2°lei de fick

Prévia do material em texto

MATERIALS SCIENCE
Augusta Cerceau Isaac Neta, Dr.-Ing.
PUC Minas
Departamento de Engenharia Mecânica
CIÊNCIA DOSMATERIAIS
PUC Minas
Departamento de Engenharia Mecânica
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
Descreve a difusão em regime transiente dos átomos, sendo 
expressa pela equação diferencial:






∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
cD
xt
c
Se D não é função da posição x e da concentração D das espécies 
em difusão, a 2ª Lei de Fick simplifica-se:






∂
∂
=
∂
∂
2
2
x
cD
t
c
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
Uma das soluções da 2ª Lei de Fick:






=
−
−
Dt
x
erf
cc
cc
s
xs
20
cs: conc. dos átomos na superfície do material
c0: conc. uniforme inicial dos átomos em difusão
cx: conc. dos átomos no local x, após um tempo t
erf: função erro, que pode ser estimada através de tab.
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
FUNÇÃO DE ERRO
( )
Dtxz
dyyzerf
z
2
exp2)(
0
2
=
−= ∫pi
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
� De acordo com as condições iniciais e de contorno, diferentes 
equações descrevem a 2ª Lei de Fick.
� Tais soluções permitem calcular a concentração de uma espécie 
em difusão em um tempo (t) e posição (x).
� A solução apresentada assume que o valor de D é constante e 
que as concentrações c e c permanecem inalteradas.
� De acordo com as condições iniciais e de contorno, diferentes 
equações descrevem a 2ª Lei de Fick.
� Tais soluções permitem calcular a concentração de uma espécie 
em difusão em um tempo (t) e posição (x).
� A solução apresentada assume que o valor de D é constante e 
que as concentrações c e c permanecem inalteradas.
CONSIDERAÇÕES
que as concentrações cs e c0 permanecem inalteradas.
� A 2ª Lei de Fick apresentada é um modelo unidimensional. 
que as concentrações cs e c0 permanecem inalteradas.
� A 2ª Lei de Fick apresentada é um modelo unidimensional. 
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
EXERCÍCIO 4
A superfície de uma engrenagem de aço com 0,1% C deve ser 
endurecida por cementação. Na cementação a gás, as engrenagens 
de aço são colocadas em uma atmosfera gasosa que mantém uma 
concentração de 1,2%C na superfície do aço, a uma temperatura 
elevada. Em decorrência dessa condição, o carbono se difunde da 
superfície para o interior do material. Para obter as propriedades 
mecânicas do projeto, o aço deve conter 0,45%C a uma 
profundidade de 0,2cm abaixo da superfície. Desenvolva um 
A superfície de uma engrenagem de aço com 0,1% C deve ser 
endurecida por cementação. Na cementação a gás, as engrenagens 
de aço são colocadas em uma atmosfera gasosa que mantém uma 
concentração de 1,2%C na superfície do aço, a uma temperatura 
elevada. Em decorrência dessa condição, o carbono se difunde da 
superfície para o interior do material. Para obter as propriedades 
mecânicas do projeto, o aço deve conter 0,45%C a uma 
profundidade de 0,2cm abaixo da superfície. Desenvolva um profundidade de 0,2cm abaixo da superfície. Desenvolva um 
tratamento térmico de cementação que produza este perfil de 
concentração de C. Suponha que a temperatura seja 
suficientemente elevada (>900°C) para que o Fe tenha uma 
estrutura CFC.
profundidade de 0,2cm abaixo da superfície. Desenvolva um 
tratamento térmico de cementação que produza este perfil de 
concentração de C. Suponha que a temperatura seja 
suficientemente elevada (>900°C) para que o Fe tenha uma 
estrutura CFC.
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
EXERCÍCIO 4 – SOLUÇÃO






