Modulo 3 Vigas Principais

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76 
 
CURSO DE 
PONTES 
RODOVIÁRIAS 
EM 
CONCRETO 
ARMADO 
Módulo III 
Vigas Principais 
e 
Transversais 
 
77 
 
6.0. Vigas 
6.1. Vigas Principais 
Como a viga principal é o elemento mais importante da superestrutura por 
suportar as cargas (permanente e móvel) da mesma, é necessário que haja um estudo 
dos esforços solicitantes em diversas seções da viga. Isto se faz necessário, porque a 
carga móvel provoca na mesma seção da estrutura, esforços de naturezas contrárias, 
dependendo da sua posição sobre a viga ou especificamente sobre a laje. Em função 
dessa variabilidade, é usada a Linha de Influencia, que possibilita o cálculo dos esforços 
solicitantes, nas seções especificadas, e reações de apoio, para qualquer posição do 
veículo. 
6.1.1. Linha de Influência 
i) Definição 
 Linha de influência, por definição, é a curva de variação de um esforço 
seccional em uma seção, ou uma reação de apoio, quando uma carga concentrada 
unitária, se desloca ao longo de uma estrutura. 
 É tomada como exemplo, uma viga bi-apoiada com dois balanços, iguais ou 
diferentes, sujeita a uma carga unitária, em uma posição qualquer, conforme modelo 
abaixo. 
 x P=1 L – x 
 
 1 L 2 
 
 ii) Linha de influencia de uma reação 
a) Reação : R1= P (L – x) / L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
1
+ 
1
_ 
1
1 
+ 
_ 
1
 b) Reação 2: R2= P x / L 
 
78 
 
iii) Linha de influencia do momento fletor 
a) Seção no vão: Mf= P ( x ) ( L-x ) / L 
 x S L - x 
 
 
 x 
 L - x 
 
b) Seção no balanço 
 
 c S 
 
 c 
 
iv) Linha de influencia do esforço cortante 
a) Seção no vão: Vse= P (L – x) / L, Vse=( P x / L ) – 1 
 S 
 1 
 
 1 
 
b) Seção no balanço. 
 
 
 
 
 
+ + 
x (L –x) / L _ 
1 _ 
1
_ 
1
_ 
1
_ 
1
+ 
+ 
+ 
_ 
1
 S 
+ 
S 
1
 
79 
 
Exemplo: Considerando a viga isostática bi-apoiada abaixo, sob a ação das 
cargas indicadas, determinar através das linhas de influência e, também, através do 
Programa Ftool: 
a) a reação de apoio R2; 
b) o momento fletor na seção S; 
c) o esforço cortante na seção S. 
 
 
 
 
 2,0m 1 2,0m 1,0m 2,0m 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A2 
 
_
+
+
_
( ) 
ω
_ y1 y2 y3 
 A1 A2 A3 
_
+
+
_
( ) 
ω1
_+
 y1 y2 y3
 A1 A2 A3 
+
+
+
_
( ) 
ω
_ y1 y2 y3 
 A1 A3 
 3 kN 2 kN/m 5 kN S 4 kN/m 
y= 1 
+
_
ω2
_+( 
y= 2 
y= 3 
ω
_
( y4 _
+
LI – R2 
LI – Mfs 
LI – Vs 
 
80 
 
a ) Cálculo da reação de apoio no “apoio 2” – R2 
 y= ω x → 1= ω x 5,0 → ω= 0,2 
 y1= 0,2 x 2,0= 0,4=y2; y3= 0,2 x 3,0= 0,6 
 A1= (2,0 x 0,4)/2= 0,4; A2= (3,0 x 0,6)/2= 0,9; A3= [(1+0,6)/2] x 2,0= 1,6 
 R2= 3 x (-0,4) + 5 x (0,4) + 2 x (-0,4) + 2 x (0,9) + 4 x (1,6)= 8,2 kN 
 
