1. Hipóteses envolvendo o erro

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1 
 
Hipóteses envolvendo o erro 
1. Hipóteses envolvendo o erro 
2. Heterocedasticidade 
3. Testando a normalidade 
4. Autocorrelação dos resíduos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1. Hipóteses envolvendo o erro ui 
 
- No caso da estimação: 
 
(a) O valor médio do erro ui é zero: 
( / ) 0i iE u X
 
 
(b) Homocedasticidade ou variância igual de ui. 
 Dado Xi, a variância de ui é a mesma para todas as observações: 
 ( / ) ( / ) i i i i iVar u X E u E u X
 
2( / ) ( / )i i i iVar u X E u X
 
2( / ) i iVar u X
 
 
(c) Não há autocorrelação entre os termos de erro. 
 Dados quaisquer valores de X, Xi e Xj (i j), a correlação entre quaisquer ui e uj (i j) é 
zero: 
( , / , ) 0i j i jCov u u X X
 
 
 - No caso do teste de hipóteses 
 
(d) O modelo normal de regressão linear pressupõe que cada ui seja distribuído normalmente 
com: 
( ) 0iE u
 
2( ) iVar u
 
( , ) 0i jCov u u 
 para i

j 
ou 
2(0, )iu N 
 
ou 
2NID(0, )iu 
 
3 
 
onde NID significa distribuído de maneira normal e independente. 
 
1.1 Propriedades dos estimadores de MQO sob a premissa da normalidade 
 
(a) São não tendenciosos 
 
(b) Têm variância mínima. Combinado com (a) significa que são estimadores não tendenciosos 
com variância mínima, ou estimadores eficientes. 
 
(c) São consistentes, isto é, à medida em que o tamanho da amostra aumenta indefinidamente 
os estimadores convergem para os verdadeiros valores da população. 
 
(d) 
1ˆ
, que é uma função linear de ui, tem distribuição normal com: 
Média: 
1 1
ˆ( )E  
 
Var (
1ˆ
);
1
2
2 2
ˆ 2
i
i
X
n x
  

 
ou de modo mais compacto: 
1
2
ˆ1 1
ˆ ( , )N   
 
 Então, pelas propriedades da distribuição normal, a variável z que é definida como: 
1
1 1
2
ˆ
ˆ
z

 



 
segue a distribuição normal padrão, ou: 
 
(0,1)z N
 
 
(e) Como 
2ˆ
é uma função linear de ui, também tem distribuição normal com: 
Média: 
2 2
ˆ( )E  
 
Var (
2ˆ
): 2
2 2
ˆ( )
i
Var
x

 

 
 
4 
 
ou de modo compacto: 
2
2
ˆ2 2
ˆ ( , )N   
 
e também 
2
2 2
2
ˆ
ˆ
z

 



 segue a distribuição normal padrão. 
(f) 
2 2ˆ( 2)( /n  
 segue a distribuição 
2
 com (n-2) graus de liberdade. Isso nos ajuda a fazer 
inferências a respeito do verdadeiro 
2
 a partir do 
2ˆ
. 
 
(g) A distribuição de 
1
ˆ(
 e 
2ˆ
) é independente de 
2ˆ
. 
 
(h) 
1ˆ
 e 
2ˆ
 têm variância mínima dentro de toda classe de estimadores não tendenciosos, 
sejam ou não lineares. 
 
RESUMO 
A premissa da normalidade permite deduzir as distribuições de probabilidade, ou amostral de 
1ˆ
 e 
2ˆ
(ambas normais) e de 
2
(relacionado ao 
2
). Isto significa simplificar a tarefa de 
construir intervalos de confiança e testar estatisticamente as hipóteses. 
Dada a premissa de que 
2(0, )iu N 
, Yi sendo função linear de ui, também está distribuído 
normalmente com média e variância dadas por: 
1 2( )iE Y X  
 
2( )iVar Y 
 
ou, mais elegantemente: 
2
1 2( ; )i iY N X  
 
 
 
2. Heterocedasticidade 
 
 O valor médio do erro ui é zero: 
( / ) 0i iE u X
 
 Não há teste para esta hipótese 
5 
 
Segundo a hipótese de homocedasticidade a distribuição de u permanece a mesma 
para cada valor de X, e em particular, que a variância de cada ui permanece a mesma para cada 
valor de Xi. 
2 2 2( ) [( ( )] ( )i i uVar u E u E u E u    
 constante. 
 
