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Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 25
Cap´ıtulo 3
Se´ries de Poteˆncias
3.1 Se´ries de Poteˆncias de x− a
Uma se´rie de poteˆncias de x−a e´ uma se´rie da forma
∞∑
n=0
an (x− a)
n
= a0+a1 (x− a)+a2 (x− a)
2
+a3 (x− a)
3
+· · · ,
sendo an ∈ R, a ∈ R e x uma varia´vel real.
Observac¸o˜es.
(i) De forma gene´rica, em se´ries de poteˆncias iniciamos a se´rie com n = 0 e na˜o com n = 1, conforme fizemos ate´ aqui.
Isto faz com que a representac¸a˜o da se´rie de poteˆncias se torne mais simples. Entretanto, como veremos abaixo, em
va´rias se´ries de poteˆncias e´ conveniente comec¸ar com n = 1. Em termos de proposic¸o˜es e propriedades matema´ticas,
e´ irrelevante comec¸ar com n = 0 ou n = 1.
(ii) A poteˆncia (x− a)
0
esta´ sendo interpretada como sendo 1 para qualquer valor de x − a (mesmo quando x = a).
E´ apenas uma notac¸a˜o com o objetivo de simplificar a notac¸a˜o da se´rie.
Para cada valor de x uma se´rie de poteˆncias pode convergir ou divergir. A proposic¸a˜o abaixo fornece informac¸o˜es a
respeito desse comportamento.
Proposic¸a˜o 1. Seja
∞∑
n=0
an (x− a)
n
se´rie de poteˆncias de x − a. Enta˜o, os valores de x para os quais a se´rie
de poteˆncias converge forma um intervalo I com centro em a, ou seja: I = [a− r, a+ r]; ou I = ]a− r, a+ r[; ou
I = [a− r, a+ r[; ou I = ]a− r, a+ r]; ou I = ]−∞,∞[ = R; ou I = [a, a] = {a}, sendo r > 0.
O intervalo I no qual a se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
an (x− a)
n
converge e´ chamado de intervalo de convergeˆncia e
nu´mero r acima e´ chamado de raio de convergeˆncia da se´rie. No caso em que I = R dizemos que o raio de
convergeˆncia e´ infinito e no caso em que I = {a} dizemos que o raio de convergeˆncia e´ nulo.
Observac¸a˜o. Se definirmos a func¸a˜o f (x) =
∞∑
n=0
an (x− a)
n
, enta˜o seu domı´nio e´ o intervalo de convergeˆncia I da se´rie
de poteˆncias, ou seja, f : I→ R.
Proposic¸a˜o 2. Se
∞∑
n=0
an (x− a)
n
possui raio de convergeˆncia r > 0, enta˜o
∞∑
n=0
∣∣an (x− a)n∣∣ converge em ]a− r, a+ r[
e diverge em ]−∞, a− r[ ∪ ]a+ r,+∞[.
A proposic¸a˜o acima afirma que a se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
an (x− a)
n
e´ absolutamente convergente em seu intervalo
de convergeˆncia. Ale´m disso, se o intervalo de convergeˆncia de
∞∑
n=0
an (x− a)
n
for I = R, enta˜o o mesmo ocorre com
∞∑
n=0
∣∣an (x− a)n∣∣ (basta pensar na proposic¸a˜o acima fazendo r→ +∞).
Observemos, tambe´m, que a proposic¸a˜o acima na˜o afirma a natureza da se´rie
∞∑
n=0
∣∣an (x− a)n∣∣ para x = a− r ou
x = a+ r.
Para encontrar o raio de convergeˆncia r de uma se´rie de poteˆncias utilizamos testes de convergeˆncia de se´ries
nume´ricas de termos com sinais quaisquer. Vejamos alguns exemplos.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 26 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Exemplos.
Exemplo (1) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
xn
n! .
Resoluc¸a˜o.
Neste caso, temos a = 0.
Fazendo xn =
xn
n! e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos:
lim
n→∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣∣
xn+1
(n+1)!
xn
n!
∣∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣ xn+ 1
∣∣∣∣ = |x| limn→∞ 1n+ 1 = |x| .0 = 0 < 1
para qualquer x ∈ R. Logo, I = ]−∞,+∞[ = R e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie e, portanto, seu raio de
convergeˆncia e´ infinito.
