Lista 7 com gabarito

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MTM 5245 - A´lgebra Linear - Lista de Exercı´cios 07
Operac¸o˜es com transformac¸o˜es lineares e matriz associada a uma
transformac¸a˜o linear.
1. SejamF,G,H ∈ L(R2,R2) definidas para quaisquer (x, y) ∈ R2 porF (x, y) = (x, 2y), G(x, y) =
(y, x+ y) e H(x, y) = (0, x). Determine F +H , F ◦G, G ◦ (H + F ), G ◦ 3F e G ◦ F ◦H .
2. Sejam F,G ∈ L(R3,R3) definidas para quaisquer (x, y, z) ∈ R3 por F (x, y, z) = (x+y, z+
y, z) e G(x, y, z) = (x+ 2y, y − z, x+ 2z). Determine:
(a) F ◦G e G ◦ F ;
(b) N(F ◦G) e Im(G ◦ F );
(c) uma base e a dimensa˜o de N(F ◦G) e de Im(G ◦ F ).
3. Sejam F ∈ L(R2,R3) e G ∈ L(R3,R2) definidas para quaisquer (x, y) ∈ R2 e (x, y, z) ∈ R3
por F (x, y) = (0, x, x− y) e G(x, y, z) = (x− y, x+2y+3z), respectivamente. Determine
F ◦G ◦ F .
4. Sejam T : R3 −→ R2 a transformac¸a˜o linear definida para qualquer (x, y, z) ∈ R2 por
T (x, y, z) = (2x+ y − z, x+ 2y), A = {(1, 0, 0), (2,−1, 0), (0, 1, 1)} uma base ordenada de
R3 e B = {(−1, 1), (0, 1)} uma base ordenada de R2. Determine [T ]AB .
5. Sejam T : R2 −→ R3 a transformac¸a˜o linear definida para qualquer (x, y) ∈ R2 por
T (x, y) = (2x − y, x + 3y,−2y), A = {(−1, 1), (2, 1)} uma base ordenada de R2, B =
{(0, 0, 1), (0, 1,−1), (1, 1, 0)} uma base ordenada de R3 e C a base canoˆnica de R3. Deter-
mine [T ]AB e [T ]
A
C .
6. Sabendo que a matriz da transformac¸a˜o linear T : R2 −→ R3 com respeito a`s bases
ordenadas A = {(−1, 1), (1, 0)} de R2 e B = {(1, 1− 1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} de R3 e´
[T ]AB =
 3 12 5
1 −1
 ,
encontre para qualquer (x, y) ∈ R2 a expressa˜o de T (x, y) e a matriz [T ]CD, em que C e D
sa˜o as bases canoˆnicas de R2 e R3, respectivamente.
7. Sejam C e D as bases canoˆnicas de R2 e R3, respectivamente, e
[T ]CD =
 1 −22 0
−1 3

a matriz associada a transformac¸a˜o linear T : R2 −→ R3. Sabendo-se que v ∈ R2 e´ tal
que T (v) = (2, 4,−2), determine quem e´ o vetor v.
8. Sejam C a base canoˆnica de R2, B = {(1, 0, 1), (−2, 0, 1), (0, 1, 0)} uma base ordenada de
R3, e T : R2 −→ R3 a transformac¸a˜o linear tal que
[T ]CB =
 1 −10 1
−2 3
 .
Qual a imagem do vetor (2,−3) por T ?
1
9. Sejam A = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)} uma base ordenada de R3, B = {(−1, 0), (0,−1)}
uma base ordenada de R2 e T : R3 −→ R2 a transformac¸a˜o linear tal que
[T ]AB =
[
1 0 −1
−1 1 1
]
.
(a) Encontre para qualquer (x, y, z) ∈ R3 a expressa˜o de T (x, y, z);
(b) Determine Im(T ) e uma base para esse subespac¸o;
(c) Determine N(T ) e uma base para esse subespac¸o;
(d) T e´ injetora? T e´ sobrejetora? T e´ um isomorfismo? Justifique suas respostas.
10. A matriz associada a` transformac¸a˜o linear T : R2 −→ R2 com respeito a` base ordenada
B = {(1, 1), (3, 2)} no domı´nio e contra-domı´nio e´
[T ]BB =
[
2 1
−1 3
]
.
(a) Determine [T (1, 1)]B e [T (3, 2)]B ;
(b) Determine T (1, 1) e T (3, 2);
(c) Encontre para qualquer (x, y) ∈ R2 a expressa˜o de T (x, y).
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MTM 5245 - A´lgebra Linear - Gabarito Lista de Exercı´cios 07
Operac¸o˜es com transformac¸o˜es lineares e matriz associada a uma
transformac¸a˜o linear.
1. F +H : R2 −→ R2, (F +H)(x, y) = (x, x+ 2y);
F ◦G : R2 −→ R2, F ◦G(x, y) = (y, 2x+ 2y);
G ◦ (H + F ) : R2 −→ R2, G ◦ (H + F )(x, y) = (x+ 2y, 2x+ 2y);
G ◦ 3F : R2 −→ R2, G ◦ 3F (x, y) = (6y, 3x+ 6y);
G ◦ F ◦H : R2 −→ R2, G ◦ F ◦H(x, y) = (2x, 2x).
2. (a) F ◦G : R3 −→ R3, F ◦G(x, y, z) = (x+ 3y − z, x+ y + z, x+ 2z);
G ◦ F : R3 −→ R3, G ◦ F (x, y, z) = (x+ 3y + 2z, y, x+ y + 2z);
(b) N(F ◦G) = {(−2z, z, z) | z ∈ R} e Im(G ◦ F ) = {x(1, 0, 1) + y(3, 1, 1) |x, y ∈ R};
(c) Base do nu´cleo de F ◦G: {(−2, 1, 1)} e dim(N(F ◦G)) = 1;
Base da imagem de G ◦ F : {(1, 0, 1), (3, 1, 1)} e dim(Im(G ◦ F )) = 2.
3. F ◦G ◦ F : R2 −→ R3, F ◦G ◦ F (x, y) = (0,−x,−6x+ 3y).
4. [T ]AB =
[ −2 −3 0
3 3 2
]
.
5. Considere C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
[T ]AB =
 3 05 2
−3 3
 e [T ]AC =
 −3 32 5
−2 −2
.
6. Considere C = {(1, 0), (0, 1)} e D = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
T (x, y) = (8x+ 18y, 6x+ 11y,−2x− 4y) e [T ]CD =
 8 186 11
−2 −4
.
7. v = (2, 0).
8. (11,−13, 2).
9. (a) T (x, y, z) = (−2y + z,−x+ y);
(b) Im(T ) = [(0,−1), (−2, 1), (1, 0)] e uma base da imagem e´: {(0,−1), (1, 0)};
(c) N(T ) = [(1, 1, 2)] e uma base do nu´cleo e´: {(1, 1, 2)};
(d) T na˜o e´ injetora, T e´ sobrejetora e T na˜o e´ um isomorfismo.
10. (a) [T (1, 1)]B =
[
2
−1
]
e [T (3, 2)]B =
[
1
3
]
;
(b) T (1, 1) = (−1, 0) e T (3, 2) = (10, 7);
(c) T (x, y) = (12x− 13y, 7x− 7y).
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