Esta hipótese é conhecida como homocedasticidade. Se não for satisfeita dizemos que os u´s 
são heterocedásticos: 
2( )
ii u
Var u 
 para i = 1,2,3, ..., N 
 Na prática os erros são heterocedásticos, e vamos discutir como lidar com isto no 
âmbito da econometria. 
 
2.1 Conseqüências da heterocedasticidade 
 
 Se o método dos MQO for empregado para estimar o seguinte modelo 
1 2 2 3 2 ...i i i k ik iY X X X u         
onde 
2( )i iVar u 
 para i= 1,2, 3, ...,n, os estimadores serão justos (não viesados) e 
consistentes, pois estas propriedades dependem de: 
( ) 0iE u 
 e 
( , ) 0i iCov X u 
 
 A hipótese de homocedasticidade é usada para minimizar a variância da combinação 
linear de X e Y. Portanto, os parâmetros não terão a menor variância, não serão eficientes. 
 
2.2. Testes para detectar a heterocedasticidade 
(a) Teste de Breusch-Pagan 
 Considerando o modelo: 
1 2 2 3 2 ...i i i k ik iY X X X u         
testamos a homocedasticidade dos resíduos: 
1 2: ( / , ,..., ) 0o kH Var u X X X 
 
Se H0 for falsa o valor esperado de u2 , dadas as variáveis explicativas, pode ser qualquer 
função de Xj. Um método simples é assumir a função linear: 
6 
 
2
1 2 2 3 3 ... k ku X X X v         
onde 
2 3( / , ,..., ) 0kE v X X X 
. Assim, a hipótese de homocedasticidade é: 
0 1 2 3: ... 0kH        
 
Sabemos que as estatísticas F e LM podem ser usadas para testes conjuntos desta natureza. 
 Como não conhecemos o erro efetivo u, mas temos uma estimativa, os resíduos de 
MQO, 
2ˆ
iu
, podemos estimar a equação: 
2
1 2 2 3 3 ... k ku X X X v         
e obtemos as estatísticas F e LM da significância conjunta dos 
j
. 
 A versão LM deste teste é chamada de teste de Breusch-Pagan da heterocedasticidade 
(teste BP). Este teste pressupõe a normalidade dos resíduos. 
 
Teste BP no E-Views 
Usando o arquivo HOUSEPRICE (Asteriou) 
1. Estimar o modelo 
1 2 3price rooms sqfeet u      
price =-19315,00 + 15198,19 rooms + 128,4362 sqfeer 
2. Estimar a regressão auxiliar: 
1 2 3utsq rooms sqfeet e      
rotina: genr ut=resid 
 genr utsq=ut^2 
 
utsq = -8,22E+09 +1,19E+09 rooms +3881720 sqfeet 
 A estatística LM é distribuída segundo um 
2
com graus de liberdade iguais ao 
número de coeficientes de declividade da regressão auxiliar (k-1). O 
2
pode ser gerado 
7 
 
pela rotina: 
 genr chi=@qchisq(.95,2) 
 chi=5,991465 
 LM = n R2 = 88 x 0,120185 = 10,57628 
Lembrando que a hipótese nula é ausência de heterocedasticidade: 
0 1 2 3: ... 0kH        
 
