APOSTILA DE CONTROLE DE AERONAVES

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLAˆNDIA
APOSTILA
MECAˆNICA DO VOˆO
Controle Automa´tico de Aeronaves
Autor:
Alexandre MASSON
Supervisor:
Dr. Leonardo SANCHES
2017
2
Resumo
Este documento conte´m estudos de caso em controle automa´tico de aero-
naves. Ele cobre, inicialmente, o problema de busca de regio˜es de operac¸a˜o
em cima das quais o sistema de controle de uma aeronave rı´gida de asa fixa
devera´ operar e, posteriormente, a linearizac¸a˜o de suas equac¸o˜es de movi-
mento em torno de tais pontos. Sera˜o extraı´dos deste processo duas classes
de modelos: func¸o˜es de transfereˆncia e varia´veis de estado. Em seguida,
sera´ trabalhado o projeto de compensadores baseados na Teoria de Controle
Cla´ssico para o veı´culo modelado dentro de suas dinaˆmicas latero-direcional
e longitudinal. Na sequeˆncia, para um quadrico´ptero, sa˜o desenvolvidos
controladores baseados na Teoria de Controle Moderno tanto para o caso
de regulac¸a˜o quanto para o rastreamento, explorando conceitos ba´sicos do
assunto ao longo da resoluc¸a˜o. E por fim, sa˜o pontuados materiais comple-
mentares a esta apostila que podem ser combinados com esta u´ltima para
potencializar o trabalho de profissionais do ensino de controle.
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 2
2 Modelagem Matema´tica da Aeronave 4
2.1 Sistemas de Refereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Dinaˆmica do Corpo Rı´gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Dinaˆmica de Voo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Trimagem e Linearizac¸a˜o do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Func¸o˜es de Transfereˆncia de Regimes de Voo: O Caso da Curva
Coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Projeto de Compensadores de Voo 19
3.1 Controle do voo latero-direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Rolagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Aˆngulo de Derrapagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Controle do voo longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Rudimentos de Resposta em Frequeˆncia . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Redes proporcional, em avanc¸o de fase e em atraso de fase 61
3.2.2.1 Compensador proporcional . . . . . . . . . . . 62
3.2.2.2 Rede em avanc¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1
3.2.2.3 Rede em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3 Altitude e velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3.1 Altitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.2.3.2 Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Prelu´dio ao Controle Moderno: o problema do quadrico´ptero 87
4.1 Modelo em espac¸o de estados do quadrico´ptero . . . . . . . . . . 88
4.2 A regulac¸a˜o de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3 O rastreamento de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Materiais complementares 130
5.1 Recursos dida´ticos auxiliares ao conteu´do da apostila . . . . . . . 130
5.2 Sugesto˜es de literatura voltada ao ensino de controle automa´tico . 131
5.3 Recomendac¸o˜es de leitura para aspirantes a` a´rea de Controle de
Sistemas Dinaˆmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6 Conclusa˜o 132
Bibliografia 132
1 Introduc¸a˜o
A navegac¸a˜o e guiagem de aeronaves e´ um problema de Engenharia Aerona´utica
encontrado em aplicac¸o˜es conhecidas nas aviac¸o˜es militar, comercial e para fins
de pesquisa: agricultura, mapeamento de florestas, reconhecimento e delimitac¸a˜o
de fronteiras territoriais etc. E sua execuc¸a˜o e´ possı´vel atrave´s da integrac¸a˜o de
va´rios sub-sistemas que caracterizam a Avioˆnica de uma aeronave, tais como:
• drivers de amplificac¸a˜o de sinais, sejam eles hidra´ulicos, pneuma´ticos ou de
eletroˆnica de poteˆncia);
• sensores de navegac¸a˜o inercial e filtros atenuadores de ruı´dos;
• superfı´cies provedoras de forc¸as e torques de atuac¸a˜o;
• eletroˆnica embarcada de controle capaz de processar a saı´da dos sensores e
os comandos do piloto em sinais que entrara˜o nos atuadores.
2
Figura 1: Exemplo de um sistema de controle de voˆo.
Este trabalho tem por objetivo explorar as leis de controle que sa˜o implemen-
tadas no u´ltimo sub-sistema dos to´picos listados acima. A construc¸a˜o delas se dara´
pela aplicac¸a˜o das teorias de Controle Cla´ssico e Controle Moderno a problemas
de estabilizac¸a˜o e regulac¸a˜o de aeronaves. Nestes, sera˜o explorados conceitos fun-
damentais de Ana´lise de Sistemas Dinaˆmicos como estabilidade, resposta tran-
sito´ria e resposta em regime permanente.
Ale´m disto, sera´ ilustrada a conexa˜o entre o modelo matema´tico da aeronave e
os aspectos de ana´lise com rudimentos da Teoria da Perturbac¸a˜o. E, por fim, al-
guns pontos pra´ticos do projeto de te´cnicas controle sera˜o elucidados nos estudos
de caso, por exemplo rejeic¸a˜o de distu´rbios e/ou ruı´dos, saturac¸a˜o dos atuadores
etc.
Para cada resoluc¸a˜o de um caso, sera˜o obtidos resultados oriundos de simulac¸o˜es
nume´ricas, em ambiente MATLAB, com o intuito de verificar as predic¸o˜es da teo-
ria. Contudo, e´ pertinente salientar que o projeto de Controle Automa´tico de
Aeronaves envolve todas as a´reas do conhecimento mencionadas aqui em todas
3
as fases de seu desenvolvimento, o que ficara´ mais evidente no decorrer do tra-
balho.
2 Modelagem Matema´tica da Aeronave
Inicialmente, o foco da modelagem se dara´ em torno de uma aeronave de asa
fixa como a da Figura 4.
Visto que a massa de uma aeronave desse tipo e´ pequena, se comparada a`
massa de objetos astronoˆmicos como planetas, por exemplo, e que sua velocidade
e´ baixa, quando sua magnitude e´ confrontada com o tamanho da velocidade da luz,
efeitos relativı´sticos no seu movimento podem ser desprezados. Ale´m disso, dadas
as dimenso˜es da aeronave, os valores de energia e mo´dulo do momento linear a
ela associados durante o movimento sera˜o sempre altos o bastante para ignorar
efeitos de propagac¸a˜o ondulato´ria da mate´ria que a compo˜e durante sua trajeto´ria.
Portanto e´ pertinente obter o seu modelo matema´tico atrave´s da Mecaˆnica Newto-
niana. Ou seja, o avia˜o e´ um emaranhado contı´nuo de corpu´sculos e as descric¸o˜es
do movimento advindas da ana´lise de observadores localizados em referenciais
galileanos sera˜o equivalentes; ademais, a gravidade podera´ ser tratada atrave´s de
um modelo de forc¸a externa.
Dentro da validade da Mecaˆnica Cla´ssica para a abordagem do problema,
sera˜o assumidas, ainda, duas hipo´teses: a aeronave, para todos os efeitos, e´ um
corpo rı´gido e a Primeira Lei de Newton vale para observac¸o˜es feitas da Terra,
dois pontos assumidos que permitira˜o a utilizac¸a˜o dos Princı´pios de Newton-
Euler, da Dinaˆmica do Corpo Rı´gido, para a obtenc¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais
do veı´culo. Hipo´teses adicionais, juntamente com suas consequeˆncias lo´gicas,
sera˜o exploradas no decorrer das sesso˜es que seguem.
2.1 Sistemas de Refereˆncia
Para avaliar de forma satisfato´ria o movimento do veı´culo, devemos escolher
um local no qual seja possı´vel fazer medic¸o˜es de deslocamento e o orientac¸a˜o
espaciais do veı´culo. E a superfı´cie da Terra e´ um lugar razoa´vel para se efetuar
essas observac¸o˜es.
Negligenciando efeitos de acelerac¸a˜o do planeta e de rotac¸a˜o em torno do
seu centro, pode-se assumir essa superfı´cie como um Referencial Inercial. Mas
como alguns sensores se encontram embarcados na aeronave, inevitavelmente, no
decorrer da formulac¸a˜o, sera´ necessa´rio representa´-la, tambe´m, como uma trı´ade
4
de eixos centrada no seu baricentro, que sera´ aqui denotada por Referencial do
Corpo.
Figura 2: Aeronave e solo.
Os sistemas inercial e do corpo podem ser denotados por suas respectivas
bases de vetores unita´rios, F e F ′ , definidas a seguir:
F = {eˆ1, eˆ2, eˆ3} (1)
F ′ = {eˆ′1, eˆ′2,eˆ′3} (2)
2.2 Dinaˆmica do Corpo Rı´gido
Uma vez definidos os referenciais em relac¸a˜o aos quais as quantidades cinema´ticas
sera˜o medidas e decompostas (em 3 direc¸o˜es), para avaliar o movimento da aeron-
ave rı´gida, sera˜o enunciados os Princı´pios de Newton-Euler, va´lidos no Referen-
cial Inercial:
F = P˙ (3)
onde P e´ o momento linear do veı´culo e F e´ a resultante das forc¸as externas
nele aplicadas, ambos medidos no Referencial Inercial.
N = L˙ (4)
onde L e´ o momento angular do veı´culo eN e´ a resultante dos torques exter-
nos nele aplicados, ambos medidos no Referencial Inercial.
5
Expressando a dinaˆmica de translac¸a˜o, representada por 3, em func¸a˜o da veloci-
dade de translac¸a˜o do veı´culo, tem-se que:
F = mv˙ = m(v˙vˆ + ω × v) (5)
onde m e´ a massa do veı´culo e v e´ a velocidade do seu baricentro, medida no
Referencial Inercial, mas decomposta sobre os eixos do Referencial Mo´vel. v e´
traduzida como uma combinac¸a˜o linear dos versores de F ′, justifica a acelerac¸a˜o
medida no Inercial, v˙, conter o termo ω× v, ja´ que essa base de vetores unita´rios
muda de direc¸a˜o com o tempo atrave´s da rotac¸a˜o ω:
v =
3∑
i=1
v′ieˆ
′
i (6)
F =
3∑
i=1
F ′i eˆ
′
i (7)
Ja´ a dinaˆmica de rotac¸a˜o, representada por 4, em func¸a˜o da velocidade de
rotac¸a˜o do veı´culo, assume a seguinte forma:
N = J · ω˙+ ω× (J · ω) (8)
onde ω e´ a velocidade angular do avia˜o em torno do centro de massa e J e´ o
tensor de ine´rcia bariceˆntrico do avia˜o. Assim como no caso da translac¸a˜o, essas
quantidades esta˜o representadas por suas componentes no sistema mo´vel:
ω =
3∑
i=1
ω′ieˆ
′
i (9)
J =
3∑
i=1
3∑
j=1
J ′ijeˆ
′
i⊗ eˆ′j (10)
N =
3∑
i=1
N ′i eˆ
′
i (11)
Adicionalmente, a formulac¸a˜o do problema requer uma representac¸a˜o para
os graus de liberdade da aeronave que possibilite uma descric¸a˜o unı´voca do seu
movimento. Por isso, foram escolhidos os Aˆngulos de Euler na sequeˆncia 321 para
6
a rotac¸a˜o e as coordenadas cartesianas do Referencial Inercial para a translac¸a˜o,
coordenadas essas conectadas a`s equac¸o˜es da Dinaˆmica atrave´s das seguintes
relac¸o˜es cinema´ticas:
Θ˙ = M(Θ) ω (12)
F x˙ = [R(Θ)]−1 F
′
x˙ = [R(Θ)]−1 v (13)
Θ e´ a matriz coluna que conte´m os Aˆngulos de Euler e R(Θ) a matriz de
rotac¸a˜o que transforma as componentes de vetores no Referencial Inercial nas
suas componentes sobre o Referencial do Corpo. Ainda, F x˙ e´ a velocidade da
aeronave decomposta no Sistema Inercial, enquanto F ′x˙ e´ o mesmo vetor veloci-
dade, pore´m expresso no Sistema do Corpo e ja´ definido anteriormente como v.
M(Θ) e´ uma matriz cujas entradas sa˜o func¸o˜es dos aˆngulos de Euler dadas na
sequeˆncia com as demais definic¸o˜es aqui mencionadas:
F x˙ =
3∑
i=1
x˙ieˆi (14)
Θ =
φθ
ψ
 (15)
R(Θ) =
1 0 00 cosφ − senφ
0 senφ cosφ
 cos θ 0 senθ0 1 0
− senθ 0 cos θ
cosψ − senψ 0senψ cosψ 0
0 0 1

