Formulário de Geometria Analítica

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1. Vetores 
 
1.1 Vetores 
 
Vetor: um vetor é um segmento de reta que possui módulo, direção e sentido. 
 
Módulo: o módulo é o comprimento do vetor e pode ser calculado pela fórmula 
 
22|| bav 
 . 
 
 
 
 
 
 
1.2 Casos particulares de vetores 
 
Vetores paralelos: possuem a mesma direção. 
 
 
 
Vetores iguais: possuem mesmo módulo, direção e sentido. 
 
 
 
 
Vetor nulo: vetor de módulo igual a 0; qualquer ponto do espaço. 
 
 
 
Vetores opostos: vetores de mesmo módulo e direção, mas de sentidos contrários. 
 
 
 
Vetor unitário: vetor de módulo igual a 1. 
 
 
 
Vetores ortogonais: vetores que formam um ângulo reto. 
 
 
 
 
Vetores coplanares: vetores que estão no mesmo plano. 
 
 
 
 
1.3 Inclinação de um vetor 
 
A inclinação de um vetor é a medida 

 em relação à horizontal, no sentido anti-horário. 
 
 
||
)(sen
v
b

 
||
)(cos
v
a

 
a
b
)(tg 
 
 
 
A tabela a seguir apresenta os valores do seno, cosseno e tangente para os arcos notáveis 
correspondentes a 30°, 45° e 60° e será útil em muitos casos. 
 
 30° 45° 60° 
sen 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
cos 
2
3
 
2
2
 
2
1
 
tg 
3
3
 
1
 
3
 
 
 
 
 
2. Operações envolvendo vetores 
 
2.1 Produto de um vetor por um escalar 
O produto de 

 por 
v
 é o vetor 
v


, onde 
0

v
, 
0
, 
R
. 
 
2.2 Adição de vetores 
 
ACvu 
 ou 
ACBCAB 
 
 
 
ou 
 
ACvu 
 ou 
ACADAB 
 
 
 
 
 
2.3 Subtração de vetores 
 
vuvu

 )(
 
DBvu 
 ou 
DBCBDC 
 
 
 
 
 
Observação: As diagonais de um paralelogramo de lados iguais a 
u
 e 
v
 correspondem a 
vu


 e 
vu


. 
 
 
 
 
2.4 Combinação linear de vetores 
 
Um vetor 
v
 é uma combinação linear dos vetores 
nvvv

,...,, 21
 quando 
v
 é a soma dos múltiplos dos 
vetores 
nvvv

,...,, 21
: 
 
nnvvvv
   2211
, onde 
Rn  ,...,, 21
 
3. Vetores no plano cartesiano ortogonal R2 e no espaço tridimensional R3 
 
3.1 Vetores no plano ortogonal R2 
 
Vetor: 
jyixv


 ou 
),( yxv 

 
 
 
Módulo e direção do vetor 
AB
 com 
),( AA yxA 
 e 
),( BB yxB 
. 
Módulo: 
22 )()(|| ABAB yyxxAB 
 
Direção: 
AB
AB
xx
yy


)(tg 
 
 
 
Componentes de um vetor 
AB
: 
OAOBAB 
 
 
 
 
Produto de um vetor por um escalar: 
21 ... vkvkvk 

 onde 
),( 21 vvv 

 e 
Rk 
 
 
Produto escalar: 
2121. yyxxvu 

 onde 
jyixu

11 
 e 
jyixv

22 
. 
 
Produto escalar: 
cos.||.||. vuvu  
, com 
 1800 
 
3.2 Vetores no espaço tridimensional R3 
 
Vetor: 
kzjyixv


 ou 
),,( zyxv 

 
Módulo: 
222|| zyxv 
 
 
 
 
Módulo do vetor 
AB
: 
222 )()()(|| ABABAB zzyyxxAB 
, com 
),,( AAA zyxA 
 e 
),,( BBB zyxB 
. 
 
 
 
Produto de um vetor por um escalar: 
321 .... vkvkvkvk 

 onde 
),,( 321 vvvv 

 e 
Rk 
 
 
 
Produto escalar: 
212121. zzyyxxvu 

 onde 
kzjyixu

111 
 e 
kzjyixv

222 
. 
 
Produto escalar: 
cos.||.||. vuvu  
, onde 

 é o ângulo entre os vetores 
u
 e 
v
 e 
 1800 
. 
 
 
 
Produto vetorial: Dados 
),,( 321 aaaa 

 e 
),,( 321 bbbb 
 , 
kbabajbabaibaba
bbb
aaa
kji
ba )()()( 122131132332
321
321 
 
 
 
3.3 Vetores no Rn 
 
Adição de vetores: 
),...,,( 2211 nn vuvuvuvu 

 onde 
),...,,( 21 nuuuu 

 e 
),...,,( 21 nvvvv 

 
 
Subtração de vetores: 
),...,,( 2211 nn vuvuvuvu 

 onde 
),...,,( 21 nuuuu 

 e 
),...,,( 21 nvvvv 

 
 
Produto de um vetor por um escalar: 
nvkvkvkvk .... 21  

 onde 
),...,,( 21 nvvvv 

 e 
Rk 
 
 
Produto escalar: 
nn vuvuvuvu .... 2211  

 onde 
),...,,( 21 nuuuu 

 e 
),...,,( 21 nvvvv 

 
4. Retas 
 
4.1 Equações da reta 
 
Equação cartesiana na forma reduzida: 
baxy 
 onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente 
linear. 
 
