Lista 9 com gabarito

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MTM 5245 - A´lgebra Linear - Lista de Exercı´cios 09
Diagonalizac¸a˜o de operadores lineares.
1. Determine se os operadores do exercı´cio 1 da lista 08 sa˜o ou na˜o sa˜o diagonaliza´veis. Para
aqueles que forem diagonaliza´veis, determine uma base de autovetores para o espac¸o
vetorial em questa˜o e a matriz associada ao operador com respeito a esta base.
2. Considere o operador linear T : R2 −→ R2 cuja matriz com relac¸a˜o a` base canoˆnica
{(1, 0), (0, 1)} e´ A =
[
5 −1
1 3
]
. Determine se este operador e´ ou na˜o e´ diagonaliza´vel.
Caso seja, determine uma base de R2 constituı´da apenas por autovetores de T e a matriz
associada a este operador com respeito a esta base.
3. Considere o operador linear T : R2 −→ R2 cuja matriz com relac¸a˜o a` base canoˆnica
{(1, 0), (0, 1)} e´ A =
[
1 3
−1 5
]
. Determine se este operador e´ ou na˜o e´ diagonaliza´vel.
Caso seja, determine uma base de R2 constituı´da apenas por autovetores de T e a matriz
associada a este operador com respeito a esta base.
4. Considere o operador linear T : P1(R) −→ P1(R) cuja matriz com relac¸a˜o a` base canoˆnica
{1, x} e´ A =
[
2 1
3 4
]
. Determine se este operador e´ ou na˜o e´ diagonaliza´vel. Caso
seja, determine uma base de P1(R) constituı´da apenas por autovetores de T e a matriz
associada a este operador com respeito a esta base.
5. Considere o operador linear T : R3 −→ R3 cuja matriz com relac¸a˜o a` base canoˆnica
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e´ A =
 1 −1 02 3 2
1 1 2
 . Determine se este operador e´ ou na˜o e´
diagonaliza´vel. Caso seja, determine uma base de R3 constituı´da apenas por autovetores
de T e a matriz associada a este operador com respeito a esta base.
6. Considere o operador linear T : P2(R) −→ P2(R) cuja matriz com relac¸a˜o a` base canoˆnica
{1, x, x2} e´ A =
 3 −1 −30 2 −3
0 0 −1
 . Determine se este operador e´ ou na˜o e´ diagonaliza´vel.
Caso seja, determine uma base de P2(R) constituı´da apenas por autovetores de T e a
matriz associada a este operador com respeito a esta base.
7. Considere o operador linear T : R3 −→ R3 cuja matriz com relac¸a˜o a` base canoˆnica
{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e´ A =
 2 1 00 1 −1
0 2 4
 . Determine se este operador e´ ou na˜o e´
diagonaliza´vel. Caso seja, determine uma base de R3 constituı´da apenas por autovetores
de T e a matriz associada a este operador com respeito a esta base.
Observac¸a˜o: As matrizes dos exercı´cios 3, 4, 5 e 6 sa˜o as mesmas do exercı´cio 2 da lista
08.
1
MTM 5245 - A´lgebra Linear - Gabarito Lista de Exercı´cios 09
Diagonalizac¸a˜o de operadores lineares.
1. (a) O operador T e´ diagonaliza´vel;
Base de R2 constituı´da apenas de autovetores de T : B = {(1, 1), (2, 1)};
[T ]BB =
[
3 0
0 2
]
.
(b) O operador T e´ diagonaliza´vel;
Base de R2 constituı´da apenas de autovetores de T : B = {(−2, 1), (1, 1)};
[T ]BB =
[
1 0
0 4
]
.
(c) O operador T e´ diagonaliza´vel;
Base deR3 constituı´da apenas de autovetores de T : B = {(1, 0, 0), (0, 1,−1), (1, 1, 2)};
[T ]BB =
 1 0 00 1 0
0 0 4
.
(d) O operador T e´ diagonaliza´vel;
Base deR3 constituı´da apenas de autovetores de T : B = {(1,−1,−1), (0,−3, 1), (0, 0, 1)};
[T ]BB =
 1 0 00 −1 0
0 0 2
.
(e) O operador T e´ diagonaliza´vel;
Base de P2(R) constituı´da apenas de autovetores de T : B = {x2, x+ 1, x− 1};
[T ]BB =
 1 0 00 1 0
0 0 −1
.
2. O operador na˜o e´ diagonaliza´vel.
3. O operador T e´ diagonaliza´vel;
Base de R2 constituı´da apenas de autovetores de T : B = {(3, 1), (1, 1)};
[T ]BB =
[
2 0
0 4
]
.
4. O operador T e´ diagonaliza´vel;
Base de P1(R) constituı´da apenas de autovetores de T : B = {−1 + x, 1 + 3x};
[T ]BB =
[
1 0
0 5
]
.
5. O operador T e´ diagonaliza´vel;
Base deR3 constituı´da apenas de autovetores de T : B = {(1, 0,−1), (−2, 2, 1), (1,−2,−1)};
1
[T ]BB =
 1 0 00 2 0
0 0 3
.
6. O operador T e´ diagonaliza´vel;
Base de P2(R) constituı´da apenas de autovetores de T : B = {1 + x+ x2, 1 + x, 1};
[T ]BB =
 −1 0 00 2 0
0 0 3
.
7. O operador na˜o e´ diagonaliza´vel.
2