b ) Cálculo do momento fletor na “seção S” – Mfs 
 y= ω1 x → 2= ω1 x 5,0 → ω1= 0,4 
 y= ω2 x → 3= ω1 x 5,0 → ω1= 0,6 
 y1= 0,4 x 2,0= 0,8=y2; y3= 0,4 x 3,0= 1,2 
 A1= (2,0 x 0,8)/2= 0,8; A2= (3,0 x 1,2)/2= 1,8; A3= (2,0 x 1,2)/2]= 1,2 
 Mfs= 3 x (-0,8) + 5 x (0,8) + 2 x (-0,8) + 2 x (1,8) + 4 x (1,2)= 8,4 kN.m 
 
c ) Cálculo do esforço cortante na “seção S” – Vs 
 y= ω x → 1= ω x 5,0 → ω= 0,2 
 y1= 0,2 x 2,0= 0,4=y2; y3= 0,2 x 3,0= 0,6; y4= 0,2 x 2,0= 0,4 
 A1= (2,0 x 0,4)/2= 0,4; A2= (3,0 x 0,6)/2= 0,9; A3= (2,0 x 0,4)/2]= 0,4 
 Vs= 3 x (-0,4) + 5 x (0,4) + 2 x (-0,4) + 2 x (0,9) + 4 x (-0,4)= 0,2 kN 
 
6.1.2 Diagrama de Cargas Permanentes 
O diagrama de cargas permanentes corresponde á metade da carga da 
superestrutura, se a estrutura for simétrica, sobre a viga principal. 
½ Seção Transversal 
 20 20 610 
 70 7 30 
 10 10 
 195 
 250 50 100 250 
25 25
11
 
81 
 
 
 
 
 
 
 
 
250 50 30 100 440 100 30 50 250 
 
 
 
 
 
 
 ½ Vista Inferior 
 
i) Carga distribuída 
 Elemento Área (m²) (kN/m³) g (kN/m) 
Asfalto 6,10 [ ) 24 13,20 
Recapeamento 2,00 x 6,10 
 
 12,20 
Barreira 
Laje 
 0,40 0,30 + [(0,40+0,20)/2 
 
 6,50 
 25 
 
 25 
 6,00 
 
 40,63 
Laje 
[
 
 
] 
 25 5,63 
Viga 0,50 1,95= 0,975 25 24,38 
Alargamento 
[
 
 
] ) 
T.Intermediária 
g= ∑ gi 
 ) 
 
 13,20 + 12,20 + 6,00 + 40,63 + 5,63 + 24,38 + 5,02 + 2,03= 109,09 
 
 
TE – 25 x 230 
1
5
,0
 
 TA – 25 x 195 
 TI – 25 x 195 
4
,5
 
6
,0
 
4
,5
 
4
0
 
 4
0
 
 
82 
 
ii) Carga concentrada 
 Elemento Volume (m³) (kN/m³) T (kN) 
Apoios T. Apoios 25 39,00 
Balanço Cortina 25 93,44 
Dente = 0,65 25 16,25 
Aba ) 25 26,25 
 
 
 
 205 
 900 50 
 25 
 
 
 80 230 
 
 
 
 135,94kN 39 kN 39 kN 135,94kN 
 
 
 109,09 kN/m DCP 
 
 4,50 m 21,00 m 4,50 m 
 
 
 
6.1.3 Diagrama de Cargas Móveis 
Quando o veículo (elemento mais pesado) estiver encostado na barreira, ele 
estará provocando o maior esforço ativo (RPr) sobre a viga principal mais próxima. 
50 
25 300 80 
25 
40 25 
 
83 
 
 EVP EVP 
 p1= 5 kN/m2 
 
 TP.450p2= 5 kN/m2 
 
 
 p1= 5 kN/m2 
 
 
 
 
Deve ser observado também que: 
-A sobrecarga “p”nas laterais do veículo, provoca na viga principal um esforço 
ativo distribuído (Rp2) por metro linear; 
-A sobrecarga “p” na frente e atrás do veículo, provoca na viga principal um 
esforço ativo distribuído (Rp1) ao longo da viga principal. 
Para montar o diagrama de cargas móveis, é utilizada a linha de influência de 
reação de apoio. 
 
