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Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 1 TRABALHO DE CÁLCULO NUMÉRICO UNIDADE II: SISTEMAS LINEARES Os objetivos dessa unidade são trabalhar e compreender as diversas possibilidades e métodos para resoluções de sistemas lineares. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: (1) APOSTILA DE CÁLCULO NUMÉRICO DA UNIVERSO (2) CÁLCULO NUMÉRICO COM APLICAÇÕES BARROSO, Leônidas Conceição BARROSO, Magali Maria de Araújo FILHO, Frederico Ferreira Campos CARVALHO, Mário Luiz Bunte de MAIA, Míriam Lourenço Editora HARBRA Ltda – 2ª Edição Exemplo-Modelo: Resolva o sistema abaixo utilizando o Método de Jacobi 0 5x y 2z t 5 1 x 9y 3z 4t 26 3 Onde : x e 0,080 3y 7z 2t 7 1 2x 3y 3z 10t 33 3 Solução: Passo 01: Escrevendo o sistema na forma matricial: 5x y 2z t 5 x 9y 3z 4t 26 3y 7z 2t 7 2x 3y 3z 10t 33 Assim: 5 1 2 1 5 1 9 3 4 26 A B 0 3 7 2 7 2 3 3 10 33 Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 2 Passo 02: Anulando a diagonal principal e inverter o sinal dos demais elementos 1 12 0 5 5 5 1 2 1 31 4 0 1 3 4 9 9 9 A C 0 3 20 3 2 0 7 7 72 3 3 2 33 0 10 10 10 Assim: 0 0,200 0,400 0,200 0,111 0 0,333 0,444 C 0 0,429 0 0,286 0,200 0,300 0,300 5 9 7 10 0 5 5 5 1,00026 26 2,8899 B D D 7 1,0007 733 3,300 33 10 Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 3 Passo 03: Escrevendo na forma X Cx D x 0 0,200 0,400 0,200 x 1,000 y 0,111 0 0,333 0,444 y 2,889 z 0 0,429 0 0,286 z 1,000 t 0,200 0,300 0,300 0 t 3,300 Assim: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 z 0,429y 0,286t 1,000 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 Passo 04: Fazer as iterações 0 1 PRIMEIRA ITERAÇÃO: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 3 x z 0,429y 0,286t 1,000 1 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3 Substituindo : x 0,200 3 0,400 1 0,200 3 1,000 1,800 1 1 1 1 y 0,111 1 0,333 1 0,444 3 2,889 1,779 z 0,429 3 0,286 3 1,000 3,145 t 0,200 1 0,300 3 0,300 1 3,300 2,900 Assim: 1,800 1,779 x 3,145 2,900 Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 4 1 2 SEGUNDA ITERAÇÃO: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1,800 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 1,779 x z 0,429y 0,286t 1,000 3,145 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 2,900 Substituindo : x 0,200 1,779 0,400 3, 2 2 2 2 145 0,200 2,900 1,000 0,6778 y 0,111 1,800 0,333 3,145 0,444 2,900 2,889 2,449 z 0,429 1,779 0,286 2,900 1,000 2,593 t 0,200 1,800 0,300 1,779 0,300 3,145 3,300 4,070 Assim: 0,6778 2,449 x 2,593 4 ,070 2 3 TERCEIRA ITERAÇÃO: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 0,6778 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,449 x z 0,429y 0,286t 1,000 2,593 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 4,070 Substituindo : x 0,200 2,449 0,400 3 3 3 3 2,593 0,200 4,070 1,000 1,267 y 0,111 0,6778 0,333 2,593 0,444 4,070 2,889 1,870 z 0,429 2,449 0,286 4,070 1,000 3,215 t 0,200 0,6778 0,300 2,449 0,300 2,593 3,300 3,479 Assim: 1,267 1,870 x 3,21 5 3,479 Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 5 3 4 QUARTA ITERAÇÃO: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1,267 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 1,870 x z 0,429y 0,286t 1,000 3,215 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,479 