Exemplo (2) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
nxn.
Resoluc¸a˜o.
Neste caso, temos a = 0.
Fazendo xn = nx
n e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos:
lim
n→∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣ (n+ 1) xn+1nxn
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣(1+ 1n
)
x
∣∣∣∣ = |x| limn→∞
(
1+
1
n
)
= |x| .1 = |x| < 1⇐⇒ −1 < x < 1.
Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncia e´ r = 1 e, portanto, a se´rie converge em ]−1, 1[ e diverge em
]−∞,−1[ ∪ ]1,+∞[.
Quando x = −1 temos
∞∑
n=1
nxn =
∞∑
n=1
(−1)
n
n que diverge, pois @ lim
n→∞ sn neste caso.
Quando x = 1 temos
∞∑
n=1
nxn =
∞∑
n=1
n que diverge, pois lim
n→∞ sn = +∞ neste caso.
Conclusa˜o: I = ]−1, 1[ e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie.
Exemplo (3) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(nx)
n
.
Resoluc¸a˜o.
Neste caso, temos a = 0.
Fazendo xn = (nx)
n
e utilizando o Teste da Raiz para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos:
lim
n→∞
√∣∣(nx)n∣∣ = lim
n→∞
√
|nx|
n
= lim
n→∞ |nx| = limn→∞n |x| =
{
+∞, se x 6= 0
0, se x = 0
.
Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncia e´ r = 0 e, portanto, a se´rie converge apenas em x = 0.
Conclusa˜o: I = [0, 0] = {0} e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie.
Exemplo (4) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(−1)
n xn
n
.
Resoluc¸a˜o.
Neste caso, temos a = 0.
Fazendo xn = (−1)
n xn
n
e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos:
lim
n→∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣ (−1)
n+1 xn+1
n+1
(−1)
n xn
n
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣( nn+ 1
)
x
∣∣∣∣ = |x| limn→∞ nn+ 1 = |x| .1 = |x| < 1⇐⇒ −1 < x < 1.
Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncia e´ r = 1 e, portanto, a se´rie converge em ]−1, 1[ e diverge em
]−∞,−1[ ∪ ]1,+∞[.
Quando x = −1 temos
∞∑
n=1
(−1)
n xn
n
=
∞∑
n=1
(−1)2n
n
=
∞∑
n=1
1
n
que diverge (se´rie harmoˆnica de ordem 1).
Quando x = 1 temos
∞∑
n=1
(−1)
n xn
n
=
∞∑
n=1
(−1)
n 1n
n
=
∞∑
n=1
(−1)
n 1
n
que converge (Teste de Leibniz ).
Conclusa˜o: I = ]−1, 1] e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie.
Exemplo (5) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(x−2)n
n! .
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 27
Resoluc¸a˜o.
Neste caso, temos a = 2.
Fazendo xn =
(x−2)n
n! e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos:
lim
n→∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣∣
(x−2)n+1
(n+1)!
(x−2)n
n!
∣∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣ x− 2n+ 1
∣∣∣∣ = |x− 2| limn→∞ 1n+ 1 = |x− 2| .0 = 0 < 1
para qualquer x ∈ R. Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias e´ infinito e, portanto, a se´rie converge em
I = R.
Exemplo (6) Determine o domı´nio da func¸a˜o f dada por f (x) = x
3
+ x
2
6
+ x
3
11
+ · · ·+ xn
2+n2
+ · · ·
Resoluc¸a˜o.
A func¸a˜o f e´ dada por uma se´rie de poteˆncias: f (x) =
∞∑
n=1
xn
2+n2
, e seu domı´no e´ o intervalo de convergeˆncia dessa
se´rie.
Neste caso, temos a = 0.
Fazendo xn =
xn
2+n2
e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos:
lim
n→∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣∣
xn+1
2+(n+1)2
xn
2+n2
∣∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣
(
2+ n2
)
x
2+ (n+ 1)
2
∣∣∣∣∣ = |x| limn→∞ n2 + 2n2 + 2n+ 3 = |x| .1 = |x| < 1⇐⇒ −1 < x < 1.
Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncia e´ r = 1 e, portanto, a se´rie converge em ]−1, 1[ e diverge em
]−∞,−1[ ∪ ]1,+∞[.
