2ª FICHA DE ÁLGEBRA LINEAR - TRANSFORMAÇÃO LINEAR

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Disciplina: ÁLGEBRA LINEAR 
Professor: Ronald Santana Turma: 
Aluno: Matricula: 
 
 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
Definição: sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação é chamada de transformação 
linear de V em W se: 
 
i) ( ) ( ) ( ) 
ii) ( ) ( ) 
 
Exemplos: 
1) 
 ou ( ) é linear. 
 
2) , ( ) ( ) é linear. 
 
3) , ( ) ( ) é linear. 
 
4) , ( ) não é linear. 
 
5) Seja a matriz [
 
 
 
]. Essa matriz determina a transformação: 
 
 
 ( ) 
que é linear. 
 
 
TRANSFORMAÇÕES NO PLANO: 
 
1) Reflexão em relação ao eixo Ox. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Reflexão em relação ao eixo Oy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA 
PERÍODO LETIVO 2013 
 
2 
 
3) Reflexão em relação a origem. 
 
 
4) Cisalhamento Horizontal de fator . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 Da definição de transformação linear temos que a transformação do vetor nulo leva ao 
mesmo vetor nulo: ( ) . 
 
 Isso ajuda a detectar transformações não lineares, uma vez que, se ( ) , implica uma 
transformação não linear. 
 
 No entanto ( ) não é condição suficiente para que T seja linear. 
 
 Ex1: , ( ) não é linear. 
 
 Ex2: , ( ) ( ) não é linear. 
 
 
 
Teorema: dados dois espaços vetoriais V e W e uma base V, , sejam 
elementos arbitrários de W, então existe uma única transformação linear tal que 
 ( ) , ( ) , ..., ( ) . Esta transformação é dada por: 
 
 Se 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Ex1: Seja uma transformação linear e uma base do 
 , sendo 
( ), ( ) e ( ). Determinar ( ) sabendo que ( ) ( ), 
 ( ) ( ) e ( ) ( ). 
 
 
Ex2: Determine qual é a transformação linear tal que ( ) ( ) e ( ) 
( ). 
 
Ex3: Determine a transformação linear , tal que ( ) ( ) e ( ) ( ). 
 
 
 
 
 
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NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
Definição: Chama-se núcleo de uma transformação linear ao conjunto de todos os 
vetores , que são transformados em . Indica-se esse conjunto por ( ) ou ( ) 
 
 ( ) | ( ) 
 
Ex: O núcleo da transformação linear 
 ( ) ( ) 
É o conjunto: 
 
 
 
 
 
 
 
IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
Definição: Chama-se imagem de uma transformação linear ao conjunto de vetores 
 que são imagens de pelo menos um vetor . Indica-se esse conjunto por ( ) ou 
 ( ). 
 
 
 
Ex: Determine o núcleo e a imagem da transformação linear ( ) 
( ).