Substituindo : x 0,200 1,870 0,400 3,2 4 4 4 4 15 0,200 3,479 1,000 0,7838 y 0,111 1,267 0,333 3,215 0,444 3,479 2,889 2,274 z 0,429 1,870 0,286 3,479 1,000 2,797 t 0,200 1,267 0,300 1,870 0,300 3,215 3,300 3,957 Assim: 0,7838 2,274 x 2,797 3, 957 4 5 QUINTA ITERAÇÃO: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 0,7838 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,274 x z 0,429y 0,286t 1,000 2,797 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,957 Substituindo : x 0,200 2,274 0,400 2, 5 5 5 5 797 0,200 3,957 1,000 1,127 y 0,111 0,7838 0,333 2,797 0,444 3,957 2,889 1,976 z 0,429 2,274 0,286 3,957 1,000 3,107 t 0,200 0,7838 0,300 2,274 0,300 2,797 3,300 3,614 Assim: 1,127 1,976 x 3,107 3 ,614 Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 6 5 6 SEXTA ITERAÇÃO: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1,127 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 1,976 x z 0,429y 0,286t 1,000 3,107 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,614 Substituindo : x 0,200 1,976 0,400 3,10 6 6 6 6 7 0,200 3,614 1,000 0,8752 y 0,111 1,127 0,333 3,107 0,444 3,614 2,889 2,194 z 0,429 1,976 0,286 3,614 1,000 2,881 t 0,200 1,127 0,300 1,976 0,300 3,107 3,300 3,865 Assim: 0,8752 2,194 x 2,881 3,8 65 6 7 SÉTIMA ITERAÇÃO: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 0,8752 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,194 x z 0,429y 0,286t 1,000 2,881 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,865 Substituindo : x 0,200 2,194 0,400 2, 7 7 7 7 881 0,200 3,865 1,000 1,059 y 0,111 0,8752 0,333 2,881 0,444 3,865 2,889 2,035 z 0,429 2,194 0,286 3,865 1,000 3,047 t 0,200 0,8752 0,300 2,194 0,300 2,881 3,300 3,681 Assim: 1,059 2,035 x 3,047 3 ,681 Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 7 7 8 OITAVA ITERAÇÃO: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1,059 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,035 x z 0,429y 0,286t 1,000 3,047 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,681 Substituindo : x 0,200 2,035 0,400 3,0 8 8 8 8 47 0,200 3,681 1,000 0,9244 y 0,111 1,059 0,333 3,047 0,444 3,681 2,889 2,152 z 0,429 2,035 0,286 3,681 1,000 2,926 t 0,200 1,059 0,300 2,035 0,300 3,047 3,300 3,815 Assim: 0,9244 2,152 x 2,926 3, 815 8 9 NONA ITERAÇÃO: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 0,9244 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,152 x z 0,429y 0,286t 1,000 2,926 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,815 Substituindo : x 0,200 2,152 0,400 2,92 9 9 9 9 6 0,200 3,815 1,000 1,023 y 0,111 0,9244 0,333 2,926 0,444 3,815 2,889 2,067 z 0,429 2,152 0,286 3,815 1,000 3,014 t 0,200 0,9244 0,300 2,152 0,300 2,926 3,300 3,717 Assim: 1,023 2,067 x 3,014 3,7 17 Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 8 9 10 DÉCIMA ITERAÇÃO: x 0,200y 0,400z 0,200t 1,000 1,023 y 0,111x 0,333z 0,444t 2,889 2,067 x z 0,429y 0,286t 1,000 3,014 t 0,200x 0,300y 0,300z 3,300 3,717 Substituindo : x 0,200 2,067 0,400 3, 10 10 10 10 014 0,200 3,717 1,000 0,9512 y 0,111 1,023 0,333 3,014 0,444 3,717 2,889 2,129 z 0,429 2,067 0,286 3,717 1,000 2,950 t 0,200 1,023 0,300 2,067 0,300 3,014 3,300 3,789 Assim: 0,9512 2,129 x 2, 950 3,789 Considere as tabelas abaixo: (i) Tabela das Iterações