Como LM > 
2
a hipótese nula é rejeitada e conclui-se pela existência de heterocedasticidade. 
(b) Teste de White 
 A hipótese de homocedasticidade 
1 2( / , ,..., ) 0kVar u X X X 
 
pode ser substituída pela hipótese mais fraca de que: 
- u2 não é correlacionado com as variáveis independentes Xj, com os quadrados das variáveis 
independentes 
2
jX
 e com todos os produtos cruzados Xj . Xh para j h. 
 Esta observação motivou White (1980) a propor um teste para a heterocedasticidade 
que adiciona quadrados e produtos cruzados de todas as variáveis independentes. Assim, para 
o modelo: 
1 2 2 3 3i iY X X u     
 
rodamos a equação auxiliar: 
2 2 2
1 2 2 3 3 4 2 5 3 6 2 3iu X X X X X X e            
A hipótese nula de homocedasticidade é: 
0 1 2 3 4 5 6: 0H            
Computa-se a estatística LM = n R2 onde n é o número de observações usadas para computar a 
regressão auxiliar e R2 é o coeficiente de determinação desta equação. 
8 
 
 LM tem uma distribuição 
2
 com (6-1) graus de liberdade. Rejeitar H0 significa alta 
evidência de heterocedasticidade. 
 
Teste de White no E-Views 
 Usando o arquivo HOUSEPRICE rodar o modelo:
1 2 3price rooms sqfeet u      
na janela da saída: 
 View/Residual tests/White (cross terms) 
Na saída: 
White Heterokedasticity Test 
F - Statistic 4,683121 Prob 0,001857 
Obs*R-squared 16,20386 Prob 0,002727 
 
Como o LM é 16,20386 e o 
2
é: 
genr chi=@qchisq(.95,4) = 9,487729 
pode-se concluir pela heterocedasticidade 
 
2.3. Resolvendo a heterocedasticidade 
 Há duas maneiras de enfrentar a presença da heterocedasticidade: 
(a) reestimar o modelo de forma que leve em conta a presença da heterocedasticidade. Isto 
pode ser feito pelo método dos mínimos quadrados ponderados (generalizados); 
(b) usar estatísticas robustas em relação à heterocedasticidade após a estimação pelos MQO. 
2.3.1. Mínimos quadrados generalizados 
 Para generalizar os mínimos quadrados vamos partir do modelo: 
1 2 2 3 3 ...i k k iY X X X u         
9 
 
onde a variância do erro não é constante: 
2( )i iVar u 
. 
 Se dividirmos cada termo do modelo acima pelo desvio padrão do erro, 
i
, temos o 
modelo modificado: 
2 3
1 2 3
1
...i k ik
i i i i i i
Y X X X u             
 
ou: 
* * * * * *
1 1 2 2 3 3 ...i k k iY X X X X u         
 No modelo modificado temos: 
* ( )( ) 1i ii
i i
u Var u
Var u Var  
 
   
 
 
 Portanto os estimadores de MQO do modelo modificado são BLUE. Este é o método 
dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG). 
 
2.3.2. Mínimos Quadrados Ponderados (MQP) 
 O procedimento para obter-se os MQP é o mesmo usado para os MQG. Definindo: 
1
i
i
w


 
reescrevendo o modelo original como: 
1 2 2 3 3( ) ( ) ... ( ) ( )i i i i i k k i i iwY w X w X w X w u w         
ou: 
 A idéia geral, como pode ser observado, é transformar o modelo original de tal forma 
que o erro se torne homocedástico. A transformação do modelo significa transformar os dados 
originais pela estrutura da heterocedasticidade, ou seja, da forma da relação de 
2
iu

 com os 
valores das variáveis explicativas: 
 
2 ( )
i ju
f X 
 
10 
 
 Em geral a transformação consiste em dividir a relação original pela raiz quadrada do 
termo que é responsável pela heterocedasticidade. Supondo o modelo: 
1 2i i iY X u   
 
sendo ui heterocedástico. 
(a) Suponha que a heterocedasticidade do erro é da forma: 
2 2 2 2( )
ii u
E u K X 
 
onde K é uma constante finita a ser estimada do modelo. Como: 
2
2
2
iuK
X


 
isto sugere que a transformação do modelo consiste na divisão da relação original por 
2X X
 
que dá: 
1
2
i iY u
X X X
   
 
onde o erro é homocedástico. 
(b) Supondo que a heterocedasticidade seja da forma: 
2 2 2( )
ii u
E u K X 
 
A transformação apropriada consiste na divisão da relação original por 
X
: 
1 2
2
i iY X u
X X X X
   
 
sendo que o novo erro é homocedástico. 
 