 
 
 
84 
 
 
 40 50 200 50 685 p2= 5 kN/m2 
 p1= 5 kN/m2 
 ( 
 + ω= 0,133 
 
 2,75 7,50 2,75 
 
y= ( w ) ( x ) → 1= ( w ) ( 7,50) → w= 0,133 
y1= 0,133 x ( 7,50 + 2,75 – 0,40 )= 1,31 
y2= 0,133 x ( 7,50 + 2,75 – 0,40 – 0,50 )= 1,24 
y3= 0,133 x ( 7,50 + 2,75 – 0,40 – 2,50 )= 0,98 
y4= 0,133 x ( 7,50 + 2,75 – 0,40 – 3,00 )= 0,91 
Ap1= ( 7,50 + 2,75 – 0,40 ) x 1,31 / 2 = 6,45 
Ap2= ( 7,50 + 2,75 – 0,40 – 3,00 ) x 0,91 /2 = 3,12 
 a) Carga distribuída 
 Rp1= p1 x Ap1= 5 x 6,45= 32,05 kN/m 
 Rp2= p2 x Ap2= 5 x 3,12= 15,60 kN/m 
b) Carga concentrada 
 RPr= Pr ( y2 + y3 )= 75 ( 1,24 + 0,98 )= 166,50 kN 
c) Trem-tipo simplificado 
 RPr*= RPr – 2 ( Rp1 – Rp2 )= 166,50 – 2 ( 32,05 – 15,60 )=133,60 kN 
 CIV= 1 + 1,06 [ 20 / (L + 50)]=1 + 1,06 [ 20 / (21 + 50)]= 1,30 > 1,00 
 
 166,50 133,60 x 1,30= 173,7 kN 
 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5m 1,5m 
 32,05 15,60 32,05 32,05x1,30= 41,7 kN/m 
 
_
_
 y1 y2 1 y3 y4 
 Pr=75 kN Pr=75 kN 
 
85 
 
6.1.4 Esforços Seccionais 
 Considerando os diagramas de cargas permanente e móvel, serão utilizadas as 
seções S3 para o momento fletor e S8 para o esforço cortante, para o cálculo dos 
esforços seccionais e dimensionamentos da viga principal, levando em conta que 
referidas seções são pontos de esforços críticos. 
 Si Sii Siii Siv Sv S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 
 So
e
 So
d
 
90 90 90 90 90 105 105 105 105 105 105 105 105 105 105 
 
i) Momento fletor 
 135,94kN 39 kN 39kN 135,94kN 
 
 
 109,09kN/m 
 
 
 173,7 kN 41,7 kN/m 
 
 A1= 8,62 A2= 28,14 A3= 1,53 
 ( ) 
 
 17,85 
 
 
 4,50 3,15 17,85 4,50 
 
a) Carga permanente 
Mg= 109,09 (–8,62 + 28,14 – 1,53) + 135,94 (–3,83 – 0,68)= 1349,4 kN.m 
b) Carga móvel 
 Mq
+
= 41,7 x 28,14 + 173,7 (2,68 + 2,45 + 2,23)= 2451,9 kN.m 
 Mq¯= 41,7 (8,62 + 1,53) + 173,7 (3,83 + 2,55 + 1,28)= 1744,2 kN.m 
 ) ( 
w1=0,85 w2=0,15 
 2,68 2,45 2,23 
 3,83 2,55 1,28 0,68 
 3,15 
_ _ 
+ 
 
86 
 
ii) Esforço cortante 
 135,94kN 39 kN 39 kN 135,94 kN 
 
 
 109,09 kN/m 
 
 
 173,7 kN 
 173,7 kN 41,7 kN/m 
 
 
 A1= 0,49 1 A2= 1,69 A3= 3,81 A4= 0,49 
 
 1 
 4,50 8,40 12,60 4,50 
 
a) Carga permanente 
Vg= 109,09 (0,49 – 1,69 + 3,81 – 0,49) + 135,94 (22 – 0,22)= 231,3 kN 
b) Carga móvel 
 Vq
+
= 41,7 (0,49 + 3,81) + 173,7 (0,60 + 0,53 + 0,46)= 455,5 kN 
 Vq¯= 41,7 (1,69 + 0,49) + 173,7 (0,26 + 0,33 + 0,40)= 262,9 kN 
 
