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Grupos Sime´tricos
Ana Cristina Vieira - MAT/UFMG
Sabemos que Sn, n ≥ 3, e´ o conjunto das permutac¸o˜es de n s´ımbolos e e´ um grupo na˜o
abeliano de ordem n! chamado grupo sime´trico de grau n.
A importaˆncia dos grupos sime´tricos se da´ principalmente a partir do Teorema de
Cayley, que garante que todo grupo finito G de ordem n pode ser imerso em Sn. Desta
forma, os elementos de G podem ser vistos como permutac¸o˜es de n s´ımbolos e com isso, se
torna interessante conhecer um pouco mais sobre a estrutura do grupo Sn.
O primeiro resultado e´:
Teorema 1: Toda permutac¸a˜o na˜o trivial α ∈ Sn, n ≥ 3, pode ser escrita (de maneira
u´nica, a menos de ordenac¸a˜o) como um produto de ciclos disjustos (esta e´ a chamada
estrutura c´ıclica de α).
Ciclos de comprimento 2 sa˜o chamados transposic¸o˜es. Desde que todo ciclo pode ser
escrito como um produto de transposic¸o˜es (de maneira na˜o necessariamente u´nica), pode-
mos considerar o nu´mero de transposic¸o˜es na decomposic¸a˜o de um ciclo (bem definido,
conforme exerc´ıcio 1 abaixo) e a partir disto, classificar uma permutac¸a˜o de acordo com o
nu´mero de transposic¸o˜es envolvidas em sua decomposic¸a˜o c´ıclica.
Exerc´ıcio 1. Se α = τ1 · · · τr e α = µ1 · · ·µs sa˜o duas fatorac¸o˜es de uma permutac¸a˜o
α em produto de transposic¸o˜es, mostre que r ≡ s (mod 2). [Sugesta˜o: Associado a α,
considere o polinoˆmio Pα = Π1≤i<j≤n(xα(j) − xα(i)) e observe seus fatores e tambe´m os
fatores do polinoˆmio P = Π1≤i<j≤n(xj − xi). Defina ψ : Sn → {±1} por ψ(α) = 1, se
P = Pα e ψ(α) = −1, se P = −Pα. Agora mostre que ψ e´ um homomorfismo e garanta o
resultado].
Definimos que uma permutac¸a˜o e´ par se pode ser escrita como um produto de um
nu´mero par de transposic¸o˜es e notamos que ciclos de comprimento ı´mpar sa˜o permutac¸o˜es
pares. Ale´m disso, o conjunto An das permutac¸o˜es pares de Sn e e´ um subgrupo normal
de ordem n!/2, chamado subgrupo alternado de Sn.
Teorema 2: Duas permutac¸o˜es α e β em Sn, n ≥ 3, sa˜o conjugadas em Sn se, e somente
se, teˆm a mesma estrutura c´ıclica.
Exerc´ıcio 2. Calcule ασ e σα nos exemplos abaixo:
(a) α = (1 3 5)(1 2) e σ = (1 5 7 9).
(b) α = (4 2 3) e σ = (1 2 3)(4 5).
(c) α = (1 2 3)(5 7) e σ = (5 2 7)(4 3).
Corola´rio 1: O nu´mero de classes de conjugac¸a˜o em Sn e´ p(n), o nu´mero de partic¸o˜es de
n.
Teorema 3: Para n ≥ 3, temos os seguintes conjuntos de geradores de Sn:
{ (1 2), (2 3), ..., (n− 1 n) } e { (1 2), (1 2 ... n) }.
Prova. Considerando uma transposic¸a˜o (i j) com i < j − 1, podemos escrever (i j) =
(j−1 j)(i j−1)(j−1 j). Repetido o racioc´ınio, desde que toda permutac¸a˜o e´ um produto
de transposic¸o˜es, a primeira parte do resultado esta´ provada. Para segunda parte, use
conjugac¸a˜o.