Quando x = −1 temos
∞∑
n=1
(−1)
n 1
2+n2
que converge (Teste de Leibniz ).
Quando x = 1 temos
∞∑
n=1
1
2+n2
que tambe´m converge (Teste da Comparac¸a˜o com a se´rie harmoˆnica de ordem 2).
Conclusa˜o: I = [−1, 1] e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie e, portanto, o domı´nio da func¸a˜o.
Exemplo (7) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(x−2)n
n+
√
n
.
Resoluc¸a˜o.
Neste caso, temos a = 2.
Fazendo xn =
(x−2)n
n+
√
n
e utilizando o Teste da Raza˜o para Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer temos:
lim
n→∞
∣∣∣∣xn+1xn
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣∣
(x−2)n+1
(n+1)+
√
n+1
(x−2)n
n+
√
n
∣∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣
(
n+
√
n
)
(x− 2)
n+ 1+
√
n+ 1
∣∣∣∣∣ = |x− 2| limn→∞ n+
√
n
n+ 1+
√
n+ 1
= |x− 2| lim
n→∞
1+ 1√
n
1+ 1
n
+ 1√
n
√
1+ 1
n
= |x− 2| .1 = |x− 2| < 1⇐⇒ −1 < x− 2 <1⇐⇒ 1 < x < 3.
Logo, o raio de convergeˆncia da se´rie de poteˆncia e´ r = 1 e, portanto, a se´rie converge em ]1, 3[ e diverge em
]−∞, 1[ ∪ ]3,+∞[.
Quando x = 1 temos
∞∑
n=1
(−1)
n 1
n+
√
n
que converge (Teste de Leibniz ).
Quando x = 3 temos
∞∑
n=1
1
n+
√
n
que diverge (Teste da Comparac¸a˜o), pois 1
n+
√
n
≥ 1
2n
e
∞∑
n=1
1
2n
diverge (para
justificar que esta u´ltima integral diverge use o Teste da Integral).
Conclusa˜o: I = [1, 3) e´ o intervalo de convergeˆncia da se´rie.
Exerc´ıcios.
Exerc´ıcio (1) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
n!xn.
Exerc´ıcio (2) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
nxn
5n
.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 28 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Exerc´ıcio (3) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
n2xn
2n
.
Exerc´ıcio (4) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
xn
(2n)! .
Exerc´ıcio (5) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(x+2)n
(2n)! .
Resposta: I = R (use o Teste da Raza˜o).
Exerc´ıcio (6) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(x+ 12 )
n
(2n−1)! .
Resposta: I = R (use o Teste da Raza˜o).
Exerc´ıcio (7) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
n (x− 2)
n
.
Resposta: I = ]1, 3[ (use o Teste da Raza˜o).
Exerc´ıcio (8) Estude a natureza da se´rie de poteˆncias
∞∑
n=1
(x−2)n
n2+
√
n
.
Resposta: I = [1, 3] (use o Teste da Raza˜o).
3.2 Derivac¸a˜o e Integrac¸a˜o de Se´ries de Poteˆncias de x− a
Proposic¸a˜o 3. Seja
∞∑
n=0
an (x− a)
n
se´rie de poteˆncias de x − a com raio de convergeˆncia r > 0. Enta˜o, f (x) =
∞∑
n=0
an (x− a)
n
e´ deriva´vel e integra´vel em ]a− r, a+ r[ e:
f′ (x) =
∞∑
n=1
nan (x− a)
n−1
e F (x) =
∫x
a
f (x)dx =
∞∑
n=0
an (x− a)
n+1
n+ 1
.
Observac¸a˜o. Embora o raio de convergeˆncia r de f, f′ e F seja o mesmo, os intervalos de convergeˆncia dessas func¸o˜es
podem diferir nos extremos a−r ou a+r. Esses extremos devem ser estudados a` parte na func¸a˜o derivada e na func¸a˜o
integral.
Corola´rio. A se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
an (x− a)
n
e´ cont´ınua em ]a− r, a+ r[, sendo r > 0 seu raio de convergeˆncia.
Exemplos.
Exemplo (1) Derive e integre f (x) =
∞∑
n=1
xn
2+n2
no interior de seu intervalo de convergeˆncia.
Resoluc¸a˜o.