(c) De modo geral, se a heterocedasticidade é da forma: 
2 2( ) ( )i iE u K f X
 
11 
 
 
a solução é dividir a relação original por 
( )if X
 
Usando o E-Views 
 A partir do arquivo HOUSEPRICE rodar o modelo: 
price = f(rooms, sqfeet) 
Supondo que a estrutura da heterocedasticidade seja: 
2 2( )i iVar u sqfeet  
 
o termo de correção , ponderação, será: 
1
w
sqfeet

 
 Quick/ Estimate Equation Options 
 □ Weighted LS/ TSLS escrever o fator de ponderação: sqfeet^(-.5) 
 
2.3.3. Quando a estrutura da heterocedasticidade for desconhecida 
 Este método consiste em ajustar erros padrão, estatísticas t, F e LM de forma a torná-
los válidos na presença de heterocedasticidade de forma desconhecida. Este método é chamado 
de procedimentos robustos em relação à heterocedasticidade, ou inferência robusta em 
relação à heterocedasticidade. 
 Considerando o modelo simples: 
1 2i i iY X u   
 
e assumindo que: 
2( / )i i iVar u X 
 
ou seja, os erros são heterocedásticos, e dependem do valor de Xi. 
 O estimador de MQO é: 
12 
 
2 2 2
( )ˆ
( )
i i
i
X X u
X X
 

 



, e 
2
2
( )ˆvar( )
i
x
X X
SQT



 
onde 
2( )X iSQT X X 
 é a soma total dos quadrados de X. 
Quando 
2 2
i 
para todo i, a variância se reduz à: 
2
2
ˆ( )
x
Var
SQT

 
 
 Como o erro padrão de 
2ˆ
 é a raiz quadrada da variância, precisamos estimar a 
variância na presença de heterocedasticidade. White(1980), mostrou como isto pode ser 
feito. 
 Sendo ûi os resíduos estimados no modelo inicial, um estimador válido da variância 
de 
2ˆ
 é: 
2 2
2
ˆ( )ˆ( )
i i
X
X X u
Var
SQT



 
que é facilmente calculada após a regressão MQO. 
 Generalizando para um modelo 
1 2 2 3 3 ... k kY X X X u         
2ˆ ˆ.
ˆ( )
ij i
j
j
r u
Var
SQR
  
onde 
iˆjr
 é o i-ésimo resíduo da regressão de Xj sobre todas as outras variáveis 
independentes e SQRj é a soma dos quadrados dos resíduos desta regressão. 
13 
 
 A raiz quadrada da expressão acima fornece os erros-padrão robustos de White. 
Também é possível obter estatísticas F e LM robustas. 
 
Usando o E-Views: inferência robusta 
 Quick/ Estimate Equation: 
 Specification: price c rooms sqfeet 
 
 
14 
 
 
 
 
15 
 
3. Testando a normalidade 
Teste de normalidade de Jarque-Bera (JB) 
 Este é um teste assintótico, ou seja, para grandes amostras. Este teste calcula a 
assimetria e a curtose (A e C) dos resíduos de MQO e emprega o seguinte teste: 
2 2( 3)
6 24
A C
JB n
 
  
 
 
Curtose: grau de achatamento de uma distribuição. 
 Numa distribuição normal a assimetria é zero (A=0) e o valor da curtose é três (C = 3). 
 Sob a hipótese nula de que os resíduos se distribuem normalmente, Jarque e Bera 
mostraram que assintoticamente a estatística JB segue a distribuição 
2
 com 2 graus de 
liberdade. Se o valor p da estatística (

=nível de significância) 
2
 for suficientemente baixo, 
podemos rejeitar a hipótese de que os resíduos tem distribuição normal. 
 
