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CN_Parte3_2010.doc - 7/12 Abaixo o sistema e as equações de retas isoladas na variável x2 I I II II Exercícios: 1) Faça a interpretação gráfica das aproximações obtidas no exemplo 1. (Coloque num mesmo plano cartesiano as retas definidas nas equações do sistema) 2) Troque as linhas e resolva o mesmo exemplo anterior. O que acontece? 3) Resolver os sistemas por Gauss-Seidel. a) −=++ =++− =++ 5,663 052 54 321 321 321 xxx xxx xxx b) =++− −=−+ =++ 221032 442202 9210 321 321 321 xxx xxx xxx c) =++ =++ =++ 141022 13102 1210 321 321 321 xxx xxx xxx Respostas:3)a)(1,5 , 1,0 , -2,0) b)(1 , -2 , 3) c)(1, 1, 1) O Método dos Mínimos Quadrados Este método se baseia no princípio no qual a soma dos quadrados dos desvios é mínima. Como exemplo, sejam os valores tabelados abaixo e seu respectivo Diagrama de Dispersão: x y 1 4 3 8 4 8 5 12 6 10 7 13 1) Modelo Linear: Ao ajustar uma reta a esse conjunto de dados, espera-se que a soma dos quadrados dos desvios seja a menor possível, em outras palavras, que a reta encontrada, passe o mais próximo possível de todos os pontos. Seja: y = a.x + b, a reta que melhor se ajusta aos dados. Dessa maneira é desejável que cada ponto pertença à reta, ou seja, que cada ponto (x, y) satisfaça a equação y = a.x + b. b + a . x = y b + a . 1 = 4 b + a . 3 = 8 Diagrama de Dispersão 0 2 4 6 8 10 12 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x y =+− =+ 19104 1535 21 21 xx xx ( )12 41910 1 xx += ( )12 5153 1 xx −= CN_Parte3_2010.doc - 8/12 b + a . 4 = 8 b + a . 5 = 12 b + a . 6 = 10 b + a . 7 = 13 6b + a . 26 = 55 Multiplicando-se pelos valores de x ambos os membros das igualdades anteriores, temos: b . x + a . x² = xy b . 1 + a . 1 = 4 b . 3 + a . 9 = 24 b . 4 + a . 16 = 32 b . 5 + a . 25 = 60 b . 6 + a . 36 = 60 b . 7 + a . 49 = 91 b . 26 + a . 136 = 271 Assim, obtemos um sistema de equações nas incógnitas a e b; =+ =+ 27113626 55266 ab ab , cuja solução é: b= 3,1 e a= 1,4 A reta que melhor se ajusta ao conjunto de dados é então: y = 1,4.x + 3,1 Convém notar que os parâmetros a e b são os valores que satisfazem as condições do Método dos Mínimos Quadrados. Abaixo a tabela da soma dos quadrados dos desvios para os valores a e b calculados e outros valores. Observado Calculado a=3 e b=1 x y yc y-yc (y-yc)² ya,b (y-ya,b)² 1 4 4,5 -0,5 0,25 4 0 3 8 7,3 0,7 0,49 6 4 4 8 8,7 -0,7 0,49 7 1 5 12 10,1 1,9 3,61 8 16 6 10 11,5 -1,5 2,25 9 1 7 13 12,9 0,1 0,01 10 9 7,1 44 31 Diagrama de Dispersão y = 1,4.x + 3,1 0 2 4 6 8 10 12 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x y CN_Parte3_2010.doc - 9/12 Sistema de Equações, para obtenção das variáveis a e b, para o caso linear: =+ =+ ∑∑∑ ∑∑ yxxaxb yxabn . . 2 Cálculo Numérico 10 / 12 Podemos resolver o mesmo problema anterior, calculando os valores dos somatórios do sistema acima. I x y x² x.y 1 1 4 1 4 2 3 8 9 24 3 4 8 16 32 4 5 12 25 60 5 6 10 36 60 6 7 13 49 91 ∑ 26 55 136 271 Sistema; =+ =+ 271.136.26 55.26.6 ab ab , cuja solução é: a= 3,1 e b= 1,4 A reta é: y = 3,1 + 1,4.x Os valores das variáveis a e b, também podem ser obtidos através das expressões: ( )∑ ∑ ∑ ∑∑ − − = 22 ii iiii xxn yxyxn a E xayb −= Onde: n é o número de observações; x é a média dos valores de ix ; y é a média dos valores de iy . 