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CÁLCULO II - Funções de Várias Variáveis

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CálculoII
Agnaldo Souza Pereira
Cláudio Barros Vitor
Jefferson Pereira de Oliveira
Manaus 2007
º4.
Período
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice–Governador
Omar Aziz
Reitora
Marilene Corrêa da Silva Freitas
Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Planejamento 
Osail de Souza Medeiros
Pró–Reitor de Administração 
Fares Franc Abinader Rodrigues
Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Rogélio Casado Marinho
Pró–Reitora de Ensino de Graduação
Edinea Mascarenhas Dias
Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
José Luiz de Souza Pio
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico–gramatical
João Batista Gomes
Pereira, Agnaldo Souza.
P436c Cálculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor,
Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. -
(Licenciatura em Matemática. 4. Período)
92 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia.
1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II.
Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Série. IV. Título.
CDU (1997): 517.2/.3
SUMÁRIO
UNIDADE I – Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
TEMA 01 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
TEMA 02 – Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
TEMA 03 – Gráficos de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
TEMA 04 – Limites e continuidade para funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
TEMA 05 – Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
TEMA 06 – Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
UNIDADE II – Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TEMA 01 – Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 02 – Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 
UNIDADE III – Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
TEMA 01 – Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
TEMA 02 – Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 
TEMA 03 – Definição de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 
UNIDADE IV – Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TEMA 01 – Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
TEMA 02 – Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
TEMA 03 – Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 04 – Mudança de variáveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
TEMA 05 – Aplicações da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
UNIDADE V – Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Agnaldo Souza Pereira 
Bacharel em Física - UFRJ
Mestre em Física - UFRJ
Licenciado em Física - FTESM
Doutor em Física - UFRJ
Cláudio Barros Vitor
Licenciado em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
Jefferson Pereira de Oliveira
Licenciado em Matemática – UCSal
Pós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF
PERFIL DOS AUTORES
UNIDADE I
Funções de várias variáveis
UM BREVE HISTÓRICO
Jean Le Rond D’Alembert nasceu em 16 de
novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimo
da marquesa Claudine Guerin de Tencin,
escritora, e do cavaleiro Louis-Camus
Destouches, oficial do exército francês. 
Logo após o nascimento, foi abandonado por
sua mãe nas escadarias da Capela de Saint
Jean Le Rond, de onde foi levado para um
orfanato, à espera de adoção. 
O bebê recebeu o nome do santo protetor da
capela, e foi adotado por um humilde artesão e
sua esposa. Seu pai biológico, mesmo não
reconhecendo a paternidade, custeou-lhe a
educação por meio de uma pensão. 
Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou no
Colégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes
e Direito, e formou-se advogado em 1738, aos
21 anos de idade. Mais tarde, passa a interes-
sar-se por Medicina e Matemática, sendo que
seu primeiro trabalho matemático é publicado
em 1739, no qual ele apresenta correções de
erros que encontrou em um dos livros usado
em sua formação. Aos 24 anos de idade,
D’Alembert já era célebre por seu trabalho em
Cálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu
Tratado de Dinâmica, com importantes con-
tribuições à ciência da mecânica.
Deixou também contribuições para a teoria das
equações diferenciais, em que se destaca o
método de solução de D’Alembert para resolver
equações diferenciais não-homogêneas por
meio de uma equação auxiliar.
Além das contribuições em ciências exatas,
D’Alembert também participou, com Denis
Diderot, da elaboração de Enciclopédia, uma
das maiores obras do Iluminismo. 
Ao contrário do que faria supor sua infância
humilde, D’Alembert freqüentava lugares e fes-
tas elegantes, onde conheceu a escritora Julie
de Lespinasse, por quem se apaixonou. 
Quando D’Alembert se tornou famoso por suas
realizações intelectuais, sua mãe biológica
apresentou-se, mas ele, que viveu na casa
paterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho do
artesão e de sua mulher. Você é, no máximo,
minha madrasta.”
Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anos
de idade, em 1783, como um célebre cientista
e renomado homem de cultura.
William Rowan Hamilton nasceu em Dublin,
em 8 de agosto de 1805. Seus pais morreram
deixando o pequeno órfão aos cuidados de um
tio, que o educou dentro de uma severa linha
de comportamento, dando-lhe uma educação
abrangente, com

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