Ja´ vimos, em exemplo anterior, que o intervalo de convergeˆncia de f e´ I = [−1, 1]. Assim,
f′ (x) =
( ∞∑
n=1
xn
2+ n2
)′
=
∞∑
n=1
nxn−1
2+ n2
e F (x) =
∫x
0
∞∑
n=1
xn
2+ n2
dx =
∞∑
n=1
xn+1
(n+ 1) (2+ n2)
para x ∈ ]−1, 1[.
Exemplo (2) Encontre uma func¸a˜o, e deˆ o seu domı´nio, que possa ser escrita como a se´rie de poteˆncias 1− x+ x2 −
x3 + x4 − x5 + x6 − · · · .
Resoluc¸a˜o.
Notemos que a se´rie em questa˜o e´ a soma dos termos de uma PG infinita de raza˜o −x e primeiro termo 1, que
sabemos ser convergente para |−x| < 1.
Se s = 1− x+ x2 − x3 + · · · e (−x) s = −x+ x2 − x3 + · · · temos s− (−x) s = 1, ou seja, s = 1
1+x .
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 29
Desta forma, a func¸a˜o procurada e´ f : ]−1, 1[ → R, dada por, f (x) = 1
1+x =
∞∑
n=1
(−x)
n−1
=
∞∑
n=1
(−1)
n−1
xn−1 =
∞∑
n=0
(−1)
n
xn (para entender essa u´ltima igualdade, fac¸a n−1 = m na penu´ltima se´rie e, depois, a reescreva novamente
com ı´ndice n).
Exemplo (2) Escreva f (x) = 1
(1+x)2
, −1 < x < 1, como se´rie de poteˆncias.
Resoluc¸a˜o.
Do exemplo acima, 1
1+x = 1− x+ x
2 − x3 + x4 − · · · =
∞∑
n=1
(−x)
n−1
para −1 < x < 1. Portanto,
(
1
1+ x
)′
= −1+ 2x− 3x2 + 4x3 − · · · =
∞∑
n=2
(n− 1) (−x)
n−2
(−1)
= −
∞∑
m=1
(m) (−x)
m−1
; (fazendo n− 1 = m)
= −
∞∑
n=1
(−1)
n−1
nxn−1; (reescrevendo com ı´ndice n)
para −1 < x < 1. Logo,
−1
(1+ x)
2
= −
∞∑
n=1
(−1)
n−1
nxn−1 ⇒ 1
(1+ x)
2
=
∞∑
n=1
(−1)
n−1
nxn−1.
Exemplo (3) Escreva f (x) = ln (1+ x), −1 < x < 1, como se´rie de poteˆncias.
Resoluc¸a˜o.
Observemos que f′ (x) = 1
1+x .
Mas, do exemplo acima, 1
1+x = 1− x+ x
2 − x3 + x4 − · · · =
∞∑
n=1
(−x)
n−1
para −1 < x < 1. Portanto,
∫x
0
f′ (x)dx =
∫x
0
1
1+ x
dx =
∫x
0
∞∑
n=1
(−x)
n−1
dx =
∞∑
n=1
∫x
0
(−x)
n−1
dx =
∞∑
n=1
(−1)
n−1 x
n
n
para −1 < x < 1. Logo,∫x
0
f′ (x)dx =
∞∑
n=1
(−1)
n−1
xn
n
⇒ f (x) − f (0) = ∞∑
n=1
(−1)
n−1
xn
n
⇒ ln (1+ x) = ∞∑
n=1
(−1)
n−1
n
xn.
Exemplo (4) Calcule ln (1, 1) utilizando se´ries de poteˆncias e com erro de aproximac¸a˜o inferior a 0, 001.
Resoluc¸a˜o.
Pelo exemplo anterior, ln (1+ x) =
∞∑
n=1
(−1)
n−1 xn
n
. Logo, ln (1, 1) = ln (1+ 0, 1) =
∞∑
n=1
(−1)
n−1 (0,1)n
n
= 0, 1 −
(0,1)2
2
+ (0,1)
3
3
− (0,1)
4
4
+ · · · que e´ uma se´rie alternada.
Vimos que se queremos um erro de aproximac¸a˜o inferior a 0, 001; enta˜o δn = |s− sn| < 0, 001, sendo s a soma da
se´rie e sn soma parcial de ordem n.