6.1.4 Esforços de dimensionamento 
 Utilizando os coeficientes de ponderação – Estado Limite Último 
 i) Momento fletor 
 Md1= 1,3 x 1349,4 + 1,5 x 2451,9= 5432,1 kN.m 
 Md2= 1,3 x 1349,4 + 1,5 x (-1744,2)= - 862,1 kN.m 
 Md3= 1,0 x 1349,9 + 1,5 x 2451,9= 5027,8 kN.m 
 Md4= 1,0 x 1349,9 + 1,5 x (-1744,2)= - 1266,4 kN.m 
 
 ) 
w=0,048 
 0,60 0,53 0,46 
 ( 
w=0,048 
 ( ) 
 0,26 0,33 0,40 
 0,22 0,22 
+ + 
_ _ 
 
87 
 
ii) Esforço cortante 
 Vd1= 1,3 x 231,3 + 1,5 x 455,5= 983,9 kN 
 Vd2= 1,3 x 231,3 + 1,5 x (-262,9)= - 93,7 kN 
 Vd3= 1,0 x 231,3 + 1,5 x 455,5= 914,6 kN 
 Vd4= 1,0 x 231,3 + 1,5 x (-262,9)= -163,1 kN 
6.1.5 Seção de ferro 
 i) Momento fletor 
 Para o momento positivo, será verificado se a viga é um T. 
 Considerando o maior e menor momento na seção, será determinada a fadiga 
através da EB3/67. 
 De forma simplificada a EB3/67, cita: 
 f= [(M1 – M2)/M1](fyk / )= [(5432,1 – (–862,1/2)/5432,1] (50 /(36/1)= 1,50 
 a) Momento positivo 
 bf= 3,17m, b= 0,50m, h= 2,30m, hf= 0,25m, cob= 0,05m, fck= 35000 kN/m² 
 KMD= Md / bf d² fcd= 5432,1 / [ 3,17 x (2,30 – 2x0,05)² (35000/1,4) ]= 0,014 
 KMD= 0,014 (0,015) Tab. Kx= 0,022, Kz= 0,991, Ks= 43,09 
 x= Kx d= 0,022 x 2,20= 0,048 m 
 y= 0,8x= 0,8 x 0,048= 0,04 m < hlaje= 0,25 m Seção Retangular 
 As= Md / (Kz d fyd)= 5432,1 / [0,991x2,20x(50/1,15)]= 57,3 cm² 
 As*= f x As= 1,50 x 57,3= 86 cm² (27 20) 
 b) Momento negativo 
 b= 0,50m, h= 2,30m, cob= 0,05m, fck= 35000 kN/m² 
 KMD= Md / b d² fcd= 1266,4 / [ 0,50 x (2,30 – 2x0,05)² (35000/1,4) ]= 0,021 
 KMD= 0,021 (0,020) Tab. Ks= 42,96 
 As= Md / (Ks d )= 1266,4 / [42,96x2,20]= 13,4 cm² 
 As*= f x As= 1,50 x 13,4= 20,1 cm² (10 16) 
 
 
88 
 
 ii) Esforço cortante 
 Considerando o maior e menor cortante na seção, será determinada a fadiga 
através da EB3/67. 
De forma simplificada a EB3/67, cita: 
f= [(V1 – V2)/V1](fyk / )= [(983,9 – 0)/983,9] [50 /(28/1) = 1,79 
 Vd= 983,9 kN 
 
 Máximo cisalhamento:45º →Verificação do esmagamento da biela de concreto 
 Vrd2= 0,193 αv2 fck b d= 0,193 x 0,86 x 35000 x 0,50 x 2,20= 6385,5 kN 
fck= 35 MPa= 35000 kN/m², b= 0,50m, d= 2,20m 
 αv2= 1 – (fck/250)= 1 – (35000/2500000)= 0,86 
 Vd= 983,9 kN < Vrd2= 6385,5 kN → Não há esmagamento da biela 
 
 Vc= 0,9 ³√ fck² b d= 0,9 x ³√ 35000² x 0,50 x 2,20= 1059,0 kN 
 Vsω= Vd - Vc= 983,9 – 1059,0= -75,1 kN 
 
 Obs: Quando o Vsω tende para zero ou é negativo, o esforço cortante é muito 
pequeno para a seção de concreto, logo a armadura mínima será suficiente. 
 
