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Cálculo Thomas Aulas

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Livro texto: aula 03 - 04 
Derivadas parciais 
Regra da cadeia e derivação implícita 
Funções de mais de uma variável 
AULA DATA TÓPICOS 
05/06 17 a 22/ agosto Derivadas parciais. Derivadas parciais de ordem superior. 
07/08 17 a 22/ agosto A regra da cadeia. Derivação implícita. 
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Definição 
seja 𝑓 𝐷 C ℝ𝑛 → ℝ, onde 𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) 
e 
seja um ponto 𝑃 = 𝑎1, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐷. 
 
A derivada parcial de 𝑓em relação a 𝑥𝑖 no ponto 𝑃 é: 
𝜕𝑓
𝜕xi
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑎1, … , 𝑎𝑖+ℎ, … , 𝑎𝑛 − 𝑓(𝑎1, … , 𝑎𝑖 , … , 𝑎𝑛)
ℎ
 
Lê-se “del f” “del xi” 
Significa manter todas as variáveis fixas, exceto aquela que contêm 
o incremento h. 
 Caso de duas variáveis 𝑓(𝑥, 𝑦): 
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 Caso de duas variáveis 𝑓(𝑥, 𝑦): 
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1) Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2. Encontre 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
3,1 . 
x 
z 
y=1 => 𝑧 = 𝑥2 + 1 
2) Calcule 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 nos seguintes casos: 
 
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 + 𝑒𝑦 + 𝑦2𝐿𝑛 𝑥 
 
b)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑦3𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
3) Calcule 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 e 
𝜕𝑓
𝜕𝑧
 onde 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑧𝑒𝑥𝑦 
Derivadas parciais de segunda ordem e de ordem superior 
Teoricamente não existe limite para o número de vezes que podemos 
derivar uma função, aparecendo assim as derivadas de ordem superior 
4) Seja 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦3 + 𝑥𝑦5, calcule: 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 , 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
 , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
 , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦
 , 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑥
 , 
𝜕3𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑦2
 , 
𝜕3𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
 
no ex. anterior 
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 Regra da cadeia e derivação implícita 
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1) Seja 𝑧 = 2𝑥2 + 3𝑦2 + 𝑥𝑦 onde 𝑥 = 𝑡2 e 𝑦 = 3𝑡 + 1 . Encontre 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
 sem e com a 
regra da cadeia. 
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2) Seja 𝑤 = 𝑢𝑣 ; 𝑢 = ln (𝑥𝑦) e 𝑣 = 𝑒𝑥𝑧 
Derivação implícita 
Suponha 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 
 
Teoricamente podemos escrever x em função de y ou vice-versa. Logo temos 𝑦 = 𝑦 𝑥 
 
⇒ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑥 = 0 
 
Derivando de ambos os lados da equação temos: 
 
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦 𝑥 ) = 0 
 
⇒
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 
𝑑𝑥
𝑑𝑥
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 
3) Seja a relação 𝑦2 + 𝑥 + 1 = 𝑥𝑦. Ela determina duas funções 𝑦 𝑥 . 
 
Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(5) onde a função é a de maior valor sem e com a derivação implícita. 
Regra de derivação implícita: 
 
Seja 𝑓 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = 0 
 
Podemos escrever 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 𝑥1, … , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑛 
 
Dessa forma teremos: 
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑥𝑗
=
−𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
 
4) Dada a relação 𝑥2 + 𝑧3 5 + 𝑦2 = 𝑥4, encontre 
𝜕𝑧
𝜕𝑦

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