(16)
M(Θ) =
1 0 − senθ0 cosφ cos θ senφ
0 − senθ cos θ cosψ
 (17)
De forma suscinta, o modelo matema´tico que possibilita, juntamente com as
condic¸o˜es iniciais, fazer previso˜es acerca da evoluc¸a˜o temporal dos graus de liber-
dade da aeronave e´ composto por 5, 8, 13 e 12. Pore´m, cabe rearranja´-las para
isolar as derivadas de maior ordem em um vetor, enquanto o restante dos termos
e´ agrupado em outro vetor da seguinte maneira:
η˙ = f(η,U , t) (18)
7
onde η e´ a matriz coluna que conte´m os graus de liberdade e as velocidades a
eles associadas, U e´ o vetor que comporta as entradas no sistema (neste caso, as
resultantes da forc¸a e torque externos) e f(η,U , t) e´ a matriz coluna que carrega
as na˜o-linearidades das equac¸o˜es diferenciais:
η =

Fx
Θ
v˙vˆ
ω
 (19)
U =
(
F
N
)
(20)
f(η,U , t) =

[R(Θ)]−1 v
M(Θ) ω
m−1F − ω× v
J−1[N − ω× (J · ω)]
 (21)
2.3 Dinaˆmica de Voo
Ao aplicar as equac¸o˜es da Dinaˆmica do Corpo Rı´gido ao avia˜o, os esforc¸os a
serem levados em conta sa˜o as forc¸as e torques aerodinaˆmicos, a gravidade e as
forc¸as e torques propulsivos (cuja propagac¸a˜o se inicia com as turbinas).
O modelo dos esforc¸os aerodinaˆmicos depende, fundamentalmente, do regime
de escoamento do fluido no qual a aeronave esta´ imersa e das propriedades geome´tricas
do veı´culo, uma vez que as interac¸o˜es fluido-estrutura se da˜o por forc¸as de su-
perfı´cie. Tais caracterı´sticas aerodinaˆmicas se traduzem em um rol de varia´veis
que va˜o desde paraˆmetros da cinema´tica do sistema aeronave-fluido a`s deflexo˜es
de regio˜es mo´veis do veı´culo, sendo estas u´ltimas controla´veis pelo piloto au-
toma´tico do avia˜o.
F = Fg + Fp + Fa (22)
N = Np +Na (23)
onde Fg e´ a forc¸a peso, Fp e´ a forc¸a de propulsa˜o da he´lice, Fa e´ a forc¸a
aerodinaˆmica,Na e´ o torque aerodinaˆmico eNp o torque propulsivo, dados pelas
8
equac¸o˜es que seguem:
Fg = R(Θ)
 00
mg
 (24)
Fp =
1
2
ρSpropCprop
(kmotoruo)2 − V 2a0
0
 (25)
Fa =
1
2
ρSV 2a
 C1(α) + Cω21 c2Vaω2 + Cue1 (α)ueC02 + Cβ2 β + (Cω12 ω1 + Cω32 ω3) b2Va + Cua2 (α)ua + Cur2 (α)ur
C3(α) + C
ω2
3
c
2Va
ω2 + C
ue
3 (α)ue

(26)
Np =
1
2
ρSpropCprop
−kT (kPuo)20
0
 (27)
Na =
1
2
ρSV 2a

b(C0l + C
β
l β + (C
ω1
l ω1 + C
ω3
l ω3)
b
2Va
+ Cual (α)ua + C
ur
l (α)ur)
c(C0m + C
α
mα + C
ω2
m
c
2Va
ω2 + C
ue
m ue)
b(C0n + C
β
nβ + (C
ω1
n ω1 + C
ω3
n ω3)
b
2Va
+ Cuan (α)ua + C
ur
n (α)ur)

(28)
onde os coeficientes dependentes de α sa˜o dados por:
C1(α)
Cω21 (α)
Cuel (α)
C3(α)
Cω23 (α)
Cue3 (α)
 =

−(aD + bDα) (aL + bLα)
−Cω2D Cω2L
−CueD CueL
−(aL + bLα) −(aD + bDα)
−Cω2L Cω2D
−CueL CueD

(
cosα
senα
)
(29)
A` excessa˜o de Va, α e β, que variam no tempo, os demais termos sa˜o con-
stantes que dependem de propriedades geome´tricas e fı´sicas do ar, do avia˜o e da
interac¸a˜o aerodinaˆmica destes sistemas, assumindo escoamento laminar desen-
volvido e aproximac¸o˜es lineares de coeficientes de arrasto e sustentac¸a˜o com α.
Uma discussa˜o detalhada deste to´pico pode ser encontrada em [1].
9
Figura 3: Velocidade da aeronave em relac¸a˜o ao ar.
Va especifica a norma do vetor velocidade da aeronave medida no suporte
material por onde ela trafega, enquanto α e β da˜o a orientac¸a˜o deste vetor em
relac¸a˜o ao Referencial do Corpo, representado na Figura 3 por Va.
Incorporando os modelos das forc¸as e torques mostrados nesta sessa˜o no vetor
U , presente na Equac¸a˜o 20 da sessa˜o anterior, e considerando que Va tambe´m
pode ser especificado em func¸a˜o dos graus de liberdade da aeronave, chega-se ao
mesmo conjunto de equac¸o˜es diferenciais, pore´m com a substituic¸a˜o do vetor de
forc¸as:
η˙ = f(η,u, t) (30)
u, neste caso, e´ o vetor de deflexo˜es das superfı´cies de controle, dado por:
u =

ue
uo
ua
ur
 (31)
10
ue e´ a deflexa˜o do profundor, uo e´ um nu´mero adimensional que representa
a porcentual da ma´xima capacidade de rotac¸a˜o do eixo do motor da he´lice req-
uisitado nas manobras, ua e´ a deflexa˜o do aileron e ur a orientac¸a˜o do leme da
aeronave. Tais componentes do vetor u, juntamente com os atuadores a eles asso-
ciados sa˜o ilustrados na figura abaixo:
Figura 4: Atuadores na aeronave e esforc¸o de controle a elas associado - diagrama
adaptado de [1].
Vale ressaltar que uo e´ proporcional a` rotac¸a˜o Ω do motor, conforme mostra a
Figura 4.
2.4 Trimagem e Linearizac¸a˜o do Modelo
Antes de iniciar a formulac¸a˜o das leis de controle, e´ necessa´rio achar uma
regia˜o de operac¸a˜o da aeronave, ou seja, uma condic¸a˜o de voˆo em torno da qual ela
consiga permanecer esta´vel. Isso implica em determinar a forma como o veı´culo
deve semovimentar e calcular quais os comandos devem ser inferidos ao mesmo
para a execuc¸a˜o do voˆo escolhido.
Ou seja, a trimagem envolve a escolha de pontos η∗ e η˙∗ que se traduzam no
voˆo de operac¸a˜o e na busca de um vetor de comando u∗ que produza os estados
e as derivadas temporais dos estados desejados. Enta˜o, o problema se reduz a`
resoluc¸a˜o do seguinte sistema de equac¸o˜es na˜o-lineares alge´bricas:
11
η˙∗ = f(η∗,u∗, t) (32)
onde u∗ e´ a soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es 32 para uma dada trajeto´ria
(η∗, η˙∗), em regime permanente.
Essa soluc¸a˜o na˜o e´ simples de ser encontrada, uma vez que na˜o ha´ resposta
analı´tica para muitos sistemas na˜o-lineares, incluindo o de aeronaves rı´gidas. E a
resoluc¸a˜o do problema envolve te´cnicas de otimizac¸a˜o, em particular, algoritmos
de programac¸a˜o na˜o linear. Dentro dessa classe de algoritmos, foi utilizada a
Programac¸a˜o Sequencial Quadra´tica, implementada em uma func¸a˜o MATLAB
conhecida por trim function, que e´ chamada em um co´digo que sera´ mostrado no
fim desta sessa˜o.
Ale´m do conhecimento do ponto de trimagem, sobre o qual o voˆo ocorrera´, e´
necessa´rio fazer previso˜es acerca da resposta temporal do sistema para situac¸o˜es
onde novas forc¸as e torques possam vir a solicita´-lo. Pore´m, ale´m da pro´pria
resoluc¸a˜o de um sistema alge´brico na˜o-linear ser onerosa e invia´vel, conforme ja´
discutido, a integrac¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias na˜o-lineares, do tipo
x˙ = f(x,u, t), guarda dificuldades de ca´lculo ainda maiores de um ponto de
vista analı´tico. Por isso, e´ interessante tentar estrate´gias alternativas, inclusive,
a` otimizac¸a˜o na˜o linear, ja´ que esta u´ltima demandaria esforc¸o computacional
mais alto no ca´lculo de respostas transito´rias do que no de resposta em regime
permanente.
Uma saı´da pertinente e´ a utilizac¸a˜o da Teoria da Perturbac¸a˜o, que pressupo˜e
assumir um ponto de operac¸a˜o, Γ∗, previamente calculado na trimagem, e admite
que a evoluc¸a˜o temporal do sistema ocorre nas suas vizinhanc¸as, ou seja, os graus
de liberdade variam em pequenas perturbac¸o˜es contabilizadas a partir do ponto
de operac¸a˜o. O range dessa variac¸a˜o e´ conhecido como regia˜o de operac¸a˜o e
denotado porRδ:
Γ∗ = (u∗,η∗, η˙∗) (33)
Rδ = (u∗ + δu,η∗ + δη, η˙∗ + δη˙) (34)
Avaliando, enta˜o, as equac¸o˜es de movimento 30 na regia˜o de operac¸a˜o, Rδ,
podemos reescreveˆ-la atrave´s de diferenciais inexatas, ou seja, com o operador
δ(·) aplicado a` esquerda e a` direita da equac¸a˜o:
δη˙ = δf(η∗ + δη,u∗ + δu, t) (35)
12
δf , a` esquerda de 35, pode ser expresso da seguinte forma:
δη˙ = A δη +B δu (36)
onde
A =
∂f
∂η
∣∣∣∣
Γ∗
(37)
B =
∂f
∂u
∣∣∣∣
Γ∗
(38)
Para cada regime de voo da aeronave, ale´m do par (A,B), e´ conveniente,
muitas vezes, definir um vetor ν que contenha as varia´veis que se quer controlar
durante a operac¸a˜o do veı´culo.
Normalmente, as componentes de δν sa˜o combinac¸o˜es lineares das compo-
nentes de δη e esses vetores se conectam por uma matriz, denotada porC, definida
pela selec¸a˜o das varia´veis de controle envolvidas no projeto.
δν = C δη (39)
A utilizac¸a˜o de modelos lineares descritos pelas equac¸o˜es 36 e 39 sera´ eluci-
dada na sessa˜o que segue, que contara´ com a escolha de uma regia˜o de operac¸a˜o
e com o ca´lculo de modelos de func¸a˜o de transfereˆncia para a aeronave.
2.5 Func¸o˜es de Transfereˆncia de Regimes de Voo: O Caso da
Curva Coordenada
Para aeronaves comerciais e mesmo para alguns veı´culos militares, e´ possı´vel
assumir a dinaˆmica de voo em dois modos distintos: o modo latero-direcional e o
longitudinal.
O modo latero-direcional diz respeito aos graus de liberdade associados a` ro-
lagem, a` guinada e a` translac¸a˜o, sendo esta u´ltima no eixo x′1, enquanto o longi-
tudinal se caracteriza pela arfagem e por duas translac¸o˜es, uma em x′2 e outra em
x′3.
A dinaˆmica linear desses modos sera´ aqui explorada em um regime de voo
conhecido por Curva Coordenada. Nela, a aeronave circunda um alvo, do qual
mante´m uma distaˆncia R, aumenta sua altitude, fazendo o segmento de reta do
seu maior comprimento, da pompa a` proa, se inclinar de um aˆngulo γ a partir do
plano x1x2. R e γ sa˜o mostrados na imagem que segue:
13
Figura 5: Aeronave e alvo na Curva Coordenada.
Sob a hipo´tese de que o vento se encontra estaciona´rio em relac¸a˜o ao Refe-
rencial Inercial, ou seja, v = Va, assumindo x˙3 constante e que a acelerac¸a˜o do
centro de massa aponta na direc¸a˜o x′1 × x3, e´ possı´vel definir um vetor η˙∗ da
seguinte forma:
η˙∗ =

valor qualquer
outro valor qualquer
V ∗a senγ
∗
05×1
V ∗a
R∗
cos γ∗
03×1

(40)
R∗, V ∗a e γ
∗ caracterizam de forma unı´voca a trimagem. E atrave´s da Equac¸a˜o 32,
com o valor de η˙∗, sa˜o encontrados os valores de η∗ e u∗, que constituem o ponto
de operac¸a˜o Γ∗, ponto este determinante para o ca´lculo das matrizes A e B por
37 e 38, respectivamente.
No entanto, as varia´veis de interesse ao controle dessa manobra compo˜e um
14
subconjunto ν das varia´veis de estado, cuja selec¸a˜o se da´ pela Equac¸a˜o 39. C e
δν sa˜o enunciados na sequeˆncia:
C =

