Lista de exercícios P1 CVGAP Vetores

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Vetores 
 
 
1 – Dados os vetores , , , abaixo representados, obtenha graficamente os 
vetores X , Y , Z , W e V 
a) X = + b) Y = + - 
c) Z = - d) W = - 2 
e) V = - + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Dados os vetores , , , abaixo representados, obtenha graficamente os 
vetores X , Y , Z , W e V 
a) X = + b) Y = + + 
c) Z = - d) W = - 2 
e) V = - + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Dados os vetores e , abaixo representados, obtenha graficamente as 
resultantes: 
a) - - b) - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


4 – A Figura I abaixo representa uma mesa de sinuca sobre a qual se desloca 
uma bola com velocidade constante v o 
Um jogador pega o taco e atinge a bola aplicando no seu centro uma força que 
tem a direção do taco: esse instante está representado na Figura II abaixo, na qual 
a linha pontilhada representa a trajetória da bola caso o taco não a atingisse. 
 
 
Uma possível representação da velocidade da bola de sinuca após a tacada é? 
 
 
R.: C 
5 – Em um experimento de laboratório, uma partícula de massa m descreve um 
movimento retilíneo e uniforme sobre um plano horizontal, sem atrito, com 
velocidade , paralela ao eixo x. Em certo momento, essa partícula é 
submetida a uma 
força perpendicular à direção de durante um intervalo de tempo muito 
pequeno, conforme ilustrado abaixo. 
 
 
 
 
Seja o vetor velocidade da partícula imediatamente após a aplicação da força. 
Entre as figuras abaixo, qual a que representa os vetores velocidade, antes e 
depois da aplicação da força? 
 
 - 
R.: C 
 
 
6 – Os vetores AB = u e CB = v são lados do quadrado ABCD. Sendo E o 
ponto médio do lado CD, exprimir o vetor AE em função de u e v . 
R.: ½ u + v 
 
7 – Representar graficamente um representante de u - v nos casos abaixo: 
 
 
 
 
 
8 – Determinar o vetor 
x
 nas figuras : 
a) b) 
 
R.: a) 
x
 = - u - v b) 
x
 = u - v 
 
 


9 – Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: 
 
a) Os vetores 3
v
 e - 4 
v
 são paralelos e de mesmo sentido 
 
b) Se |
u
 | = | v | , então u =v  
 
c) Se 
w
 = 
u
 + v , então |w | = |u | + |v | 

d) Se |
v
| = 3 , o versor de - 10 
v
 é -
3
v
 . 
e) Se 
u
 // v , |u | = 2 e |v | = 4, então v = 2 u ou v = -2u 
 
R.: F , F, F, V, V 
10 – Decidir se é verdadeiro ou falsa cada uma das afirmações: 
 
 
 
a) Se u // v então u = v 
 
b) Os vetores -2 v e -4 v são paralelos e de sentido contrário. 
c) Se |
u
 | = | v | , então u = v  

 d) Se |
v
| = 1/3 , o versor de 
v
 é igual a 3
v
 . 


 
11– Dados os vetores u = 2 i - 3 j , v = i - j e w = -2 i + j , pede-se 
determinar: 
  
a) o vetor soma u + v R.: 3 i - 4 j 
 
b) o módulo do vetor u + v R.: 5 
  
c) o vetor diferença u – v R.: i – 2j 
 
d) o vetor u - 2 v + w R.: - 2i 
 
12 – Dados os vetores no plano , 
u
 = 2 + 3 e v = 3 - , pede-se 
determinar: 
a) o vetor soma 
u
 + v 
b) o módulo do vetor 3
u
 - 2v  
c) o vetor diferença 
u
 - v 
d) o vetor 
u
 - 2 v 
 
R.: (5,2) , 11, (-1, 4) e (-4, 5) 
 
13 – Dados os vetores no plano , 
u
 = (4, 3) ; v = (5, -1) e w = (-3, 0) . 
Determinar 
u
 - v + w 
 
