[Cálculo I] Cálculo(UFRPE) - Volume 1

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Recife, 2009
Cálculo I
Cláudia Dezotti
Bruno Lopes
Volume 1
Universidade Federal Rural de Pernambuco
Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade
Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros
Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho
Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire
Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira
Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena
Coordenação Geral de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos
Produção Gráfica e Editorial
Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Italo Amorim e Heitor Barbosa
Revisão Ortográfica: Marcelo Melo
Ilustrações: Claudia Dezotti e Bruno Lopes
Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos
Sumário
Capítulo 1 - Limite e Continuidade .................................................................4
1.1 Introdução............................................................................................4
1.2 Noção Intuitiva de Limite .....................................................................4
1.3 Cálculo de Limites ...............................................................................6
1.4 Definição de Limite ..............................................................................8
1.5 Principais Propriedades dos Limites ...................................................8
1.6 Limites Infinitos ..................................................................................10
1.7 Limites no Infinito............................................................................... 11
1.8 Limite Fundamental Exponencial ......................................................14
1.9 Consequências do Limite Fundamental Exponencial .......................15
1.10 Limite Fundamental Trigonométrico ................................................17
1.11 Continuidade ....................................................................................19
Capítulo 2 - Derivação ...................................................................................23
2.1 Introdução..........................................................................................23
2.2 Retas tangentes ................................................................................23
2.3 Derivadas ..........................................................................................26
2.4 Estudo das derivadas como uma função ..........................................27
2.5 Regras de derivação .........................................................................29
4
Cálculo I
Capítulo 1 - Limite e 
Continuidade
1.1 Introdução
Para este módulo vamos trabalhar com Limites de Funções. 
Inicialmente estudaremos a noção intuitiva de um limite partindo 
de uma função, assunto já estudado na disciplina de Matemática I, 
analisando gráficos e tabelas até chegar à definição de limite. Também 
veremos as principais propriedades, características e os tipos de 
limites. A partir desse estudo definiremos continuidade e sua aplicação 
a uma função dada.
Atividade de Pesquisa
Para esse módulo a atividade de pesquisa é sobre produtos 
notáveis e fatoração de polinômios e frações algébricas. O estudo 
desses conteúdos é de grande importância para o cálculo de limites 
de uma função.
1.2 Noção Intuitiva de Limite
