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Apostila (parte 4)

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CN_Parte3_2010.doc - 7/12 
Abaixo o sistema e as equações de retas isoladas na variável x2 
 
 I 
 
 
 
 I 
 II 
 
 II 
 
 
Exercícios: 
1) Faça a interpretação gráfica das aproximações obtidas no exemplo 1. 
(Coloque num mesmo plano cartesiano as retas definidas nas equações do sistema) 
2) Troque as linhas e resolva o mesmo exemplo anterior. O que acontece? 
3) Resolver os sistemas por Gauss-Seidel. 
a) 





−=++
=++−
=++
5,663
052
54
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 b) 





=++−
−=−+
=++
221032
442202
9210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 c) 





=++
=++
=++
141022
13102
1210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
Respostas:3)a)(1,5 , 1,0 , -2,0) b)(1 , -2 , 3) c)(1, 1, 1) 
 
 
O Método dos Mínimos Quadrados 
 
Este método se baseia no princípio no qual a soma dos quadrados dos desvios é mínima. 
Como exemplo, sejam os valores tabelados abaixo e seu respectivo Diagrama de Dispersão: 
 
 
 
 
x y 
1 4 
3 8 
4 8 
5 12 
6 10 
7 13 
 
 
 
1) Modelo Linear: Ao ajustar uma reta a esse conjunto de dados, espera-se que a soma dos 
quadrados dos desvios seja a menor possível, em outras palavras, que a reta encontrada, passe o 
mais próximo possível de todos os pontos. Seja: y = a.x + b, a reta que melhor se ajusta aos dados. 
Dessa maneira é desejável que cada ponto pertença à reta, ou seja, que cada ponto (x, y) satisfaça a 
equação y = a.x + b. 
 
b + a . x = y 
b + a . 1 = 4 
b + a . 3 = 8 
Diagrama de Dispersão
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
y



=+−
=+
19104
1535
21
21
xx
xx
( )12 41910
1
xx +=
( )12 5153
1
xx −=
CN_Parte3_2010.doc - 8/12 
b + a . 4 = 8 
b + a . 5 = 12 
b + a . 6 = 10 
b + a . 7 = 13 
6b + a . 26 = 55 
 
Multiplicando-se pelos valores de x ambos os 
 membros das igualdades anteriores, temos: 
 
b . x + a . x² = xy 
b . 1 + a . 1 = 4 
b . 3 + a . 9 = 24 
b . 4 + a . 16 = 32 
b . 5 + a . 25 = 60 
b . 6 + a . 36 = 60 
b . 7 + a . 49 = 91 
b . 26 + a . 136 = 271 
 
 
Assim, obtemos um sistema de equações nas incógnitas a e b; 
 



=+
=+
27113626
55266
ab
ab
 , cuja solução é: b= 3,1 e a= 1,4 
 
A reta que melhor se ajusta ao conjunto de dados é então: y = 1,4.x + 3,1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convém notar que os parâmetros a e b são os valores que satisfazem as condições do Método dos 
Mínimos Quadrados. 
 
Abaixo a tabela da soma dos quadrados dos desvios para os valores a e b calculados e outros 
valores. 
 Observado Calculado a=3 e b=1 
x y yc y-yc (y-yc)² ya,b (y-ya,b)² 
1 4 4,5 -0,5 0,25 4 0 
3 8 7,3 0,7 0,49 6 4 
4 8 8,7 -0,7 0,49 7 1 
5 12 10,1 1,9 3,61 8 16 
6 10 11,5 -1,5 2,25 9 1 
7 13 12,9 0,1 0,01 10 9 
 7,1 44 31 
 
Diagrama de Dispersão
y = 1,4.x + 3,1
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
y
CN_Parte3_2010.doc - 9/12 
Sistema de Equações, para obtenção das variáveis a e b, para o caso linear: 




=+
=+
∑∑∑
∑∑
yxxaxb
yxabn
.
.
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Numérico 
10 / 12 
 
Podemos resolver o mesmo problema anterior, calculando os valores dos somatórios do sistema 
acima. 
I x y x² x.y 
1 1 4 1 4 
2 3 8 9 24 
3 4 8 16 32 
4 5 12 25 60 
5 6 10 36 60 
6 7 13 49 91 
∑ 26 55 136 271 
Sistema; 



=+
=+
271.136.26
55.26.6
ab
ab
, cuja solução é: a= 3,1 e b= 1,4 A reta é: y = 3,1 + 1,4.x 
 
Os valores das variáveis a e b, também podem ser obtidos através das expressões: 
( )∑ ∑
∑ ∑∑
−
−
= 22
ii
iiii
xxn
yxyxn
a
 
E xayb −= 
 
Onde: 
n é o número de observações; 
x é a média dos valores de ix ; y é a média dos valores de iy . 
 