01×2 −1 01×9
01×3 1 01×8
01×7 1V ∗a 01×4
01×3
Rg(secφ∗)2√
tgφ∗
01×8
 (41)
δν =

δh
δφ
δβ
δVa
 (42)
h e´ a altitude atingida pela aeronave, dada pelo negativo da coordenada 3 do
Referencial Inercial:
h = −x3 (43)
Um modelo do sistema em func¸o˜es de transfereˆncia, que expressa direta-
mente as relac¸o˜es saı´da/entrada, pode ser extraı´do a partir das Equac¸o˜es 36 e
39, operando ambas as igualdades com a Transformada de Laplace, L(·):
G = C(sI −A)−1 (44)
Chega-se, portanto, a um modelo pertinente ao projeto de compensadores
cla´ssicos, cujas te´cnicas sera˜o exploradas na sessa˜o que segue.
Co´digo matlab 1: Ca´lculo do modelo linear - programa adaptado de [2].
1 P . g r a v i t y = 9 . 8 ;
2
3 %p h y s i c a l p a r a m e t e r s o f a i r f r a m e
4 P . mass = 1 . 5 6 ;
5 P . Jx = 0 . 1 1 4 7 ;
6 P . Jy = 0 . 0 5 7 6 ;
7 P . Jz = 0 . 1 7 1 2 ;
8 P . Jxz = 0 . 0 0 1 5 ;
9
10 % aerodynamic c o e f f i c i e n t s
11 P .M = 5 0 ;
15
12 P . e p s i l o n = 0 . 1 5 9 2 ;
13 P . a l p h a 0 = 0 . 4 7 1 2 ;
14 P . rho = 1 . 2 6 8 2 ;
15 P . c = 0 . 3 3 0 2 ;
16 P . b = 1 . 4 2 2 4 ;
17 P . S wing = 0 . 2 5 8 9 ;
18 P . S prop = 0 . 0 3 1 4 ;
19 P . k moto r = 2 0 ;
20 P . C L 0 = 0 . 2 8 ;
21 P . C L a lpha = 3 . 4 5 ;
22 P . C L q = 0 . 0 ;
23 P . C L d e l t a e = −0.36;
24 P . C D 0 = 0 . 0 3 ;
25 P . C D q = 0 . 0 ;
26 P . C D d e l t a e = 0 . 0 ;
27 P . C M 0 = 0 . 0 ;
28 P . C M alpha = −0.38;
29 P . C M q = −3.6;
30 P . C M d e l t a e = −0.5;
31 P . C Y 0 = 0 . 0 ;
32 P . C Y beta = −0.98;
33 P . C Y p = −0.26;
34 P . C Y r = 0 . 0 ;
35 P . C Y d e l t a a = 0 . 0 ;
36 P . C Y d e l t a r = −0.17;
37 P . C e l l 0 = 0 . 0 ;
38 P . C e l l b e t a = −0.12;
39 P . C e l l p = −0.26;
40 P . C e l l r = 0 . 1 4 ;
41 P . C e l l d e l t a a = 0 . 0 8 ;
42 P . C e l l d e l t a r = 0 . 1 0 5 ;
43 P . C n 0 = 0 . 0 ;
44 P . C n b e t a = 0 . 2 5 ;
45 P . C n p = 0 . 0 2 2 ;
46 P . C n r = −0.35;
47 P . C n d e l t a a = 0 . 0 6 ;
48 P . C n d e l t a r = −0.032;
49 P . C prop = 1 ;
16
50
51
52 % wind p a r a m e t e r s
53 P . wind n = 0 ;
54 P . wind e = 0 ;
55 P . wind d = 0 ;
56 P . L wx = 1250 ;
57 P . L wy = 1750 ;
58 P . L wz = 1750 ;
59 P . sigma wx = 1 ;
60 P . sigma wy = 1 ;
61 P . sigma wz = 0 . 7 ;
62 % P . sigma wx = 0;
63 % P . sigma wy = 0;
64 % P . s igma wz = 0;
65 P . Va0 = 1 3 ;
66
67 % a u t o p i l o t sample r a t e
68 P . Ts = 0 . 0 1 ;
69
70 % compute t r i m c o n d i t i o n s u s i n g ’ m a v s i m c h a p 5 t r i m . mdl
’
71 P . Va = 1 7 ;
72 gamma = 5∗ pi / 1 8 0 ; % d e si r e d f l i g h t pa th a n g l e (
r a d i a n s )
73 R = 150 ; % d e s i r e d r a d i u s (m) − use (+)
f o r r i g h t handed o r b i t ,
74 % (−) f o r
l e f t handed o r b i t
75 % f i r s t c u t a t i n i t i a l c o n d i t i o n s
76 P . pn0 = 0 ; % i n i t i a l Nor th p o s i t i o n
77 P . pe0 = 0 ; % i n i t i a l Eas t p o s i t i o n
78 P . pd0 = 0 ; % i n i t i a l Down p o s i t i o n ( n e g a t i v e
a l t i t u d e )
79 P . u0 = P . Va ; % i n i t i a l v e l o c i t y a long body x−a x i s
80 P . v0 = 0 ; % i n i t i a l v e l o c i t y a long body y−a x i s
81 P . w0 = 0 ; % i n i t i a l v e l o c i t y a long body z−a x i s
82 P . ph i0 = 0 ; % i n i t i a l r o l l a n g l e
17
83 P . t h e t a 0 = 0 ; % i n i t i a l p i t c h a n g l e
84 P . p s i 0 = 0 ; % i n i t i a l head ing a n g l e
85 P . p0 = 0 ; % i n i t i a l body frame r o l l r a t e
86 P . q0 = 0 ; % i n i t i a l body frame p i t c h r a t e
87 P . r0 = 0 ; % i n i t i a l body frame yaw r a t e
88
89 % run t r i m commands
90 [ x t r i m , u t r i m ]= c o m p u t e t r i m ( ’ mavs im t r im ’ , P . Va , gamma
, R) ;
91 P . u t r i m = u t r i m ;
92 P . x t r i m = x t r i m ;
93
94 % s e t i n i t i a l c o n d i t i o n s t o t r i m c o n d i t i o n s
95 % i n i t i a l c o n d i t i o n s
96 P . u0 = x t r i m ( 4 ) ; % i n i t i a l v e l o c i t y a long body x
−a x i s
97 P . v0 = x t r i m ( 5 ) ; % i n i t i a l v e l o c i t y a long body y
−a x i s
98 P . w0 = x t r i m ( 6 ) ; % i n i t i a l v e l o c i t y a long body z
−a x i s
99 P . ph i0 = x t r i m ( 7 ) ; % i n i t i a l r o l l a n g l e
100 P . t h e t a 0 = x t r i m ( 8 ) ; % i n i t i a l p i t c h a n g l e
101 P . p0 = x t r i m ( 1 0 ) ; % i n i t i a l body frame r o l l r a t e
102 P . q0 = x t r i m ( 1 1 ) ; % i n i t i a l body frame p i t c h
r a t e
103 P . r0 = x t r i m ( 1 2 ) ; % i n i t i a l body frame yaw r a t e
104
105 % compute d i f f e r e n t t r a n s f e r f u n c t i o n s
106 [ T p h i d e l t a a , T c h i p h i , T t h e t a d e l t a e , T h t h e t a ,
T h Va , T V a d e l t a t , T V a t h e t a , T v d e l t a r ] . . .
107 = c o m p u t e t f m o d e l ( x t r i m , u t r i m , P ) ;
108
109 %l a t
110 [ n ph i , d p h i ]= t f d a t a ( T p h i d e l t a a , ’ v ’ ) ;
111 [ n v d e l r , d v d e l r ]= t f d a t a ( T v d e l t a r , ’ v ’ ) ;
112
113 %l o n
114 [ n t h e t a , d t h e t a ]= t f d a t a ( T t h e t a d e l t a e , ’ v ’ ) ;
18
115 [ n h t h , d h t h ]= t f d a t a ( T h t h e t a , ’ v ’ ) ;
116 [ n Va th , d V a t h ]= t f d a t a ( T V a t h e t a , ’ v ’ ) ;
117 [ n V a d e l t , d V a d e l t ]= t f d a t a ( T V a d e l t a t , ’ v ’ ) ;
118
119
120 % l i n e a r i z e t h e e q u a t i o n s o f mot ion around t r i m
c o n d i t i o n s
121 [ A lon , B lon , A l a t , B l a t ] = c o m p u t e s s m o d e l ( ’
mavs im t r im ’ , x t r i m , u t r i m ) ;
3 Projeto de Compensadores de Voo
O controle de voo, definido para a curva coordenada, e´ projetado para os mo-
dos latero-direcional e longitudinal separadamente. E as func¸o˜es de transfereˆncia
que constam emG valem para a seguinte terna de paraˆmetros:
(V ∗a , γ
∗, R∗) = (17m/s,
5pi
180
rad, 150m) (45)
A metodologia de projeto dependera´ da estrutura alge´brica das func¸o˜es de
transfereˆncia da diagonal de G e dos acoplamentos existentes entre as varia´veis
que formam o vetor δν, acoplamentos estes dados pelos elementos fora da diag-
onal. As plantas Gij , com os valores nume´ricos dos coeficientes dos polinoˆmios
que as compo˜e, sera˜o mostradas a seguir, juntamente com o procedimentos de
sı´ntese dos compensadores.
O controle sera´ feito em malha fechada, estrate´gia justificada pelo fato de que
aeronaves devem ser robustas a distu´rbios, sejam eles ambientais, como vento, ou
parame´tricos, como variac¸o˜es de massa do veı´culo, por exemplo.
3.1 Controle do voo latero-direcional
No modo latero-direcional, as u´nicas varia´veis a serem controladas sa˜o a ro-
lagem, φ(t), e o aˆngulo de derrapagem, β(t).
Como essas plantas sa˜o desacopladas, sera˜o explorados conceitos adicionais
de robustez a perturbac¸o˜es na resoluc¸a˜o de seus problemas.
19
3.1.1 Rolagem
Na rolagem, o esforc¸o de controle que a gera diretamente e´ a deflexa˜o do
aileron, δua(t), e a func¸a˜o de transfereˆncia que conecta essas duas grandezas, da
perspectiva de entrada (aileron) e saı´da (rolagem), e´ a func¸a˜o G22 da matriz G,
dada, a partir da trimagem, pela seguinte raza˜o polinomial:
δφ(s)
δua(s)
= G22(s) =
25,83
s(s+ 4,72)
(46)
Deseja-se encontrar um compensador C2(s) que infira deflexo˜es no aileron
para que a planta responda com uma rolagem comandada pelo piloto, φc(t). Ou
seja, C2(s) deve garantir a validade da igualdade δφ(t) = δφc(t).
Figura 6: Sistema de controle de rolagem.
Pore´m, nota-se que G22(s) e´ uma raza˜o polinomial da seguinte forma:
G(s) =
ω2n
s(s+ 2ζωn)
(47)
Figura 7: Sistema dinaˆmico linear de segunda ordem.
20
A frequeˆncia caracterı´stica ou natural, ωn, e´ uma me´trica da rapidez com que
as oscilac¸o˜es do sistema ocorrem na auseˆncia de esforc¸os aplicados, enquanto o
fator de amortecimento, ζ , exprime a taxa de dissipac¸a˜o da energia cine´tica para
o ambiente, ou seja, maneira pela qual as vibrac¸o˜es sa˜o atenuadas.
Uma func¸a˜o de transfereˆncia que possa ser representada atrave´s de um sistema
em malha fechada com G(s) na malha aberta, conforme mostrado na 7, e´ um
sistema de segunda ordem que exibe uma resposta similar a do gra´fico abaixo
quando e´ comandada por um sinal yc = 1:
Figura 8: Resposta de um sistema de segunda ordem ao degrau unita´rio.
A resposta de
G
1 +G
converge segundo o padra˜o da Figura 8 por duas razo˜es:
• G possui um polo na origem, o que possibilita erro nulo ao degrau unita´rio