Exerc´ıcio 3. Mostre que:
(a) Sn e´ gerado pelo conjunto {(1 2), (1 3), · · · , (1 n)}.
(b) Dada uma transposic¸a˜o qualquer τ e um n-ciclo qualquer α em Sn enta˜o Sn e´
gerado por τ e α.
Teorema 4: Temos as seguintes informac¸o˜es sobre o subgrupo alternado:
(a) An, n ≥ 3 e´ gerado pelos 3-ciclos.
(b) Todos os 3-ciclos sa˜o conjugados em An, n ≥ 5.
Prova. Para α ∈ An, temos α = (i1 j1)(i2 j2) · · · (ik jk) onde k e´ um nu´mero par. Se
|{i1, j1, i2, j2}| = 4 enta˜o (i1 j1)(i2 j2) = (i1 i2 j2)(i1 j1 j2). E se |{i1, j1, i2, j2}| = 3 enta˜o
(i1 j1)(i2 j2) = (i1 j1)(i1 j2) = (i1 j2 j1) ou (i1 j1)(i2 j2) = (i1 j1)(i2 i1) = (i1 i2 j1).
Repetindo o racioc´ınio, (a) esta´ provado.
Para ver (b), considere dois 3-ciclos α = (r s t) e β = (r′ s′ t′) em An. Sabemos
que existe γ ∈ Sn tal que αγ = β, pelo Teorema 1. Se γ ∈ An, acabou. Caso contra´rio,
tomamos i, j /∈ {r, s, t} e assim, γ′ = γ(i j) ∈ An e temos tambe´m αγ′ = β.
Exerc´ıcio 4. Mostre que An e´ gerado pelos 3-ciclos da forma (1 2 k), 3 ≤ k ≤ n.
Exerc´ıcio 5. Justifique se e´ verdadeiro ou falso:
(a) (1 2 3 4) e (1 3 4 2) sa˜o permutac¸o˜es conjugadas em S4.
(b) (1 3)(2 4 5) e (3 5)(2 4 1) sa˜o permutac¸o˜es conjugadas em S5.
(c) (1 2 3 4 5) e (1 2 4 3 5) sa˜o permutac¸o˜es conjugadas em A5.
(d) (1 2 3 4 5) e (1 2 4 3 5) sa˜o permutac¸o˜es conjugadas em S5.
(e) (2 4 5) e (1 4 3) sa˜o permutac¸o˜es conjugadas em A5.
(f) (1 3 4) e (1 3 2) sa˜o permutac¸o˜es conjugadas em A4.
Teorema 5. An e´ um grupo simples, n ≥ 5.
Siga o seguinte roteiro para mostrar este teorema.
(A) Suponha que 1 6= H seja um subgrupo normal de An (queremos mostrar que
H = An e para isto, pelo Teorema 4(b), basta mostrar que H conte´m um 3-ciclo).
(B) Considere p um primo que divide |H| e tome σ ∈ H, o(σ) = p. Escreva σ como
um produto de ciclos disjuntos τ1, · · · , τm e note que cada um deles e´ um p-ciclo.
Caso 1: p = 2. Vamos ter que τi e´ transposic¸a˜o, para todo i e que m e´ par. Digamos
que τ1 = (a b) e τ2 = (c d). Mostre:
(i) (a b c)σ(a b c)−1σ−1 = (a c)(b d) ∈ H.
(ii) Tomando k /∈ {a, b, c, d} temos (a c k)(a c)(b d)(a c k)−1(a c)(b d) = (a k c) ∈ H.
Caso 2: p = 3. Podemos ter m = 1 e enta˜o H conte´m o 3-ciclo σ = τ1. Se
m ≥ 2, escrevendo τ1 = (a b c) e τ2 = (d e f), temos que o 3-ciclo (b d c) e´ dis-
junto de τi, para i = 3, · · · ,m e assim comuta com todos eles. Neste caso, mostre que
(b c d)σ(b c d)−1σ−1e´ um 5-ciclo que pertence a H e assim, o resultado fica provado com a
demonstrac¸a˜o do pro´ximo caso.
