lista 12 com gabarito

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MTM 5245 - A´lgebra Linear - Lista de Exercı´cios 12
Complementos ortogonais, projec¸o˜es ortogonais.
1. Considere P2(R) munido com o produto interno dado para quaisquer p(x), q(x) ∈ P2(R)
por
〈p(x), q(x)〉 =
∫ 1
0
p(x)q(x) dx.
Encontre o complemento ortogonal do subespac¸o vetorial W = [5, 1 + x].
2. Em R4 munido com o produto interno usual, determine uma base para W e uma base
para W⊥, em que
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x+ y = 0 e 2x+ z = y}.
3. Em R3 munido com o produto interno usual, determine um vetor unita´rio que seja orto-
gonal a todos os vetores do subespac¸o
W = [(1, 2,−1), (−1, 0, 2)] .
4. Em R4 munido com o produto interno usual, determine a projec¸a˜o ortogonal do vetor
(1, 1, 0,−1) sobre o subespac¸o vetorial
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x− y − z = 0 e z − 2t = 0}.
5. Em R4 munido com o produto interno usual, seja
W = [(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 2)] .
Encontre um vetor w ∈W tal que ‖(1, 2, 3, 4)− w‖ seja a menor possı´vel.
1
MTM 5245 - A´lgebra Linear - Gabarito Lista de Exercı´cios 12
Complementos ortogonais, projec¸o˜es ortogonais.
1. W⊥ =
[
1− 6x+ 6x2].
2. Base de W : {(1,−1,−3, 0), (0, 0, 0, 1)}; base de W⊥: {(1, 1, 0, 0), (3, 0, 1, 0)}.
3. 1√
21
(4,−1, 2).
4. 17(6, 8,−2,−1).
5. w =
(
3
2 ,
3
2 ,
11
5 ,
22
5
)
.
1