em regime estaciona´rio, y(∞)− yc = 0 ;
• os valores singulares da raza˜o y(s)
yc(s)
possuem parte real negativa, conforme
mostra a Figura 9, e implicam em uma resposta y(t) modulada por uma
func¸a˜o exponencial de argumento negativo, e−ζωnt, ou seja, resultam em
uma resposta limitada;
A func¸a˜o de transfereˆncia do sistema em malha fechada, descrito pela Figura
7, e´ dada pela seguinte equac¸a˜o:
21
y(s)
yc(s)
=
G(s)
1 +G(s)
=
ω2n
s2 + 2ζωns+ ω2n
(48)
A equac¸a˜o caracterı´stica desse sistema acima e´ dada pela nulidade do denom-
inador, ou seja, e´ uma equac¸a˜o que expo˜e as singularidades da func¸a˜o
y(s)
yc(s)
:
1 +G(s∗) = 0 (49)
Os valores singulares de
y(s)
yc(s)
(no caso, um sistema de segunda ordem),
tambe´m chamados de po´los do sistema, sa˜o as raı´zes da equac¸a˜o 49, ou seja,
os valores de s∗ que satisfazem 1 +G = 0:
s∗ = −ζωn ± iωn
√
1− ζ2 = ωne±i[pi−arccos(ζ)] (50)
O lugar geome´trico dessas raı´zes no Plano de Argand-Gauss e´ mostrado a
seguir:
Figura 9: Lugar das raı´zes de um sistema de segunda ordem amortecido.
22
No caso, os po´los se encontram no semiplano esquerdo do Diagrama de Ar-
gand que, por se tratar de um plano em que sa˜o representados valores da varia´vel
s, e´ tambe´m conhecido, como plano s.
A localizac¸a˜o dos po´los no plano s determina se a resposta do sistema a uma
entrada teste convergira´ ou se sera´ desviada de forma na˜o limitada.
Figura 10: Ana´lise de estabilidade do sistema em malha fechada.
O eixo imagina´rio do Diagrama de Argand e´ a fronteira que separa a regia˜o
de estabilidade da zona de instabilidade. E para o caso de po´los sobre este eixo,
Re(s∗) = 0, o sistema responde a uma entrada degrau, yc = 1, com uma oscilac¸a˜o
na˜o-amortecida em torno da entrada. Entretanto, a saı´da na˜o converge para nen-
hum valor particular, tampouco diverge:
23
Figura 11: Eixo imagina´rio como limite de estabilidade dosistema.
Em regio˜es fora do eixo imagina´rio, os po´los implicam ou em respostas limi-
tadas e convergentes, para Re(s∗) < 0, ou em respostas que crescem de maneira
indiscriminada no tempo, no caso, quandoRe(s∗) > 0.
24
Figura 12: Conexa˜o entre convergeˆncia nas respostas e po´los de G
1+G
.
E como G22(s) possui similaridade com o formato padra˜o de um sistema de
segunda ordem, representado por G, sera´ utilizado um compensador C2 esta´tico e
de valor unita´rio:
C2(s) = 1 (51)
Assim, a func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta, oriunda da equivaleˆncia
entre C2G22 e G nas figuras 6 e 7, assume a seguinte forma:
C2G22(s) =
25,83
s(s+ 4,72)
=
ω2n
s(s+ 2ζωn)
(52)
Por inspec¸a˜o, com base em 52, e´ previsto que o sistema C2G22
1+C2G22
seguira´ sinais
do tipo degrau (func¸o˜es de valor constante no tempo) com erro nulo (pelo po´lo
na origem de C2G22) e com amortecimento e frequeˆncia natural assumindo os
valores presentes no par (ωn; ζ) = (5,08rad/s; 0,46).
25
A resposta do sistema δφ(s)
δφc(s)
, φ(t), a uma entrada degrau de 1◦, φc(t) = pi180rad,
foi plotada com a ajuda do MATLAB:
Figura 13: Resposta de δφ(s)
δφc(s)
a uma entrada degrau de pi
180
rad.
Apesar da resposta satisfato´ria, o sistema precisa ser capaz de rejeitar perturbac¸o˜es
na˜o modeladas. No diagrama de blocos que segue, e´ exibida a ac¸a˜o de um distu´rbio
na planta:
Figura 14: Sistema de controle de δφ com um distu´rbio na planta.
δφ(s) =
[
C2G22(s)
1 + C2G22(s)
]
δφc(s) +
[
G22(s)
1 + C2G22(s)
]
d(s) (53)
Na Equac¸a˜o 53, verifica-se que o efeito do distu´rbio d(s) e´ minimizado e que
26
a saı´da δφ(s) rastreia o comando δφc(s) se o compensador assumir valores altos
segundo a comparac¸a˜o contida na proposic¸a˜o abaixo:
[C2G22(s) ≫ 1]→ δφ ≈ δφc (54)
Uma simulac¸a˜o de um distu´rbio foi executada no Simulink. Um sinal degrau
somado a 4 func¸o˜es harmoˆnicas foi tomado como distu´rbio conforme o diagrama
abaixo:
Figura 15: Simulac¸a˜o simulink da atuac¸a˜o de C2 = 1
frente ao distu´rbio d(t)
d(t) =
pi
180
[5 + 4 sen(t) + 3 sen(2t) + 2 sen(3t) + sen(4t)] rad (55)
Mantendo o mesmo compensador, a resposta do sistema na presenc¸a do distu´rbio
mostra que sua capacidade de seguir o comando foi deteriorada:
27
Figura 16: Gra´fico da resposta y(t) sob efeito de um distu´rbio na planta.
E para diminuir a importaˆncia do distu´rbio sobre y, aumentaremos o valor de
C2(s), mantendo o mesmo ainda como uma constante. A previsa˜o, por ana´lise da
proposic¸a˜o 54, e´ de que a resposta se aproxime mais do comando yc:
C2 = 100 (56)
28
Figura 17: Efeito do aumento do ganho C2 na resposta.
Na Figura 17, verifica-se que o efeito do distu´rbio diminuiu. Pore´m, o aumento
do ganho do compensador implicou em oscilac¸o˜es de alta frequeˆncia da resposta
de regime transiente e em valores que excedem o dobro do valor do comando dado
ao sistema.
Uma maneira de contornar este problema e´ manter o valor do compensador
da tentativa inicial, C2 = 1, e construir um sub-sistema auxiliar que seja capaz
de estimar o efeito do distu´rbio e calcular um esforc¸o de controle adicional que
se contraponha ao mesmo. Um arranjo possı´vel para a execuc¸a˜o dessa lo´gica de
controle e´ dada no diagrama de blocos abaixo:
29
Figura 18: Estimador e regulador de distu´rbio incorporados ao sistema de cont-
role.
A estimac¸a˜o do efeito do distu´rbio consiste em subtrair o efeito de δua sobre a
resposta do seu efeito combinado ao do distu´rbio, resultando em uma observac¸a˜o
isolada do efeito do distu´rbio sobre a saı´da.
O regulador, por sua vez, compara o efeito do distu´rbio com o valor 0, como
um comando de minimizac¸a˜o do efeito do distu´rbio, e multiplica o erro por um
ganho K, resultando em um sinal de controle que tendera´ a` func¸a˜o −d(t) para o
cancelamento da referida perturbac¸a˜o.
30
Figura 19: Compensador, estimador e regulador em ambiente Simulink.
Foi escolhido um valor alto para o ganho do regulador para que o efeito do
distu´rbio fosse diminuı´do significativamente. A simulac¸a˜o, em ambiente Simulink,
resultou na resposta mostrada no gra´fico que segue:
K = 10000 (57)
Figura 20: Resposta do sistema depois da inclusa˜o do regulador/estimador.
31
Com isso, finaliza-se o projeto do compensador de rolagem. A estrutura pro-
posta, por ter utilizado o modelo da planta na lo´gica de controle, e´ conhecida
como controlador com modelo interno. Esta classe de controladores na˜o sera´ ex-
plorada em maiores detalhes, ja´ que o objetivo aqui e´ explorar estritamente con-
ceitos ba´sicos da Teoria de Controle. E por mais que este tipo de estrate´gia fac¸a
parte de cursos mais avanc¸ados de controle, o raciocı´nio em cima da construc¸a˜o
de sua estrutura alge´brica ainda e´ simples. Ale´m disso, o controlador com modelo
interno foi selecionado para a rejeic¸a˜o de distu´rbios pelo fato de que me´todos al-
ternativos exigiriam do leitor domı´nio pleno de ana´lise da resposta em frequeˆncia
da planta, tema que podera´ ser melhor apresentado depois que o conceito de Lugar
das Raı´zes for introduzido (ainda na subsessa˜o seguinte).
Maiores detalhes sobre essa abordagem podem ser encontrados em [3].
3.1.2 Aˆngulo de Derrapagem
De forma similar ao caso da rolagem, o sistema de controle do aˆngulo de
derrapagem pode ser descrito por um diagrama de blocos segundo a figura abaixo:
Figura 21: Sistema de controle do aˆngulo de derrapagem.
δβc e´ o comando, δβ o aˆngulo de derrapagem, C3 o compensador a ser proje-
tado, δur a deflexa˜o do leme de direc¸a˜o e G33 a func¸a˜o de transfereˆncia da planta,
dada a seguir:
δβ(s)
δur(s)
= G33(s) =
−5,17
s+ 1,75
(58)
A Transfordada de Fourier de G33(s), G33(s = wi), revela que o ganho que o
sistema confere a`s entradas de frequeˆncias muito baixas (w ≈ 0) e´ negativo. Ou
seja, para sinais de frequeˆncia nula como a func¸a˜o degrau, por exemplo, a resposta
do sistema em regime permanente tera´ o sinal oposto ao da entrada.
32
G33(0) = −5,17
1,75
(59)
Como e´ de interesse que o sistema rastreie func¸o˜es e preserve o sinal dos
valores que ela assume no tempo, o compensador C33 tera´ de incorporar o valor
−1 entre os fatores que vierem a compor sua estrutura.
Ale´m disso, outra exigeˆncia de desempenho tı´pica que a planta deve atender,
neste caso, e´ de exibir capacidade de seguir uma func¸a˜o de derivada na˜o nula. Um
exemplo de comando tı´pico e´ para que a saı´da atinja um determinado valor por
uma func¸a˜o que cresce segundo uma reta ate´ o instante que o alcanc¸a:
βc(t) =

