ries Em qualquer situac¸a˜o, ∣∣f(n) (θx)∣∣ ≤ 1. Em particular, para θ ∈ [0, 1], temos lim n→∞ ∣∣∣ f(n)(θx)n! xn∣∣∣ ≤ limn→∞ xnn! = 0⇒ limn→∞ ∣∣∣ f(n)(θx)n! xn∣∣∣ = 0⇒ limn→∞ f(n)(θx)n! xn = 0. Pelo corola´rio acima, existe a se´rie de MacLaurin de f e temos f (x) = ∞∑ n=0 f(n) (0) n! xn ⇒ cos (x) = cos (0) − sen (0) x− cos (0) 2! x2 + sen (0) 3! x3 + cos (0) 4! x4 − sen (0) 5! x5 − cos (0) 6! x6 + sen (0) 7! x7 + cos (0) 8! x8 − · · ·⇒ cos (x) = 1− x2 2! + x4 4! − x6 6! + x8 8! − · · ·⇒ cos (x) = ∞∑ n=0 (−1) n x 2n (2n) ! Quanto ao domı´nio, mostre que o intervalo de convergeˆncia dessa se´rie e´ I = R. Portanto, o domı´nio de f e´ X = R. Exemplo (3) Desenvolva f (x) = sen (x) como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio. Resoluc¸a˜o. Temos a = 0 e a prova de que lim n→∞ f (n)(θx) n! x n = 0 e´ feita de modo totalmente ana´loga a` do exemplo acima. De f (x) = sen (x) temos f (x) = ∞∑ n=0 f(n) (0) n! xn ⇒ sen (x) = sen (0) + cos (0) x− sen (0) 2! x2 − cos (0) 3! x3 + sen (0) 4! x4 + cos (0) 5! x5 − sen (0) 6! x6 − cos (0) 7! x7 + sen (0) 8! x8 + · · ·⇒ sen (x) = x− x3 3! + x5 5! − x7 7! + x9 9! − · · ·⇒ sen (x) = ∞∑ n=0 (−1) n x 2n+1 (2n+ 1) ! Quanto ao domı´nio, mostre que o intervalo de convergeˆncia dessa se´rie e´ I = R. Portanto, o domı´nio de f e´ X = R. Exemplo (4) Desenvolva f (x) = ex 2 como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio. Resoluc¸a˜o. Naturalmente, podemos desenvolver as primeiras derivadas de f (x) = ex 2 e substituir na se´rie de Taylor. En- tretanto, e´ fa´cil perceber que a` medida que n aumenta, as derivadas tornam-se cada vez mais dif´ıceis, pois f e´ uma composta. Entretanto, vimos acima que ex = ∞∑ n=0 xn n! , o que significa que e x2 = ∞∑ n=0 (x2) n n! = ∞∑ n=0 x2n n! . Quanto ao domı´nio, mostre que o intervalo de convergeˆncia dessa se´rie e´ I = R. Portanto, o domı´nio de f e´ X = R. Exerc´ıcios. Exerc´ıcio (1) Desenvolva f (x) = e−x 2 como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio. Exerc´ıcio (2) Desenvolva f (x) = xex 2 como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio. Dica: derive a se´rie de Taylor de g (x) = ex 2 , ou a multiplique por x. Exerc´ıcio (3) Desenvolva f (x) = x3e−x 2 como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio. Dica: multiplique a se´rie de Taylor de g (x) = e−x 2 por x3. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
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