1º Prova 06

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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
DEPARTAMENTO DE MATERIAIS E CONSTRUÇÃO 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
MECÂNICA DAS VIBRAÇÕES 
1ª PROVA – 2006 
 
1a QUESTÃO (1,5 pontos) – Uma biela com massa igual a 2,2 kg oscila 53 vezes em um minuto quando 
suspensa pelo ponto O, na forma indicada na Figura 1. Determinar seu momento de inércia em relação ao seu 
centro de gravidade (G) que está localizado a 25 cm do ponto de suspensão (lG). 
 
O
G
lG
 
Figura 1 
 
Solução: 
 
 00 =+→=+ θθθθ
O
O J
mglmglJ &&&& 
 
 55,5
60
5322 ==== ππω f
J
mgl
O
n rad/s 
 
 ( ) 175,055,5
25,081,92,2
22
=××==
n
O
mglJ ω kg.m
2 
 
 kg.m( ) 0377,025,02,2175,0 22 =×−=−= mlJJ OG 2
 
2a QUESTÃO (2,0 pontos) – Escrever a equação diferencial de movimento para o sistema indicado na Figura 
2 e determinar a freqüência natural da oscilação amortecida e o coeficiente de amortecimento crítico. 
 
 
Figura 2 
 
Solução: 
 
 0222222 =++→=−− θθθθ kbcamamacakb &&&&
 
 
2
2
ma
kb
n =ω 
 
 
2
2
2
2
2
ma
kbma
cacc = 
 
 22
22
2
2
2
2
bkma
bkma
ca
ca ==ζ 
 
 ( )222222222 4411 kbmakbbkmamakbnd −=−=−= ζωω
3a QUESTÃO (2,5 pontos) – Um pistão de massa igual a 5 kg se movimente em um tubo com velocidade de 
15 m/s e aciona uma mola e um amortecedor como indica a Figura 3. Dados: c = 175 N.s/m e k = 35000 N/m. 
Determinar: 
a) O tempo transcorrido entre o momento em que o pistão entra em contato com o sistema mola-
amortecedor e o momento em que ocorre o deslocamento máximo. 
b) O deslocamento máximo do pistão após atuar sobre o conjunto mola-amortecedor. 
 
m
k
v
c
 
Figura 3 
 
Solução: 
 
 7,83
5
35000 ===
m
k
nω rad/s 
 
 209,0
7,8352
175
2
=××== nm
c
ωζ 
 
 8,811 2 =−= ζωω nd rad/s 
 
 ( ) ( )φωζω −= − tXetx dtn cos
 
 183,00
8,81
07,83209,015 2
2
2
0
2
00 =+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××+=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += xxvX
d
n
ω
ζω
m 
 
 
28,810
07,83209,015tantan 1
0
001 π
ω
ζωφ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
×
××+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += −−
d
n
x
xv
rad 
 
Então 
 
 m ( ) tetx t 8,81sin183,0 7,83209,0 ×−=
 
Derivando 
 
 ( ) ( )ttetx t 8,81cos8,818,81sin5,17183,0 5,17 +−= −&
 
O máximo ocorre quando 
 
 ( ) ( ) 08,81cos8,818,81sin5,17183,0 005,17 0 =+−= − ttetx t&
 0000 8,81cos8,818,81sin5,1708,81cos8,818,81sin5,17 tttt =→=+− 
 
 ( ) 0166,0
5,17
8,81tan
8,81
1
5,17
8,818,81tan 100 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=→= −tt seg 
 
 m( ) ( ) 134,00166,08,81sin183,0 0166,07,83209,00 =×= ××−etx
4a QUESTÃO (2,0 pontos) – Um pêndulo possui massa igual a 3 kg e comprimento de 0,5 m. Se o pino da 
articulação do pêndulo possui diâmetro de 5 mm e o pêndulo perde 0,5º em cada oscilação, determinar o 
coeficiente de atrito cinético do pino. 
 
Solução: 
 
 
2
2 dNmglml µθθ ±=+&& 
 
queda de amplitude por ciclo 
180
5,02
4 πµ ×=
mgl
dN
 com N = mg 
 
 
180
5,0
5,0
2
005,04 πµ ×=
××
 
 
 436,0
180005,04
25,05,0 =××
×××= πµ 
5a QUESTÃO (2,0 pontos) – Um painel construído com uma fibra especial se comporta como um sistema de 
um grau de liberdade com massa de 1,5 kg e rigidez de 200 N/m. A relação entre amplitudes sucessivas é 2,5. 
Determinar os valores da constante de amortecimento viscoso equivalente ceq, da constante de amortecimento 
histerético β e da energia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm. 
 
Solução: 
 
 ( ) 916,05,2lnln
1
0 ==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
x
xδ 
 
 ( ) ( ) ( ) 144,0916,02
916,0
2 2222
=
+
=
+
=
πδπ
δζ eq 
 
 5,11
5,1
200 ===
m
k
nω rad/s 
 
 ( ) 4,11144,015,111 22 =−×=−= ζωω nd rad/s 
 
 00,52 == neq mc ωζ N.s/m 
 
 
( )
( ) 273,015,2
15,22
1
12
2
2
1
0
1
0
1
0 =+×
−×=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
=→−
+= ππ
βπβ
πβ
x
x
x
x
x
x
 
 
A constante equivalente pode ser também calculada por 
 
 77,4
4,11
200273,0 =×==
d
eq
kc ω
β N.s/m 
 
 
( )
( ) 0171,001,04,1177,477,4
0179,001,04,1100,500,5
22
22
=×××==∆→=
=×××==∆→=
πωπ
πωπ
XcWc
XcWc
deqeq
deqeq Joules