Entretanto, vimos tambe´m que δn < |xn+1| (proposic¸a˜o). Portanto, se acharmos n tal que |xn+1| < 0, 001
resolvemos nosso problema.
Deste modo,
|xn+1| < 0, 001⇒
∣∣∣∣∣(−1)(n−1)+1 (0, 1)n+1n+ 1
∣∣∣∣∣ < 0, 001⇒
(
10−1
)n+1
n+ 1
< 10−3 ⇒
1
(n+ 1) 10n+1
<
1
103
⇒ (n+ 1) 10n+1 > 103
e percebemos facilmente que para n = 2 ja´ cumprimos essa condic¸a˜o.
Logo, ln (1, 1) ∼=
2∑
k=1
(−1)
k−1 (0,1)k
k
= 0, 1− 0,01
2
= 0, 095 e´ uma aproximac¸a˜o de ln (1, 1) com erro de aproximac¸a˜o
inferior a 0, 001.
Como curiosidade, ln (1, 1) = 0, 09531017980432 . . . e o erro de aproximac¸a˜o e´ 0, 00031017980432 . . ., bem inferior
a 0, 001.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 30 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Ainda aproveitando a teoria, vimos que quando δn < (0, 1) 10
−m significa que a aproximac¸a˜o de s por sn possui
m casas decimais exatas. Neste caso, (0, 1) 10−m = 0, 001 fornece m = 2, o que significa que podemos garantir pelo
menos duas casas decimais exatas na aproximac¸a˜o (como pudemos ver, a aproximac¸a˜o forneceu treˆs casas decimais
exatas).
Exemplo (5) Utilizando os treˆs primeiros termos da se´rie que representa ln (1, 1) nos exemplos acima, podemos atingir
quantas casas decimais de precisa˜o para uma aproximac¸a˜o de ln (1, 1)?
Resoluc¸a˜o.
Utilizando treˆs termos da se´rie ln (1, 1) =
∞∑
n=1
(−1)
n−1 (0,1)n
n
temos um erro de aproximac¸a˜o δ3 = |s− s3| para o
valor exato de ln (1, 1).
Mas, vimos por meio de proposic¸a˜o que δn < |xn+1|, ou seja,
δ3 < |x4| =
∣∣∣∣∣(−1)3 (0, 1)44
∣∣∣∣∣ = 0, 00014 = 0, 000025 < 0, 0001 = (0, 1) 10−3,
o que garante pelo menos treˆs casas decimais de precisa˜o (m = 3).
Observac¸a˜o: se calcularmos a soma dos treˆs primeiros termos da se´rie e compararmos com o valor exato de ln (1, 1)
teremos, na verdade, quatro casas decimais de precisa˜o.
3.3 Se´ries de Taylor
Vimos na sec¸a˜o anterior alguns exemplos onde pudemos escrever certas func¸o˜es espec´ıficas como se´ries de poteˆncias.
Nesta sec¸a˜o, nosso objetivo e´ criar um me´todo que permita escrever tais se´ries para uma famı´lia maior de func¸o˜es.
Mais especificamente, temos o seguinte problema:
Problema: Dada uma func¸a˜o f, e´ poss´ıvel obter uma se´rie de poteˆncias
∞∑
n=0
an (x− a)
n
tal que f (x) =
∞∑
n=0
an (x− a)
n
?
Se f puder ser escrita como f (x) =
∞∑
n=0
an (x− a)
n
, enta˜o:
f (x) =
∞∑
n=0
an (x− a)
n ⇒ f (a) = a0;
f′ (x) =
∞∑
n=1
nan (x− a)
n−1 ⇒ f′ (a) = 1.a1;
f′′ (x) =
∞∑
n=2
n (n− 1)an (x− a)
n−2 ⇒ f′′ (a) = 2.1.a2;
f′′′ (x) =
∞∑
n=3
n (n− 1) (n− 2)an (x− a)
n−3 ⇒ f′′′ (a) = 3.2.1.a3;
...
f(m) (x) =
∞∑
n=m
n (n− 1) (n− 2) . . .(n−m+ 1)an (x− a)
n−m ⇒ f(m) (a) = m. (m− 1) . . . 3.2.1.am;
...
ou seja, an =
f(n)(a)
n! .