Observe a função . O domínio desta função é o conjunto 
dos números reais, , ou seja, para qualquer que seja o número real 
, o valor de está definido. Vejamos alguns exemplos:
1. Para a função . Quando , temos 
 Dessa forma, dizemos que a imagem 
de é o valor 
No gráfico:
5
Cálculo I
Figura 1
Agora considere a função . Ela está definida para 
todo número real, com exceção quando assume o valor 2. Por 
quê? Quando fazemos a substituição de por 2, teremos uma 
indeterminação matemática. Observe:
 é uma indeterminação matemática. Que tal uma pesquisa sobre 
indeterminações matemáticas?
A partir de agora vamos estudar o comportamento do gráfico da 
função quando assume valores próximos de 2. Através de 
tabelas, chamadas de tabelas de aproximações, observaremos o 
comportamento da função quando assume valores 
próximos (chamaremos de vizinhança) de 2, mas diferente de 2.
Começaremos atribuindo a valores próximos de 2, porém, 
menores que 2: (Tabela 1)
x 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999
3 3,5 3,75 3,9 3,99 3,999 3,9999
Atribuindo a valores próximos de 2, porém, maiores do que 2: 
(Tabela 2)
x 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001
5 4,5 4,25 4,1 4,01 4,001 4,0001
6
Cálculo I
Através da análise das tabelas 1 e 2, podemos tornar tão 
próximos de 4 quanto desejarmos, bastando, para isso, tornarmos 
suficientemente próximo de 2. Podemos escrever:
O limite da função quando se aproxima de (tende a) 2 é 
igual a 4.
Utilizando símbolos,escrevemos ou . 
Esses dois tipos de aproximações que fizemos utilizando as tabelas 
são chamados de limites laterais.
Quando se aproxima (tende a) 2 por valores menores que do 2 
(Tabela 1), dizemos que tende a 2 pela esquerda e representamos 
simbolicamente por .
Quando se aproxima (tende a) 2 por valores maiores que do 
2 (Tabela 2), dizemos que tende a 2 pela direita e representamos 
simbolicamente por .
Temos então que .
É importante deixar claro que o limite da função quando se 
aproxima de 2, somente existe se os limites laterais são iguais.
Se a função se aproximasse de valores diferentes à medida 
que se aproximasse lateralmente de 2, pela esquerda e pela direita, 
o limite da função não existiria nesse ponto, e denotávamos 
simbolicamente: .
Sempre que quisermos determinar o limite de uma função, caso 
ele exista, temos que construir as tabelas de aproximações?
A resposta é não. Existe uma forma mais simples e veremos a 
seguir.
1.3 Cálculo de Limites
Na secção anterior, vimos que o limite da função quando 
tende a 2 é igual a 4. Usaremos o recurso de simplificar a expressão 
da função envolvida. Para simplificar a expressão podemos fazer uso 
de racionalização, fatoração, dispositivo prático de Briot- Ruffini...
7
Cálculo I
Voltando à função , vamos determinar seu limite quando 
 tende a 2. Observe:
Como tende a 2, .
A conclusão foi a mesma de quando determinamos o limite de 
 utilizando as tabelas de aproximação, porém de uma forma mais 
rápida e menos trabalhosa.
A partir de agora não usaremos a tabela de aproximações para 
casos que se assemelhem a este. Vejamos o gráfico de 
quando .
Figura 2
Mais exemplos:
1. Determinar .
 Ao simplificarmos a expressão , teremos:
 .
 Agora vamos substituir esse valor em , ficamos 
com: .
 Esse limite quando tende a 1 é dado por 
.
 .
8
Cálculo I
2. Calcular o 
 Mais uma vez faremos uso de simplificações para determinar o 
limite da função dada. A expressão 
 O nosso limite agora é 
 