Teste da normalidade no E-Views 
 Usando dados do arquivo TABLE2.8, que trata de despesas com alimentos na Índia, 
rodamos o modelo (n=55) 
 Quick/ Estimate Equation 
 Especification: foodexp c totalexp 
 
 
16 
 
 
 O 
2ˆ
é claramente diferente de zero, mas vamos testar a hipótese de que 
2 0,5 
 
0 2
1 2
: 0,5
: 0,5
H
H




 
0,436808 0,5
0,8071
0,078323
t

  
 
 O valor crítico de t, tc com 

=0,05 e n-2 (53) graus de liberdade é, num teste 
bicaudal 
 
 genr t = qtdist(.025,53) 
 tc = 2,005746 
 Como t < tc, aceitamos a hipótese nula, ou seja, 
2
=0,5 
17 
 
 Se quisermos saber o nível de significância do valor do t calculado, -0,8071, para 
compará-lo com um nível de significância crítico, como por exemplo 

=0,05, digitaríamos 
no painel de comando: 
 genr a=dtdist(-.8071,53) 
 a = 0,28550 
 Como 0,05 < 0,2855, aceitamos a hipótese nula. 
 Agora vamos testar a normalidade do erro. Na janela da equação 
 View/ Residual Tests/ Histogram – Normality Test 
e aparece a seguinte janela: 
 
 A hipótese nula é de normalidade, a estatística de Jarque-Bera = 0,257585 e sua 
probabilidade (nível de significância) é 0,879156. Logo, não podemos aceitar a hipótese 
nula, e concluímos que os erros são distribuídos normalmente. 
 
 
18 
 
4. Autocorrelação dos resíduos 
 
 Uma das hipóteses do modelo dos mínimos quadrados
indiretos é: 
( , / , ) 0 para i j i jCov u u X X i j 
 
 Este tipo de autocorrelação também é chamado de correlação serial. 
 Em dados de corte transversal, em geral, os erros não são correlacionados. Se 
forem, chamamos de autocorrelação espacial. 
 Em séries de tempo a situação tende a ser outra. As observações sucessivas, 
no tempo, tendem a apresentar intercorrelações, sobretudo, dependendo do tipo do 
dado, se o intervalo de tempo for curto. Para preços, um dia, uma semana, são intervalos 
curtos. Um ano é um intervalo longo. Para séries de produto um ano não é um intervalo 
longo. 
4.1. Conseqüências da autocorrelação nos resíduos 
 Se for empregado o método dos MQO o estimador 
2ˆ
 não será 
assintoticamente eficiente. Como 
2ˆ
 não é assintoticamente eficiente podemos aceitar 
uma hipótese nula quando ela não é verdadeira. Isto acontece porque o intervalo de 
confiança dado pelo MQO é maior do que o do método dos Mínimos Quadrados 
Generalizados (MQG), usado para estimar os parâmetros na presença de 
autocorrelação nos resíduos. Em resumo, os estimadores são justos mas não são 
eficientes. 
4.2. Testes de detecção da autocorrelação 
4.2.1. Teste de Durbin-Watson 
 O teste mais conhecido para detectar a autocorrelação é o de Durbin-Watson 
(DW), que é válido nas seguintes condições: 
(a) o modelo de regressão inclui uma constante; 
(b) a correlação serial é de primeira ordem – AR(1); 
(c) o modelo não inclui variáveis dependentes defasadas como variáveis explicativas. 
 Considerando o modelo: 
1 2 2 3 3 ...        t k k tY X X X u 
19 
 
onde 
1 , 1t t tu u    
 
 Para testar a hipótese: 
0 : 0H  
 
o teste DW envolve as seguintes etapas: 
(1) Estimar o modelo usando MQO o obter os resíduos; 
(2) Calcular a estatística DW: 
2
12
2
1
ˆ ˆ( )
ˆ
t
n
t tt
n
t
u u
DW
u






