15 - Variáveis Aleatórias Bidimensionais

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15 -1UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2005
Estatística
15 - Variáveis Aleatórias 
Bidimensionais
15 -2UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2005
Caso 1: função de variável aleatória
X: V.A. discreta Y: V.A. discreta
Exemplo: Lançamento de dois dados: A e B
X: Ponto n dado A ⇒ V.A. discreta
Y: Ponto n dado B ⇒ V.A. discreta
Espaço amostral:
P(X=x, Y=y) = 1/36: Função Probabilidade de V.A. (X,Y)
Caso 2:
X: V.A. contínua
Y: V.A. contínua
(X, Y) = V.A. bidimensional contínua
f(x,y) ⇒ função densidade de probabilidade Conjunta
( )
( )


⋅⋅=<<<<•
=⋅⋅•
∫ ∫
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−
b
a
d
c
dydxyx,fdyc,bxP(a
1dydxyx,f
Distribuições Bidimensionais
1
3
4
5
6
2
21
3
4 5 6
Y
(X, Y) V.A. Bidimensional 
Discreta
X
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Exemplo:( ) 1y0 ,1x0comyx2yx,f ≤≤≤≤−−=
1
1
0
2
y
f(x,y)
x
( ) ?21 Y,21XP =>>
( )
∫∫
∫ ∫∫
=⋅


−=⋅


++−−−=
=⋅


−⋅−=⋅⋅−−
= ==
1
2
1
1
2
1y
1
2
1x
1
2
1
21
2
1x
8
1dxx
2
1
8
5dx
8
1x
2
11
2
1x2
dx
2
yyx2ydydxyx2
1
2
1
Volume = 1
Distribuição Bidimensional Contínua
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Conhecida f(x,y), como achar g(x) ou h(y) ?
(fixa x, varia y)
(fixa y, varia x)
Exemplo: f(x,y) = 2-x-y para 0<x<1 e 0<y<1
( ) ( )
( ) ( )∫
∫
∞+
−∞=
+∞
−∞=
⋅=
⋅=
x
y
dxyx,fyh
dyyx,fxg
Distribuições Marginais: caso V.A. Contínua 
( ) ( )
x)x(g
x
2
y-xy-2ydyy-x-2xg
2
y
−=
=−−=