 Asω= 1,28 Vsω / d fyk 
 
 Asmin= 0,14b= 0,14 x 50= 7,0 cm²/m ( 2 x Ø 6,3 c/18 ) 
 Apele= 5,75 cm²/face (2 x 7 Ø 10) 
 
6.2. Vigas Transversais 
 Uma ponte ao ser projetada, dependendo do seu comprimento, pode ter vigas 
transversais ou transversinas, com os seguintes objetivos: 
 - dar mais rigidez á superestrutura; 
 - evitar a flambagem lateral da viga principal; 
 - combater a torção na viga principal; 
 - evitar que o aterro na cabeceira da ponte seja carregado para a parte inferior da 
mesma, obstruindo a passagem do rio ou veículo. 
 Astransversinas podem ser ligadas à laje, dependendo do projetista, porém, 
neste caso, as transversinas sobre os apoios e intermediária são desligadas da laje 
enquanto que a transversina extrema ou cortina é solidária à laje. 
 
 
89 
 
6.2.1 Transversinas centrais 
 A transversina intermediária deve ser projetada, quando a distância entre duas 
transversinas ultrapassar o dobro da distância entre os eixos das vigas principais. A 
transversina intermediária pode ser dimensionada pela diferença de momentos entre as 
lajes tabuleiro e balanço, considerando as condições mais críticas de carregamento. 
 
i) Esforços Solicitantes 
 
 a) Laje Balanço 
 X1= 1,0 Xg 
 X2= 1,0 Xg + 1,5 φ (Xp'+Xp1) 
 X3= 1,0 Xg + 1,4 φ (Xp'+ XPr) 
 
 b) Laje Tabuleiro 
 X4= 1,0 Xg 
 X5= 1,0 Xg+1,5 φ Xp1 
 X6= 1,0 Xg + 1,5 φ (XPr + Xp2) 
 
 c) Esforços Resultantes 
 ΔX1= X2 – X4 
 ΔX2= X3 – X4 
 ΔX3= X5 – X1 
 ΔX4= X6 – X1 
 
As transversinas sobre os apoios podem ser dimensionadas pelo momento fletor 
oriundo da excentricidade entre a viga principal e o pilar. 
 
 
 
→ M1= [(ΔX1+ ΔX2)/2] x (Li / π), Li= (L1/2) + (L2/2) 
→ M1= [(ΔX3+ ΔX4)/2] x (Li / π), Li= (L1/2) + (L2/2) 
 
90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4,50 21,00 4,50 
 
y= ( ω ) ( x ) → 1= ( ω ) ( 21,00) → ω= 0,048 
y1= 0,048 x ( 21,00 + 4,50 )= 1,224 
y2= 0,048 x ( 21,00 + 4,50 – 1,50 )= 1,152 
y3= 0,048 x ( 21,00 + 4,50 – 3,00 )= 1,080 
y4= 0,048 x ( 4,50 – 3,00 )= 0,072 
y5= 0,048 x ( 4,50 – 1,50 )= 0,144 
y6= 0,048 x ( 4,50 )= 0,216 
A1= 25,5 x 1,224 /2= 15,606 
A2= 4,50 x 0,216 / 2 = 0,486 
 
a) Carga permanente 
Rg= 135,94 (1,224 – 0,216) + 39 x 1 + 109,09 (15,606 – 0,486)= 1826 kN 
b) Carga móvel 
Rq
+
 = 41,7 x 15,606 + 173,7 ( 1,224 + 1,152 +1,080)= 1251 kN 
Rq
¯ 
= 41,7 x 0,486 + 173,7 (0,072 + 0,144 + 0,216)= 95 kN 
 ( 
 y1 y2 y3 1 y4 ω= 0, 048 
y4 y5 y6 
 A1 
A2 
 135,94 kN 39 kN 109,09 kN/m 39 kN 135,94 kN
 