x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x 1,000 1,800 0,6778 1,267 0,7838 1,127 0,8752 1,059 0,9244 1,023 0,9512 y 3,000 1,779 2,449 1,870 2,274 1,976 2,194 2,035 2,152 2,067 2,129 z 1,000 3,145 2,593 3,215 2,797 3,107 2,881 3,047 2,926 3,014 2950 t 3,000 2,900 4,070 3,479 3,957 3,614 3,865 3,681 3,815 3,717 3,789 Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 9 (ii) Tabela dos Erros 1 0x x 2 1x x 3 2x x 4 3x x 5 4x x 6 5x x 7 6x x 8 7x x 9 8x x 10 9x x Resp 0,800 -1,122 0,589 -0,483 0,343 -0,252 0,184 -0,135 0,0986 -0,0718 0,9512 -1,221 0,670 -0,579 0,404 -0,298 0,218 -0,159 0,117 -0,085 0,062 2,129 2,145 -0,552 0,622 -0,418 0,310 -0,226 0,166 -0,121 0,088 -0,064 2,950 -0,100 1,170 -0,591 0,478 -0,343 0,251 -0,184 0,134 -0,098 0,072 3,789 Resp: x = 0,9512 y = 2,129 z = 2,950 t = 3,789 UNIDADE III: ZEROS REAIS DE FUNÇÕES REAIS Os objetivos dessa unidade são determinar e compreender os meios para solucionar diversas funções polinomiais através de métodos distintos. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: (1) APOSTILA DE CÁLCULO NUMÉRICO DA UNIVERSO (2) CÁLCULO NUMÉRICO COM APLICAÇÕES BARROSO, Leônidas Conceição BARROSO, Magali Maria de Araújo FILHO, Frederico Ferreira Campos CARVALHO, Mário Luiz Bunte de MAIA, Míriam Lourenço Editora HARBRA Ltda – 2ª Edição Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 10 Exemplo-Modelo: Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz da função a seguir x 3f x x 5e , 10 . Solução: Passo 01: Determinar o intervalo de existência de uma raiz x 0 1 2 2 f x x 5e f 0 0 5e 5 f 0 5 5 f 1 1 5e 1 0,8394 f 1 0,8394 e 5 f 2 2 5e 2 0,7375 e Assim: x 1,2 Passo 02: Derivar a função xf x x 5e 1 x x2 1 1 1 x x x2 2 f x x 5e f x x 5e Derivando : 1 1 1 f ' x x 1 5e x 5e f ' x 5e 2 2 2 x Passo 03: Determinar 0f x e 0f ' x 0 0 0 x 1,5 x 1,5 a b 1 2 3 x a,b x x 1,2 x 1,5 x 1,5 2 2 2 Assim: f x x 5e f 1,5 1,5 5 e 0,10909 f 1,5 0,10909 e 1 1 f ' x 5e f ' 1,5 5e 1,5239 f ' 1,5 1,5239 2 x 2 1,5 Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 11 Passo 04: Aplicar a Fórmula de Newton-Raphson k k 1 k k 0 1 0 1 0 1 1 f x x x f ' x Assim: f x f 1,5 0,10909 x x x 1,5 1,5 f ' x f ' 1,5 1,5239 Assim: x 1,5 0,071586 1,4284 x 1,4284 k k 1 k k 1 2 1 2 1 x 1,4284 x 1,4284 f x x x f ' x Assim: f x f 1,4284 x x x 1,4284 f ' x f ' 1,4284 onde : f x x 5e f 1,4284 1,4284 5 e 0,10909 f 1,5 0,003304 e 1 1 f ' x 5e f ' 1,4284 5e 1,61682 f ' 1,4284 1,61682 2 x 2 1,4284 Substituind 2 2 o : 0,003304 x 1,4284 1,4284 0,0020435 1,4304435 x 1,4304435 1,61682 k k 1 k k 2 3 2 3 2 x 1,4304435 x 1,43 f x x x f ' x Assim: f x f 1,4304435 x x x 1,4304435 f ' x f ' 1,4304435 onde : f x x 5e f 1,4304435 1,4304435 5 e 0,000002564 f 1,4304435 0,000002564 e 1 1 f ' x 5e f ' 1,4304435 5e 2 x 2 1,4304435 044353 3 1,61407 f ' 1,4304435 1,61407 Substituindo : 0,0000002564 x 1,4304435 1,4304435 0,000001588 1,4304451 x 1,4304451 1,61407 Rua 104F Qd.F18 Lt. 94 - CASA 01 – Setor Sul – Goiânia – CEP:74080-450 afonsocarioca@gmail.com / afonsocarioca@hotmail.com AFONSO CARIOCA – WAPP/TELEGRAM: (62) 99469-8239 / 98109-4036 Página 12 Passo 05: Tabela de Iterações e Erro Iterações k kx k 1x k 1 kErro x x 0 1,5 1,4284 0,0716 1 1,4284 1,4304435 0,0020435 2 1,4304435 1,4304451 0,0000016 Resp: x = 1,4304451
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