0,25t se t ≤ 4
1 se t > 4
(60)
Como parte do sinal e´ uma func¸a˜o rampa, definida no intervalo [0; 10s], a
func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta precisa de dois po´los na origem para
rastrear o comando com um erro nulo. Ja´ que G33 na˜o possui essa propriedade,
C3 deve comporta´-los em sua estrutura. Por isso, C3 deve ser definido segundo
uma raza˜o de polinoˆmios que contenha−1 e 1/s2 como fatores que o constituem:
C3(s) = − k
s2
(61)
No entanto, a adic¸a˜o de po´los na malha aberta implica, normalmente, no deslo-
camento dos po´los de malha fechada para o semi-plano direito do Diagrama de
Argand, ou seja, para a regia˜o de instabilidade. E para verificar a localizac¸a˜o
destes po´los de malha fechada, basta variar o ganho k de 0 a ∞ e achar uma
soluc¸a˜o da equac¸a˜o caracterı´stica do sistema para cada compensador encontrado
sua excursa˜o:
1 + C3G33(sk) = 0 (62)
sk sa˜o os po´los da func¸a˜o de transfereˆncia de malha fechada para um dado
valor de k. Reescrevendo a equac¸a˜o caracterı´stica para o compensador e a planta
especificados, tem-se que:
1 +
k
s2k
5,17
(sk + 1,75)
= 0 (63)
Para cada valor de k, neste caso, existem 3 po´los a serem marcados no Di-
agrama de Argand. Em k = 0, os po´losde malha fechada assumem posic¸o˜es
33
que coincidem com os po´los de malha aberta: sk=0 = 0; 0;−1,75. E se o ganho
variar somente por valores positivos, os po´los de malha fechada assumem outras
posic¸o˜es. Os afixos correspondentes a estas u´ltimas sa˜o encontrados atrave´s da
Equac¸a˜o 63 na iterac¸a˜o de k no intervalo [0;∞).
Figura 22: Variac¸a˜o do posicionamento dos polos em malha fechada a` medida que
o ganho k e´ excursionado.
O Diagrama de Argand e´ comumente chamado de Lugar das Raı´zes quando
e´ utilizado para mostrar a conexa˜o entre as diversas posic¸o˜es assumidas pelos
po´los de uma func¸a˜o de transfereˆncia com os possı´veis valores de uma determi-
nada propriedade daquele sistema (pode ser uma massa, uma resisteˆncia ou, como
mostrado ate´ agora, um ganho do controlador).
Na Figura 22, observa-se que quaisquer valores de k levam 2 dos 3 po´los de
malha fechada a se posicionarem no semiplano direito do plano s, evidenciando
que C3 leva o sistema em malha fechada a` instabilidade. Por isso, a estrutura
do compensador deve ser modificada, visando um percurso esta´vel destes po´los
atrelado a` variac¸a˜o dos paraˆmetros livres do controlador.
Uma te´cnica convencional de mudar a localizac¸a˜o dos po´los de malha fechada
e´ inserir zeros na func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta. Zeros sa˜o os valores
de s que zeram o numerador de uma func¸a˜o de transfereˆncia; para H(s) = (s +
1)/(s + 10), por exemplo, o zero e´ o valor s = −1, ja´ que ele faz com que H(s)
se anule.
Os zeros de malha aberta sa˜o pontos atratores no Lugar das Raı´zes, ou seja,
a` medida que o ganho k da malha aberta aumenta, os po´los de malha fechada
34
modificam suas posic¸o˜es para regio˜es cada vez mais pro´ximas das coordenadas
desses zeros. E quando o ganho atinge um valor muito alto, k −→ ∞, os po´los
de malha fechada sa˜o alocados nas posic¸o˜es dos zeros de malha aberta, pore´m,
na raza˜o de um po´lo na posic¸a˜o de um zero, com os po´los excedentes localizados
em outras regio˜es. Enta˜o, com base nessa atrac¸a˜o que os zeros de malha aberta
inferem sobre os po´los de malha fechada, uma tentativa pertinente e´ incorporar
zeros esta´veis em C3.
Inicialmente, sera´ inserido um zero no semiplano esquerdo, cujo efeito sera´
verificado por meio do Diagrama do Lugar das Raı´zes plotado para a variac¸a˜o de
k. Para isso, C3 sera´ redefinido, multiplicando sua estrutura anterior, exibida na
Equac¸a˜o 61, por um zero esta´vel, escolhido em s = −3 neste caso:
C3(s) = −k(s+ 3)
s2
(64)
Reescrevendo a equac¸a˜o caracterı´stica, 62, com o segundo C3, presente na
Equac¸a˜o 64, chega-se a` seguinte equac¸a˜o caracterı´stica:
1 +
k(sk + 3)
s2k
5,17
(sk + 1,75)
= 0 (65)
Plotando o Diagrama do Lugar das Raı´zes dessa nova equac¸a˜o caracterı´stica,
observa-se o novo caminho descrito pelos po´los de malha fechada na excursa˜o de
k:
35
Figura 23: Novo Diagrama do Lugar das Raı´zes para um novo C3.
Pela figura acima, observa-se que o caminho dos po´los de malha fechada se
modificou pela ac¸a˜o do zero adicionado, pore´m, a adic¸a˜o desse elemento na˜o foi
o bastante para atrair os ramos que se propagavam para o semiplano direito. Neste
caso, a segunda tentativa pertinente e´ a adic¸a˜o de outro zero esta´vel.
O segundo zero sera´ escolhido na mesma posic¸a˜o do primeiro (sua localizac¸a˜o
pode ser qualquer desde que seja na regia˜o esta´vel do locus), levando C3 a ser
redefinido segundo a seguinte equac¸a˜o:
C3(s) = −k(s+ 3)
2
s2
(66)
Enunciando novamente a equac¸a˜o caracterı´stica do sistema, a Equac¸a˜o 64,
mas com esta u´ltima atualizac¸a˜o do compensador, chega-se a` seguinte igualdade:
1 +
k(sk + 3)
2
s2k
5,17
(sk + 1,75)
= 0 (67)
A plotagem do Lugar das Raı´zes desta u´ltima equac¸a˜o caracterı´stica mostra
que os po´los caminham para regio˜es de resposta amortecida, conforme mostra a
36
figura abaixo:
Figura 24: Po´los de malha fechada esta´veis depois da inserc¸a˜o do segundo zero,
para k = 30.
Conforme mostra a Figura 24, foram escolhidos po´los na regia˜o de fator de
amortecimento unita´rio, para que fossem eliminadas oscilac¸o˜es que ocorreriam
caso essas singularidades possuı´ssem partes imagina´rias na˜o nulas. O valor do
ganho correspondente a tais po´los e´ exibido na pro´pria figura 24 e na equac¸a˜o que
segue:
k = 30 (68)
Ale´m destes po´los mencionados, a mesma Figura 24 mostra que um dos ramos
do Lugar das Raı´zes (mostrado pela flecha que vai para a esquerda) evidencia
a existeˆncia de um terceiro po´lo de coordenada (−150; 0) no plano complexo,
segundo a Figura 25.
37
Figura 25: Po´lo em (−150; 0).
Pore´m, considerando somente a rastreabilidade do sistema, ou seja, a capaci-
dade do mesmo seguir o comando δβc, o peso desse po´lo na˜o e´ relevante, uma vez
que o efeito dele sobre a resposta se da´ por uma janela de tempo muito pequena.
Isso ocorre porque os modos do sistema sa˜o mais ra´pidos quanto mais distantes
os po´los a eles associados estiverem do eixo imagina´rio, conforme mostra a figura
26.
38
Figura 26: Comparac¸a˜o de velocidade dos modos de um sistema dinaˆmico.
Uma regra pra´tica para atestar se o efeito de um po´lo mais ra´pido pode ser de-
sprezado, ou seja, se a velocidade do seu decaimento sera´ alta quando comparada
a` rapidez dos demais modos, e´ verificar se sua distaˆncia do eixo imagina´rio e´
maior do que cinco vezes a distaˆncia dos outros po´los ao mesmo eixo. E como a
coordenada do po´lo mostrado na Figura 25 satisfaz esta regra (comparando com
as coordenadas dos po´los da Figura 24), seu efeito pode ser negligenciado para a
rastreabilidade.
O projeto do sistema de controle do aˆngulo de derrapagem estaria finalizado
nesta u´ltima etapa. Pore´m, e´ interessante submeter o sistema a uma perturbac¸a˜o
e verificar se ele e´ capaz se seguir um comando mesmo na presenc¸a dela. Mas,
diferente de um distu´rbio sobre a planta, sera´ considerado agora um ruı´do no
sensor, conforme mostra o diagrama a seguir:
39
Figura 27: Sistema de controle do aˆngulo de derrapagem com ruı´do no sensor.
O ruı´do no sensor foi definido como uma seno´ide de alta frequeˆncia, 100Hz
neste caso:
nβ(t) =
0,2pi
180
sen(2pi100t) rad (69)
Considerando o ruı´do definido na Equac¸a˜o 69 e o comando dado pela Equac¸a˜o
60, simulamos o sistema em ambiente MATLAB para verificar a resposta δβ(t),
mostrada no gra´fico abaixo:
Figura 28: Resposta do sistema comandado por δβ(t) e perturbado por nβ(t).
Pela Figura 28, observa-se que o sistema e´ sensı´vel ao ruı´do. E para diminuir
tal sensibilidade, e´ conveniente analisar de que maneira cada entrada influencia a
resposta do sistema e se e´ possı´vel diminuir o efeito do ruido apenas com algum
ajuste nos paraˆmetros de C3(s):
40
δβ(s) =
[
C3G33(s)
1 + C3G33(s)
]
δβc(s)−
[
C3G33(s)
1 + C33G33(s)
]
nβ(s) (70)
Os valores de C3 ditam a relevaˆncia tanto do comando δβc quanto do ruı´do nβ
na resposta δβ. E pela Equac¸a˜o 70, percebe-se que quanto maior for o valor do
compensador, mais importante sera´ o valor do ruı´do para a resposta do sistema.
Entretanto, o mesmo peso, em mo´dulo, e´ dado ao comando.
Considerando, em primeira ana´lise, tal igualdade entre os mo´dulos desses pe-
sos, deve-se buscar outra propriedade que implique em efeitos distintos a` transformac¸a˜o
dessas entradas. E o detalhe ao qual o projetista deve se ater para a ana´lise de
sinais, neste caso, e´ a posic¸a˜o relativa dos po´los de malha fechada no Lugar das
Raı´zes.
O po´lo mais distante do eixo imagina´rio, na coordenada (−150; 0), segundo a
Figura 25, e´ pouco importante em relac¸a˜o a` capacidade de rastreamento do sistema
de controle (explicac¸a˜o na Figura 26). Entretanto, um modo ra´pido como este
contribui para a amplificac¸a˜o de sinais de alta frequeˆncia, enquanto modos mais
lentos(por exemplo, os demais da Figura 25, mais pro´ximos do eixo imagina´rio)
amplificam sinais de baixa frequeˆncia e, inclusive, em algumas circunstaˆncias,
atenuam o efeito de sinais que oscilam mais rapidamente.
De posse deste conhecimento, pode-se mudar a posic¸a˜o dos po´los no root
locus novamente com um ajuste de ganho, por exemplo, para que o sinal δβc se
torne mais importante quando comparado a ηβ . Mas para que isso seja possı´vel, e´
necessa´rio saber qual desses sinais de entrada possui componentes de frequeˆncias
mais altas; para isso, basta plotar o gra´fico do mo´dulo da Transformada de Fourier
deles, uma vez que a mudanc¸a de domı´nio do tempo para o da frequeˆncia permite
a visualizac¸a˜o imediata das amplitudes associadas a`s harmoˆnicas que constituem
quaisquer sinais.
Antes de trac¸a´-lo, se faz necessa´rio tomar as Transformadas de Fourier dos
sinais ηβ(t) e δβc(t), cujas func¸o˜es temporais sa˜o descritas nas Equac¸o˜es 69 e 60,
respectivamente.
nβ(f) =
∫ ∞
0
e−i2piftnβ(t)dt = 0,2
[
i2pif
(i2pif)2 + (2pi100)2
]
(71)
δβc(f) =
∫ ∞
0
e−i2piftδβc(t)dt =
e−4(i2pif) − 1
4(i2pif)2
(72)
Mais detalhes acerca dessa transformada sera˜o explorados no problema de
controle de voo longitudinal da Sessa˜o 3.2. Pore´m, neste momento, apenas o
41
gra´fico do mo´dulo das transformadas de Fourier das entradas das Equac¸o˜es 71 e
72 sera´ suficiente para proceder com a ana´lise:
Figura 29: Mo´dulo das transformadas de Fourier das entradas do sistema.
Percebe-se, pela Figura 29, que o sinal ηβ possui uma componente em 100 Hz
(so´ uma harmoˆnica constitui esse sinal), enquanto δβc dete´m componentes em
frequeˆncias muito mais baixas. Enta˜o, se trouxermos o po´lo localizado em (-
150;0) no locus para uma coordenada mais pro´xima ao eixo imagina´rio, a in-
flueˆncia do sinal que oscila mais lentamente, δβc(t), no caso, sera´ maior e a
relevaˆncia do ruı´do deve diminuir drasticamente.
k = 30 foi o ganho escolhido anteriormente para o compensador descrito pela
Equac¸a˜o 66. Mas agora, afim de deixar os po´los mais lentos, podemos atribuir a`
mesma constante um valor menor:
k =
1
2
(73)
Com esse novo k, basta avaliar a posic¸a˜o dos po´los de malha fechada no Di-
agrama do Lugar das Raı´zes e averiguar, pela resposta δβ(t), se a relevaˆncia do
ruı´do de fato diminuiu:
42
Figura 30: Novas coordenadas assumidas pelos po´los de malha fechada apo´s a
diminuic¸a˜o do ganho.
