Lista 6 com gabarito

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MTM 5245 - A´lgebra Linear - Lista de Exercı´cios 06
Transformac¸o˜es lineares injetoras, sobrejetoras e bijetoras
(isomorfismos).
1. Considere a transformac¸a˜o linear T : R2 −→ R3 determinada por seus valores na base
ordenada {(−2, 3), (1,−2)} de R2, dados por T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1,−2) = (0,−1, 0).
(a) Determine T (x, y) para cada vetor (x, y) ∈ R2;
(b) Determine N(T ) e Im(T );
(c) T e´ injetora? T e´ sobrejetora?
2. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R3 dada para qualquer (x, y, z) ∈ R3 por
T (x, y, z) = (z, x− y,−z). T e´ injetora? T e´ sobrejetora? T e´ um isomorfismo?
3. Mostre que cada uma das transformac¸o˜es lineares de R3 em R3 a seguir e´ inversı´vel e
determine o isomorfismo inverso em cada caso:
(a) para qualquer (x, y, z) ∈ R3, T (x, y, z) = (x− 3y − 2z, y − 4z, z);
(b) para qualquer (x, y, z) ∈ R3, T (x, y, z) = (x, x− y, 2x+ y − z).
4. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R3 determinada por seus valores na base
ordenada {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} de R3, dados por T (1, 0, 0) = (1, 1, 1), T (0, 1, 0) =
(1, 0, 1) e T (0, 1, 2) = (0, 0, 4). T e´ inversı´vel? Se for, determine o isomorfismo inverso.
5. Verifique quais espac¸os vetoriais abaixo sa˜o isomorfos. Caso eles sejam, construa um
isomorfismo entre eles.
(a) M2(R) e R4;
(b) M3(R) e R3;
(c) P2(R) e R3;
(d) P3(R) e R3;
(e) M2(R) e P3(R).
6. Use o fato que o conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de R3 e´ LI para mostrar que o con-
junto {1, x, x2} de P2(R) tambe´m e´ LI.
7. Use o fato que o conjunto {(2, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0), (0,−1, 1,−1)} de R4 e´ LD para
mostrar que o conjunto
{(
2 0
1 0
)
,
(
1 1
0 1
)
,
(
1 0
0 0
)
,
(
0 −1
1 −1
)}
deM2(R) tambe´m
e´ LD.
8. Use o fato que o conjunto {(1, 3, 1), (2, 0, 1), (−1, 1, 0)} e´ uma base deR3 para mostrar que
o conjunto {1 + 3x+ x2, 2 + x2,−1 + x} e´ uma base de P2(R).
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MTM 5245 - A´lgebra Linear - Gabarito Lista de Exercı´cios 06
Transformac¸o˜es lineares injetoras, sobrejetoras e bijetoras
(isomorfismos).
1. (a) T (x, y) = (2x+ y, 3x+ 2y,−2x− y);
(b) N(T ) = {(0, 0)} e Im(T ) = {(x, y,−x) |x, y ∈ R};
(c) T e´ injetora, mas na˜o e´ sobrejetora.
2. T na˜o e´ injetora, na˜o e´ sobrejetora, logo na˜o e´ um isomorfismo.
3. (a) T−1(x, y, z) = (x+ 3y + 14z, y + 4z, z);
(b) T−1(x, y, z) = (x, x− y, 3x− y − z).
4. T e´ inversı´vel e T−1(x, y, z) =
(
y, 14(3x− 4y + z), 12(z − x)
)
5. (a) Sa˜o isomorfos - justifique e construa o isomorfismo.
(b) Na˜o sa˜o isomorfos - justifique.
(c) Sa˜o isomorfos - justifique e construa o isomorfismo.
(d) Na˜o sa˜o isomorfos - justifique.
(e) Sa˜o isomorfos - justifique e construa o isomorfismo.
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