Exercícios de funções em Séries de Potências

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MEC – SETEC
INSTITUTO FEDERAL MINAS GERAIS - CAMPUS AVANC¸ADO PIUMHI
CURSO: Engenharia Civil
Disciplina Ca´lculo Diferencial e Integral II - MAT021
Professor Vinı´cius Barbosa de Paiva
Nome:
Questa˜o 1 - Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para as func¸o˜es abaixo e determine seu
intervalo de convergeˆncia.
a) f(x) =
3
1− x4
b) f(x) =
2
3− x
c) f(x) =
1
x+ 10
d) f(x) =
x
9 + x2
e) f(x) =
x
2x2 + 1
f) f(x) =
1 + x
1− x
g) f(x) =
x2
a3 − x3
Questa˜o 2 - Expresse a func¸a˜o como a soma de uma se´rie de poteˆncias usando primeiro frac¸o˜es parciais.
Encontre o intervalo de convergeˆncia.
a) f(x) =
3
x2 − x− 2 b) f(x) =
x+ 2
2x2 − x− 1
Questa˜o 3
a) Use derivac¸a˜o para encontrar a representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para:
f(x) =
1
(1 + x)2
Qual o raio de convergeˆncia?
b) Use o item (a) para encontrar uma se´rie de poteˆncias para:
f(x) =
1
(1 + x)3
c) Use o item (b) para encontrar uma se´rie de poteˆncias para:
f(x) =
x2
(1 + x)3
1
Questa˜o 4 - Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para as func¸o˜es abaixo e determine seu
raio de convergeˆncia.
a) f(x) = ln (5− x)
b) f(x) = x2tg−1(x3)
c) f(x) =
(
x
2− x
)3
d) f(x) =
x3
(x− 2)2
Questa˜o 5 - Calcule a integral indefinida como uma se´rie de poteˆncias.Qual 0 raio de convergeˆncia?
a)
∫ t
1− t8dt
b)
∫ t
1 + t3
dt
c)
∫
x2ln (1 + x)dx
d)
∫ tg−1x
x
dx
Questa˜o 6 Demonstre que a func¸a˜o:
f(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial:
f ′′(x) + f(x) = 0
Bons estudos!
Prof.
√
inicius
2