1.4 Definição de Limite
Seja uma função definida num intervalo contendo a, exceto 
o próprio . Dizemos que o limite de quando se aproxima de 
é , onde , e escrevemos , se, e somente se, os 
limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais à L.
Simbolicamente: . Caso contrário, 
dizemos que o limite não existe e indicamos por .
Uma proposição muito importante no estudo de limites é a 
Unicidade do Limite enunciada a seguir:
Se e , então . Se o limite 
de uma função num ponto existe, então ele é único.
1.5 Principais Propriedades dos Limites
Se e . existem um número qualquer, então:
a) .
b) 
c) .
d) = .
e) 
9
Cálculo I
Atividade de Estudo
1. Utilizando os limites laterais, determine o valor de:
a. 
b. 
c. 
d. 
2. Fatore as expressões e simplifique as frações para obter o
valor 
de:
a. 
b. 
c. 
d. 
3. Aplicando as propriedades de limites, calcule em 
cada caso:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
4. Calcule os limites abaixo:
a. 
b. 
c. 
d. 
5. Dada a função , definida por , calcule 
.
10
Cálculo I
1.6 Limites Infinitos
Seja a função definida por . Iremos analisar o 
comportamento numérico dessa função através das tabelas de 
aproximações quando assume valores próximos de 0 (zero), mas 
diferentes de 0 (zero).
Quando tende a 0 (zero) pela esquerda , temos a seguinte 
tabela (Tabela 3):
x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
-1 -2 -10 -100 -1000 -10000
Da tabela (tabela 3) acima, podemos observar que à medida que 
o se aproxima de 0 (zero) pela esquerda, os valores da função 
 decrescem sem limite. Simbolicamente: .
Quando tende a 0 (zero) pela direita , temos a seguinte 
tabela (Tabela 4):
x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001
1 2 10 100 1000 10000
Observemos a partir da tabela 4 que à medida que o se aproxima 
de 0 (zero) pela direita, os valores da função crescem sem 
limite. Simbolicamente: 
Como , podemos afirmar que quando tende 
a 0 (zero) o limite da função não existe.
Figura 3
11
Cálculo I
Agora vamos analisar o comportamento numérico da função 
 quando x tende a 0 (zero). Mais uma vez faremos uso das 
tabelas de aproximação:
: (Tabela 5)
x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001
1 4 100 10000 1000000 100000000
: (Tabela 6)
x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001
1 4 10 10000 1000000 100000000
Observamos pelas tabelas de aproximação (tabelas 5 e 6) 
que quando tende a 0 (zero), pela esquerda ou pela direita, os 
valores da função crescem sem limite.Simbolicamente: 
. Como os limites laterais são iguais, 
indicamos que o limite da função quando é representado 
por .
Figura 4
1.7 Limites no Infinito
Estamos interessados agora em estabelecer o comportamento 
de uma função quando a variável cresce indefinidamente ou 
quando a variável decresce indefinidamente 
Vamos retomar a função , com e .
Para , temos a seguinte tabela: (Tabela 7)
12
Cálculo I
x 1 10 100 1000 10000 100000
1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
Para , temos a seguinte tabela: (tabela 8)
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000
-1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001
Da observação das tabelas (tabelas 7 e 8), concluímos que:
» , pois à medida que o valor da variável aumenta 
indefinidamente, o valor da função diminui se aproximando 
de 0 (zero);
» , pois à medida que o valor da variável diminui 
indefinidamente, o valor da função diminui se aproximando 
de 0 (zero).
Também podemos ver esses dados nos gráficos a seguir:
Figura 5 Figura 6
Mais exemplos:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
13
Cálculo I
Solução:
6. 
Observe que quando fazemos a substituição de por , os termos 
 e tem seu valor numérico igual à zero, pois o denominador das 
expressões crescem muito, e na divisão de uma constante, no exemplo 
é o 1 (um), por um numero muito grande o resultado se aproximará de 
zero à medida que o tende a .
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Atividades de Estudo
1. Calcule os seguintes limites:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
2. Para cada função a seguir e para cada , calcule :
a. 
b. 
c. 
14
Cálculo I
d. 
e. 
f. 
g. 
1.8 Limite Fundamental Exponencial
Consideremos a função . À medida que x cresce, 
tendendo ao infinito, a fração tende a zero, porém essa fração 
somada a 1 e o seu resultado elevado a não tem tendência para um 
resultado evidente. Utilizaremos o recurso da tabela de aproximação 
(tabela 9) para visualizar o valor numérico que assume quando 
.
1 2
2 2,250000
5 2,488320
10 2,593742
20 2,653298
50 2,691588
100 2,704814
200 2,711517
500 2,715569
1000 2,716924
5000 2,718010
1000000 2,718280
∞
 (também conhecido como número de Euler) é um número 
irracional compreendido entre 2 e 3. Que tal uma pesquisa sobre o 
assunto?
15
Cálculo I
Então: . Também se pode provar que quando 
x tende a menos infinito a função também da o número .
1.9 Consequências do Limite Fundamental 
Exponencial
i. 
ii. .
Vamos agora resolver alguns limites:
1. 
2. 
3. 
4. 
Solução:
1. .
2. 
 Para esse e os exemplos seguintes, iremos usar uma mudança 
de variável. Se :
 