 
(3) Construir a tabela seguinte com os cálculos dU, dL, 4-dU, 4-dL, que são obtidos da 
tabela com os valores críticos de DW. Observe que os valores críticos são fornecidos 
de acordo com k, que é o número de variáveis explicativas mais a constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. As hipóteses são: 
0
1
: 0
: 0
H
H




 
 a. se d dL rejeita-se H0 e conclui-se que há autocorrelação positiva; 
 b. se d dU não rejeitamos H0 e, portanto, não há autocorrelação positiva; 
2dUdL0 4-dL 4-dU 4
Teste de Durbin-Watson
Rejeita
H0
Indecisão Indecisão
Não rejeita
H0, H1 ou 
ambas
Rejeita
H1
ρ>0 ρ<0
20 
 
 c. no caso especial em que dL < d < dU o teste é inconclusivo 
 0
1
: 0
: 0
H
H




 
 d. se d 

 4 - dL rejeitamos H0 e concluímos que ρ>0 
 e. se d 

 4 – dU não rejeitamos H0 e concluímos que não ρ < 0; 
 f. no caso especial em que 4 – dU < d < 4 – dL o teste é inconclusivo. 
 
Regra de bolso para o teste DW 
 Demonstra-se que d 

2(1-
ˆ
). Como 

 vai de -1 até +1, o intervalo de d vai 
de 0 até 4. Temos então 3 diferentes casos: 
1. 
0 
; d = 2: portanto, um valor de d próximo de 2 é evidência de que não há 
autocorrelação. 
2. 
1
; d 0: uma autocorrelação fortemente positiva indica que d terá valores 
próximos de 0 
3. 
1 
; d 4: uma autocorrelação fortemente negativa indica que d terá valores 
próximos de 4. 
Teste DW no E-Views 
 Arquivo serial_corr 
 Rodar o modelo: 
1 2 3lcons ldisp lprice     
 gerar uma série com os resíduos: 
 genr res01=resid 
 plotar os resíduos 
 plot res01 
 plotar os resíduos contra seus valores defasados 
 scat res01(-1) res01 
 O DW é 0,370186, que dá forte indicação de autocorrelação 
21 
 
 
4.2.2 – Teste LM de Breusch-Godfrey para autocorrelação 
 LM = multiplicador de Lagrange 
 Como o teste DW tem muitas restrições, Breusch e Godfrey construíram um teste 
do tipo multiplicador de Lagrange que pode acomodar muitas destas restrições. 
 Considerando o modelo: 
1 2 2 3 3 ...t k k tY X X X u         
onde: 
1 1 2 2 ...t t t p t p tu u u u          
 O teste LM Breusch-Godfrey combina estas duas equações: 
1 2 2 3 3 1 1 2 2... ...t k k t t p t p tY X X X u u u                   
onde as hipótese nula e alternativa são: 
0 1 2: ... 0pH      
 
H1: ao menos um dos 

s não é zero e portanto há autocorrelação. 
Teste Breusch-Godfrey no E-Views 
 Com o mesmo arquivo serial_corr rodar o mesmo modelo: 
1 2 3lcons ldisp lprice     
 Rodado o modelo: 
 View/Residual Tests/Serial Correlation LM Test 
 especificar Lags to include: 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: 
 
 F-statistic 17.25931 Probability 0.000000 
Obs*R-squared 26.22439 Probability 0.000029 
 
 
Test Equation: 
Dependent Variable: RESID 
Method: Least Squares 
Date: 05/10/10 Time: 15:23 
Presample missing value lagged residuals set to zero. 
 
 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
 C -0.483704 0.489336 -0.988491 0.3306 
LDISP 0.178048 0.185788 0.958341 0.3453 
LPRICE -0.071428 0.093945 -0.760322 0.4528 
RESID(-1) 0.840743 0.176658 4.759155 0.0000 
RESID(-2) -0.340727 0.233486 -1.459306 0.1545 
RESID(-3) 0.256762 0.231219 1.110471 0.2753 
RESID(-4) 0.196959 0.186608 1.055465 0.2994 
 
