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TRABALHO DE CÁLCULO NUMÉRICO FACULDADE UNIVERSO

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Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 
afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com 
 
AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 1 
 
TRABALHO DE CÁLCULO NUMÉRICO 
UNIDADE II: SISTEMAS LINEARES 
Os objetivos dessa unidade são trabalhar e compreender as diversas possibilidades e métodos para resoluções de sistemas 
lineares. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
(1) APOSTILA DE CÁLCULO NUMÉRICO DA UNIVERSO 
(2) CÁLCULO NUMÉRICO COM APLICAÇÕES 
BARROSO, Leônidas Conceição BARROSO, Magali Maria de Araújo 
FILHO, Frederico Ferreira Campos CARVALHO, Mário Luiz Bunte de 
MAIA, Míriam Lourenço 
Editora HARBRA Ltda – 2ª Edição 
Exemplo-Modelo: Resolva o sistema abaixo utilizando o Método de Jacobi 
0
5x y 2z t 5 1
x 9y 3z 4t 26 3
Onde : x e 0,080
3y 7z 2t 7 1
2x 3y 3z 10t 33 3
     
 
       
    
       
 
Solução: 
Passo 01: Escrevendo o sistema na forma matricial: 
5x y 2z t 5
x 9y 3z 4t 26
3y 7z 2t 7
2x 3y 3z 10t 33
Assim:
5 1 2 1 5
1 9 3 4 26
A B
0 3 7 2 7
2 3 3 10 33
   

   

   
    
    
   
    
    
   
    
 
 
 
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AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 2 
 
Passo 02: Anulando a diagonal principal e inverter o sinal dos demais elementos 
   
 
     
   
1 12
0
5 5 5
1 2 1 31 4
0
1 3 4 9 9 9
A C
0 3 20 3 2
0
7 7 72 3 3
2 33
0
10 10 10
Assim:
0 0,200 0,400 0,200
0,111 0 0,333 0,444
C
0 0,429 0 0,286
0,200 0,300 0,300
5
9
7
10
0
  
   
 
    
    
     
  
    
      
  
   
 
 
 
  
 
 
 

 5
5
5 1,00026
26 2,8899
B D D
7 1,0007
733 3,300
33
10
 
 
 
    
    
        
     
       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Passo 03: Escrevendo na forma 
X Cx D 
 
x 0 0,200 0,400 0,200 x 1,000
y 0,111 0 0,333 0,444 y 2,889
z 0 0,429 0 0,286 z 1,000
t 0,200 0,300 0,300 0 t 3,300
Assim:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000
y 0,111x 0,333z 0,444t
       
       
          
       
       
       
   
    2,889
z 0,429y 0,286t 1,000
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300




  
    
 
Passo 04: Fazer as iterações 
     
0
1
PRIMEIRA ITERAÇÃO:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1
y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 3
x
z 0,429y 0,286t 1,000 1
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3
Substituindo :
x 0,200 3 0,400 1 0,200 3 1,000 1,800
     
 
      
   
       
       
     
   
     
1
1
1
1
y 0,111 1 0,333 1 0,444 3 2,889 1,779
z 0,429 3 0,286 3 1,000 3,145
t 0,200 1 0,300 3 0,300 1 3,300 2,900
Assim:
1,800
1,779
x
3,145
2,900


        

     

       
 
 
 
 
 
  
 
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 
1
2
SEGUNDA ITERAÇÃO:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1,800
y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 1,779
x
z 0,429y 0,286t 1,000 3,145
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 2,900
Substituindo :
x 0,200 1,779 0,400 3,
     
 
      
   
       
       
     
   
     
2
2
2
2
145 0,200 2,900 1,000 0,6778
y 0,111 1,800 0,333 3,145 0,444 2,900 2,889 2,449
z 0,429 1,779 0,286 2,900 1,000 2,593
t 0,200 1,800 0,300 1,779 0,300 3,145 3,300 4,070
Assim:
0,6778
2,449
x
2,593
4
    

        

     

       

,070
 
 
 
 
 
  
 
2
3
TERCEIRA ITERAÇÃO:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 0,6778
y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,449
x
z 0,429y 0,286t 1,000 2,593
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 4,070
Substituindo :
x 0,200 2,449 0,400
     
 
      
   
       
       
     
   
     
3
3
3
3
2,593 0,200 4,070 1,000 1,267
y 0,111 0,6778 0,333 2,593 0,444 4,070 2,889 1,870
z 0,429 2,449 0,286 4,070 1,000 3,215
t 0,200 0,6778 0,300 2,449 0,300 2,593 3,300 3,479
Assim:
1,267
1,870
x
3,21
    

        

     

       

5
3,479
 
 
 
 
 
  
 
 
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 
3
4
QUARTA ITERAÇÃO:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1,267
y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 1,870
x
z 0,429y 0,286t 1,000 3,215
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,479
Substituindo :
x 0,200 1,870 0,400 3,2
     
 
      
   
       
       
     
   
     