 173,7 kN 41,7 kN/m 173,7 kN 
 
91 
 
 
 
Md1= (1,0 Rg + 1,5 Rq
+
) e, e: excentricidade 
Md1= (1,0 Mg + 1,5 Rq
¯
) e, e: excentricidade 
 
Obs: Em caso prático, as armaduras das transversinas sobre os apoios e intermediária 
podem ser adotadas como mínimas quando: LT ≤ 2 Lx 
 LT: distância entre duas transversinas 
 Lx: distância entre os eixos das vigas principais 
 
6.2.2. Transversina Extrema 
 A transversina extrema ou cortina está sujeita a dois tipos de carregamentos: 
horizontal e vertical. Sendo assim, ela é dimensionada como laje e como viga, conforme 
será visto nos itens 5.3.2.i e 5.3.2.ii. 
 
 i) Funcionando como Viga 
 A cortina funcionando como viga tem uma semelhança com a viga principal, 
isto é, há necessidade da determinação dos diagramas de cargas permanente e móvel. 
 
a) Diagrama de cargas permanentes 
 Os elementos, que podem contribuir para este diagrama são: o dente, o aterro, a 
laje, o peso próprio da cortina e a aba. 
 
 a.1.Carga distribuída 
 
92 
 
 
 a.1.1 No vão 
 g1(cortina)=0,25 x 2,30 x 25= 14,38 kN/m 
 g2(dente)= 0,40 x 0,25 x 25= 2,50 kN /m. 
 g3(laje)= 10,75 x 7,50 / 4= 20,16 tf/m 
 gvão= 37,04 kN/m= 37 kN 
a.1.2 Nos balanços 
g1(cortina)=0,25 x 2,30 x 25= 14,38 kN/m 
 g2(dente)= 0,40 x 0,25 x 25= 2,50 kN/m. 
 g3(laje)= 10,75 x 2,75 / 2= 14,78 kN/m 
 gbal= 31,66 tf/m= 32 kN 
 Simplificando: 32 + [(37 - 32) x 7,5 / 13,00] = 34,8 kN/m= 35 kN/m 
a.2 Carga concentrada 
a.2.1 Nos balanços 
 Tb(aba)= [(2,3 + 0,50)/2] x 3,00 x 0,25 x 25= 26,25 kN= 26 kN 
 26 kN 26 kN 
 
 
 35 kN kN/m 
 
 
 2,75 m 7,50 m 2,75 m 
 
 
b) Diagrama de cargas móveis 
 
93 
 
 O diagrama de cargas móveis corresponde ao peso de um eixo sobre a cortina, 
mais a contribuição de um ou mais eixos dentro da área de influência da laje sobre a 
cortina, multiplicados pelo impacto vertical. 
 
 fig. 5.3.3.b - VS 
φ=1,4 – 0,007 x 7,50= 1,35 > 1,00 
p= Peixo/L= 150 / 12,20= 12,30 kN kN/m 
 
 75 x 1,35= 101 kN 
 2,00m 
 12,30 x 1,35 = 17 kN/m 
 
c) Esforços solicitantes 
 Considerando os diagramas de cargas permanente e móvel, figs.5.3.3.b e 
5.3.3.d, serão utilizadas as seções S3 para o momento fletor e So
e
 para o esforço 
cortante, para o cálculo dos esforços seccionais e dimensionamentos da cortina, levando 
em conta que referidas seções são pontos de esforços críticos. 
 Si Sii Siii S0 S1 S2 S3 
 So
e
 So
d
 
 90 90 95 125 125 125 
 
c.1 Momento fletor 
c.1.1) Carga permanente 
 
94 
 
 26 kN 26kN 
 
 
 
 
 1,375 A1= 1,89 A2= 7,03 A3=1,89 1,375 
 ω= 0,5 1,375 1,875 1,375 ω= 0,5 
 0,925 
 2,75m 3,75m 3,75m 2,75m
 