 R-squared 0.690115 Mean dependent var -7.48E-16 
Adjusted R-squared 0.630138 S.D. dependent var 0.044987 
S.E. of regression 0.027359 Akaike info criterion -4.194685 
Sum squared resid 0.023205 Schwarz criterion -3.893024 
Log likelihood 86.69901 F-statistic 11.50621 
Durbin-Watson stat 1.554119 Prob(F-statistic) 0.000001 
 
 
 
Como os valores de F e LM são altos e as probabilidades baixas, rejeita-se H0. 
Logo, há indícios de autocorrrelação. Como apenas o coeficiente de RESID(-1) 
é significativo, há indícios de que temos um erro AR(1) 
 
 
 
23 
 
4.3 – Resolvendo a autocorrelação - 

 conhecido 
 Considerando o modelo 
1 2 2 3 3 ...t t t k kt tY X X X u         (1) 
se soubermos que ut é autocorrelacionado segundo o esquema: 
1t t tu u  
 (2) 
 Se (1) é verdadeiro para o período t, também será para o período t-1: 
1 1 2 2 1 3 3 1 1 1...t t t k kt tY X X X u             (3) 
Multiplicando ambos os lados de (3) por 

: 
1 1 2 2 1 3 3 1 1 1...t t t k kt tY X X X u                   (4) 
Subtraindo (4) de (1): 
1 1 2 2 2 1 3 3 3 1
1 1
(1 ) ( ) ( 0 )
 ... ( ) ( )
t t t t t t
k kt kt t t
Y Y X X X X
X X u u
      
     
     
    
 (5) 
ou+ 
* * * * *
1 2 2 3 3 ...t t t k kt tY X X X          (6) 
onde 
*
1t t tY Y Y  
, 
*
1 1(1 )   
 e 
* * *
1( )it it itX X X  
 
 Com este procedimento perdemos uma observação. Para evitar isto, se for o 
caso, sugere-se que Y1 e Xi1 sejam transformados para a primeira observação, como: 
* 2
1 1 1Y Y  
 e 
* 2
1 1 1i iX X  
 
 Esta transformação é conhecida como quase diferenciação ou diferenciação 
generalizada. 
 Note que o erro em (6) satisfaz as hipótese dos MQO. Portanto, se 

 for 
conhecido, estimando (6) pelo MQO obteremos estimativas BLUE. 
 
 
 
 
24 
 
4.4. Resolvendo a autocorrelação - 

 desconhecido 
 Embora o método das diferenças generalizadas seja fácil de aplicar, na
prática 
o valor de 

 não é conhecido. Muitos procedimentos foram desenvolvidos para resolver 
este problema, sendo que o mais usado é o Método Iterativo de Cochrane –Orcutt. 
 Cochrane e Orcutt (1949) desenvolveram um procedimento iterativo que 
consiste em 4 etapas: 
1. Estimar o modelo (1) e obter os resíduos 
ˆ
tu
 
2. Estimar o coeficiente de correlação serial de primeira ordem 

 pelo MQO: 
1
ˆ ˆˆ
t t tu u  
 
3. Transformar as variáveis originais: 
*
1
ˆ
t t tY Y Y  
 
*
1 1
ˆ(1 )   
 
*
1
ˆ
it it itx X X  
 
* 2
1 1 1Y Y  
 para t = 1 
* 2
1 1 1i iX X  
 para t = 1 
4. Rodar a regressão usando as variáveis transformadas e encontrar os resíduos desta 
regressão. Como não sabemos se o 
ˆ
 obtido na etapa 2 é o melhor estimador de 

, 
executamos da etapa 2 à 4 diversas vezes até a seguinte regra de encerramento: 
stopping rule (regra de encerramento) 
 O processo iterativo pode parar quando duas estimativas sucessivas de 

 
diferirem por não mais do que um pequeníssimo valor pré-determinado (ex.: 0,001). O 
ˆ
 final é usado para estimar (6) 
* * * * *
1 2 2 3 3 ...t t t k kt tY X X X          (6) 
 Em geral o processo não requer mais do que entre 3 e 6 iterações. O E-Views 
usa um método iterativo não linear para estimar um modelo com diferenças 
generalizadas com erros AR(1) na presença de autocorrelação. 
25 
 