3. 
 Fazendo , ficamos com:
 
4. 
 Para :
 
16
Cálculo I
Atividade de Estudo
1. Calcule os seguintes limites:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
2. Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
a. 
b 
c. 
d. 
3. Calcule:
a. 
 Sugestão: Faça 
b. 
 Sugestão: Faça 
c. 
 Sugestão: Faça 
17
Cálculo I
1.10 Limite Fundamental Trigonométrico
O limite fundamental trigonométrico trata de limites que envolvem 
a função trigonométrica . A partir desse limite poderemos 
resolver muitos outros problemas.
Iremos partir da proposição que que pode 
ser provada utilizando a tabela de aproximação (tabela 10). Uma 
característica da função é que ela é par, ou seja,
 (para todo x diferente de zero).
Observemos agora a tabela de aproximação abaixo (Tabela 10):
± 0,1 0,9983341664683...
± 0,01 0,9999833334167...
± 0,001 0,9999998333333...
± 0,0001 0,9999999983333...
± 0,00001 0,9999999999833...
x → 0 f (x) = 1
Calcule os limites abaixo:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Solução:
1. . Vamos multiplicar o numerador e o denominador 
da expressão por 
3. . Fazendo .
2. 
 
18
Cálculo I
3. . Nesse exemplo vamos multiplicar o 
numerador e o denominador da expressão por 
. Como 
 (da relação ), 
 .
4. . Como , 
.
5. . Iremos multiplicar o numerador 
e o denominador da expressão por 4. 
.
Atividade de Estudo
1. Resolva os limites abaixo usando o limite trigonométrico 
fundamental:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
2. Sabendo que , calcule:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
19
Cálculo I
f. 
g. 
1.11 Continuidade
Intuitivamente, ideia de uma função contínua decorre da análise 
do seu gráfico. Quando o gráfico de uma função não apresenta 
‘‘saltos’’ (interrupções), dizemos que ela é contínua. Existindo algum 
ponto em que ocorre um ‘‘salto’’ (interrupção) dizemos que a função 
é descontínua nesse ponto. Vamos acompanhar alguns gráficos de 
funções nas figuras abaixo (figuras 7, 8 e 9).
Figura 7 Figura 8 Figura 9
Fazendo a construção dos gráficos das funções e , 
temos as seguintes considerações:
» Para a função , o seu gráfico é uma parábola 
(figura 7) onde o seu domínio é o conjunto dos números 
reais , ou seja, para qualquer valor real de , é verdade 
que: ;
» Para a função se calcularmos 
o limite para tendendo a 0 (zero) veremos 
que e . Como 
. Temos que a 
função não é contínua no ponto ;
» Para a função quando calculamos o seu limite 
para , teremos: , ou seja, 
o limite existe para x tendendo a 1,mas a função não está 
definida para .
20
Cálculo I
Através da construção e análise dos gráficos das funções , 
 e , vemos que, com exceção de , as demais funções 
apresentam ‘‘saltos’’ (interrupções) em algum ponto. No caso da 
função , o q caracteriza a ausência desses ‘‘saltos’’ é o fato de 
existir o limite em qualquer ponto do domínio e, além disso, esse 
limite ser igual a (imagem de na função ).
De outra forma, escrevemos:
Seja um ponto do domínio de uma função . Dizemos que é 
contínua no ponto se .
Vejamos outros exemplos:
1. A função é contínua no ponto ?
2. Verificar se a função é contínua para .
3. A função é contínua para ?
4. Determinar o valor de de modo que a função 
 seja contínua em .
Solução:
1. Utilizando
as tabelas de aproximação, podemos calcular os 
limites laterais de : e . 
Como , temos que é 
contínua no ponto .
2. O (você pode verificar através dos limites laterais 
ou ainda fatorando e simplificando a expressão e em 
seguida calculando o limite quando tende a 2). Pela definição, 
uma função será contínua se . Para esse 
exemplo e em a função não está definida. 
Temos que não é contínua para .
3. Ao calcularmos os limites laterais em quando 
e (você pode usar os limites laterais) obtemos como 
resultado 7 (sete). Já o valor de , e pela definição, 
temos que a função não é contínua para .
4. Quando calculamos e através das 
tabelas de aproximação, achamos que e pela 
definição de continuidade temos que ter , ou 
seja, tem valor igual a 2 (dois). Para ser contínua 
basta .
21
Cálculo I
Resumo
Vimos nesse módulo que a noção de limite de uma função é 
derivada do comportamento dessa função em um ponto dado. 
Definimos Limite usando a ideia de aproximações laterais e, em 
seguida, estudamos como determinar o Limite de uma função em um 
