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Livro texto: aula 03 - 04 Derivadas parciais Regra da cadeia e derivação implícita Funções de mais de uma variável AULA DATA TÓPICOS 05/06 17 a 22/ agosto Derivadas parciais. Derivadas parciais de ordem superior. 07/08 17 a 22/ agosto A regra da cadeia. Derivação implícita. Fi gu ra e m : T H O M A S, G eo rg e B . C ál cu lo : v o lu m e 2. 1 2. e d . S ão P au lo : P ea rs o n Ed u ca ti o n d o B ra si l, 20 12 , p ág in a 2 28 Definição seja 𝑓 𝐷 C ℝ𝑛 → ℝ, onde 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) e seja um ponto 𝑃 = 𝑎1, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐷. A derivada parcial de 𝑓em relação a 𝑥𝑖 no ponto 𝑃 é: 𝜕𝑓 𝜕xi = lim ℎ→0 𝑓 𝑎1, … , 𝑎𝑖+ℎ, … , 𝑎𝑛 − 𝑓(𝑎1, … , 𝑎𝑖 , … , 𝑎𝑛) ℎ Lê-se “del f” “del xi” Significa manter todas as variáveis fixas, exceto aquela que contêm o incremento h. Caso de duas variáveis 𝑓(𝑥, 𝑦): Fi gu ra e m : T H O M A S, G eo rg e B . C ál cu lo : v o lu m e 2. 1 2. e d . S ão P au lo : P ea rs o n Ed u ca ti o n d o B ra si l, 20 12 , p ág in a 2 27 Caso de duas variáveis 𝑓(𝑥, 𝑦): Fi gu ra e m : T H O M A S, G eo rg e B . C ál cu lo : v o lu m e 2. 1 2. e d . S ão P au lo : P ea rs o n Ed u ca ti o n d o B ra si l, 20 12 , p ág in a 2 27 1) Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2. Encontre 𝜕𝑓 𝜕𝑥 3,1 . x z y=1 => 𝑧 = 𝑥2 + 1 2) Calcule 𝜕𝑓 𝜕𝑥 e 𝜕𝑓 𝜕𝑦 nos seguintes casos: a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑒𝑦 + 𝑦2𝐿𝑛 𝑥 b)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑦3𝑠𝑒𝑛(𝑥) 3) Calcule 𝜕𝑓 𝜕𝑥 , 𝜕𝑓 𝜕𝑦 e 𝜕𝑓 𝜕𝑧 onde 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑧𝑒𝑥𝑦 Derivadas parciais de segunda ordem e de ordem superior Teoricamente não existe limite para o número de vezes que podemos derivar uma função, aparecendo assim as derivadas de ordem superior 4) Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 + 𝑥𝑦5, calcule: 𝜕𝑓 𝜕𝑥 , 𝜕𝑓 𝜕𝑦 , 𝜕2𝑓 𝜕𝑥2 , 𝜕2𝑓 𝜕𝑦2 , 𝜕2𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑦 , 𝜕2𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑥 , 𝜕3𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑦2 , 𝜕3𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 no ex. anterior Fi gu ra e m : T H O M A S, G eo rg e B . C ál cu lo : v o lu m e 2. 1 2. e d . S ão P au lo : P ea rs o n Ed u ca ti o n d o B ra si l, 20 12 , p ág in a 2 32 Regra da cadeia e derivação implícita M at er ia l e m : T H O M A S, G eo rg e B . C ál cu lo : vo lu m e 2. 1 2. e d . S ão P au lo : P ea rs o n Ed u ca ti o n d o B ra si l, 20 12 , p ág in a 2 37 M at er ia l e m : T H O M A S, G eo rg e B . C ál cu lo : vo lu m e 2. 1 2. e d . S ão P au lo : P ea rs o n Ed u ca ti o n d o B ra si l, 20 12 , p ág in a 2 38 1) Seja 𝑧 = 2𝑥2 + 3𝑦2 + 𝑥𝑦 onde 𝑥 = 𝑡2 e 𝑦 = 3𝑡 + 1 . Encontre 𝑑𝑧 𝑑𝑡 sem e com a regra da cadeia. M at er ia l e m : T H O M A S, G eo rg e B . C ál cu lo : vo lu m e 2. 1 2. e d . S ão P au lo : P ea rs o n Ed u ca ti o n d o B ra si l, 20 12 , p ág in a 2 38 M at er ia l e m : T H O M A S, G eo rg e B . C ál cu lo : vo lu m e 2. 1 2. e d . S ão P au lo : P ea rs o n Ed u ca ti o n d o B ra si l, 20 12 , p ág in a 2 40 2) Seja 𝑤 = 𝑢𝑣 ; 𝑢 = ln (𝑥𝑦) e 𝑣 = 𝑒𝑥𝑧 Derivação implícita Suponha 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 Teoricamente podemos escrever x em função de y ou vice-versa. Logo temos 𝑦 = 𝑦 𝑥 ⇒ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑥 = 0 Derivando de ambos os lados da equação temos: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦 𝑥 ) = 0 ⇒ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 3) Seja a relação 𝑦2 + 𝑥 + 1 = 𝑥𝑦. Ela determina duas funções 𝑦 𝑥 . Calcule 𝑑𝑦 𝑑𝑥 (5) onde a função é a de maior valor sem e com a derivação implícita. Regra de derivação implícita: Seja 𝑓 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = 0 Podemos escrever 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 𝑥1, … , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑛 Dessa forma teremos: 𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑗 = −𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 4) Dada a relação 𝑥2 + 𝑧3 5 + 𝑦2 = 𝑥4, encontre 𝜕𝑧 𝜕𝑦
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