 As estimativas deste método iterativo podem ser obtidas simplesmente incluído 
um AR(1) no fim da especificação da equação. Se tivermos o modelo 
 ls y c x 
e sabemos que há autocorrelação de primeira ordem, obtemos o processo iterativo 
escrevendo: 
 ls y c x ar(1) 
Método Cochrane-Orcutt no E-Views 
 Usando o arquivo serial_corr rodar o seguinte modelo: 
 ls lcons c ldisp lprice ar(1) 
 Observamos, conforme resultados abaixo, que 

= 0,974 foi obtido depois de 13 
iterações. 
Dependent Variable: LCONS 
Method: Least Squares 
Date: 05/10/10 Time: 16:14 
Sample (adjusted): 1985Q2 1994Q2 
Included observations: 37 after adjustments 
Convergence achieved after 13 iterations 
 
 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
 C 9.762759 1.067582 9.144742 0.0000 
LDISP -0.180461 0.222169 -0.812269 0.4225 
LPRICE -0.850378 0.057714 -14.73431 0.0000 
AR(1) 0.974505 0.013289 73.33297 0.0000 
 
 R-squared 0.962878 Mean dependent var 4.608665 
Adjusted R-squared 0.959503 S.D. dependent var 0.051985 
S.E. of regression 0.010461 Akaike info criterion -6.180445 
Sum squared resid 0.003612 Schwarz criterion -6.006291 
Log likelihood 118.3382 F-statistic 285.3174 
Durbin-Watson stat 2.254662 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 Inverted AR Roots .97 
 
 
26 
 
 Se usarmos um AR(4) junto com o AR(1): 
 ls lcons c ldisp lprice ar(1) ar(4) 
notamos que o coeficiente de ar(4) não é significativo. 
 
 
Dependent Variable: LCONS 
Method: Least Squares 
Date: 05/10/10 Time: 16:15 
Sample (adjusted): 1986Q1 1994Q2 
Included observations: 34 after adjustments 
Convergence achieved after 12 iterations 
 
 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
 C 10.21012 0.984907 10.36659 0.0000 
LDISP -0.308138 0.200041 -1.540373 0.1343 
LPRICE -0.820115 0.065877 -12.44915 0.0000 
AR(1) 0.797677 0.123851 6.440605 0.0000 
AR(4) 0.160974 0.115526 1.393404 0.1741 
 
 R-squared 0.967582 Mean dependent var 4.610894 
Adjusted R-squared 0.963111 S.D. dependent var 0.053370 
S.E. of regression 0.010251 Akaike info criterion -6.187920 
Sum squared resid 0.003047 Schwarz criterion -5.963455 
Log likelihood 110.1946 F-statistic 216.3924 
Durbin-Watson stat 2.045798 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 Inverted AR Roots .97 .16+.55i .16-.55i -.50 
 
 
 
 
 
27 
 
ANEXO Formas da distri buição F. 
 O formato da distribuição depende do número de graus de liberdade do numerador. Já 
vimos a distribuição F(1, 72). Vamos fazer o gráfico das funções F(5,72) e F(10,72). Basta digitar na 
janela de comando: 
 Series F5=@dfdist(wf,5,72) 
 Series F10=@dfdist(wf,10,72) 
seguidos de Enter. 
 Quanto maior for o número de graus de liberdade do numerador, mais a distribuição 
fica simétrica. 
Os dois gráficos podem ser feitos ao mesmo tempo: no workfile clicar, nesta ordem, 
mantendo o Ctrl, f5 e f10. Clicar com o botão direito do mouse e: 
 Open/ as a Group 
Na planilha que se abre: 
 View/Multiple Graphs/Scatter/First series against all 
Aparecem os gráficos. Depois é só escolher as Options adequadas para se obter o efeito 
desejado, como abaixo: 
 
.0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 1 2 3 4 5 6
Distribuição de F com 5 e 72 gl Distribuição de F com 10 e 72 gl