Estado plano de deformações ResMat. II

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROFº. GABRIEL MARINHO
ESTADO PLANO DE
DEFORMAÇÕES
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS PROFº. GABRIEL MARINHO
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES
1 CONCEITO
2 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS
3 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMO
4 EXERCÍCIO EM SALA
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1 CONCEITO
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Suporte	fixo
Suporte	fixo
1 CONCEITO
ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÕES
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Em princípio pode-se imaginar que a seção extrema eixo z é
um plano rígido fixo, de forma que qualquer deslocamento na
direção axial não é possível. Deste modo, as deformações na
direção axial são nulas, resultando apenas as deformações𝜺𝒙, 𝜺𝒚, 𝜸𝒙𝒚,	 que definem o estado plano de deformações. As
componentes de tensão 𝛔𝐱, 𝛔𝐲, 𝛔𝐳, 𝛕𝐱𝐲, também definem o
estado plano de tensões.
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1 CONCEITO
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Essas componentes de deformação e tensão se relacionam
através da Lei de Hooke:
𝜀7𝜀8𝛾78 =
:; − =; − =; 0− =; :; − =; 00 0 0 :? 	 .
𝜎7𝜎8𝜎B𝜏78
1 CONCEITO
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Transformação do estado plano de deformações:
𝑦
𝑥
𝑄
∆𝑠
∆𝑠
𝑦
𝑥
∆s (1+εy)
∆s (1+εx)𝜋2 −	𝛾78
𝜋2 +	𝛾87
𝜺𝒛 = 𝜸𝒛𝒙 = 𝜸𝒛𝒚 = 𝟎 𝜺𝒛, 𝜺𝒚, 𝜸𝒙𝒚
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1 CONCEITO
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∆s (1+εx’)
∆s (1+εx’)𝜋2 −	𝛾7P8P
𝜋2 +	𝛾8P7P
Definindo novas componentes devido ao 𝜽:
𝑦
𝑥
𝑄
𝜽
𝜽
𝑦
𝑥𝜽
𝜽
1 CONCEITO
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Primeiro deduz-se uma expressāo para a deformação
específica normal ao longo da linha AB que forma um ângulo
arbitrário 𝜽	com eixo x. Para isso considera-se o triângulo
retângulo ABC que tem lado AB como hipotenusa, e o
triângulo A’B’C’ no qual o triângulo ABC é deformado.
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1 CONCEITO
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Transformação do estado plano de deformações:
𝑦
𝑥
∆𝑥
∆𝑠
𝑦
𝑥
∆𝑦𝜽 ∆s (1+ε(𝜽)) ∆y (1+εy)
∆x (1+εx) 𝜋2 +	𝛾78
𝐁
𝐂𝐀
𝐁′
𝐂′𝐀′
1 CONCEITO
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Lembrando-se que o ângulo reto em C se transforma em um
ângulo igual a VW +	𝛾78,	e aplicando a Lei dos Cossenos ao
triângulo A’B’C’, sabendo-se que ∆x= ∆s.cosθ, ∆y= ∆s.senθ e
que 	𝛾78 é muito pequeno, lembrando-se da relação	𝑐𝑜𝑠W𝜃 +	𝑠𝑒𝑛W𝜃 = 1 e desprezando os termos de segunda ordem,
chega-se:
ε θ = ε7. cos2θ + ε8. 𝑠𝑒𝑛2θ+	γ78. 𝑠𝑒𝑛θ. cosθ
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1 CONCEITO
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Para	ε 0° = ε7, ε 90° = ε8ε 45° : ε𝑂𝐵 = ε 45° = 12 (ε7+ε8+	γ78)
Resolvendo essa equação para 	γ78:
	γ78= 2. ε𝑂𝐵 − (ε7+ε8)
1 CONCEITO
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A deformação normal ε7P	ao longo do eixo x’ usando relações
trigonométricas, pode ser escrita como:
ε7P = ε7 + ε82 + ε7 − ε82 . cos2θ + 	γ782 . 𝑠𝑒𝑛2θ
Substituindo θ	por θ + 90º, obtemos a deformação normal ao
longo do eixo y’:
ε8P = ε7 + ε82 − ε7 − ε82 . cos2θ − 	γ782 . 𝑠𝑒𝑛2θ
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1 CONCEITO
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Somando membro a membro as equações acima, chega-se
a: ε7P + ε8P = ε7 + ε8
Substituindo θ	por θ = 45º, obtemos a deformação normal ao
longo da bissetriz OB’ do ângulo formado pelos eixos x’ e y’.
	γ7P8P= −(𝜀7−ε8). 𝑠𝑒𝑛2θ + γ78. 𝑐𝑜𝑠2θ
2 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS
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CÍRCULO DE MOHR
𝜀
D
CB A
E
O 𝜀lén
𝜀lá7
𝜀líq
12γ
12 γlá7
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2 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS
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Como as equações para a transformaçāo do estado plano de
deformação tem a mesma forma das equações para a
transformação do estado plano de tensāo, o uso do círculo de
Mohr pode ser retomado para a análise do estado plano de
deformações:
𝜀lén= rstruW 𝑅 =		 𝜀7 −	𝜀82 W + γ782 W�
2 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS
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Pontos A e B em que o círculo de Mohr intercepta o eixo
horizontal:
𝜀lá7	 = 𝜀lén + 𝑅 𝜀líq = 𝜀lén − 𝑅
Assim os valores de 𝜃𝑝 do ângulo 𝜃	 que correspondem aospontos A e B podem ser obtidos fazendo 𝜏7P8P = 0𝑡𝑔	2𝜃𝑝	=	 γ78𝜀7 −	𝜀8
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2 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS
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𝑦
𝑥𝜃𝑝
𝜃𝑝
3 TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMO
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A deformação máxima de cisalhamento é definida pelos
pontos D e E. Ela é igual ao diâmetro do círculo de Mohr,
portanto:
γlá7=	2R	= 𝜀7 −	𝜀8 W+ γ78W�
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4 EXERCÍCIO EM SALA
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1. Determine o estado plano de deformações associados aos eixos x’ e y’
que sofreram uma rotaçāo do ângulo dado:
𝑦
𝑥 𝑥𝜃
𝜀7 = −240𝜇𝜀8 = +320𝜇γ78 = −330𝜇𝜃 = 65°
4 EXERCÍCIO EM SALA
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2. Para o estado plano de deformação dado, determine:
(a) a orientação das deformações principais,
(b) a deformação máxima no plano
(c) a deformação de cisalhamento máxima
Dados:𝜀7 = +400𝜇𝜀8 = +200𝜇γ78 = −375𝜇