Caso 3: p > 3. Neste caso, escrevendo τ1 = (a1 a2 · · · ap), temos que o 3-ciclo (a2 a3 a4)
e´ disjunto de τi, para i = 2, · · · ,m e assim comuta com todos eles. Neste caso, mostre que
(a2 a3 a4)σ(a2 a3 a4)
−1σ−1 = (a2 a3 a5)e´ um 3-ciclo que pertence a H e o resultado esta´
provado.
Teorema 6. (Subgrupos de Sn, n ≥ 4):
(a) Os u´nicos subgrupos normais de Sn sa˜o {1}, An e Sn, quando n ≥ 5.
(a) Os u´nicos subgrupos normais de S4 sa˜o {1}, A4, S4, e K4 = 〈(1 2)(3 4), (1 3)(2 4)〉.
(Termine a demonstrac¸a˜o de (a) e fac¸a (b):) Suponha que N � Sn enta˜o N ∩
An�An e portanto, temos N ∩An = An ou N ∩An = {1}. Se N ∩An = An enta˜o devemos
ter N = An ou N = Sn. Caso tenhamos N ∩ An = {1}, queremos garantir que N = {1}.
Suponhamos por absurdo que exista 1 6= τ ∈ N . Mostre que τ 2 = 1. Neste caso, prove que
N = {1, τ} e considerando a estrutura c´ıclica de τ temos τ = α1 · · ·αk, com cada αi sendo
uma transposic¸a˜o pois τ tem ordem 2.
Analisando as possibilidades para k, temos que para k = 1, concluir´ıamos que τ = (i1 j1)
e assim tomando j 6= j1, j2 obtemos τ (i1 j) = (j j1) 6= τ um elemento em N , o que e´ absurdo.
Por outro lado, para k ≥ 2, basta tomar τ (i1 i2) que sera´ um elemento em N diferente de
τ , novamente um absurdo que nos faz concluir o resultado.
Corola´rio 2: Valem as afirmac¸o˜es:
(a) Z(Sn) = {Id} e Z(An) = {Id}, n ≥ 3.
(b) S ′n = An e A
′
n = An n ≥ 5.
(c) S ′3 = A3 e A
′
3 = {Id}.
(d) S ′4 = A4 e A
′
4 = K4.
Prova. Fac¸a a demonstrac¸a˜o.
Outros Exerc´ıcios
6. Mostre que
(a) An na˜o possui subgrupos de ı´ndice 2, para n ≥ 3.
(b) A5 na˜o possui subgrupos de ordem maior que 12.
7. Mostre que A8 tem um elemento de ordem 15.
8. Quantos elementos comutam com a transposic¸a˜o (1 2) em Sn? Quais sa˜o eles?
9. Se p e´ um nu´mero primo e H e´ um subgrupo de Sp que conte´m uma transposic¸a˜o e um
p-ciclo enta˜o mostre que H = Sp.
10. Determine todas as possibilidades dos s´ımbolos ∗ restantes para que tenhamos uma
permutac¸a˜o par: (
1 2 3 4 5 6 7
2 6 ∗ ∗ 3 ∗ 1
)
11. Se p e´ um primo, determine quantos subgrupos distintos de ordem p temos em Sp.
12. Para n ≥ 4, determine:
(a) O nu´mero de conjugados de (1 2)(3 4) em Sn.
(b) A forma dos elementos que comutam com (1 2)(3 4) em Sn.
13. Se p e´ um nu´mero primo, mostre que em Sp existem (p − 1)! + 1 elementos x que
satisfazem xp = 1.
14. Mostre que Sn ˜↪→ A2n (e com isso, todo grupo finito esta´ imerso em um grupo
alternado).
15. Deˆ exemplos de:
(a) Dois 3-ciclos em S3 que na˜o sa˜o conjugados em A3.
(b) Dois 3-ciclos em S4 que na˜o sa˜o conjugados em A4.