MAT1161 2007 1 P2 enunciado

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PUC-RIO
CICLO BÁSICO DO CTC.
MAT1151 - CÁLCULO A UMA VARIÁVEL
P2 - 22-05-2007
Nome:
Assinatura:
Matricula: Turma:
Questão Valor Grau Revisão
1a. 2,0
2a. 3,0
3a. 2,0
Teste Maple 2,0
Teste Derivada 1,0
Total 10,0
- MANTENHA A PROVA GRAMPEADA.
- É proibido a utilização de calculadoras.
- RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVA NÃO SERÃO ACEITAS.
- Desligue o telefone celular.
- NÃO É PERMITIDO SAIR DA SALA DURANTE A PROVA.
Questão 1 (Justifique todas as suas respostas): (2,0).
Calcule:
(a) lim
x→0
sen(2x)
tg(3x)
(b) lim
x→∞
x+ 5ex
6x+ ex
(c) lim
x→0+
x2 lnx
(d) lim
x→0+
lnx
arctg(x)
Questão 2 (Justifique todas as suas respostas): (3,0)
Considere f(x) =
x
2
+ ln(x2 + 3).
(a) (0,1) Determine o domínio da função f .
(b) Em quais intervalos f é crescente?
(c) Em quais intervalos f é decrescente?
(d) Determine, se houver, os pontos de mínimo local de f .
(e) Determine, se houver, os pontos de máximo local de f .
Obs: Pontuação: (b)+(c)+(d)+(e) = 1,0
(f) Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para cima?
(g) Em quais intervalos, se houver, o gráfico de f é côncavo para baixo?
(h) Determine, se houver, os pontos de inflexão do gráfico de f .
Obs: Pontuação: (f)+(g)+(h) = 0,9
(i) (0,2) Calcule lim
x→∞
f(x).
(j) (0,3) Mostre que lim
x→−∞
f(x) = −∞.
(k) (0,5) Utilizando as informações obtidas nos ítens anteriores, faça um
esboço do gráfico de f.
Questão 3 (Justifique todas as suas respostas): (2,0).
Considere f : [0, 1]→ R definida por f(x) = x2 conforme a figura abaixo.
O triângulo T da figura é determinado pela reta r tangente ao gráfico de f
em x = a, pela reta vertical x = 1 e pelo eixo-x.
(a) Determine a equação da reta r tangente ao grafico da f em x = a.
(b) Mostre que a função T (a) =
a3
4
− a2 + a é a área do triângulo T em
função de a.
(c) Determine a de forma que o triângulo T tenha a maior área possível.
(Justifique que é máximo).