Mg= 26 (- 1,375 x 2) + 35 (- 1,89 x 2 +7,03)= 42,25 kN.m 
 
c.1.2) Carga móvel 
 Mq
+
= 17 x 7,03 + 101 x 1,375 x 2= 397,26 kN.m 
 Mq¯= 17 x 1,89 x 2 + 101 x 0,925= 157,69 kN.m 
 
c.2) Esforço cortante 
 26 kN 26kN 
 
 
 35 kN/m 
 
 
 101 kN 17 kN/m 101 kN 
 
 
 A1= 0,50 1 0,732 A2= 3,75 A3= 0,50 
 
 1 0,239 
 2,75 7,50 2,75 
17 kN/m 
 5760 
 101 kN 
 2m 
35 kN/m 
_ 
+ + 
_ 
 101 tf 
 90 185 
 ) 
ω= 0,133 
 ( ω= 0,133 ( ) 
 0,366 0,366 
+ + 
_ 
 
95 
 
c.2.1.) Carga permanente 
 Vg= 26 (0,366 – 0,366) + 35 (0,50 +3,75 – 0,50)= 131,25 kN 
 c.2.2) Carga móvel 
 Vq+= 17 (0,50 + 3,75) + 101 x (1 + 0,732)= 247,18 kN 
 Vq¯= 17 x 0,50 + 101 x 0,239= 32,64 kN tf 
 
d) Esforços de cálculo 
 d.1. Momento fletor 
 Md1= 1,3 x 42,25 +1,5 x 397,26= 651 kN.m 
 Md2= 1,3 x 42,25 + 1,5 x (-160,21)= - 185 kN.m 
 Md3= 1,0 x 42,25 + 1,5 x 397,26= 638 kN.m 
 Md4= 1,0 x 42,25 + 1,5 x (-160,21)= - 198 kN.m 
 d.2) Esforço cortante 
 Vd1= 1,3 x 131,25 + 1,5 x 247,18= 541 kN 
 Vd2= 1,3 x 131,25 + 1,5 x (-32,64)= 122 kN 
 Vd3= 1,0 x 131,25 + 1,5 x 247,18= 502 kN 
 Vd4= 1,0 x 131,25 + 1,5 x (-32,64)= 82 kN 
 
e ) Seção de ferro 
 Para o momento positivo, será verificado se a viga trabalha como T. 
 Considerando o maior e menor momento na seção, será determinada a fadiga 
através da EB3/67. 
De forma simplificada a EB3/67, cita: 
f= [(M1 – M2)/M1](fyk / )= [(651 – (–185/2)/651] (50 /(36/1)= 1,59 
 e.1.) Momento positivo 
bf= 1,75m, b= 0,25m, h= 2,30m, hf= 0,25m, cob= 0,05m, fck= 35000 kN/m² 
 KMD= Md / bf d² fcd= 651 / [ 1,75 x (2,30 – 2x0,05)² x (35000/1,4) ]= 0,0031 
 
96 
 
KMD= 0,0031 (0,005) Tab. Kx= 0,007, Kz= 0,997, Ks= 43,35 
x= Kx d= 0,007 x 2,20= 0,015 m 
y= 0,8x= 0,8 x 0,015= 0,012 m < hlaje= 0,25 m Seção Retangular 
 As= Md / (Ks d )= 651 / [43,35 x 2,20]= 6,8 cm² 
 As*= f x As= 1,59 x 6,8= 10,8 cm² (5 16) 
 
 e.2.) Momento negativo 
b= 0,25m, h= 2,30m, cob= 0,05m, fck= 35000 kN/m² 
KMD= Md / b d² fcd= 198 / [ 0,25 x (2,30 – 2x0,05)² x (35000/1,4) ]= 0,0065 
KMD= 0,0065 (0,005) Tab. Ks= 43,35 
As= Md / (Ks d )= 198 / [43,35 x 2,20]= 1,9 cm² 
 As*= f x As= 1,59 x 1,9= 3,0 cm² 
 Asmin= 0,15% bh= 0,15% x 25 x 230= 8,6 cm² (4 16) 
 
 e.3.) Esforço cortante 
 Considerando o maior e menor cortante na seção, será determinada a fadiga 
através da EB3/67. 
 De forma simplificada a EB3/67, cita: 
 f= [(V1 – V2)/V1](fyk / )= [(541 – 82)/541] (50 /(28/1)= 1,52 
 Vd= 541,0 kN 
 