4
4
4
4
15 0,200 3,479 1,000 0,7838
y 0,111 1,267 0,333 3,215 0,444 3,479 2,889 2,274
z 0,429 1,870 0,286 3,479 1,000 2,797
t 0,200 1,267 0,300 1,870 0,300 3,215 3,300 3,957
Assim:
0,7838
2,274
x
2,797
3,
    

        

     

       

957
 
 
 
 
 
  
 
4
5
QUINTA ITERAÇÃO:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 0,7838
y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,274
x
z 0,429y 0,286t 1,000 2,797
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,957
Substituindo :
x 0,200 2,274 0,400 2,
     
 
      
   
       
       
     
   
     
5
5
5
5
797 0,200 3,957 1,000 1,127
y 0,111 0,7838 0,333 2,797 0,444 3,957 2,889 1,976
z 0,429 2,274 0,286 3,957 1,000 3,107
t 0,200 0,7838 0,300 2,274 0,300 2,797 3,300 3,614
Assim:
1,127
1,976
x
3,107
3
    

        

     

       

,614
 
 
 
 
 
  
 
 
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 
5
6
SEXTA ITERAÇÃO:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1,127
y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 1,976
x
z 0,429y 0,286t 1,000 3,107
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,614
Substituindo :
x 0,200 1,976 0,400 3,10
     
 
      
   
       
       
     
   
     
6
6
6
6
7 0,200 3,614 1,000 0,8752
y 0,111 1,127 0,333 3,107 0,444 3,614 2,889 2,194
z 0,429 1,976 0,286 3,614 1,000 2,881
t 0,200 1,127 0,300 1,976 0,300 3,107 3,300 3,865
Assim:
0,8752
2,194
x
2,881
3,8
    

        

     

       

65
 
 
 

 
  
 
6
7
SÉTIMA ITERAÇÃO:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 0,8752
y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,194
x
z 0,429y 0,286t 1,000 2,881
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,865
Substituindo :
x 0,200 2,194 0,400 2,
     
 
      
   
       
       
     
   
     
7
7
7
7
881 0,200 3,865 1,000 1,059
y 0,111 0,8752 0,333 2,881 0,444 3,865 2,889 2,035
z 0,429 2,194 0,286 3,865 1,000 3,047
t 0,200 0,8752 0,300 2,194 0,300 2,881 3,300 3,681
Assim:
1,059
2,035
x
3,047
3
    

        

     

       

,681
 
 
 
 
 
  
 
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 
7
8
OITAVA ITERAÇÃO:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1,059
y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,035
x
z 0,429y 0,286t 1,000 3,047
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,681
Substituindo :
x 0,200 2,035 0,400 3,0
     
 
      
   
       
       
     
   
     
8
8
8
8
47 0,200 3,681 1,000 0,9244
y 0,111 1,059 0,333 3,047 0,444 3,681 2,889 2,152
z 0,429 2,035 0,286 3,681 1,000 2,926
t 0,200 1,059 0,300 2,035 0,300 3,047 3,300 3,815
Assim:
0,9244
2,152
x
2,926
3,
    

        

     

       

815
 
 
 
 
 
  
 
8
9
NONA ITERAÇÃO:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 0,9244
y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,152
x
z 0,429y 0,286t 1,000 2,926
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,815
Substituindo :
x 0,200 2,152 0,400 2,92
     
 
      
   
       
       
     
   
     
9
9
9
9
6 0,200 3,815 1,000 1,023
y 0,111 0,9244 0,333 2,926 0,444 3,815 2,889 2,067
z 0,429 2,152 0,286 3,815 1,000 3,014
t 0,200 0,9244 0,300 2,152 0,300 2,926 3,300 3,717
Assim:
1,023
2,067
x
3,014
3,7
    

        

     

       

17
 
 
 
 
 
  
 
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 
9
10
DÉCIMA ITERAÇÃO:
x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1,023
y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,067
x
z 0,429y 0,286t 1,000 3,014
t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,717
Substituindo :
x 0,200 2,067 0,400 3,
     
 
      
   
       
       
     
   
     
10
10
10
10
014 0,200 3,717 1,000 0,9512
y 0,111 1,023 0,333 3,014 0,444 3,717 2,889 2,129
z 0,429 2,067 0,286 3,717 1,000 2,950
t 0,200 1,023 0,300 2,067 0,300 3,014 3,300 3,789
Assim:
0,9512
2,129
x
2,
    

        

     

       

950
3,789
 
 
 
 
 
  
Considere as tabelas abaixo: 
(i) Tabela das Iterações 
 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 
x 1,000 1,800 0,6778 1,267 0,7838 1,127 0,8752 1,059 0,9244 1,023 0,9512 
y 3,000 1,779 2,449 1,870 2,274 1,976 2,194 2,035 2,152 2,067 2,129 
z 1,000 3,145 2,593 3,215 2,797 3,107 2,881 3,047 2,926 3,014 2950 
t 3,000 2,900 4,070 3,479 3,957 3,614 3,865 3,681 3,815 3,717 3,789 
 
