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ESTRUTURAS CRISTALINAS RESUMO DA AULA ANTERIOR • Células unitárias: Representa simetria da estrutura cristalina Unidade estrutural básica Cúbica de corpo centrado (CCC) Cúbica de face centrada (CFC) Hexagonal compacta (HC) • Parâmetros da estrutura: Parâmetro de rede: equivale aos comprimentos das arestas e caracteriza os materiais Número de coordenação: número de vizinhos mais próximos de um átomo em uma determinada estrutura Fator de empacotamento (FEA): grau de ocupação da estrutura cristalina FEA = volume dos átomos das células / volume da célula • Esferas ou núcleos iônicos se tocam umas às outras através de uma diagonal da face; o comprimento da aresta do cubo a e o raio atômico R estão relacionados: 22Ra Estrutura CFC • Cada átomo no vértice é compartilhado por 8 células unitárias; átomo centrado em uma face pertence a duas → 4 átomos inteiros • FEA = 0,74 Cu, Al, Ag e Au 2/4Ra • Átomos nos centros e nos vértices tocam-se ao longo da diagonal do cubo, e o comprimento da célula unitária a e o raio atômico R estão relacionados: 3 4R a • Cada átomo no vértice é compartilhado por 8 células unitárias; e o único átomo no centro → 2 átomos inteiros • FEA = 0,68 Estrutura CCC Cr, Fe e Tg Estrutura HC • 1/6 de cada um dos 12 átomos localizados nos vértices das faces sup. e inf.; ½ de cada um dos átomos centrais; e 3 átomos no pl. int. → 6 átomos inteiros • Número de coordenação e FEA mesmos da estrutura CFC, sendo 12 e 0,74, respectivamente. Cd, Mg, Ti, Zn ESTRUTURAS CRISTALINAS DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS As coordenadas dos pontos se expressam como uma fração da dimensão correspondente da célula. z y x 0,0,1 1,1,1 0,0,0 1,0,0 1,1,0 ½,1,0 origem da célula célula unitária pontos espaciais ÍNDICES DE MILLER Distâncias a partir da origem em termos dos parâmetros de rede z y x 0,0,1 1,1,1 0,0,0 1,0,0 1,1,0 ½,1,0 A B C Direção C: (0, 0, 1) – ( ½, 1, 0 ) = -½, -1, 1 2·(-½, -1, 1) = -1, -2, 2 = [ 1 2 2 ] Nomenclatura: [ u v w ] onde u, v, w são números inteiros ÍNDICES DE MILLER E DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS As direções se expressam com números inteiros que representam as diferenças de coordenadas. DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Passos a serem seguidos p/ determinação dos 3 índices direcionais: 1. Um vetor de comprimento conveniente é posicionado na origem do sistema de coordenadas 2. O comprimento da projeção do vetor sobre cada um dos 3 eixos é determinado: os valores são medidos em termos das dimensões a, b e c da célula unitária 3. Esses 3 números são multiplicados ou divididos por um fator comum → menores valores inteiros. 4. [u v w] → inteiros u, v e w correspondem às projeções reduzidas ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. 1) O vetor já passa na origem; não é necessária qualquer translação. 2) Projeções sobre os eixos x, y e z: a/2, b e 0c → ½, 1 e 0 3) Redução ao menor conjunto de números inteiros: 1, 2 e 0. 4) [1 2 0] DETERMINAÇÃO DE ÍNDICES DIRECIONAIS Exercício: Determine os índices para a direção mostrada abaixo DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 1) Construa uma célula unitária e um sistema de eixos coordenados. 2) Projeções sobre os eixos x, y e z: a, -a e 0a → 1, -1 e 0 CONSTRUÇÃO DE UMA DIREÇÃO CRISTALOGRÁFICA ESPECÍFICA Exercício: Esboce um direção dentro de uma célula unitária cúbica ]011[ DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS z y x A) [0 1 0] B) [1 0 0] C) [0 0 1] z y x Equivalência das direções cristalográficas de uma família de direções em um sistema cúbico DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS FAMÍLIA DE DIREÇÕES Para algumas estruturas cristalinas várias direções não-paralelas com índices diferentes são, na realidade, equivalentes. As colunas de átomos formadas naquelas direções são semelhantes, ou seja, os tipos de átomos, a densidade de átomos e a distância entre os átomos daquelas direções são iguais. Qualquer propriedade direcional será idêntica no caso de direções equivalentes (família de direções) FAMÍLIA DE DIREÇÕES DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Tabela: Direções de uma família < 1 1 0 > em sistemas cúbicos <110> = [110] [110] [101] [101] [011] [011] [110] [110] [101] [101] [011] [011] Direções em cristais cúbicos que possuam os mesmos índices, independente da ordem ou do sinal, são equivalentes. FAMÍLIA DE DIREÇÕES DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Índices de Miller-Bravais para direções em células HC u = n(2U-V)/3 v = n(2V-U)/3 t = −(u+v) = −(U+V)/3 w = nW Notação: [u v t w ] Direções da célula HC, usando sistemas de 3 e 4 eixos. A linha segmentada indica que a [1210] é equivalente à direção [010]. HEXAGONAL COMPACTA DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS Os planos cristalográficos também são descritos mediante um conjunto de índices de Miller: (h l k) z y x y = 2 A B C ÍNDICES DE MILLER E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Um cristal contém planos de átomos, estes planos influenciam as propriedades e o comportamento de uma material. z y x y = 2 A B C Determinação dos índices h, k e l: 2) Comprimento da interseção planar para cada eixo é determinado em termos dos parâmetros de rede a, b, e c 3) Valores inversos destes números são calculados 4) Conjunto de menores números inteiros 5) (hkl) Plano B: x = 1a, y = 2b, z = ∞c 1/1, 1/2, 1/∞ = 1, ½, 0 = ( 2 1 0 ) 1) Se o plano passa através da origem que foi selecionada: outro plano deve ser construído no interior da c.u. mediante uma translação apropriada, ou uma nova origem deve ser criada no vértice de uma outra c.u. ÍNDICES DE MILLER E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS ÍNDICES DE MILLER E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS EXERCÍCIO 1) Uma nova origem deve ser estabelecida, O’, localizada no vértice de uma c.u. adjacente 2) Plano // eixo x → interseção ∞a Demais interseções: -b e ½c 3) Inversos: 0, -1 e 2 4) Reduções (não são necessárias) 5) 210 PLANOS CRISTALOGRÁFICOS DETERMINAÇÃO DE ÍNDICES DE MILLER X Y Z )111( 1 1 , 1 1 , 1 1 1 X Y Z 1 1 1 1 1 1 110) , , ( X Y Z Z Y X 2 1 1 3 2 3 1 236 , , ( ) A) (111) B) (100) C) (236) D) (110) EXERCÍCIO 1 1 1 1 1 100) , , ( PLANOS CRISTALOGRÁFICOS DETERMINAÇÃO DE ÍNDICES DE MILLER Tabela: Planos da familia { 1 1 0 } em sistemas cúbicos { 110 } = (110) (101) (011) (110) (101) (011) Nota: os negativos dos planos não são planos únicos. FAMÍLIA DE PLANOS PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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