Figura 31: Resposta do sistema em malha fechada aos efeitos simultaˆneos do
comando e do ruı´do para o novo ganho k.
Com o u´ltimo ajuste de ganho, esta´ encerrado o projeto do compensador cuja
estrutura assume a seguinte forma depois da atualizac¸a˜o do ganho k:
43
C3(s) = −1
2
(s+ 3)2
s2
(74)
3.2 Controle do voo longitudinal
Para controlar a velocidade do ar medida na aeronave, δVa, e a altitude, δh,
sera˜o utilizadas te´cnicas de controle no domı´nio da frequeˆncia. No entanto, rudi-
mentos de Resposta em Frequeˆncia sera˜o aqui discutidos para que se possa dar
eˆnfase ao problema de controle atrave´s de conceitos ba´sicos inerentes a essas es-
trate´gias.
3.2.1 Rudimentos de Resposta em Frequeˆncia
Essas te´cnicas possuem duas vantagens relevantes frente ao rootlocus:
• podem ser aplicadas diretamente a modelos de plantas derivados de experi-
mentos de identificac¸a˜o.
• permitem inferir boas previso˜es acerca da sensibilidade do sistema a sinais
variantes no tempo mais elaborados do que as entradas de teste tı´picas con-
sideradas quando o projeto se da´ no domı´nio do tempo.
Como o to´pico Identificac¸a˜o de Sistemas Dinaˆmicos e´ um curso extenso suportado
por uma densa literatura, este texto se focara´ somente no segundo aspecto: na
questa˜o da sensibilidade dos sistemas a` rapidez de oscilac¸a˜o das entradas.
Uma func¸a˜o temporal arbitra´ria pode ser representada como uma soma in-
finita de harmoˆnicas. Essa se´rie de seno´ides e cosseno´ides e´ conhecida por Soma
Infinita de Fourier ou Se´rie de Fourier, representada pela figura que segue:
44
Figura 32: Se´rie de Fourier de uma func¸a˜o contı´nua no tempo.
Ale´m disso, cada harmoˆnica possui uma representac¸a˜o no Diagrama de Ar-
gand Gauss, mostrada na figura abaixo:
45
Figura 33: Representac¸a˜o complexa de uma harmoˆnica.
Esta representac¸a˜o complexa e´ conveniente por permitir a exibic¸a˜o de cada
componente senoidal de um sinal arbitra´rio atrave´s de um ponto no plano com-
plexo. Pore´m, conforme mostra a figura 33, ale´m de contabilizar a frequeˆncia da
harmoˆnica, tal assinatura gra´fica tem que levar em conta, tambe´m, o tempo t.
E´ mais pertinente, quando se quer avaliar a velocidade de oscilac¸a˜o das com-
ponentes de um sinal, negligenciar o tempo t e cercar somente a varia´vel frequeˆncia,
ω, ja´ que esta u´ltima e´ capaz de caracterizar a harmoˆnica univocamente.
Portanto, vale, neste tipo de problema, lanc¸ar ma˜o de uma transformac¸a˜o de
sinal que na˜o exponha o tempo, mas que deixe a frequeˆncia explı´cita, preservando
a representac¸a˜o do sinal no plano complexo. Essa transformada e´ conhecida como
Transformada de Fourier e, curiosamente, pode ser definida a partir da Transfor-
mada de Laplace:
F(·) = L(·)|s=jω (75)
Considerando a Equac¸a˜o 75 e que os sistemas fı´sicos, encarados como plantas
em sistemas de controle, lidam com sinais de diferentes componentes nas suas
46
entradas e saı´das, conve´m, tambe´m, aplicar essa transformada para a obtenc¸a˜o de
um modelo da planta na frequeˆncia.
Um sistema dinaˆmico pode ser entendido como um processo que transforma
entradas em saı´das. Em especial, um sistema dinaˆmico linear esta´vel de pro-
priedades fı´sicas e geome´tricas constantes (tambe´m chamados de sistemas lin-
eares invariantes no tempo - LTI - esta´veis) e´ um processo que, em regime per-
manente, transforma a entrada em uma saı´da proporcional a` primeira, provendo
a essa saı´da, tambe´m, possı´veis atrasos na emissa˜o das respostas, como mostra a
figura a seguir:
Figura 34: Conceito de resposta em frequeˆncia para um sistema LTI.
Entretanto, essa transformac¸a˜o na˜o ocorre de qualquer forma. Em regime
permanente, as caracterı´sticas da saı´da diferem das da entrada por propriedades
da planta que residem no seu modelo no domı´nio da frequeˆncia. Esse modelo, por
sua vez, e´ um nu´mero complexo dependente da frequeˆncia; atrave´s dele, e´ possı´vel
fazer a previsa˜o de como as amplitudes as entradas se modificara˜o (multiplicadas
pelo mo´dulo desse nu´mero na referida frequeˆncia) e como as fases dos sinais sera˜o
alteradas (somando-se a`s mesmas a fase da planta na frequeˆncia da entrada).
Essa representac¸a˜o complexa da planta e´ conhecida como Resposta em Frequeˆncia
do sistema e consiste na Transformada de Fourier do sistema fı´sico, obtida a partir
da Transformada de Laplace da planta segundo a equac¸a˜o que segue:
G(jω) = G(s)|s=jω (76)
G(jω) e´ um nu´mero complexo e possui, para ω ∈ R, uma representac¸a˜o faso-
rial no plano complexo, pore´m, como um fasor variante na frequeˆncia:
47
Figura 35: Diagrama de Nyquist de G(jω).
Essa variac¸a˜o do fasor G na frequeˆncia ω possui uma representac¸a˜o gra´fica
capaz de exibir o contı´nuo de afixos de G no plano complexo em todo o domı´nio.
Esse diagrama e´ conhecido como Diagrama de Nyquist, ilustrado na Figura 35.
E atrave´s dele, e´ possı´vel fazer previso˜es da estabilidade e resposta transito´ria do
sistema em malha fechada que conte´m G no seu circuito. Este sistema em malha
fechada e´ representado no diagrama de blocos abaixo:
Figura 36: G inserida no sistema em malha fechada.
A utilizac¸a˜o da Curva de Nyquist para fins de ana´lise se da´ atrave´s do Crite´rio
da Estabilidade de Nyquist, que pode ser enunciado segundo o seguinte excerto:
48
O nu´mero de po´los insta´veis do sistema em malha fechadae´ igual a soma
do nu´mero de po´los insta´veis da planta com o nu´mero de voltas no sen-
tido hora´rio que a curva de Nyquist da planta da´ ao redor da coordenada
(−1; 0) do plano complexo.
Matematicamente, o Crite´rio de Nyquist pode ser expresso pela equac¸a˜o abaixo:
nf = np + nv (77)
Nela, np e´ o nu´mero de po´los insta´veis da planta, nv e´ o nu´mero de voltas que
a curva de Nyquist da´ em torno da coordenada (−1; 0) no plano complexo e nf e´
a previsa˜o de quantos po´los insta´veis o sistema em malha fechada apresentara´.
Para esclarecer esse conceito, a previsa˜o de estabilidade se dara´ sobre um
exemplo que apresenta a seguinte func¸a˜o de transfereˆncia:
G(s) = − 100
(s− 1)(s+ 2)(s+ 5) (78)
De inı´cio, ao olhar pra planta, constata-se que ela dete´m um po´lo insta´vel,
s = +1. Enta˜o, np = 1.
Resta trac¸ar o Diagrama de Nyquist para essa G, substituindo s por jω:
49
Figura 37: Diagrama de Nyquist do primeiro exemplo.
Como a curva enlac¸a a coordenada (−1; 0) no plano complexo no sentido
hora´rio uma vez, nv = 1. Podemos, portanto, efetuar a soma indicada na Equac¸a˜o
77:
nf = np + nv = 1 + 1 = 2 (79)
Enta˜o, a previsa˜o para este caso e´ de que o sistema em malha fechada,
G
1 +G
,
apresentara´ 2 po´los insta´veis. O leitor pode tirar a prova encontrando as raı´zes da
equac¸a˜o caracterı´stica 1+G(s) = 0 e caso efetue a conta de forma correta, devera´
chegar nas seguintes raı´zes: s = −7,28; s = +0,64± 3,46j.
Ale´m da ana´lise de estabilidade do sistema em malha fechada, e´ possı´vel ex-
trair me´tricas do seu comportamento durante o regime transito´rio, mas somente
em sistemas controlados cuja planta possua po´los esta´veis, ou seja, pra casos onde
G na˜o possua po´los no semiplano-direito do plano s, quando np = 0:
nf = nv (80)
50
A Equac¸a˜o 77 se reduz a` Equac¸a˜o 80 nos casos onde o sistema em malha
aberta e´ esta´vel; e a estabilidade do sistema operando em malha fechada se re-
stringe a` avaliac¸a˜o exclusiva do Diagrama de Nyquist. Para trabalhar com essa
classe de sistemas fı´sicos, o problema sera´ raciocinado em cima de uma G partic-
ular:
G(s) =
100
(s+ 1)(s+ 2)(s+ 5)
(81)
G, neste caso, mostrada na equac¸a˜o acima, possui todos os seus po´los na
regia˜o esta´vel do plano s. Logo, se a inserirmos em um sistema em malha fechada,
G
1 +G
, a resposta deste u´ltimo a um comando sera´ ilimitada somente se a Curva
de Nyquist de G enlac¸ar a coordenada (−1, 0), como mostra a equac¸a˜o 80.
Trac¸ando, enta˜o, o referido Diagrama de Nyquist, chega-se ao seguinte retrato:
Figura 38: Diagrama de Nyquist da G.
Se a mesma curva de Nyquist da figura acima na˜o enlac¸asse a coordenada
(−1; 0), mas a tocasse, nv continuaria sendo 0, pore´m, como tal condic¸a˜o seria
51
uma situac¸a˜o limite (o mais pro´xima possı´vel de enlace do ponto), o sistema se-
ria marginalmente esta´vel, apresentando resposta harmoˆnica a entradas degrau. O
enlace corresponderia a uma resposta oscilato´ria divergente, ja´ que nv = 2 im-
plicaria em nf = 2. A figura abaixo apresenta as diferentes respostas temporais
associadas a` localizac¸a˜o da curva de Nyquist em relac¸a˜o ao ponto crı´tico, va´lida
para os casos onde np = 0:
Figura 39: Resposta temporal de sistemas em malha fechada que apresentem np =
0.
Casos de sistemas de controle cuja func¸a˜o de transfereˆncia em malha aberta
possui apenas po´los esta´veis (np = 0) sa˜o recorrentes em uma gama grande de
aplicac¸o˜es tecnolo´gicas. Por esta raza˜o, a previsa˜o de suas respostas temporais por
diagramas como o da Figura 39 e´ uma boa abordagem de ana´lise. Contudo, existe
uma forma de analisar a estabilidade e o comportamento dessa classe de plantas
de um modo mais pra´tico: atrave´s de paraˆmetros conhecidos como margens de
estabilidade.
Considere uma planta,G(jω), cujo Diagrama de Nyquist seja trac¸ado segundo
a figura a seguir:
52
Figura 40: Curva de Nyquist de planta arbitra´ria de np = 0.
E´ deseja´vel que a curva de Nyquist de G nunca toque ou envolva o ponto
crı´tico (−1; 0). Ou seja, se ela nunca passar pela referida coordenada, garante-se
que ela tambe´m na˜o a evolvera´. Basta impor a seguinte condic¸a˜o pra que o crite´rio
de estabilidade BIBO valha:
G(jω) 6= −1 (82)
O ponto crı´tico possui um mo´dulo de valor unita´rio, 1, e uma fase rasa, de
−180o. Por isso, e´ suficiente queG na˜o assuma simultaneamente as duas condic¸o˜es
para que o sistema em malha fechada seja esta´vel:
{¬ [(|G| = 1) ∧ ( G = −180o)]} =⇒ (o sistema e´ BIBO esta´vel) (83)
Dada a condic¸a˜o de estabilidade, basta verificar se ela vale para a curva de
Nyquist da Figura 40.
De inı´cio, verifica-se a condic¸a˜o de mo´dulo, |G| = 1, respondendo a` seguinte
questa˜o: na frequeˆncia onde o mo´dulo de G e´ unita´rio, sua fase atinge −180o?
53
Figura 41: Ana´lise gra´fica de G quando seu mo´dulo e´ unita´rio.
Na ilustrac¸a˜o acima, percebe-se que o ponto da curva onde |G| = 1 na˜o possui
fase igual a−180o e distaMf , em termos de aˆngulo, do ponto (−1; 0). Como essa
quantidade expressa uma ”folga” em termos de fase para deixar o sistema longe do
ponto crı´tico, Mf e´ conhecida por margem de seguranc¸a em fase ou simplesmente
margem de fase.
Apo´s analisar a condic¸a˜o de mo´dulo, vale avaliar tambe´m a questa˜o do valor
crı´tico da fase de G, respondendo a` seguinte pergunta: quando (G) = −180o, o
mo´dulo da planta e´ unita´rio?
54
Figura 42: Ana´lise gra´fica de G quando sua fase e´ −180o.
O inverso do mo´dulo da planta quando o fasor a ela associado apresenta
uma orientac¸a˜o de −180o no plano complexo, k, e´ conhecido como margem
de seguranc¸a multiplicativa ou margem de ganho. E´ o nu´mero pelo qual G
ainda pode ser multiplicada antes da sua curva de Nyquist envolver a coorde-
nada (−1; 0). Essa quantidade desempenha o mesmo papel que o ganho assumia
quando se analisava a estabilidade do sistema de controle no Diagrama do Lugar
das Raı´zes.
Em plantas que atendem o crite´rio de estabilidade BIBO, de func¸o˜es de trans-
fereˆncia pro´prias (com um nu´mero de po´los maior ou igual o nu´mero de zeros) e
que detenham todos os zeros no semiplano esquerdo do plano s, se a margem de