2) Modelo parabólico: Quando queremos ajustar a um conjunto de dados, uma função do 2° grau, 
tomamos a função quadrática: y = c + bx + ax2. 
 
Usamos o sistema: 






=++
=++
=++
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
yxxaxbxc
yxxaxbxc
yxaxbcn
2432
32
2
...
....
...
 e determinamos os valores a, b, c, procurados. 
 
Obs.: para funções do 3°, 4º, 5º grau e etc., temos um sistemas de equações similar ao anterior, onde 
aumentam linhas, colunas e os parâmetros a, b, c, d, . . . , etc. 
 
Exemplo: 
X y 
0 3 
0,5 1,75 
1 1 
1,3 0,79 
1,8 0,84 
2,1 1,11 
2,6 1,96 
2,9 2,71 
3,2 3,64 
 
Diagrama de Dispersão
0
1
2
3
4
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
valores de x
v
al
o
re
s 
de
 
y
Cálculo Numérico 
11 / 12 
 
3) Modelo Exponencial: funções do tipo: xaeby ..= (e= 2,718281828459050...) 
Nesse caso, usamos uma transformação linear a partir de logaritmos, que por conveniência, 
tomamos na base e , ou seja: 
 
xabexabebeby xaxa .)ln()ln(..)ln()ln()ln().ln()ln( .. +=+=+== ; 
xaby .)ln()ln( +=
 
 
Substituindo: )ln();ln( bByY == , temos: xaBY .+= , que se resolve como no caso linear. Após 
calcularmos o valor B, no sistema associado, devemos calcular o valor b, por: Beb = . 
Exemplo: 
I x y Y=ln(y) x² x.Y 
1 0,0 0,500 -0,693 0,000 0,000 
2 0,5 0,958 -0,043 0,250 -0,022 
3 1,0 1,835 0,607 1,000 0,607 
4 1,3 2,710 0,997 1,690 1,296 
5 1,8 5,191 1,647 3,240 2,964 
6 2,1 7,666 2,037 4,410 4,277 
7 2,6 14,685 2,687 6,760 6,986 
8 2,9 21,690 3,077 8,410 8,923 
9 3,2 32,036 3,467 10,240 11,094 
 15,4 13,782 36 36,126 
 
Sistema: 




=+
=+
∑∑∑
∑∑
YxxaxB
YxaBn
...
..
2
 



=+
=+
126,36.36.4,15
782,13.4,15.9
aB
aB
 



−=−−
=+
13,315.324.6,138
243,212.16,237.6,138
aB
aB
 
 



−=−
=+
887,112.84,86
243,212.16,237.6,138
a
aB
 a= 1,2999 B= -0,6930 
Beb =
 
693,0−
= eb
 
 
5000,0=b
 
Função: xaeby ..= => xey .3,1.5,0= 
Diagrama de Dispersão para os dados da tabela anterior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Uma variante deste modelo (exponencial) é: xbay .= (b>0) 
Neste caso, temos: 
Diagrama de Dispersão
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
valores de x
v
al
o
re
s 
de
 
y
Cálculo Numérico 
12 / 12 
 
 
)ln(.)ln()ln()ln().ln()ln( bxababay xx +=+== ; 
)ln(.)ln()ln( bxay +=
 
 
Substituindo: )ln();ln();ln( bBaAyY === temos: xBAY .+= , que também se resolve como 
no caso linear. Após calcularmos o valor de A e B, no sistema associado, devemos calcular os 
valores a e b, por: Aea = e Beb = . 
 
 
Esboço do gráfico geral: y 
 b>1 
 
 a 
 
 b<1 
 x 
 
4) Modelo Geométrico (ou Potência): funções do tipo: axby .= . 
Nesse caso, usamos uma transformação linear a partir de logaritmos, ou seja: 
)log(.)log()log()log().log()log( xabxbxby aa +=+== 
 
Substituindo: )log()log();log( xXebByY === , temos: XaBY .+= , 
que se resolve como no caso linear. Após calcularmos os valores aeB , devemos calcular o valor 
B, por: Bb 10= . 
 
Esboço do gráfico geral: y a > 1 
 
 a 0 < a < 1 
 
 
 
 
 
 1 x 
 
5) Modelo Hiperbólico: 
ax
by = 
)log(.)log()log()log()log( xabxby a −=−= e teremos: XaBY .+= 
 
ou 
x
aby += Neste caso fazemos: 
x
X 1= e teremos: Xaby .+= 
 
ou 
xab
y
.
1
+
= Neste caso fazemos: 
y
Y 1= e teremos: xabY .+=

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