R.: (4, -4) 
 
 
14 – Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i e v = 2 i – 3 j , pede-se determinar: 
 
 
a) o vetor u + v 
 
b) o módulo do vetor u + v 
 
c) o vetor u - v 
 
d) o vetor u - 2v 
 
 
 
15– Sejam os pontos A (1, 3) , B (5, -1) , C (3, 2) e O (0 , 0) 
 
 
a) Determine as componentes dos vetores OA e AB 

b) Determine o vetor v, tal que v = OA - AB 
  
c) Determine as coordenadas do ponto D, tal que AB = 2CD. 
 
d) Determine o vetor u , tal que u = 2BA 
 
 
16 – Sejam os pontos A (0,1) , B (-3,1) e C (4, 4). 
 

a) Determine o vetor v , tal que v = AB - BC 
  
b) Determine o ponto P, tal que AP = PB. 
 
 
17 – Sejam os pontos A (-1, 3) , B (2, 5) , C (3, -1) e O (0 , 0) 

 
a) Determine o vetor v , tal que v = OA – AB R.: (-4,1) 
  
c) Determine o ponto P, tal que AP = PB. R.: P(1/2, 4) 
 
 
18 – Sejam os pontos A (1, 3) , B (5, -1) , C (3, 2) e O (0 , 0) 

a) Determine o vetor v, tal que v = OA – AB 
  
b) Determine as coordenadas do ponto D, tal que AB = 2CD. 
 
R.: (-3, 7) e (5, 0) 
 
19 – Dado o vetor AB = (1, -2) , calcular as coordenados de B, sendo A(4, -3). 
 
R.: (5, -5) 
 
 
20 – Dado o vetor AB = (3, -2) , calcular as coordenados de B, sendo A(4, -3). 
R.: (7, -5) 
21 – Se 
v
 = AB ; A (3, 2) e v = (5, 8), então as coordenadas do ponto B é? 
 
R.: (8 , 10) 
 
 
22 – Dado os pontos A (3, 7) e B (11, 19) . Determinar o ponto C tal que: 

AC = 
4
BA

 
R.: (5, 10) 
 
23 – Dado o vetor AB = (3, -2) , calcular as coordenados de B, sendo A(4, -3). 
 
R.: (7,5) 
 
24– Dados os pontos A(-4, 3) e B (2, 1) . Encontrar um ponto P pertencente ao 
eixo Oy que seja eqüidistante de A e B . 
 
R.: (0,5) 
 
 
25 – Calcular : 
a) produto escalar entre os vetores F = - + e D = . 
 
b) ângulo entre os dois vetores 
 
R.: -1 e 135o. 
 
 
26 – Calcular : 
c) produto escalar entre os vetores F = + e D = . 
 
d) ângulo entre os dois vetores 
 
R.: 1 e 45o. 
 
27 – Dados os vetores no plano 
u
 = (6, -8) e v = (-4, 3) , calcular |u | + 2(u . v ) 
 
 
 R.: -86 
 
28 – Dados os vetores 
u
 = (1, 6) , v = (-2, 2) e w = (2, -2) , determinar m e n 
tal que 
w
 = m 
u
 + n v 
R.: m = 0 e n = -1 
 
 
29 – Dados os vetores 
w
 = (5, -1) , u = (3, - 3) e v = (7, - 5) , determinar m e n 
tais que 
 
w = m u + n v 
 
R.: m = - 3 e n= 2 
 
 
30 – Os vetores u = (3, 4) , v = (3a, -10) e 
w
 = (1, 3b), satisfazem a equação 
: 2 u - v + 3
w
 = 0 , onde 0 é o vetor nulo. Calcular a e b . 
 