ganho e´ maior ou igual a 1 e, simultaneamente, a margem de fase for semidefinida
positiva, os sistemas de controle em malha fechada a elas associadas sera˜o esta´veis
ou marginalmente esta´veis. Por outro lado, caso a margem de ganho seja menor
do que 1 e, ao mesmo tempo, a margem de fase for negativa, o sistema de controle
em malha fechada correspondente sera´ insta´vel. Uma G que tem todos os zeros
e po´los localizados no semiplano esquerdo do Diagrama de Argand Gauss e ap-
resenta um nu´mero de po´los maior ou igual do que o nu´mero de zeros e´ chamada
55
de sistema de fase mı´nima. Tanto a ilustrac¸a˜o deste tipo de planta quanto a sua
conexa˜o com a ana´lise de estabilidade do sistema de controle correspondente sa˜o
mostrados a seguir:
Figura 43: Mapa de po´los e zeros de um sistema de fase mı´nima.
G e´ um sistema de fase mı´nima
⇓{
[(log(k) > 0) ∧ (Mf > 0)] =⇒
(
G
1 +G
e´ BIBO esta´vel
)}
∧
{
[(log(k) < 0) ∧ (Mf < 0)] =⇒
(
G
1 +G
e´ insta´vel
)} (84)
A proposic¸a˜o 84 estabelece que o logaritmo da margem de ganho e a margem
de fase serem simultaneamente positivos e´ condic¸a˜o suficiente para que o sistema
de controle em malha fechada apresente todos os po´los no semiplano esquerdo,
ou seja, na regia˜o esta´vel do plano s. Ela afirma, ainda, que se essas me´tricas
forem negativas, pode-se inferir que o sistema em malha fechada e´ insta´vel. Es-
tas u´ltimas acertivas valem para sistemas de controle lineares que possuam sua
func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta de fase mı´nima, mas elas na˜o garantem
nada sobre a estabilidade do sistema em malha fechada caso as referidas quanti-
dades apresentem sinais opostos; nesteu´ltimo caso, deve-se voltar ao diagrama
de Nyquist de G e contar o nu´mero de voltas em torno do ponto (−1; 0) no sen-
tido hora´rio para averiguar se existem po´los insta´veis na func¸a˜o de transfereˆncia
G
1 +G
:
56
log(k)×Mf < 0 =⇒ falta informac¸a˜o para localizar os po´los de G
1 +G
(85)
Para fins de projeto, a visualizac¸a˜o dessas margens atrave´s do Diagrama de
Nyquist na˜o e´ muito pra´tica. A captura de seus valores se torna mais simples
atrave´s de um par de gra´ficos que constitui o que se conhece por diagrama de
Bode.
O diagrama de Bode se desmembra em dois gra´ficos em escala logarı´tmica: o
gra´fico da fase de G e o gra´fico do logaritmo do mo´dulo, ambos com o logaritmo
da frequeˆncia no papel de abscissa. Nele, e´ possı´vel vizualizar as duas margens
de forma imediata:
Figura 44: Diagrama de Bode de G.
O diagrama de Bode fornece informac¸o˜es do regime transiente do sistema
de controle em malha fechada: o fator de amortecimento, ζ , e a sua frequeˆncia
natural, ωn, cujos valores exatos sa˜o extraı´dos do diagrama somente para sistemas
57
de segunda ordem. Pore´m, uma maneira mais pra´tica de avaliar essas quantidades
e´ derivar seus valores aproximados, mostrados no diagrama que segue:
Figura 45: Aproximac¸o˜es das me´tricas do regime transito´rio, va´lidas para plantas
com fator de amortecimento ζ 6 0,6.
Para plantas que apresentam fator de amortecimento menor ou igual a 0,6 ,
valem as aproximac¸o˜es explı´citas na Figura 45. A frequeˆncia natural do sistema
em malha fechada possui valor pro´ximo ao da frequeˆncia de cruzamento do ganho
com 0 dB, enquanto a margem de fase esta´ em torno de cem vezes o fator de
amortecimento:
ωn ≈ ω||G|=1 (86)
58
ζ ≈ Mf
100
(87)
ω||G|=1 e´ conhecida por banda passante de G, uma vez que a maioria dos sis-
temas de engenharia apresentam uma resposta de fa´cil medic¸a˜o quando excitados
por sinais de frequeˆncia ate´ o referido valor; quando sa˜o solicitados por sinais
de frequeˆncias acima da banda passante, a resposta, normalmente, possui baixa
amplitude e, caso a atenuac¸a˜o do sinal seja vertiginosa, e´ de difı´cil medic¸a˜o. Ou
seja, o sistema na˜o atenua muito sinais que entram no sistema com frequeˆncias
menores ou iguais a`s da banda passante.
Ale´m disso, a banda passante de G e do sistema em malha fechada correspon-
dente a` mesma planta,
G
1 +G
, dentro das hipo´teses ja´ mencionadas quanto a`s car-
acterı´sticas fı´sicas de G, sa˜o praticamente as mesmas. Como exemplo, suponha
uma G da seguinte forma:
G =
4
s (s+ 2)
(88)
Pela estrutura alge´brica de G, e´ evidente que a frequeˆncia natural e o fator
de amortecimento de
G
1 +G
valem ωn = 2 rad/s e ζ = 0,5 , respectivamente.
Plotemos os diagramas de bode de magnitude de ambos os sistemas, o de malha
aberta e o de malha fechada, afim de verificar se as bandas passantes realmente
sa˜o pro´ximas:
Figura 46: Banda passante da planta e do sistema em malha fechada.
Olhando novamente a figura acima, mas focando no gra´fico de
G
1 +G
, em
59
frequeˆncias que na˜o ultrapassam o valor de sua banda passante (na pra´tica, o ωn),
percebe-se que o mo´dulo do sistema em malha fechada,
∣∣∣∣ G1 +G
∣∣∣∣, apresenta valor
unita´rio (correspondente a 0 dB), enquanto frequeˆncias maiores do que ela corre-
spondem a valores de
∣∣∣∣ G1 +G
∣∣∣∣ menores do que a unidade:
Figura 47: Exemplo de coordenada fora da banda passante do sistema em malha
fechada.
Um exemplo de frequeˆncia acima da banda passante e´ do ponto de abcissa
ω = 10 rad/s e ordenada
∣∣∣∣ G(j10)1 +G(j10)
∣∣∣∣ = 10−27,820 ≈ 0,04. Ou seja, se entrarmos
com uma harmoˆnica de frequeˆncia 10 rad/s no sistema em malha fechada, sua
saı´da sera´ uma harmoˆnica com amplitude modulada pelo ganho correspondente,
mas multiplicada por 0,04:
G(s)
1 +G(s)
=
y(s)
yc(s)
(89)
60
Figura 48: Relac¸a˜o de amplitudes da entrada e da saı´da na frequeˆncia 10 rad/s.
Conforme o esperado, a entrada, yc, de amplitude 100 [unidades], por oscilar
na frequeˆncia 10 rad/s, se reduz a praticamente 4% da sua amplitude original
quando e´ transformada em y pela func¸a˜o de transfereˆncia em malha fechada.
3.2.2 Redes proporcional, em avanc¸o de fase e em atraso de fase
Na pra´tica, projetar um sistema de controle no domı´nio da frequeˆncia se traduz
na sı´ntese de um compensador, C(s), capaz de moldar o diagrama de bode do sis-
tema em malha aberta, CG(s), para que este apresente banda passante e margem
de fase correspondentes aos requisitos de comportamento em regime transiente
de
CG(s)
1 + CG(s)
. Ao final do projeto, tambe´m, o diagrama de bode do mo´dulo
de CG(s) deve apresentar valores de |CG(jω)| em baixa frequeˆncia condizentes
com a exigeˆncia de erro de rastreamento em regime permanente. Para uma planta
G, o referido sistema de controle e´ ilustrado na figura a seguir:
Figura 49: Sistema de controle em malha fechada.
61
3.2.2.1 Compensador proporcional
Para o ajuste da banda passante do sistema, basta compensa´-lo atrave´s de um
ganho K, atribuindo a este u´ltimo um valor constante, sem a necessidade de
inserc¸a˜o de po´los e/ou zeros na malha aberta. Com isso, apenas a curva do di-
agrama de Bode do mo´dulo se altera, mantendo, assim, a curva da fase inalterada.
Contudo, as margens de estabilidade se alteram com essa mudanc¸a no ganho; com
o aumento do ganho, a banda passante se eleva e as margens de ganho e de fase
diminuem, efeitos que podem ser visualizados graficamente no Diagrama de Bode
da figura abaixo:
Figura 50: Efeito do ajuste do ganho de malha aberta na banda passante.
3.2.2.2 Rede em avanc¸o
Quanto a` margem de fase requerida, e´ possı´vel atingı´-la atrave´s de um com-
pensador que adicione a` fase da func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta a fase
que falta para completar o valor. E um compensador indicado para promover
essa mudanc¸a e´ a rede em avanc¸o de fase, cuja estrutura alge´brica e´ mostrada na
sequeˆncia:
62
Cavanc¸o(s) =
√
1 + (αTωϕ)
2
1 + (Tωϕ)
2
1 + Ts
1 + αTs
(90)
ωϕ e´ a frequeˆncia de projeto na qual ocorrera´ a maior adic¸a˜o de fase, sendo
o ı´ndice ϕ a capacidade ma´xima do compensador em aˆngulo, que sera´ definida
pelo projetista mediante um requisito de amortecimento. Ale´m disso, Cavanc¸o e´
propositalmente normalizado na frequeˆncia ωϕ para que o gra´fico da curva de
Bode do mo´dulo da malha aberta permanec¸a inalterado no ponto do avanc¸o de
fase ϕ. As constantes α e T dependem das referidas varia´veis de projeto ϕ e ωϕ
segundo as seguintes relac¸o˜es:
α =
1− sen(ϕ)
1 + sen(ϕ)
(91)
T =
1
ωϕ
√
α
(92)
α possui um valor positivo menor do que 1, o que torna o zero do avanc¸o de
fase mais importante do que o seu po´lo (quanto mais pro´ximo o elemento estiver
do eixo imagina´rio, mais importaˆncia ele tera´ na resposta). E, apesar da rede em
avanc¸o de fase prover amortecimento ao sistema de controle (pelo consequente
aumento da margem de fase), ele pode, dependendo da planta a ser compensada,
aumentar a sensibilidade da malha fechada ao ruı´do. Isso devido a` elevac¸a˜o do
ganho do sistema em malha aberta em frequeˆncias maiores do que ωϕ, implicando,
assim, no aumento da banda passante do sistema. Tais caracterı´sticas podem ser
observadas na resposta em frequeˆncia de Cavanc¸o(jω) e no mapa dos po´los e zeros
da rede, ilustrados na figura abaixo:
Figura 51: Resposta em frequeˆncia e mapa de po´los e zeros de uma rede em
avanc¸o de fase.
63
3.2.2.3 Rede em atraso
Finalmente, para atender requisitos de estado estaciona´rio, para que o sistema
de controle atenda determinados nı´veis de erro em regime permanente, o compen-
sador mais adequado a essa tarefa e´ a rede em atraso de fase, um compensador de
primeira ordem mostrado a seguir:
Catraso(s) =
s+ a1
s+ a2
(93)
a1 e a2 sa˜o,respectivamente, as magnitudes do zero e do po´lo da rede. Adi-
cionalmente, a1 e´ maior do que a2, fato esse que torna o po´lo mais importante do
que o zero no compensador em atraso de fase. Tal inversa˜o da importaˆncia dos el-
ementos da rede implica em dois efeitos derivados da rede em atraso que diferem
do verificados na rede em avanc¸o: no diagrama de Bode da magnitude, a rede
em atraso de fase proveˆ ganhos altos em baixa frequeˆncia e aˆngulos negativos na
curva da fase, conforme pode ser observado na figura a seguir:
Figura 52: Resposta em frequeˆncia e mapa de po´los e zeros de uma rede em atraso
de fase.
A subtrac¸a˜o ou atraso de fase ocorre de forma aprecia´vel em torno de uma
frequeˆncia que se encontra entre as magnitudes do zero e do po´lo, especificamente
na me´dia geome´trica destes u´ltimos, como indicado na Figura 52. A quantia de
aˆngulo que e´ subtraı´da, denotada aqui por $, e´ calculada com base nos pro´prios
tamanhos do zero e do po´lo segundo a seguinte expressa˜o:
$ = arcsen
(
1− a2
a1
1 + a2
a1
)
(94)
64
O aumento do ganho de malha aberta em baixa frequeˆncia, caracterı´stica mais
nota´vel deste tipo de compensac¸a˜o, e´ o fator determinante para a diminuic¸a˜o do
erro de regime estaciona´rio. Vale a pena, neste momento, equacionar esse erro de
regime permanente para alguns comandos tı´picos em testes de controladores para,
enta˜o, esclarecer a sua conexa˜o com a sı´ntese da rede em atraso de fase.
Figura 53: Erro de regime estaciona´rio a comandos tı´picos de teste.
A avaliac¸a˜o do comportamento de grandezas de um sistema LTI em regime
permanente se da´ atrave´s do ca´lculo do limite delas quando o tempo t tende ao
65
infinito. Uma maneira equivalente de abordar o mesmo problema, pore´m, no
plano s, e´ avalia´-las quando a varia´vel s tende a zero. E´ dentro deste tipo de
ana´lise que e´ enunciada a equac¸a˜o do erro de regime permanente de um sistema
de controle de compensador C e de planta G, ambas as func¸o˜es de transfereˆncia
em se´rie no circuito de controle descrito na Figura 49:
e∞ = lim
t→∞
(yc − y) =