Seja f uma func¸a˜o de classe C∞ (isto e´, deriva´vel infinitas vezes e, portanto, com todas as derivadas cont´ınuas) em
um intervalo aberto com centro a ∈ R. Definimos a se´rie de Taylor de f em a como sendo
∞∑
n=0
f(n)(a)
n! (x− a)
n
=
f (a) + f′ (a) (x− a) + f
′′(a)
2! (x− a)
2
+ f
′′′(a)
3! (x− a)
3
+ · · · .
Observac¸o˜es.
(i) Lembremos que 0! = 1.
(ii) Lembremos tambe´m que f(n) representa a derivada de ordem n de f, sendo que f(0) = f, o que faz com que o
primeiro termo de uma se´rie de Taylor seja sempre f (a).
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Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 31
(iii) O desenvolvimento que fizemos acima, nos diz que se uma func¸a˜o f puder ser desenvolvida como se´rie de poteˆncias
de x− a, enta˜o essa se´rie e´ a se´rie de Taylor de f em a.
Proposic¸a˜o 4. Seja f : X ⊂ R → R func¸a˜o de classe C∞, sendo X intervalo aberto com centro em a, e seja x ∈ X.
Enta˜o, existe θ = θ (x) ∈ [0, 1] (θ depende de x) tal que
f (x) =
n−1∑
k=0
f(k)(a)
k! (x− a)
k
+
f(n) (a+ θ (x− a))
n!
(x− a)
n
.
Observemos que na proposic¸a˜o acima, se a < x, enta˜o c = a + θ (x− a) esta´ entre a e x. Se x < a, enta˜o
c = a+ θ (x− a) esta´ entre x e a.
A proposic¸a˜o acima possui um importante corola´rio:
Corola´rio. Seja f : X ⊂ R → R func¸a˜o de classe C∞, sendo X intervalo aberto com centro em a, e seja x ∈ X. Se
lim
n→∞ f
(n)(a+θ(x−a))
n! (x− a)
n
= 0, sendo θ = θ (x) ∈ [0, 1], dado pelo Proposic¸a˜o 4, enta˜o
f (x) =
∞∑
n=0
f(n)(a)
n! (x− a)
n
,
ou seja, f (x) pode ser escrita como se´rie de Taylor de f em a.
E´ natural considerar o domı´nio X de uma func¸a˜o f, representada por sua se´rie de Taylor, como sendo o pro´prio
intervalo I de convergeˆncia da se´rie, ou seja, X = I. Ale´m disso, quando a = 0, a se´rie de Taylor de f em a recebe o
nome de se´rie de MacLaurin. Neste caso, f (x) =
∞∑
n=0
f(n)(0)
n! x
n.
Existem exemplos de func¸o˜es, mesmo de classe C∞, que na˜o podem ser representadas por sua se´rie de Taylor em
seu intervalo de convergeˆncia (o que significa que o limite da hipo´tese do corola´rio na˜o e´ zero para x 6= a). Um exemplo
cla´ssico e´ a func¸a˜o f (x) = e
−1
|x| para x 6= 0 e f (0) = 0 para x = 0. A se´rie de MacLaurin de f e´ a se´rie identicamente
nula, portanto, convergente em R. Entretanto, f na˜o e´ a func¸a˜o identicamente nula.
Felizmente, a grande maioria das func¸o˜es com as quais trabalhamos nas disciplinas de Ca´lculo Diferencial e Integral
podem ser representadas por sua se´rie de Taylor em seu intervalo de convergeˆncia. Tais func¸o˜es sa˜o chamadas, em
estudos mais avanc¸ados de Matema´tica, de func¸o˜es anal´ıticas.
Exemplos.
Exemplo (1) Desenvolva f (x) = ex como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio.
Resoluc¸a˜o.
Temos a = 0.
De f (x) = ex temos f(n) (x) = ex e, portanto, f(n) (θx) = eθx. Em particular, para θ ∈ [0, 1], temos
lim
n→∞ f
(n)(θx)
n! x
n = eθx. lim
n→∞ xnn! = eθx.0 = 0. (lembre-se que a varia´vel do limite e´ n e na˜o x)
Pelo corola´rio acima, existe a se´rie de MacLaurin de f e, sendo f(n) (0) = e0 = 1, temos
f (x) =
∞∑
n=0
f(n) (0)
n!
xn ⇒ ex = ∞∑
n=0
xn
n!