ponto. Outro conteúdo trabalhado nesse módulo foi os tipos de Limite, 
como, Limites no Infinito, Limite Exponencial, Limite Trigonométrico e 
suas consequências. Por fim, estudamos o conceito de Continuidade 
de uma função e sua visualização em gráficos.
Atividade de Estudo
1. Dada a função . Diga se é continua nos pontos:
a. 
b. 
c. 
2. Dada a função . Diga se é continua nos 
pontos:
a. 
b. 
3. Se e seja a função definida por 
. Calcule para que contínua em 
.
4. Mostre se a função é contínua ou 
descontínua em .
5. Considere a função, definida em por: . 
Calcular o valor de para que a função seja contínua em .
22
Cálculo I
Atividade de Interação
Deixe sua contribuição no Fórum “Calculando Limites”. Nesse 
Fórum queremos que todos os estudantes postem uma mensagem 
com a resolução de um limite de uma função a sua escolha. Dessa 
forma todos os cursistas poderão observar diversas soluções.
Lista de Exercícios
No Ambiente Moodle está disponível uma lista de exercícios com 
o título de “2ª Lista de Exercícios”. Baixe o arquivo em pdf e realize 
essa atividade. Suas respostas deverão ser enviadas pelo próprio 
Ambiente.
23
Cálculo I
Capítulo 2 - Derivação
2.1 Introdução
O conceito de derivada pode ser interpretado como o coeficiente 
angular da reta tangente a uma curva. Iniciaremos o estudo deste 
módulo com ilustrações da utilização da derivada para determinação 
de retas tangentes ao gráfico de uma função. Também veremos como 
a derivada auxilia para o estudo do comportamento de uma função.
Atividade de Pesquisa
Durante esse módulo você vai acompanhar muitos exemplos 
de resolução de derivadas. É muito importante que também sejam 
feitas pesquisas em outras fontes (livros, internet...) de cálculos de 
derivadas. Pratiquem esses exemplos pesquisados e suas dúvidas 
poderão ser tiradas com o seu tutor virtual.
2.2 Retas tangentes
Vamos iniciar com uma função , e sobre seu gráfico escolhemos 
ao acaso um ponto P de coordenadas .Observe a figura 1.
Figura 1
Que reta, se houver, pode ser chamada de tangente a esse ponto 
P?
Vamos escolher um numero h muito pequeno tal que ≠ 0 e sobre 
o gráfico de marcamos o ponto . Tracemos agora 
24
Cálculo I
uma reta secante que passa pelos pontos P e Q (figura 2)
Figura 2
Fazendo tender a zero pela direita e pela esquerda, a reta 
secante que passa por P e Q tende a posição limite indicada pela 
linha tracejada. A reta nesta posição limite é o que se chama de 
“reta tangente ao gráfico no ponto ”. Na figura 3 temos a 
representação desta ideia.
Figura 3
Das figuras acima, podemos observar que à medida que o valor 
de de muda, a reta secante determinada por P e Q se aproxima da 
posição limite representada pela linha tracejada.
Da geometria analítica, sabemos que o coeficiente angular das 
retas secantes é dado pela expressão . A reta 
tangente, determinada pela posição limite dessas secantes, tem o 
coeficiente angular expreso por , ou ainda, . 
Vejamos um exemplo:
1. Dada a função :
25
Cálculo I
a. Determinar o coeficiente angular da reta secante em cada caso 
abaixo.
i. c = 1 e = 2
ii. c = 1 e = 1
iii. c = 1 e = 0,5
iv. c =1 e = 0,1
b. Trace o gráfico de de todas as retas secantes obtidas no item 
anterior.
c. Através das observações anteriores, escreva o que acontece 
com a posição da reta secante quando se aproxima de zero.
Solução:
a. Vimos que o coeficiente ( ) angular de uma reta secante é dado 
através da expressão . Vamos agora substituir 
os valores fornecidos nos itens i, ii, iii e iv na expressão 
fornecida.
i. 
ii. 
iii. 
iv. 
b. 
Figura 4
c. Quando se aproxima de zero as retas secantes obtidas no 
item b tendem à reta tangente da função no ponto c = 1.
26
Cálculo I
2.3 Derivadas
Na seção anterior falamos sobre retas tangentes e demos um 
tratamento gráfico para limites do tipo . A partir 
deste momento vamos iniciar um estudo mais criterioso desse tipo 
de limite, o qual será chamado de derivada. Uma definição formal 
e matemática de derivada de uma função em um ponto c é dada a 
seguir:
Definição:
A derivada de uma função em um número c , denotada por , 
é = , se o limite existe.
Para calcular devemos calcular 
Agora vamos fazer algumas aplicações através de exemplos:
1. Encontrar a derivada da função em um 
número c qualquer.
 Solução:
 = (Definição de derivada em um 
número c)
Substituímos e <?> em <?> na função :
 