1
1+kp
, se yc = 1
1
kv
, se yc = t;
1
ka
, se yc = t
2
2
(95)
As func¸o˜es que yc assume, yc = 1, yc = t e yc = t2/2, sa˜o denotadas, re-
spectivamente, por ”func¸a˜o degrau”, ”sinal rampa” e ”entrada em acelerac¸a˜o” e
as constantes kp, kv e ka sa˜o calculadas pelas seguintes equac¸o˜es:
kp = lim
s→0
CG(s) (96)
kv = lim
s→0
sCG(s) (97)
ka = lim
s→0
s2CG(s) (98)
Visto isso, um exemplo simples de projeto de um compensador em atraso de
fase sera´ resolvido, principalmente, para elucidar suas propriedades quanto ao
ganho e a` fase e justificar os apontamentos da vantagem e desvantagem que elas
carregam, estando estes u´ltimos destacados na Figura 52.
Seja uma planta G cuja func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada a seguir:
G =
100(s+ 1)
s(s+ 20)
(99)
Considere, agora, o projeto de um compensador C que deva atender o seguinte
requisito de regime permanente:
(ka)exigido = 50 (100)
Se o requisito dado e´ ka, significa que e´ exigido que o sistema de controle
siga um comando ”em acelerac¸a˜o”, conforme a definic¸a˜o do erro em regime esta-
ciona´rio presente na Equac¸a˜o 95.
66
Inicialmente, vale verificar se a pro´pria planta, G, no papel de func¸a˜o de trans-
fereˆncia de malha aberta e´ suficiente para seguir a ”entrada em acelerac¸a˜o” com
um erro finito:
C(s) = 1 =⇒ (ka)atual = lims→0 s
2CG(s) = 0× 100
20
= 0 (101)
(e∞)atual =
1
(ka)atual
=
1
0
→∞ (102)
Pelo resultado do ca´lculo efetuado na Equac¸a˜o 102, percebe-se que um valor
nulo para ka implica em um erro em regime estaciona´rio exorbitante. E para que
este erro assuma um valor finito, e´ necessa´rio que a func¸a˜o de transfereˆncia de
malha aberta, CG(s), possua ao menos mais um s no denominador; so´ assim,
o s da conta efetuada na Equac¸a˜o 101 sera´ cancelado, permitindo que ka atinja
um valor na˜o-nulo e, consequentemente, que o erro estaciona´rio alcance um valor
bem definido. Portanto, C(s) sera´ redefinida, pore´m, com um integrador, apenas.
Recalculando, enta˜o, o valor de ka segundo o ajuste mencionado, tem-se que:
[C(s)]integrador =
1
s
=⇒ (ka)ajuste = lims→0 s
2G(s) [C(s)]integrador =
100
20
= 5 (103)
Ainda que ka na˜o tenha atingido, ate´ enta˜o, o valor do requisito do projeto
(observac¸a˜o oriunda da comparac¸a˜o entre os resultados das Equac¸o˜es 103 e 100),
essa grandeza assumiu um valor na˜o-nulo, garantindo um erro finito. E´ agora,
enta˜o, que entra em cena a rede em atraso de fase. E para a sı´ntese desta u´ltima,
faz-se necessa´rio o diagrama de Bode do sistema em malha aberta, cuja func¸a˜o de
transfereˆncia, nesta etapa de projeto, se encontra no seginte formato:
G(s) [C(s)]integrador =
100(s+ 1)
s2(s+ 20)
(104)
Esboc¸ando o diagrama de Bode da func¸a˜o de transfereˆncia de malha aberta da
Equac¸a˜o 104, chegamos a` seguinte resposta em frequeˆncia do sistema:
67
Figura 54: Respostas em frequeˆncia de G(s) [C(s)]integrador, [C(s)]atraso e{
G(s) [C(s)]integrador
}
× {[C(s)]atraso}.
A resposta em frequeˆncia de G(s) [C(s)]integrador da Figura 54, correspondente
a`s curvas vermelhas do mo´dulo e da fase, mostra que ha´ cruzamento do ganho com
0 dB, mas exibe uma fase que na˜o intercepta a abscissa −180◦. Isso mostra que
na˜o ha´, portanto, uma margem de ganho finita para se medir no referido sistema,
essa margem e´ ”infinita”: na˜o importa o quanto voceˆ aumente o ganho de malha
aberta, G nunca atingira´ o ponto (−1; 0). A margem de fase, entretanto, e´ finita
e possui um valor deseja´vel (maior do que 60◦ como boa pra´tica de projeto), de
aproximadamente 65◦.
O projeto do compensador em atraso de fase que atuara´ sobreG(s) [C(s)]integrador
visa atender o ka requerido e, ao mesmo tempo, garantir que sua compensac¸a˜o na˜o
deteriore o amortecimento do sistema, que na˜o diminua, portanto, a sua margem
de fase, preocupac¸a˜o essa decorrente do fato deste compensador causar subtrac¸a˜o
68
de aˆngulo na malha aberta.
Um decaimento grande da margem de fase ocorrera´ no processo somente se
a frequeˆncia de cruzamento com 0 dB estiver na faixa espectral de operac¸a˜o
desse compensador. E para contornar essa situac¸a˜o, basta escolher essa faixa de
operac¸a˜o, [a2; a1] (paraˆmetros presentes na Equac¸a˜o 93), para que ela na˜o con-
tenha a frequeˆncia na qual se mede a margem de fase, mas, ao mesmo tempo,
em regio˜es de baixa frequeˆncia para atender ka. A curva amarela, da Figura 54,
mostra uma boa escolha para a faixa de operac¸a˜o da rede em atraso afim de aten-
der as demandas aqui mencionadas. Ou seja, basta impor um valor a a1 muito
menor do que a frequeˆncia sobre a qual a margem de fase esta´ definida.
Como a frequeˆncia de cruzamento com 0 dB esta´ em torno de 5 rad/s, o
tamanho do zero do compensador, a1, para que seja muito menor que a referida
frequeˆncia, sera´ tomado como o valor dez vezes menor que o dela:
a1 =
5
10
(105)
E para criar um vı´nculo entre o tamanho do po´lo do compensador, denotado
por a2, e o valor do requisito de regime estaciona´rio, (ka)exigido, inserimos a rede
em atraso de fase na malha e reescrevemos a equac¸a˜o de ka com o novo sistema
em malha aberta:
(ka)exigido = lims→0
s2
{
G(s) [C(s)]integrador
}
× {[C(s)]atraso} (106)
Inserindo os valores de a1 e (ka)exigido, presentes nas Equac¸o˜es 105 e 100, re-
spectivamente, na Equac¸a˜o 93, que conte´m a estrutura alge´brica de [C(s)]atraso, e
alocando o resultado na Equac¸a˜o 106, estando esta u´ltima com a func¸a˜oG(s) [C(s)]integrador
definida da Equac¸a˜o 104, o valor de a2 pode ser calculado, chegando-se ao seguinte
valor:
a2 =
5
100
(107)
A rede em atraso, enta˜o, toma a seguinte forma:
[C(s)]atraso =
s+ 5
10
s+ 5
100
(108)
A resposta em frequeˆncia do sistema