 Máximo cisalhamento:45º →Verificação do esmagamento da biela de concreto 
 
 Vrd2= 0,193 αv2 fck b d= 0,193 x 0,86 x 35000 x 0,25 x 2,20= 3195,1 kN 
 fck= 35 MPa= 35000 kN/m², b= 0,25m, d= 2,20m 
 αv2= 1 – (fck/250000)= 1 – (35000/2500000)= 0,86 
 Vd= 541,0 kN < Vrd2= 3195,1 kN → Não há esmagamento da biela 
 
 Vc= 0,9 ³√ fck² b d= 0,9 x ³√ 35000² x 0,25 x 2,20= 529,6 kN 
 Vsω= Vd - Vc= 541,0 – 529,6= 11,4 kN 
 
 Asω= 1,28 Vsω / d fyk= 1,28 x 11,4 / (2,2 x 50)= 0,13 cm²/m 
 
 
97 
 
Asω*= 1,52 x 0.13= 0,20 cm²/m 
Asmin= 0,14b= 0,14 x 25= 3,5 cm²/m ( Ø 6,3 c/18,5 ) 
Apele= 2,75 cm²/face (2 x 6 Ø 8) 
 
ii) Funcionando como Laje 
 Considerando as solicitações de diversos casos já trabalhados, a cortina 
funcionando como laje, apresenta através das solicitações quanto a flexão, armaduras 
muito inferiores às solicitações de viga, levando ao uso das armaduras encontradas na 
viga. Convém apenas fazer a distribuição das armaduras na laje segundo as solicitações, 
isto é, tanto o solo como a sobrecarga, provocam na cortina um empuxo ativo que por 
sua vez transmitem referida solicitação sob a forma de flexão, o que ocasiona as 
armaduras principal (estribo da viga) e de distribuição (armadura de pele da viga). 
a) carga máxima simplificada (qs) 
qu= [PTP + 6p (L–3,00)]/(6L)= [450 + 6 x 5(13,00 – 3,00)]/(6x13,00)= 9,6 kN/m² 
 heq= qu / γs = 9,6 / 18= 0,53 m 
 qmin= ka γs heq= 0,33 x 18 x 0,53= 3,15 kN/m² 
 qmax= ka γs (heq + h)= 0,33 x 18 x (0,53 + 2,30)= 16,8 kN/m² 
 qs= ka γs [(heq + (h/2)]= 0,33 x 18 x [(0,53 + (2,30/2))= 10 kN/m² 
 
b) momento de cálculo (Md) 
Md= 1,4 qs Lx²/8= 1,4 x 10 x 2,30² / 8= 9,26 kN.m/m 
 
b) seção de ferro (As) 
KMD= Md / b d² fcd= 9,26 / [ 1,00 x (0,25 – 2 x 0,03)² x (35/1,4) ]= 0,010 
KMD= 0,010 Tab. Ks= 43,35 
As= Md / (Ks d )= 932 / [43,35 x 2,3]= 0,93 cm²/m 
 Asmin= 0,15% bh= 0,15% x 100 x 25= 3,75 cm²/m ( 6,3 c/ 8,5) 
 
 
98 
 
 
 
fig. 5.3.3.c - Vista 
fig. 5.3.3.d - Vista 
fig. 5.3.3.e - Empuxo 
 
99 
 
 Tabelas de lajes e vigas (KMD) 
 
100 
 
 
 
 
 
 
101 
 
 Tabela de armadura de laje 
 
 
102 
 
 Tabela de armadura de flexão 
 
 
103 
 
 
 
 
 Tabelas de armadura de cisalhamento