=
−
−
Dt
x
erf
cc
cc
s
xs
20
( )cmxCc
Cc
Cc
x
s
2,0%45,0
%1,0
%2,1
0
==
=
=






=





==
−
−
Dt
cm
erf
Dt
cm
erf
CC
CC 1,0
2
2,068,0
%1,0%2,1
%45,0%2,1
71,01,0 =
Dt
cmPela Tabela:
2
2
00198,0
71,0
1,0
cmDt =





=
Qualquer combinação de D e t cujo produto seja 0,00198cm2 produzirá o 
perfil de concentração desejado. 
Qualquer combinação de D e t cujo produto seja 0,00198cm2 produzirá o 
perfil de concentração desejado. 
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
EXERCÍCIO 4 – CONTINUAÇÃO DA SOLUÇÃO
2
2
00198,0
71,0
1,0
cmDt =





=
No caso em que o carbono se difunde pelo ferro na estrutura CFC, o coeficiente 
de difusão depende da temperatura:





 −
=
RT
QDD exp0
 RT
( )







⋅
−
⋅=
KTKmol
cal
mol
cal
D
987,1
900.32
exp23,0





 −
⋅=
T
D 558,16exp23,0
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
EXERCÍCIO 4 – CONTINUAÇÃO DA SOLUÇÃO





 −
⋅=
T
D 558,16exp23,0
Portanto, a temperatura e o tempo do tratamento térmico estão relacionados por: 
2
2
00198,0
71,0
1,0
cmDt =





=
( ) ( )TcmT
cm
cmD
cm
t
558,16exp
0861,0
558,16exp23,0
00198,000198,0
2
2
2
2
−
=
−
== ( ) ( )T
s
cmT
s
cmD 558,16exp558,16exp23,0
22
−
−
T(°C) T(K) t(s) t(h)
900 1.173 116.174 32,3
1.000 1.273 36.360 10,7
1.100 1.373 14.880 4,13
1.200 1.473 6.560 1,82
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
CEMENTAÇÃO
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
EXERCÍCIO 5 - PROJETO DE UM TT MAIS ECONÔMICO
Sabemos que são necessárias 10 horas para cementar
adequadamente um lote de 500 engrenagens de aço a 900°C. 
Nessa temperatura, esse aço tem uma estrutura CFC. Sabemos 
também que operar o forno de cementação a 900°C custa $1.000 
por hora e $1.500 caso seja operado a 1.000°C. É econômico 
aumentar a temperatura de cementação para 1.000°C? Que outros 
Sabemos que são necessárias 10 horas para cementar
adequadamente um lote de 500 engrenagens de aço a 900°C. 
Nessa temperatura, esse aço tem uma estrutura CFC. Sabemos 
também que operar o forno de cementação a 900°C custa $1.000 
por hora e $1.500 caso seja operado a 1.000°C. É econômico 
aumentar a temperatura de cementação para 1.000°C? Que outros aumentar a temperatura de cementação para 1.000°C? Que outros 
fatores devem ser considerados?
aumentar a temperatura de cementação para 1.000°C? Que outros 
fatores devem ser considerados?
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
EXERCÍCIO 5 - SOLUÇÃO






=
−
−
Dt
x
erf
cc
cc
s
xs
20
Como estamos lidando com alterações de tempo e temperatura do TT, 
Dt deve ser constante. Para obter em 1.000°C o mesmo tratamento por 
cementação obtido com 900°C:
173.1173.1273.1273.1 tDtD ⋅=⋅ 173.1173.1
273.1 D
tD
t
⋅
=
273.1
273.1 D
( )
h
KKmol
cal
mol
cal
D
h
KKmol
cal
mol
cal
D
t 299,3
273.1987,1
900.32
exp
10
173.1987,1
900.32
exp
0
0
273.1 =








⋅
⋅
−
⋅







⋅
⋅
−
=
DIFUSÃO2ª LEI DE FICK
EXERCÍCIO 5 – CONTINUAÇÃO DA SOLUÇÃO
T(°C) $/peça
900 ($1.000/h) (10h) / 500 peças = $20/peça
1.000 ($1.500/h) (3,299h) / 500 peças = $9,9/peça