2) Modelo parabólico: Quando queremos ajustar a um conjunto de dados, uma função do 2° grau, tomamos a função quadrática: y = c + bx + ax2. Usamos o sistema: =++ =++ =++ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑ yxxaxbxc yxxaxbxc yxaxbcn 2432 32 2 ... .... ... e determinamos os valores a, b, c, procurados. Obs.: para funções do 3°, 4º, 5º grau e etc., temos um sistemas de equações similar ao anterior, onde aumentam linhas, colunas e os parâmetros a, b, c, d, . . . , etc. Exemplo: X y 0 3 0,5 1,75 1 1 1,3 0,79 1,8 0,84 2,1 1,11 2,6 1,96 2,9 2,71 3,2 3,64 Diagrama de Dispersão 0 1 2 3 4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 valores de x v al o re s de y Cálculo Numérico 11 / 12 3) Modelo Exponencial: funções do tipo: xaeby ..= (e= 2,718281828459050...) Nesse caso, usamos uma transformação linear a partir de logaritmos, que por conveniência, tomamos na base e , ou seja: xabexabebeby xaxa .)ln()ln(..)ln()ln()ln().ln()ln( .. +=+=+== ; xaby .)ln()ln( += Substituindo: )ln();ln( bByY == , temos: xaBY .+= , que se resolve como no caso linear. Após calcularmos o valor B, no sistema associado, devemos calcular o valor b, por: Beb = . Exemplo: I x y Y=ln(y) x² x.Y 1 0,0 0,500 -0,693 0,000 0,000 2 0,5 0,958 -0,043 0,250 -0,022 3 1,0 1,835 0,607 1,000 0,607 4 1,3 2,710 0,997 1,690 1,296 5 1,8 5,191 1,647 3,240 2,964 6 2,1 7,666 2,037 4,410 4,277 7 2,6 14,685 2,687 6,760 6,986 8 2,9 21,690 3,077 8,410 8,923 9 3,2 32,036 3,467 10,240 11,094 15,4 13,782 36 36,126 Sistema: =+ =+ ∑∑∑ ∑∑ YxxaxB YxaBn ... .. 2 =+ =+ 126,36.36.4,15 782,13.4,15.9 aB aB −=−− =+ 13,315.324.6,138 243,212.16,237.6,138 aB aB −=− =+ 887,112.84,86 243,212.16,237.6,138 a aB a= 1,2999 B= -0,6930 Beb = 693,0− = eb 5000,0=b Função: xaeby ..= => xey .3,1.5,0= Diagrama de Dispersão para os dados da tabela anterior: Obs.: Uma variante deste modelo (exponencial) é: xbay .= (b>0) Neste caso, temos: Diagrama de Dispersão 0 5 10 15 20 25 30 35 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 valores de x v al o re s de y Cálculo Numérico 12 / 12 )ln(.)ln()ln()ln().ln()ln( bxababay xx +=+== ; )ln(.)ln()ln( bxay += Substituindo: )ln();ln();ln( bBaAyY === temos: xBAY .+= , que também se resolve como no caso linear. Após calcularmos o valor de A e B, no sistema associado, devemos calcular os valores a e b, por: Aea = e Beb = . Esboço do gráfico geral: y b>1 a b<1 x 4) Modelo Geométrico (ou Potência): funções do tipo: axby .= . Nesse caso, usamos uma transformação linear a partir de logaritmos, ou seja: )log(.)log()log()log().log()log( xabxbxby aa +=+== Substituindo: )log()log();log( xXebByY === , temos: XaBY .+= , que se resolve como no caso linear. Após calcularmos os valores aeB , devemos calcular o valor B, por: Bb 10= . Esboço do gráfico geral: y a > 1 a 0 < a < 1 1 x 5) Modelo Hiperbólico: ax by = )log(.)log()log()log()log( xabxby a −=−= e teremos: XaBY .+= ou x aby += Neste caso fazemos: x X 1= e teremos: Xaby .+= ou xab y . 1 + = Neste caso fazemos: y Y 1= e teremos: xabY .+=
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