 
 
 
 
 
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(ii) Tabela dos Erros 
1 0x x
 
2 1x x
 
3 2x x
 
4 3x x
 
5 4x x
 
6 5x x
 
7 6x x
 
8 7x x
 
9 8x x
 
10 9x x
 Resp 
0,800 -1,122 0,589 -0,483 0,343 -0,252 0,184 -0,135 0,0986 -0,0718 0,9512 
-1,221 0,670 -0,579 0,404 -0,298 0,218 -0,159 0,117 -0,085 0,062 2,129 
2,145 -0,552 0,622 -0,418 0,310 -0,226 0,166 -0,121 0,088 -0,064 2,950 
-0,100 1,170 -0,591 0,478 -0,343 0,251 -0,184 0,134 -0,098 0,072 3,789 
 
Resp: x = 0,9512 y = 2,129 z = 2,950 t = 3,789
 
UNIDADE III: ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS 
Os objetivos dessa unidade são determinar e compreender os meios para solucionar diversas funções polinomiais através de 
métodos distintos. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
(1) APOSTILA DE CÁLCULO NUMÉRICO DA UNIVERSO 
(2) CÁLCULO NUMÉRICO COM APLICAÇÕES 
BARROSO, Leônidas Conceição BARROSO, Magali Maria de Araújo 
FILHO, Frederico Ferreira Campos CARVALHO, Mário Luiz Bunte de 
MAIA, Míriam Lourenço 
Editora HARBRA Ltda – 2ª Edição 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo-Modelo: Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz da função a seguir 
  x 3f x x 5e , 10    
. 
Solução: 
Passo 01: Determinar o intervalo de existência de uma raiz 
 
   
   
 
 
x
0
1
2
2
f x x 5e
f 0 0 5e 5 f 0 5
5
f 1 1 5e 1 0,8394 f 1 0,8394
e
5
f 2 2 5e 2 0,7375
e
Assim:
x 1,2




 
      
        
     

 
Passo 02: Derivar a função 
  xf x x 5e 
 
   
     
1
x x2
1 1
1
x x x2 2
f x x 5e f x x 5e
Derivando :
1 1 1
f ' x x 1 5e x 5e f ' x 5e
2 2 2 x
 
 
  
    
       
 
Passo 03: Determinar 
 0f x
 e 
 0f ' x
 
   
     
     
0 0 0
x 1,5
x 1,5
a b 1 2 3
x a,b x x 1,2 x 1,5 x 1,5
2 2 2
Assim:
f x x 5e f 1,5 1,5 5 e 0,10909 f 1,5 0,10909
e
1 1
f ' x 5e f ' 1,5 5e 1,5239 f ' 1,5 1,5239
2 x 2 1,5
 
 
 
          
        
       
 
 
 
 
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Passo 04: Aplicar a Fórmula de Newton-Raphson 
 
 
 
 
 
 
k
k 1 k
k
0
1 0 1
0
1 1
f x
x x
f ' x
Assim:
f x f 1,5 0,10909
x x x 1,5 1,5
f ' x f ' 1,5 1,5239
Assim:
x 1,5 0,071586 1,4284 x 1,4284

 
 
        
 
    
 
 
 
 
 
 
 
     
     
k
k 1 k
k
1
2 1 2
1
x 1,4284
x 1,4284
f x
x x
f ' x
Assim:
f x f 1,4284
x x x 1,4284
f ' x f ' 1,4284
onde :
f x x 5e f 1,4284 1,4284 5 e 0,10909 f 1,5 0,003304
e
1 1
f ' x 5e f ' 1,4284 5e 1,61682 f ' 1,4284 1,61682
2 x 2 1,4284
Substituind

 
 
 
    
         
       
 
2 2
o :
0,003304
x 1,4284 1,4284 0,0020435 1,4304435 x 1,4304435
1,61682

      
 
 
 
 
 
 
 
   
 
   
k
k 1 k
k
2
3 2 3
2
x 1,4304435
x 1,43
f x
x x
f ' x
Assim:
f x f 1,4304435
x x x 1,4304435
f ' x f ' 1,4304435
onde :
f x x 5e f 1,4304435 1,4304435 5 e 0,000002564
f 1,4304435 0,000002564
e
1 1
f ' x 5e f ' 1,4304435 5e
2 x 2 1,4304435

 
 
 
    
       
  
      
 
044353 3
1,61407 f ' 1,4304435 1,61407
Substituindo :
0,0000002564
x 1,4304435 1,4304435 0,000001588 1,4304451 x 1,4304451
1,61407
  

      
 
 
 
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Passo 05: Tabela de Iterações e Erro 
Iterações k
 
kx
 
k 1x 
 
k 1 kErro x x  
 
0 1,5 1,4284 0,0716 
1 1,4284 1,4304435 0,0020435 
2 1,4304435 1,4304451 0,0000016 
 
Resp: x = 1,4304451

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