 
 
 Simplificando a expressão e aplicando o limite quando tende 
a zero:
 
2. Aplicando a definição, calcule a derivada da função 
 no ponto de abscissa c = 3.
 Solução:
 
27
Cálculo I
 
 
 
 
 
3. Dada a função , determine, se existir, a derivada 
da função no ponto de abscissa .
 Solução:
 
 
 
 
 
 
2.4 Estudo das derivadas como uma função
Vimos no exemplo 2 da seção anterior que a derivada da função 
 no ponto c = 3 é igual a 2,ou seja .Vamos 
supor que para essa mesma função queremos 
agora determinar , e . Até esse momento teríamos 
que aplicar a definição de derivadas já estudada nesse módulo 
 para cada ponto dado. Em vez de 
realizarmos cada uma dessas operações, vamos escolher um número 
qualquer “c” e determinar :
28
Cálculo I
O que acabamos de determinar foi a derivada da função 
 para um ponto qualquer “c”.
Para encontrar , e , iremos usar a informação 
.
Temos:
Vamos observar mais alguns exemplos:
1. Encontrar dada a função .
 Solução:
 Vamos escolher um número e aplicar a definição de 
derivadas
 
 
 
 
 
2. Usando a definição, calcular:
 a. 
 b. 
 Solução:
 a. Mais uma vez vamos escolher um número qualquer e aplicar 
a definição de derivadas.
 
29
Cálculo I
 
 Multiplicando numerador e denominador por 
 
 
 Simplificando a expressão acima, ficamos com:
 
 Assim a derivada da função para um ponto é 
 b. 
 Pela definição:
 
 
 
 
 
 
2.5 Regras de derivação
Até esse momento, sempre que foi pedido para calcular a derivada 
de uma determinada função, nós sempre fazíamos uso da definição. 
Nesta seção vamos apresentar fórmulas para o cálculo de derivadas 
que são úteis, pois facilitam e diminuem a quantidade de cálculos.
Vamos apresentar uma regra de derivação por vez e sempre 
seguida de exemplos para que sua aplicação fique bem clara.
30
Cálculo I
2.5.1 Derivada de uma função constante.
Se , onde c é uma constante qualquer, então .
Exemplo:
Calcular a derivada das seguintes funções:
a. 
b. 
c. 
Solução:
a.
b. 
c. 
2.5.2 Derivada da função potência.
Sendo um número inteiro positivo e , então 
.
Exemplo:
Determinar a derivada de cada função abaixo:
a. 
b. 
c. 
d. 
Solução:
a. 
b. 
c. 
d. 
Importante: Quando é um número negativo ou racional podemos 
proceder da mesma forma. Observe:
31
Cálculo I
Vamos calcular a derivada das seguintes funções:
a. 
b. 
c. 
d. 
Solução:
a. 
b. 
c. 
d. 
 
2.5.3 Derivada de uma soma de função.
Se e são funções diferenciávéis em , então a função 
 tem a derivada dada pela expressão:
.
Vejamos um exemplo:
Vamos derivar a função . Observe que a 
função é composta por outras funções, mostradas a seguir:
 que possui derivada ;
 que possui derivada ;
 que possui derivada ;
 que possui derivada igual a zero.
Desta forma e como foi definida, a derivada de , indicada 
por , é dada por , ou seja, 
.
De uma forma geral, podemos dizer que a derivada da soma de 
duas ou mais funções é a soma das derivadas dessas funções.
32
Cálculo I
Abaixo seguem mais exemplos onde aplicaremos a regra de 
derivação estudada:
Achar a derivada das seguintes funções:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
Solução:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
Verificando:
a. 
 “possui derivada , possui derivada e 4 possui 
derivada 0 (zero).
b. 
 possui derivada , possui derivada e 
 possui derivada .
c. .
 possui derivada igual a 0 (zero), possui derivada 
e possui derivada .
d. 
 possui derivada , possui derivada , possui 
derivada 1 e 1 possui derivada 0 (zero).
33
Cálculo I
e. .
 possui derivada , possui derivada , 
possui derivada 1 e -1 possui derivada igual a 0 (zero).
f. 
 possui derivada , possui derivada , 
possui derivada e possui derivada 0 (zero).
2.5.4 Derivada de um produto de funções.
Se e são funções deriváveis em , então o produto 
. também será e:
 