 
R.: a = 3 e b= - 2 
 
31 – Determinar o valor de a, de modo que os vetores u = (2, -1) e v = (4, a) 
sejam : 
 
 
a) paralelos. 
b) ortogonais 
 
R.: a = -2 e a = 8 
 
 
32 – Determinar o valor de k, de modo que os vetores
u
 = (- 2, 3) e v = (k, -4) 
sejam: 
 
a) perpendiculares 
b) paralelos 
 
R.: K = - 6 e K = 8/3 
 
33 – Calcular m para que os vetores 2 + e m – 3 sejam paralelos. 
 
R.: m= - 6 
 
 
34 – Determinar o valor de a de modo que os vetores (2, -1) e (4, a) sejam 
paralelos 
 
R.: -2 
 
 
35 – Qual o valor de m para que os vetores sejam paralelos. 

u = (m , 9) e v .= (- 2, 3) 
 
R.: m= -6 
 
 
36 – Qual o valor de m para que os vetores u = 2 + 5 e v = 8 + m 
sejam paralelos. 
 
R.: m= 20 
 
 
 
37 – Se u = (1, 2), v = (– 2, 5) e
w
 = (x, y) são vetores de IR2, então, para que 
w
 = 3 u − v , qual deve ser o valor de x + y? 
 
R.: 18 
 
38 – Sejam u = (1, 2), v = (m, -4) e 
w
 = (x, n) vetores de IR2. . Se 
w
 = 2 u − 

v , qual deve ser o valor do produto de m por n? 
 
R.: - 8 
 
39 – Os pontos A (1, -2), B(2, 4) e c(4, a ) pertencem a uma mesma reta. Qual o 
valor de a? 
 
R.: 16 
 
40 – Sejam os vetores 
u
 = (3, 0) e v = (2, 2). Determinar o valor de k, de modo 
que os vetores 
u
 e v + k v sejam ortogonais. 
 
R.: k = -1 
 
41 – Considere os vetores 
u
 = (½, ½) e v = (3/5, -4/5). 
Responda se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. 
a) São ortogonais 
b) São ambos unitários 
c) Tem a mesma direção 
d) Formam um ângulo obtuso 
e) Apenas o vetor 
u
 é unitário 
R.: D 
 

v
w
 u 
 
42 – Os vetores u , v e 
w
 são tais que u + v + 
w
 = , onde 
O
 é o vetor nulo. 
Se | u | = | v | = 1 e |
w
 | = 
2
, qual o valor de u . v + u .
w
 + v .
w
 
 
R.: - 2 
 
43 – Calcular o módulo do vetor v = + √3 . 
R.: 2 
 
44 – Dado o vetor v = a - 4 . Calcular os valores de a para que se tenha 
módulo do vetor v igual a 5. 
 
R.: a = 3 ou a = -3 
45 – Determinar a expressão analítica do versor do vetor AB , sendo A (4, 5) e 
B(0, 8). 
 
R.: ( -4/5 , 3/5) 
 
46 – Determinar o versor de v , sendo v = (0, -6). 
 
R.: (0, -1) 
 
47 – Dados os vetores v = (-12, - 5) e 
w
 = (9, -12). Calcular o módulo do 
vetor v e o módulo do vetor 
w
 . 
 
R.: 13 e 15 
 
48– Dar a expressão analítica e o módulo do vetor com de origem em A (2, 1) e 
extremidade em B( 1, 2) . 
 
R.: (-1, 1) e √2 
 
 
49 – Calcular a distância entre os pontos P (4, 7) e Q (- 4, 13) 
 
R.: 10 
 
50 – Calcular a distância entre os pontos A (0, 4) e B (12, 9) 
 R.: 13 
 
51 – Obter no eixo Y um ponto que seja eqüidistante dos pontos (-2, 0) e (4, 2). 
 
R.: (0, 4) 
 
52 – Decomponha o vetor F nos eixos x e y e o escreva de forma vetorial 
 
 
 
 
R.: F = (80sen30o) - (80cos30o) = 40 - 69,3