= 1+ x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
Quanto ao domı´nio, vimos que o intervalo de convergeˆncia dessa se´rie e´ I = R. Portanto, o domı´nio de f e´ X = R.
Exemplo (2) Desenvolva f (x) = cos (x) como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio.
Resoluc¸a˜o.
Temos a = 0.
De f (x) = cos (x) temos, para k = N ∪ {0},
f(n) (x) = cos (x) , para n = 4k
f(n) (x) = − sen (x) , para n = 4k+ 1
f(n) (x) = − cos (x) , para n = 4k+ 2
f(n) (x) = sen (x) , para n = 4k+ 3
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Pa´gina 32 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Em qualquer situac¸a˜o,
∣∣f(n) (θx)∣∣ ≤ 1. Em particular, para θ ∈ [0, 1], temos
lim
n→∞
∣∣∣ f(n)(θx)n! xn∣∣∣ ≤ limn→∞ xnn! = 0⇒ limn→∞ ∣∣∣ f(n)(θx)n! xn∣∣∣ = 0⇒ limn→∞ f(n)(θx)n! xn = 0.
Pelo corola´rio acima, existe a se´rie de MacLaurin de f e temos
f (x) =
∞∑
n=0
f(n) (0)
n!
xn ⇒
cos (x) = cos (0) − sen (0) x−
cos (0)
2!
x2 +
sen (0)
3!
x3 +
cos (0)
4!
x4 −
sen (0)
5!
x5 −
cos (0)
6!
x6 +
sen (0)
7!
x7 +
cos (0)
8!
x8 − · · ·⇒
cos (x) = 1−
x2
2!
+
x4
4!
−
x6
6!
+
x8
8!
− · · ·⇒
cos (x) =
∞∑
n=0
(−1)
n x
2n
(2n) !
Quanto ao domı´nio, mostre que o intervalo de convergeˆncia dessa se´rie e´ I = R. Portanto, o domı´nio de f e´ X = R.
Exemplo (3) Desenvolva f (x) = sen (x) como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio.
Resoluc¸a˜o.
Temos a = 0 e a prova de que lim
n→∞ f
(n)(θx)
n! x
n = 0 e´ feita de modo totalmente ana´loga a` do exemplo acima.
De f (x) = sen (x) temos
f (x) =
∞∑
n=0
f(n) (0)
n!
xn ⇒
sen (x) = sen (0) + cos (0) x−
sen (0)
2!
x2 −
cos (0)
3!
x3 +
sen (0)
4!
x4 +
cos (0)
5!
x5 −
sen (0)
6!
x6 −
cos (0)
7!
x7 +
sen (0)
8!
x8 + · · ·⇒
sen (x) = x−
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+
x9
9!
− · · ·⇒
sen (x) =
∞∑
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n+ 1) !
Quanto ao domı´nio, mostre que o intervalo de convergeˆncia dessa se´rie e´ I = R. Portanto, o domı´nio de f e´ X = R.
Exemplo (4) Desenvolva f (x) = ex
2
como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio.
Resoluc¸a˜o.
Naturalmente, podemos desenvolver as primeiras derivadas de f (x) = ex
2
e substituir na se´rie de Taylor. En-
tretanto, e´ fa´cil perceber que a` medida que n aumenta, as derivadas tornam-se cada vez mais dif´ıceis, pois f e´ uma
composta.
Entretanto, vimos acima que ex =
∞∑
n=0
xn
n! , o que significa que e
x2 =
∞∑
n=0
(x2)
n
n! =
∞∑
n=0
x2n
n! .
Quanto ao domı´nio, mostre que o intervalo de convergeˆncia dessa se´rie e´ I = R. Portanto, o domı´nio de f e´ X = R.
Exerc´ıcios.
Exerc´ıcio (1) Desenvolva f (x) = e−x
2
como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio.
Exerc´ıcio (2) Desenvolva f (x) = xex
2
como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio.
Dica: derive a se´rie de Taylor de g (x) = ex
2
, ou a multiplique por x.
Exerc´ıcio (3) Desenvolva f (x) = x3e−x
2
como se´rie de MacLaurin e encontre seu domı´nio.
Dica: multiplique a se´rie de Taylor de g (x) = e−x
2
por x3.
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