=⋅= ∫
=
2
3
2
12
1
0
1
0
( ) ( )
y)y(h
yxyxxdxy-x-2yh
x
−=
−−=


−−=⋅= ∫
=
2
3
2
12
2
2
1
0
21
0
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Caso Discreto:
Exemplo:
( ) ( )
( ) ( )∑
∑
==
==
i
jij
j
jii
y,xPyYP
y,xPxXP
Distribuição Bidimensional discreta P(x,y)
xi\yi 1 2 3 4 P (X = xi)
1 0,03 0,05 0,08 0,04 0,20
2 0,10 0,10 0,20 0,10 0,50
3 0 0,15 0,10 0,05 0,30
P (Y = yi) 0,13 0,30 0,38 0,19 1
Distribuições Marginais
(fixa xi, varia yj)
(fixa yj, varia xi)
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Caso discreto:
, para todo i
, para todo j
Exemplo:
( ) ( )( )
( ) ( )( )i
ji
ij
j
ji
ji
xXP
yY,xXP
xyP
yYP
yY,xXP
yxP
=
==
=
=
==
=
( ) ( )( )
( ) ( )( ) 4
1
0,20
0,05
1xP
2y1,xP1x2yP
6
1
0,30
0,05
2yP
2y1,xP2y1xP
==
=
==
===
==
=
==
===
Distribuições Condicionada
Distribuição Bidimensional discreta P(x,y)
xi\yi 1 2 3 4 P (X = xi)
1 0,03 0,05 0,08 0,04 0,20
2 0,10 0,10 0,20 0,10 0,50
3 0 0,15 0,10 0,05 0,30
P (Y = yi) 0,13 0,30 0,38 0,19 1
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Caso contínuo:
onde: g(x), h(x) distribuições marginais
x0 , y0 valores específicos para os quais deseja-se obter as 
distribuições condicionadas
Exemplo:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 0xg,xg
y,xfxyh
0yh,
yh
yx,fyxg
0
0
0
0
0
0
0
0
>=
>=
Distribuições Condicionada
( ) ( )
( ) ( ) 1y,0y2
3
2
2
3
y20xyh
1x,0x12
1
2
3
1x21yxg
≤≤−=−==
≤≤−=
−
−−
==
f(x,y)=2-x-y para 0<x<1 e 0<y<1
g(x)=3/2-x para 0<x<1 
h(y)=3/2-y para 0<y<1 
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Caso contínuo: Para todo (xi, yj)
Exemplo:
( ) ( ) ( )jiji yYPxXPyY,xXP =⋅====
Variáveis Aleatórias Independentes
Distribuição Bidimensional discreta P(x,y)
xi\yi 1 2 3 4 P (X = xi)
1 0,03 0,05 0,08 0,04 0,20
2 0,10 0,10 0,20 0,10 0,50
3 0 0,15 0,10 0,05 0,30
P (Y = yi) 0,13 0,30 0,38 0,19 1
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )3232
19038050032
20032
=⋅=≠==
=×==⋅=
===
YPXPY,XP :Logo
,,,YPXP
,Y,XP
X e Y não são V. A. Independentes
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Caso Contínuo:
Exemplo:
( ) ( ) ( )yhxgyx,f ⋅=
Variáveis Aleatórias Independentes
f(x,y)=2-x-y para 0<x<1 e 0<y<1
g(x)=3/2-x para 0<x<1 
h(y)=3/2-y para 0<y<1 
X e Y não são V. A. Independentes
( ) ( ) xyyxyx +−−=−⋅−=⋅
2
3
2
3
4
9
2
3
2
3 )()(yhxg
( ) ( )yhxg y)f(x, :Logo ⋅≠
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( )
n
E
O
E
EO r
i ij
ij
s
j
r
i ij
ijij
s
j
−=
−
=χ ∑∑∑∑
= == =
ν
1
2
11
2
1
2
r = número de possíveis valores da variável X 
(Ex: X= sexo: (1) homem; (2) mulher => r = 2 )
s = número de possíveis valores da variável Y 
(Ex: Y=opinião: (1) favor; (2) contra; (3) indiferente => s = 3 )
Oij = freqüência observada de X com valor i e Y com valor j
Eij = freqüência esperada considerando X e Y variáveis aleatórias
independentes
Logo: Eij = n. P(X=i).P(Y=j) ∑∑∑∑
= == =
==
r
i
ij
s
j
r
i
ij
s
j
EOn
1 11 1
Teste de Independência
H0 : As variáveis X e Y são independentes
H1 : Tal não ocorre
Regra: REJEITAR H0 se
onde:
ν = (r - 1) * (s - 1) Grau de Liberdade
α = Nível de Significância do teste
22
)tabelado crítico, (Valor ,ανν χ>χ
Exemplo: Opiniões de homens e mulheres (X=sexo e Y=opinião)
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Se houver independência entre as variáveis (H0 VERDADEIRA) então:
pij = pi * pj , onde: pi = P (X = i)
pj = P (Y = j)
Eij = n * pij = n * pi * pj
Probabilidades Marginais
Caso pi e pj não conhecidos → estimar através da freqüência relativa
pi’ = fi / n 
pj’ = fj / n 
Eij = n * (fi / n) * (fj / n) = (fi * fj) / n
Teste de Independência
Eij = n * pij Eij ≥≥≥≥ 5 (aproximação Binomial Normal)
pij = P (X = i e Y = j ) = Probabilidade Conjunta
Tabela de Contingência:
Osr | Esr...Os2 | Es2Os1 | Es1X=s
...............
O2r | E2r...O22 | E22O21 | E21X=2
O1r | E1r...O12 | E12O11 | E11X=1
Y= r...Y=2Y=1
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H0 : Existe independência entre opinião e sexo
H1 : Tal não ocorre, ou seja, o sexo influencia na opinião
1º passo: estimação dos Eij (pi e pj não são conhecidos)
E11 = (60 * 40)/100 = 24,0
E12 = (60 * 32)/100 = 19,2
e assim por diante...
Favor Contra Indiferente Total
Sexo Oij Eij Oij Eij Oij Eij
Homens 33 24 12 19,2 15 16,8 60 60
Mulheres 7 16 20 12,8 13 11,2 40 40
Total 40 40 32 32 28 28 100
Por simples observação da tabela, é evidente que existe diferença 
entre Eij e Oij
QUESTÃO: Essa diferença é significativa, ou não ???
Opinião
Sexo Favor Contra Indiferente Total
Homens 33 12 15 60
Mulheres 7 20 13 40
Total 40 32 28 100
Opiniões de homens e mulheres sobre determinado Projeto de Lei
Teste de Independência - Exemplo
Rejeitar H0 se χ2calculado > χ2crítico 
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2º passo: determinação de χ2ν
O ij Eij = n*pi*pj O ij - E ij (O ij – E ij)2 / E ij
33 24,0 9,0 3,375
12 19,2 -7,2 2,700
15 16,8 -1,8 0,193
7 16,0 -9,0 5,063
20 12,8 7,2 4,050
13 11,2 1,8 0,289
100 100 15,670 = χχχχ2νννν
Conclusão: para um nível de significância 
de 1%, o sexo influencia na opinião
Teste de Independência - Exemplo (continuação)
3º passo: determinação de χ2ν, α (crítico)
ν = (r - 1) * (s - 1) = (2 - 1) * (3 - 1) = 2
Para um Nível de Significância αααα = 1% , 
tem-se. da tab. A 6.4 (p. 249) χ22, 1% = 9,210
Logo:
χ2ν > χ2ν, α (crítico) REJEITA-SE H0
(15,670 > 9,210)