De uma forma geral, podemos dizer que a derivada do produto 
de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda 
mais a segunda função vezes a derivada da primeira.
Vejamos algumas aplicações:
Queremos determinar a derivada da função . 
A função é composta por duas funções:
 que possui derivada ;
 que possui derivada .
Pela definição vista, temos que . 
Logo, fazendo as substituições, ficamos com:
.
Observe outros exemplos onde a regra de derivação do produto 
entre duas funções pode ser aplicada:
Calcule a derivada das seguintes funções:
a. 
b. 
c. 
34
Cálculo I
d. 
e. 
Solução:
a. 
 Vamos separar a função em duas:
 e e calcular as suas derivadas. 
Temos que e . Pela definação mostrada, 
. Fazendo as subtituições, 
ficamos com:
 
 
 
 .
b. 
 Vamos fazer como sendo a primeira função, ou seja, 
, e como segunda função, .
 As derivadas de e , são, respectivamente, e .
 Já sabemos que “a derivada do produto de duas funções é a 
primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda 
função vezes a derivada da primeira”. Então:
 
 
 
c. 
 Fazendo como sendo a primeira função, , e 
como segunda função, podemos determinar através 
da expressão :
 
 
 
35
Cálculo I
d. 
 Como fizemos nos itens anteriores, vamos separar a função 
 em e . A derivada de 
 é e a derivada de é . Substituindo esses 
valores em :
 
 
 
e. 
 Se fizermos e , logo e 
. Com essas informações podemos calcular : 
 
 
 
2.5.5 Derivada de um quociente de funções.
Se e são deriváveis em e , então o quociente 
 tem derivada dada pela expressão:
Podemos escrever que a derivada de um quociente de duas 
funções é a derivada do numerador vezes o denominador menos 
a derivada do denominador vezes o numerador, tudo isso dividido 
pelo quadrado do denominador. 
Vamos mostrar agora alguns exemplos onde podemos aplicar essa 
regra de derivação:
Determinar a derivada das funções abaixo:
a. 
b. 
c. 
36
Cálculo I
d. 
e. 
 Solução:
a. 
 Vamos utilizar para esse exemplo e . Já 
sabemos que .
 Como , temos que 3.
 Como , temos que .
 Substituindo esses valores em , 
ficamos com:
 
 
 
 
b. 
 Observe que a função é composta por duas funções:
 que possui derivada e que tem 
como derivada .
 Nosso próximo passo é fazer a substituição dos valores acima 
na expreção :
 
 
 
c. 
 Se chamarmos e , achamos como derivadas 
dessas funções e .
37
Cálculo I
 Aplicando esses valores em , 
ficamos com:
 
 
 
d. 
 Para esse exemplo, vamos chamar de com 
derivada e de que possui derivada 
 .
 Mais uma vez vamos fazer uso da regra de derivação 
estudada:
 
 
 
 
 
e. 
 , onde , e 
 e .
 Vamos fazer as devidas substituições:
 
 
 
38
Cálculo I
Atividades de Estudo
1. Utilizando a definição e regra de derivação, mostre que a 
derivada da função e .
2. Calcule as derivadas das funções dadas a seguir:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
3. Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das 
funções abaixo:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
4. São dadas as funções abaixo. Calcule suas derivadas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
39
Cálculo I
Resumo
Estudamos nesse volume que a noção de derivada de uma função 
em um ponto está diretamente relacionada com a reta tangente a 
essa função nesse ponto dado. Definimos derivada e, em seguida, 
estudamos nesse módulo as regras de derivação mais simples.
Atividades de Interação
Participe do Fórum “A resolução de derivadas” no Ambiente 
Moodle. Muitos dos exemplos pesquisados por você na Atividade de 
Pesquisa devem ser compartilhados com seus colegas nesse Fórum. 
Essa atividade faz parte da sua avaliação somativa.