cvv lista 01 derivada

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Engenharia Civil - Campus Estoril
Cálculo de Várias Variáveis - Lista de Exercícios 1 Professor: Luiz Carlos Fernandes
Derivação
Questão 1: Determine o domínio das funções abaixo, encontre a sua derivada e determine
também seu domínio.
(a) y = −x6
(b) y = x1000
(c) y = 3
√
x
(d) y =
1
x4
(e) y = 4
√
x3
(f) y = x
√
x
(g) y = ex − x
(h) y = 4x2 + 3x− 2012
(i) y = lnx+ ex
Questão 2: Determine os pontos sobre a curva y = x4 − 6x2 + 4 nos quais a reta tangente é
horizontal (coeficiente angular m = 0).
Questão 3: A equação do movimento de uma partícula é s = 2t3 − 5t2 + 3t + 4, em que s é
medido em centímetros e t em segundos. Encontre a aceleração (em cm/s2) como função do tempo. Qual
a aceleração depois de 2 segundos?
Questão 4: Em que ponto da curva y = ex sua reta tangente é paralela à reta y = 2x?
Questão 5: Usando as regras do produto e do quociente, determine a derivada de 1a ordem de
cada função.
(a) f(x) = x2ex
(b) g(x) =
√
xex
(c) y =
ex
x+ 1
(d) V (x) = (2x3 + 3)(x4 − 2x)
(e) g(x) =
3x− 1
2x+ 1
(f) s =
t2
3t2 − 2t+ 1
(g) z = t3/2(t+ cet), c ∈ R
(h) T (y) =
y3 − 2y√y
y
(i) f(r) =
1− rer
r + er
(j) r(θ) =
θ
θ + cθ
, c ∈ R
Questão 6: Use a regra do quociente para mostrar que as derivadas das funções trigonométricas
tgx, cotgx, secx e cossecx são, respectivamente, sec2 x, −cossec2x, secxtgx e −cossecxcotgx.
Questão 7: Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das funções abaixo.
(a) F (x) =
√
x2 + 1
(b) y =
1
3
√
x2 + x+ 1
(c) g(x) = cos(a3 + x3), a ∈ R
(d) f(t) =
√
1 + tgt
(e) y = tg(senθ)
(f) y = e
√
x
(g) y = sen(et)
(h) h(y) = ln yn, n ∈ Z
Questão 8: Encontre todos os pontos sobre o gráfico da função
f(x) = 2senx+ sen2x
em que a reta tangente é horizontal.
Questão 9: Considerando k, a e b constantes reais, use a regra da cadeia para encontrar a
derivada de cada uma das funções.
(a) f(x) = ekx
(b) f(x) = sen(kx)
(c) f(x) = cos(kx)
(d) f(x) = ln(kx)
(e) f(x) =
1
kx
(f) f(x) = eax+b
1
(g) f(x) = sen(ax+ b)
(h) f(x) = cos(ax+ b)
(i) f(x) = ln(ax+ b) (j) f(x) =
1
ax+ b
Questão 10: Utilize os resultados encontrados no exercício 9 para calcular, mentalmente, as
derivadas abaixo.
(a) f(x) = e−2x
(b) f(x) = sen(pix)
(c) f(x) = cos(x/2)
(d) f(x) = ln(4x)
(e) f(x) = sen(pix)− cos(2pix)
(f) f(x) = ex−2
(g) f(x) = sen
(
x+pi
2
)
(h) f(x) = sen(x) + cos(x/2) +
sen(x/4) + cos(x/8)
(i) f(x) = e−3x/2 cos(2x)
(j) f(x) = ln(5− 2x)
Questão 11: Encontre a derivada de cada função abaixo.
(a) y = 2x
√
x2 + 1
(b) y = esen2θ
(c) y = ecx(csenx − cosx), c ∈
R
(d) y = ecos x + cos(ex)
(e) y =
(x2 + 1)4
(2x+ 1)3(3x− 1)5
(f) y =
√
t ln(t4)
(g) y = tg2(senθ)
(h) y = ln
∣∣∣∣x2 − 42x+ 5
∣∣∣∣
(i) y =
√
x+ 1(2− x)5
(x+ 3)7
Questão 12: A função C(t) = K(e−at − e−bt) na qual K, a e b são constantes positivas e a < b,
é usada para modelar a concentração de uma droga injetada na corrente sanguínea no instante t.
(a) Encontre C ′(t), a taxa segundo a qual a droga é eliminada da circulação.
(b) Quando essa taxa é igual a zero?
Questão 13: Encontre os valores máximo e mínimo locais de f .
(a) f(x) = x5 − 5x+ 3 (b) f(x) = x
x2 + 4
(c) f(x) = x+
√
1− x
Questão 14: Um fazendeiro tem 1200m de cerca e quer cercar um campo retangular que está
na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais devem ser as dimensões do
campo para que ele compreenda a maior área possível?
Questão 15: Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem volume de 32 000cm3. Encontre
as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material utilizado.
Questão 16: Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo.
(O diâmetro do semicirculo é igual à largura do retângulo). Se o perímetro da janela for 10m, encontre
as dimensões da janela que deixam passar a maior quantidade possível de luz.
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Algumas respostas
2. (0, 4), (
√
3,−5) e (−√3,−5).
3. a(t) = 12t− 10, a(2) = 14cm/s2.
4. (ln 2, 2)
5. (a) x(x + 2)ex; (d) 14x6 − 4x3 − 6; (e) 5/(2x + 1)2; (f) 2t(1 − t)/(3t2 − 2t + 1)2 (h) 2y − 1/√y; (j)
2cθ/(θ2 + c)2
7. (a) F ′(x) = x√
x2+1
; (b) y′ = − 13 (x2+x+1)−4/3(2x+1); (c) g′(x) = −3x2sen(a3+x3); (f) y′ = e
√
x/2
√
x.
8.
(
pi
2 + 2kpi, 3
)
e
(
3pi
2 + 2kpi,−1
)
para k inteiro.
9. (a) kekx; (d) 1/x; (g) a cos(ax+ b); (j) −a/(ax+ b)2.
10. (a) −2e−2x; (b) pi cos(pix); (g) 12 cos
(
x+pi
2
)
; (j) −2/(5− 2x).
11. (a) 2(2x
2+1)√
x2+1
; (b) 2 cos 2θesen2θ; (c) (1+c2)ecxsenx; (e)− (x2+1)3(x2+56x+9)(2x+1)4(3x−1)6 (g) 2 cos θtg(senθ) sec2(senθ);
(i) (x−2)
4(3x2−55x−52)
2
√
x+1(x+3)8
.
13. (a) máx local f(−1) = 7, mín local f(1) = −1; (c) máx. local f(3/4) = 5/4.
14. 300m×600m.
2
Bibliografia
STEWART, James. Cálculo vol. 1, Cengage Learning, 6a edição, 2011.
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