 
Equação cartesiana na forma 
).( 00 xxmyy 
, onde 
AB
AB
xx
yy
m



 e 
) ,() ,( 00 AA yxyx 
 ou 
) ,() ,( 00 BB yxyx 
. 
 
 
 
Equação cartesiana na forma geral: 
0 cbyax
 
 
Equação vetorial: 
)direçãovetor ()posiçãovetor ()( ttr 
, 
Rt
 
 
Para retas em R2: 
),.(),()( BBAA yxtyxtr 
 
 
 
 
Para retas em R3: 
),,.(),,()( BBBAAA zyxtzyxtr 
 
 
 
 
Equações paramétricas da reta: 
 
Retas no R2: 





BA
BA
ytyy
xtxx
.
. 
 
Retas no R3: 








BA
BA
BA
ztzz
ytyy
xtxx
.
.
.
 
 
4.2 Ângulo entre retas, paralelismo e perpendicularismo 
 
Ângulo entre duas retas: 
 
||.||
|.|
cos
vu
vu



, com 
2
0

 
 
 
 
 
Retas ortogonais: 
0. 2121  vvrr

 onde 
1v

 e 
2v

 são as direções de 
1r
 e 
2r
, respectivamente. 
 
 
 
Se 
1r
 e 
2r
 são concorrentes, então 
1r
 e 
2r
 são perpendiculares. 
 
 
 
Obs.: Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas. 
Retas paralelas: Duas retas são paralelas quando o ângulo entre elas é igual a 0. 
 
 
 
Intersecção de retas: Duas retas r1 e r2 possuem intersecção caso haja um ponto P comum às duas 
retas. 
 
 
5. Planos 
 
5.1 Equações do plano 
 
Equação geral do plano: 
0 dczbyax
 onde a, b e c são as componentes do vetor normal 
n
 , 
000 czbyaxd 
 e 
0. APn
 , 
PA,
. 
 
 
 
Equação vetorial do plano: 
vtutAP

21 
 onde 
u
 e 
v
 são paralelos a 

, 
PA,
 e 
Rtt 21,
. 
 
 
 
Equações paramétricas do plano: 








22110
22110
22110
ctctzz
btbtyy
atatxx
 
 
Produto misto: 
123312231213132321
333
222
111
).( zyxzyxzyxzyxzyxzyx
zyx
zyx
zyx
wvu 
 
onde 
) , ,( 111 zyxu 

, 
) , ,( 222 zyxv 

 e 
) , ,( 333 zyxw 

. 
 
Ângulo entre dois planos: 
21
21
.
.
)cos(
nn
nn



, com 
 900 
. 
6. Distâncias 
 
6.1 Distância entre dois pontos 
 
No R2: 
22 )()(||),( ABABBA yyxxABd 
 
 
 
 
No R3:
222
),( )()()(|| ABABABBA zzyyxxABd 
 
 
 
 
6.2 Distância entre ponto e reta 
||
||
),(
u
vu
d rP 



 
 
 
 
22
00
ba
cbyax
d rP



||
),(
, P=(x0, y0) e r: ax+by+c=0. 
 
6.3 Distância entre ponto e plano 
222
000
cba
dczbyax
d P



||
),( 
, P=(x0, y0, z0) e : ax+by+cz+d=0. 
 
 
7. Cônicas 
 
Cônicas: parábola, elipse, circunferência ou hipérbole. 
 
Cônicas degeneradas: retas ou pontos. 
 
 
7.1 Circunferência 
 
Equação reduzida: 
22
0
2
0 Ryyxx  )()(
 
 
 
 
7.2 Elipse 
Equação canônica: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 
 
 
 
7.3 Hipérbole 
 
Equação canônica: 
1
)()(
2
2
0
2
20 



b
yy
a
xx
 (ramos à esquerda e à direita) 
 
 
 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 




b
yy
a
xx
 (ramos acima e abaixo) 
 
 
 
7.4 Parábola 
 
Parábola vertical: 
 
Equação geral: 
cbxaxy  2
 
Intersecções com o eixo x: 
a
acbb
x
2
42 

 
Intersecção com o eixo y: (0, c) 
Vértice da parábola: 





 

a
acb
a
b
V
4
4
 ,
2
2 
 
 
 
 
Parábola vertical: 
 
Equação geral: 
cbyayx  2
 
Intersecções com o eixo x: 
a
acbb
y
2
42 

 
Intersecção com o eixo y: (0, c) 
Vértice da parábola: 









a
b
a
acb
V
2
 ,
4
42